【配套K12】2018年高中数学课时跟踪检测一变化率问题导数的概念新人教A版选修2_2

§3．1.1 變化率問題
§3．1.2 導數的概念
【學情分析】：
本節的中心任務是形成導數的概念.概念形成劃分為兩個層次：
1、借助氣球膨脹率問題，瞭解變化率的含義；借助高臺跳水問題，明確瞬時速度的含義.
2、以速度模型為出發點，結合其他實例抽象出導數概念，使學生認識到導數就是暫態變化率，瞭解導數內涵.
學生對導數概念的理解會有些困難，所以要對課本上的兩個問題進行深入的探討，以便順利地使學生形成導數的概念。

【教學目標】：
知道了物體的運動規律，用極限來定義物體的瞬時速度，學會求物體的瞬時速度掌握導數的定義.
【教學重點】：
理解掌握物體的瞬時速度的意義和導數的定義.
【教學難點】：
理解掌握物體的瞬時速度的意義和導數的定義. ()()00s t t s t s t t
+-∆= 根據對瞬時速度的直觀描述，當位移足夠小，現在位移
來表示，也就是說時間足夠短時，平均速度就等於
到t 0+Δt ，這段時間是Δt . 時間無限趨近於0. 當Δt →0時，平均速度就越接近於瞬
時速度，用極限表示瞬時速度
)()000lim lim t t t s t v t
→→+-=。

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课时达标训练1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx应满足( )A.Δx>0B.Δx<0C.Δx=0D.Δx≠0【解析】选D.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx要求Δx≠0.2.函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,Δy=( )A.f(x0+Δx)B.f(x0)+ΔxC.f(x0)·ΔxD.f(x0+Δx)-f(x0)【解析】选D.Δy看作相对于f(x0)的“增量”,可用f(x0+Δx)-f(x0)代替.3.函数在某一点的导数是( )A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比值B.一个函数C.一个常数,不是变数D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率【解析】选C.由导数定义可知,函数在某一点的导数,就是平均变化率的极限值.即它是一个常数,不是变数.4.若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x0∈(a,b),若f′(x0)=4,则的值为( )A.2B.4C.8D.12【解析】选C.=2=2=2f′(x0)=8.5.如图是函数y=f(x)的图象,则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________.【解析】由函数f(x)的图象知,f(x)=所以,函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为==.答案:6.已知函数f(x)=13-8x+x2,且f′(x0)=4,求x0的值.【解析】因为f′(x0)====(-8+2x 0+Δx)=-8+2x0,所以-8+2x0=4.所以x0=3.7.用导数在某一点处的定义,求函数y=f(x)=在x=1处的导数. 【解析】因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=-==,所以=,所以===-,所以y′|x=1=f′(1)=-.关闭Word文档返回原板块。

3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念[学习目标] 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.知识点一 函数的变化率知识点二 函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|0x x =，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .题型一 平均变化率例1 已知函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10.(1)计算从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)根据(1)中的计算，当Δx 越来越小时，函数h (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1)＝－4.9(Δx )2－3.3Δx ，∴Δy Δx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，Δy Δx＝－4.9Δx －3.3＝－13.1； ②当Δx ＝1时，Δy Δx＝－4.9Δx －3.3＝－8.2； ③当Δx ＝0.1时，Δy Δx＝－4.9Δx －3.3＝－3.79； ④当Δx ＝0.01时，Δy ＝－4.9Δx －3.3＝－3.349. (2)当Δx 越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1).(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1.(3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. 跟踪训练1 求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值.解 函数f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝[3(x 0＋Δx )2＋2]－(3x 20＋2)Δx ＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2Δx＝6x 0＋3Δx . 当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.题型二 物体运动的瞬时速度例2 一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3(时间的单位：s ，位移的单位：m)做直线运动，求这辆汽车在t ＝2s 时的瞬时速度.解 设在t ＝2s 附近的时间增量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2.因为Δs Δt ＝8＋2Δt ，lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0(8＋2Δt )＝8， 所以这辆汽车在t ＝2s 时的瞬时速度为8m/s.反思与感悟 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：(1)由物体运动的位移s 与时间t 的函数关系式求出位移增量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(2)求时间t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度v ＝Δs Δt， (3)求lim Δt →0Δs Δt的值，即得t ＝t 0时的瞬时速度. 跟踪训练2 一质点按规律s (t )＝at 2＋1作直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2s 时的瞬时速度为8m/s ，求常数a 的值.解 ∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，∴Δs Δt＝4a ＋a Δt . 在t ＝2 s 时，瞬时速度为lim Δt →0Δs Δt＝4a ，即4a ＝8，∴a ＝2. 题型三 函数在某点处的导数例3 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数.解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ，∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx； (3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx. 跟踪训练3 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数.解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f′(2)＝limΔx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝limΔx→0－(Δx)2－ΔxΔx＝limΔx→0(－Δx－1)＝－1. 瞬时速度的求解例4一辆汽车按s＝3t2＋1做直线运动，求这辆车在t＝3s时的瞬时速度.(位移单位：m，时间单位：s)分析本题主要考查瞬时速度的求法，既可以利用逼近思想，由平均速度通过逼近得到瞬时速度；也可以利用极限思想，由平均速度通过取极限得到瞬时速度.解方法一当Δt＜0时，在[3＋Δt,3]这一段时间内，v＝s(3)－s(3＋Δt) 3－(3＋Δt)＝28－[3(3＋Δt)2＋1]－Δt＝－[3(Δt)2＋18Δt]－Δt＝3Δt＋18.当Δt＝－0.1时，v＝17.7；当Δt＝－0.01时，v＝17.97；当Δt＝－0.001时，v＝17.997；当Δt＝－0.0001时，v＝17.9997；当Δt＝－0.00001时，v＝17.99997；当Δt＝－0.000001时，v＝17.999997；……由此可见，当Δt从左侧无限地逼近0时，v从18的左侧无限地靠近18. 当Δt＞0时，在[3,3＋Δt]这一段时间内，v＝s(3＋Δt)－s(3) (3＋Δt)－3＝[3(3＋Δt )2＋1]－28Δt＝3(Δt )2＋18Δt Δt＝3Δt ＋18.取Δt 的下列值0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001，……可以得到v 的值18.3,18.03,18.003,18.0003， 18.00003，……，v 的值从18的右侧无限地靠近18.综上可知，当|Δt |→0时，v 无限逼近常数18.∴这辆车在t ＝3s 时的瞬时速度为18m/s.方法二 设这辆车从3s 到(3＋Δt )s 这一段时间内位移的增量为Δs ＝3(3＋Δt )2＋1－28＝3(Δt )2＋18Δt ，∴Δs Δt ＝3(Δt )2＋18Δt Δt＝3Δt ＋18. ∴lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0(3Δt ＋18)＝18. ∴这辆车在t ＝3s 时的瞬时速度为18m/s.点评 方法二求瞬时速度的一般步骤如下：(1)设非匀速直线运动的规律s ＝s (t )；(2)时间改变量Δt ，位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(3)平均速度v ＝Δs Δt； (4)瞬时速度：当Δt →0时，Δs Δt →v (常数).1.如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在时间段[2,2.1]中相应的平均速度是( )A.4B.4.1C.0.41D.3答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1. 2.函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h ( ) A.与x 0、h 都有关B.仅与x 0有关，而与h 无关C.仅与h 有关，而与x 0无关D.与x 0、h 均无关答案 B3.若质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( )A.6B.18C.54D.81答案 B解析 因为Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×32Δt＝18Δt ＋3(Δt )2Δt＝18＋3Δt ， 所以lim Δt →0Δs Δt＝18. 4.若一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 答案 114解析 Δs Δt ＝7(t ＋Δt )2＋8－(7t 2＋8)Δt＝7Δt ＋14t ， 当lim Δt →0(7Δt ＋14t )＝14t ＝1时，t ＝114. 5.已知函数f (x )＝1x ，则f ′(1)＝________. 答案 －12解析 f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →011＋Δx －1Δx ＝lim Δx →0－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12. 利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)作比求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx； (3)取极限得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx. 简记为一差，二比，三极限.。

3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念课时达标训练1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx应满足( )A.Δx>0B.Δx<0C.Δx=0D.Δx≠0【解析】选D.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx要求Δx≠0.2.函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,Δy=( )A.f(x0+Δx)B.f(x0)+ΔxC.f(x0)·ΔxD.f(x0+Δx)-f(x0)【解析】选D.Δy看作相对于f(x0)的“增量”,可用f(x0+Δx)-f(x0)代替.3.函数在某一点的导数是( )A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比值B.一个函数C.一个常数,不是变数D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率【解析】选C.由导数定义可知,函数在某一点的导数,就是平均变化率的极限值.即它是一个常数,不是变数.4.若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x0∈(a,b),若f′(x0)=4,则的值为( )A.2B.4C.8D.12【解析】选C.=2=2=2f′(x0)=8.5.如图是函数y=f(x)的图象,则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________.【解析】由函数f(x)的图象知,f(x)=所以,函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为==.答案:6.已知函数f(x)=13-8x+x2,且f′(x0)=4,求x0的值.【解析】因为f′(x0)====(-8+2x0+Δx)=-8+2x0,所以-8+2x0=4.所以x0=3.7.用导数在某一点处的定义,求函数y=f(x)=在x=1处的导数.【解析】因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=-==,所以=,所以===-, 所以y′|x=1=f′(1)=-.。

1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念课时目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为________，简记作：Δy Δx. ①平均速度；②曲线割线的斜率．瞬时 变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即__________＝lim Δx →0 Δy Δx . ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度 ②切线斜率.2.导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 ΔyΔx＝____________，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的________，记为____________，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 ΔyΔx ______.一、选择题1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化率 D ．以上都不对2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x3．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．设f (x )在x ＝x 0处可导，则li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx等于( )A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－26．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________．8．过曲线y ＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________． 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．11．用导数的定义，求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．能力提升12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3s ．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝ΔsΔt＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)： (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率ΔyΔx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx. 答案知识梳理 1.定义 实例平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，简记作：Δy Δx .①平均速度； ②曲线割线的斜率．瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限， 即lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx . ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率.2.lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 导数 f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 作业设计 1．A2．B [∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx .] 3．B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.]4．A [li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →0－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝－li m Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝－f ′(x 0)．] 5．B [∵Δy Δx ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32Δx ＝－Δx －3，∴li m Δx →0 ΔyΔx＝－3.] 6．A [∵Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴li m Δt →0 ΔsΔt ＝at 0.] 7．0.41 8．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.9．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt＝Δt ＋4，t ＝1时的瞬时加速度是li m Δt →0 ΔvΔt ＝li m Δt →0(Δt ＋4)＝4. 10．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为： f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为： f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4.11．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·(1＋1＋Δx )∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )＝－11＋0·(1＋1＋0)＝－12，∴y ′|x ＝1＝f ′(1)＝－12.12．2解析 由导数的定义，得f ′(0)＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －c Δx ＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b . 又⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0.∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb＝2. 13．解 运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以li m Δt →0 Δs Δt ＝at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。

课时跟踪检测（一） 变化率问题 导数的概念层级一 学业水平达标1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．椭圆D ．直线解析：选D 当f (x )＝b 时，瞬时变化率lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 b －bΔx ＝0，所以f (x )的图象为一条直线．2．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) A ．2.1 B ．1.1 C ．2 D ．0 解析：选AΔy Δx＝f－f 1.1－1＝0.210.1＝2.1. 3．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b解析：选C f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0(a ＋b ·Δx )＝a . 4．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54D ．81解析：选B ∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32＝18Δt ＋3(Δt )2.∴ΔsΔt＝18＋3Δt .∴lim Δx →0 Δs Δt ＝lim Δx →0(18＋3Δt )＝18，故应选B. 5．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝( ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3D ．0解析：选C f ′(0)＝lim Δx →0 ＋Δx2－＋Δx －02＋3×0Δx＝li mΔx →0 Δx2－3ΔxΔx＝lim Δx →0(Δx －3)＝－3.故选C.6．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f ′(1)＝lim Δx →0 f＋Δx －fΔx＝lim Δx →0a＋Δx ＋4－a ＋Δx＝a ，∴a ＝2.答案：27.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．解析：v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图象知k OA ＜k AB ＜k BC . 答案：v 1＜v 2＜v 38．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______． 解析：∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 答案：28π39．质点按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(s 单位：m ，t 单位：s)．若质点在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解：∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[a (2＋Δt )2＋1]－(a ×22＋1)＝4a Δt ＋a (Δt )2，∴Δs Δt ＝4a ＋a Δt ，∴在t ＝2时，瞬时速度为lim Δx →0 ΔsΔt ＝4a,4a ＝8，∴a ＝2. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1x ，x >0，1＋x 2，x ≤0求f ′(4)·f ′(－1)的值．解：当x ＝4时，Δy ＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx4＋Δx ＋.∴Δy Δx ＝124＋Δx4＋Δx ＋.∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0124＋Δx 4＋Δx ＋＝12×44＋＝116. ∴f ′(4)＝116.当x ＝－1时，ΔyΔx＝f－1＋Δx －f －Δx＝1＋－1＋Δx 2－1－－2Δx＝Δx －2，由导数的定义，得f ′(－1)＝li m Δx →0 (Δx －2)＝－2， ∴f ′(4)·f ′(－1)＝116×(－2)＝－18.层级二 应试能力达标1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2解析：选 C Δy Δx ＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－4＋2Δx＝Δx 2＋4ΔxΔx＝2Δx ＋4.2.甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲＞v 乙B ．v 甲＜v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定解析：选B 设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC ＜k BC ，所以v 甲＜v 乙．3．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0 f ΔxΔx＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选B ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝lim Δx →0 f＋Δx －fΔx＝lim Δx →0f ΔxΔx＝－1， ∴选B.4．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．－4B ．2C ．－2D ．±2解析：选D f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f x Δx ＝－2x 2，于是有－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.5．已知函数f (x )＝－x 2＋x 在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t ＝________. 解析：∵Δy ＝f (1)－f (t )＝(－12＋1)－(－t 2＋t )＝t 2－t ， ∴Δy Δx ＝t 2－t 1－t ＝－t . 又∵ΔyΔx ＝2，∴t ＝－2. 答案：－26．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 解析：Δs Δt＝t 0＋Δt2＋8－t 20＋Δt＝7Δt ＋14t 0，当lim Δx →0 (7Δt ＋14t 0)＝1时，t ＝t 0＝114. 答案：1147．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．解：位移公式为s ＝12at 2，∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴lim Δx →0 Δs Δt ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫at 0＋12a Δt ＝at 0， 已知a ＝5.0×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，∴at 0＝800 m/s. 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.8．设函数f (x )在x 0处可导，求下列各式的值． (1)lim Δx →0f x 0－m Δx －f x 0Δx；(2)lim Δx →0f x 0＋4Δx －f x 0＋5ΔxΔx.解：(1)lim Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0Δx＝－m lim Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0－m Δx＝－mf ′(x 0)．(2)原式＝lim Δx →0 f x 0＋4Δx －f x 0－[f x 0＋5Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0f x 0＋4Δx －f x 0Δx －lim Δx →0 f x 0＋5Δx －f x 0Δx＝4lim Δx →0f x 0＋4Δx －f x 04Δx －5lim Δx →0 f x 0＋5Δx －f x 05Δx＝4f ′(x 0)－5f ′(x 0)＝－f ′(x 0)．。

课时跟踪检测（一） 变化率问题 导数的概念层级一 学业水平达标1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．椭圆D ．直线解析：选D 当f (x )＝b 时，瞬时变化率li m △x －0 Δy Δx ＝li m △x －0 b －bΔx ＝0，所以f (x )的图象为一条直线．2．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) A ．2.1 B ．1.1 C ．2 D ．0 解析：选AΔy Δx＝f－f 1.1－1＝0.210.1＝2.1. 3．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b解析：选C f ′(x 0)＝li m △x －0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝li m △x －0(a ＋b ·Δx )＝a . 4．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54D ．81解析：选B ∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32＝18Δt ＋3(Δt )2.∴ΔsΔt＝18＋3Δt .∴li m △x －0 Δs Δt ＝li m △x －0(18＋3Δt )＝18，故应选B. 5．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝( ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3D ．0解析：选C f ′(0)＝li m △x －0 ＋Δx2－＋Δx －02＋3×0Δx＝li m △x －0Δx2－3ΔxΔx＝li m △x －0(Δx －3)＝－3.故选C.6．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f ′(1)＝li m △x －0 f＋Δx －fΔx＝li m △x －0a＋Δx ＋4－a ＋Δx＝a ，∴a ＝2.答案：27.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．解析：v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图象知k OA ＜k AB ＜k BC . 答案：v 1＜v 2＜v 38．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______． 解析：∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 答案：28π39．质点按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(s 单位：m ，t 单位：s)．若质点在t ＝2时的瞬时速度为8 m /s ，求常数a 的值．解：∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[a (2＋Δt )2＋1]－(a ×22＋1)＝4a Δt ＋a (Δt )2，∴Δs Δt ＝4a ＋a Δt ，∴在t ＝2时，瞬时速度为li m △x －0ΔsΔt＝4a,4a ＝8，∴a ＝2. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1x ，x >0，1＋x 2，x ≤0求f ′(4)·f ′(－1)的值．解：当x ＝4时，Δy ＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx4＋Δx ＋.∴Δy Δx ＝124＋Δx4＋Δx ＋.∴li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0124＋Δx 4＋Δx ＋＝12×44＋＝116. ∴f ′(4)＝116.当x ＝－1时，ΔyΔx＝f－1＋Δx －f －Δx＝1＋－1＋Δx 2－1－－2Δx＝Δx －2，由导数的定义，得f ′(－1)＝li m Δx →0 (Δx －2)＝－2， ∴f ′(4)·f ′(－1)＝116×(－2)＝－18.层级二 应试能力达标1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2解析：选 C Δy Δx ＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－4＋2Δx＝Δx 2＋4ΔxΔx＝2Δx ＋4.2.甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲＞v 乙B ．v 甲＜v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定解析：选B 设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC ＜k BC ，所以v 甲＜v 乙．3．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足li m Δx →0 f ΔxΔx＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选B ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝li m Δx →0 f＋Δx －fΔx＝li m Δx →0f ΔxΔx＝－1， ∴选B.4．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．－4B ．2C ．－2D ．±2解析：选D f ′(x )＝li m △x －0f x ＋Δx －f x Δx ＝－2x 2，于是有－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.5．已知函数f (x )＝－x 2＋x 在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t ＝________. 解析：∵Δy ＝f (1)－f (t )＝(－12＋1)－(－t 2＋t )＝t 2－t ， ∴Δy Δx ＝t 2－t 1－t ＝－t . 又∵ΔyΔx ＝2，∴t ＝－2. 答案：－26．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 解析：Δs Δt＝t 0＋Δt2＋8－t 20＋Δt＝7Δt ＋14t 0，当li m Δx →0 (7Δt ＋14t 0)＝1时，t ＝t 0＝114. 答案：1147．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．解：位移公式为s ＝12at 2，∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴li m Δx →0 Δs Δt ＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫at 0＋12a Δt ＝at 0， 已知a ＝5.0×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，∴at 0＝800 m/s. 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.8．设函数f (x )在x 0处可导，求下列各式的值．(1) li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0Δx；(2li m Δx →0f x 0＋4Δx －f x 0＋5ΔxΔx.解：(1) li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0Δx＝－m li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0－m Δx＝－mf ′(x 0)．(2)原式＝li m Δx →0 f x 0＋4Δx －f x 0－[f x 0＋5Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0f x 0＋4Δx －f x 0Δx －li m Δx →0 f x 0＋5Δx －f x 0Δx＝4li m Δx →0f x 0＋4Δx －f x 04Δx －5li m Δx →0 f x 0＋5Δx －f x 05Δx＝4f ′(x 0)－5f ′(x 0)＝－f ′(x 0)．本文档仅供文库使用。

课时分层作业(一) 变化率问题 导数的概念(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．4B [由已知得：m 2－1－12－1m －1＝3，∴m ＋1＝3，∴m ＝2.]2．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( )【导学号：31062006】A ．－3B ．3C ．6D ．－6D [由平均速度和瞬时速度的关系可知，v ＝s ′(1)＝lim Δt →0(－3Δt －6)＝－6.]3．若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则lim h →0f x 0＋h －f x 0h ( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．以上答案都不对B [由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．]4．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝bC [∵f ′(x 0)＝limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝limΔx →0a Δx ＋b Δx2Δx ＝lim Δx →0(a ＋b Δx )＝a ，∴f ′(x 0)＝a .]5．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝( ) 【导学号：31062007】A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2C [因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－4－(2×12－4)＝4Δx ＋2(Δx )2， 所以Δy Δx ＝4Δx ＋2Δx 2Δx ＝4＋2Δx .]二、填空题6．已知函数y ＝2x＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________.[解析] Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21.5＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋3＝43－1＝13.[答案] 137.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图1­1­3所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，其三者的大小关系是________.【导学号：31062008】图1­1­3[解析]∵v 1＝s t 1－s t 0t 1－t 0＝k MA ，v 2＝s t 2－s t 1t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s t 3－s t 2t 3－t 2＝k BC ，由图象可知：k MA <k AB <k BC ，∴v 3>v 2>v 1. [答案] v 3>v 2>v 18．一物体位移s 和时间t 的关系是s ＝2t －3t 2，则物体的初速度是__________． [解析] 物体的速度为v ＝s ′(t )， ∴s ′(t )＝limΔt →0s t ＋Δt －s tΔt＝limΔt →02t ＋Δt －3t ＋Δt2－2t ＋3t2Δt＝lim Δt →02Δt －6t Δt －3Δt 2Δt ＝2－6t .即v ＝2－6t ，所以物体的初速度是v 0＝2－6×0＝2. [答案] 2 三、解答题9．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值.【导学号：31062009】[解]∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx ＝lim Δx →0a Δx 2＋2a ΔxΔx ＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1.10．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．[解] (1)初速度v 0＝lim Δt →0s Δt －s 0Δt ＝limΔt →03Δt －Δt2Δt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3(m/s)．即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝lim Δt →0s 2＋Δt －s 2Δt＝lim Δt →032＋Δt －2＋Δt2－3×2－4Δt＝limΔt →0－Δt 2－ΔtΔt＝lim Δt →0(－Δt －1)＝－1(m/s)．即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ， 方向与初速度相反． (3)v ＝s 2－s 02－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.[能力提升练]1.A ，B 两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W 1(t )，W 2(t )与时间t (天)的关系如图1­1­4所示，则一定有( )图1­1­4A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大B [由图可知，A ，B 两机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A 机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率小于B 机关的平均变化率，从而A 机关比B 机关节能效果好．]2．设函数f (x )可导，则limΔx →0f 1＋Δx －f 13Δx 等于( )【导学号：31062010】A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3)C [limΔx →0f 1＋Δx －f 13Δx ＝13lim Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx＝13f ′(1)．] 3．如图1­1­5所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．图1­1­5[解析] 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f x 2－f x 1x 2－x 1，f x 3－f x 2x 3－x 2，f x 4－f x 3x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．[答案] [x 3，x 4]4．给出下列结论：①函数y ＝2x 2－1在x ＝3处的导数为11；②若物体的运动规律是s＝f (t )，则物体在时刻t 0的瞬时速度v 等于f ′(t 0)；③物体做直线运动时，它的运动规律可以用函数v ＝v (t )描述，其中v 表示瞬时速度，t 表示时间，那么该物体运动的加速度为a ＝limΔt →0v t ＋Δt －v tΔt .其中正确的结论序号为____．[解析]①函数y ＝2x 2－1在x ＝3处的导数为12，故①错，根据变化率在物理学中的含义知②③正确．[答案] ②③5．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2t ≥3， ①29＋3t －320≤t ＜3， ②【导学号：31062011】求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度． (2)物体的初速度v 0.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．[解] (1)因为物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度． 因为物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt ＝3Δt －18.所以物体在t ＝0处的瞬时变化率为 li mΔt →0ΔsΔt ＝li m Δt →0(3Δt －18)＝－18.即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． 因为物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝f1＋Δt －f 1Δt＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt＝3Δt －12.所以物体在t ＝1处的瞬时变化率为limΔt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12.即物体在t＝1时的速度为－12 m/s.。

3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率．思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？ [提示] Δx ≠0，Δy ∈P .2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． 3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.[基础自测]1．思考辨析(1)Δy 表示f (x 2)－f (x 1)，Δy 的值可正可负也可以为零．( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( ) (3)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×2．已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 B [Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2.12－4＝0.41.]3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )【导学号：97792121】A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 D [Δ＝Δs Δt ＝3＋2.12－＋222.1－2＝4.1.][合 作 探 究·攻 重 难]ΔyΔx＝( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2(2)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图3­1­1，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为__________．图3­1­1(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________． [解] (1)Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－(2×12－1) ＝2(Δx )2＋4Δx ∴ΔyΔx＝2Δx ＋4，故选C. (2)由题意知，v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC . 根据图象知v 1<v 2<v 3. (3)Δv ＝43π×23－43π×13＝283π.∴Δv Δr ＝283π. [答案] (1)C (2)v 1<v 2<v 3 (3)283πfx 0＋－f x 0Δx.的值可正，可负，但Δx ≠0，Δ1．(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为________，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________．(2)已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(1)6x 0＋3Δx 12.3 (2)－Δx ＋3 [(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝x 0＋Δx2＋2]－x 20＋Δx＝6x 0·Δx ＋Δx2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. (2)∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－[－(－1)2＋(－1)] ＝－(Δx )2＋3Δx ， ∴Δy Δx＝－Δx 2＋3ΔxΔx＝－Δx ＋3.]若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋t －，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] (1)先求Δs ，再根据v ＝ΔsΔt 求解．(2)先求Δs Δt ，再求lim Δx →0ΔsΔt .[解] (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)， 所以Δs Δt＝Δt2－12ΔtΔt＝3Δt －12(m/s)，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为lim Δx →0 ΔsΔt ＝lim Δx →0(3Δt －12)＝－12(m/s)．2．质点M 按规律s ＝2t 2＋3作直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．求质点M 在t ＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度.【导学号：97792122】[解] v ＝lim Δx →0s＋Δt －sΔt＝lim Δx →0＋Δt 2－2×22Δt ＝lim Δx →0 (2Δt ＋8)＝8(cm/s)，v ＝s －s 3－1＝2×32＋3－2＋2＝8(cm/s)．求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同？ 提示：根据函数在某点处的导数的定义知，两者步骤完全相同．(1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为__________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3， ①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值ΔyΔt ；②求t 1＝4时的导数． [思路探究] (1)求Δy →求Δy Δx →求lim Δx →0ΔyΔx (2)①Δy ＝f －f→ΔyΔt②求Δy →求Δy Δt →求lim Δt →0ΔyΔt [解析] (1)Δy ＝1＋Δx －1， Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， lim Δx →011＋Δx ＋1＝12，所以y ′|x ＝1＝12.[答案] 12(2)①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201，ΔyΔt＝48.120 1.②lim Δx →0 Δy Δt ＝lim Δx →0[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48，故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48， 即y ′|t 1＝4＝48.简称：一差、二比、三极限．取极限时，一定要把ΔyΔx 变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形3．求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．[解] ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx . 当Δx →0时，ΔyΔx →2，∴f ′(1)＝2，即函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数为2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2C [Δy Δx＝f ＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－2Δx＝4＋2Δx .]2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．2Δt ＋4 B ．－2Δt －4 C ．4 D ．－2Δt 2－4ΔtB [v ＝4－＋Δt2－－2×12Δt＝－4Δt －Δt2Δt＝－2Δt －4.]3．一质点按规律s (t )＝2t 2运动，则在t ＝2时的瞬时速度为__________.【导学号：97792123】8[s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22＝2(Δt)2＋8Δt.∴limΔt→0s＋Δt－sΔt＝limΔt→0Δt2＋8ΔtΔt＝limΔt→0(2Δt＋8)＝8.]4．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.2[f′(1)＝limΔt→0f＋Δx－fΔx＝limΔt→0a＋Δx＋4－a＋Δx＝a，又∵f′(1)＝2，∴a＝2.]5．求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．[解] Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，∴ΔyΔx＝Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.y′|x＝3＝limΔt→0ΔyΔx＝limΔt→0(2Δx＋16)＝16.。