第六章 样本及抽样分布

们的函数g(X1,… ,Xn )不含 未知 参数，则称g(X1, … ,Xn )是总体X的一个统计量。
设 x1 , xn是相应于样本( X1 ,, X n )的样本值。
则称g ( x1 ,, xn )是g ( X 1 ,, X n )的观察值。
几个常用的统计量 ：
1 n 1. 样本均值 X X i , n i 1
n1 1 n1 n 2 n1 / 2 2 )( n1 / n2 ) y ( 2 , f ( y ) n1 n2 n1 ( n1 n2 ) / 2 ( 2 )( 2 )(1 n y ) 2 0, y0
y0
2014-1-12
17
若 F ~ F (n1, n2 ), 则 1/ F ~ F (n2 , n1).
t(n)称为自由度为n的t—分布。 t(n) 的概率密度为
n 1 ) n 1 2 t 2 f (t ) (1 ) 2 , n n nπ( ) 2 t (
2014-1-12 14
2.基本性质:
(1) f(t)关于t=0(纵轴)对称。
(2) f(t)的极限为N(0,1)的密度函数，即
从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或 随机变量的分布。
2014-1-12 4
2. 样本：来自总体的部分个体X1， … ，Xn 如果满足：
（1）同分布性： Xi， i=1,…,n与总体同分布. （2）独立性： X1，… ，Xn 相互独立； 则称为容量为n 的简单随机样
本，简称样本。
它们的观察值x1，… ，xn 称 为样本值，又称为X的n个独立
2014-1-12 9
抽样分布
统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用 到如下三个分布：
2—分布、 t —分布和F—分布。
一、2—分布
1. 构造
n i 1
设 X 1 , , X n ~ N (0,1),
iid
则统计量
2 X i2 .称为自由度为n的 2 分布，
记为 2 ~ 2 (n).
X (3) T ~ t (n 1). S/ n
（1）和（2）的证明见书P172-174 (3)证明:
X (n 1) S 2 2 U ~ N (0, 1), V ~ (n 1); 2 / n U ~ t (n 1) 且U与V独立,根据t分布的构造 V n 1
(n1 1) S12
12
~ 2 (n1 1),
~ 2 ( n2 1).
2 由假设S12 , S2 独立，则由F 分布的定义知
2 （n1 1) S12 （n2 1) S 2 / ~F （n1 1, n2 1) 2 2 （n1 1) 1 （n2 1) 2


2 2 则称 (n) 为 (n) 分布的上分位点。

1 当n充分大(大于45）时， (n) ( z 2n 1) 2 2 z 是标准正态分布的上分位点。
2
2014-1-12 12
4.性质：
a.分布可加性 若X ~ 2(n1)，Y~ 2(n2 )， X， Y 独立，则 X + Y ~ 2(n1+n2 )
得证!
2014-1-12
22
3. 若X1 ,, X
iid n1
2 ~ N ( 1 , ), Y1 ,, Yn2 ~ N ( 2 , 2 ), 2 1
iid
且两样本独立. 则
S12 / 12 (1)F 2 2 ~ F (n1 1, n2 1); S2 / 2
2 (2) 进一步, 假定 12 2 , 就有,
2014-1-12
10
2.2—分布的密度函数f(y)曲线
n y 1 2 2 n/2 1 y e , y0 f ( y) 2 ( n / 2) 0, y0
2014-1-12
11
3. 分位点 设X ~ 2(n)，若对于：0<<1， 存在 2 ( n) 0 满足 P{ X 2 (n)} ,
证明:设F~F(n1,n2),则
1 1 有 P { } 1 ， 由P{F F1 (n1 , n2 )} 1 ， F F1 (n1 , n2 )
1 这样P{ F (n2 , n1 )} 。 F
1 1 即P{ } F F1 (n1 , n2 )
X Y ( 1 2 ) T ~ t (n1 n2 2). 其中 S w 1/ n1 1/ n2
2 2 ( n 1) S ( n 1) S 2 1 2 2 Sw 1 称为混合样本方差. n1 n 2 2
2014-1-12
23
证： 1.由定理二
2 (n2 1) S 2 2 2
t1 (n) t (n)
当n 45时，t (n) z .
t1 (n)
2014-1-12
t ( n)
16
三、F—分布
1.构造 若U ~2(n1)， V~2(n2)，U， V独立，则
U / n1 F ~ F (n1 , n2 ). V / n2
称为自由度为(n1,n2)的F—分布,其概率密度为
2014-1-12 8
n 2 1 2 1 2 2 ( X i n X ) 2. 样本方差 S (Xi X ) n 1 i 1 n 1 i 1
n
样本均方差 ( 标准差 ) S S 2 ,
3.样本k阶矩
1 n k 原点矩 Ak X i , k 1, 2,... n i 1 1 n 中心矩 Bk ( X i X ) k , k 2,3,... n i 1 统计量和随机变量一般大写，而它们的观 察值一般小写。
得证! 1 1 例： F0.95 (12,9) F (9,12) 2.80 0.357 0.05
2014-1-12 19
3 正态总体的抽样分布定理
设总体X （不管服从什么分布，只要均值和方差存在） 的均值为，方差为 2，X1，X 2， ，X n是来自X的一个 样本，X，S 2是样本均值和样本方差，则总有
~ t (n1 n2 2)
2014-1-12
6
3.总体、样本、样本观察值的关系 总体
理论分布
样本
样本观察值
统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断 总体的情况——总体分布。样本是联系两者的桥梁 。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样 本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值 去推断总体
二、统计量
定义：设X1,… ,Xn 是来自总体X的一个样本，如果它
X ~ N ( ,
D( X )
i 1 i
n
2
n
2
n
)
X ~ N (0, 1) / n
2014-1-12
21
2. 若X1 ,, X n ~ N ( , 2 ), 则
2 (1) X 与S 2相互独立; (2)
iid
(n 1) S 2
2
~ 2 (n 1);
(n1 1) S12 (n2 1) S22 2 ~ (n1 n2 2)。 则 2 2
由t 分布的定义： ( X Y ) ( 1 2 ) 1/ n1 1/ n2 [ (n1 1) S12 (n2 1) S22

2


2
]/(n1 n2 2)
b.期望与方差 若X~ 2(n)，则E(X)= n，D(X)=2n
证：E(Xi ) 0, D( Xi ) 1, Xi ~ N(0,1)，
E( X i2 ) 1,
D( X i2 ) E( X i4 ) [E( X i2 )]2 3 1 2, i 1,2, n
所以 E( ) E( X )
2 i 1 2 i
2 n 2 i
n
n
2 E( X i )n i 1
n
D( ) D( X ) D( X i2 ) 2n
i 1
i 1
2014-1-12 13
二、t—分布
1.构造 若X~N(0, 1), Y~2(n), X与Y独立，则
X T ~ t (n). Y /n
2014-1-12
20
X 1. 若X 1 ,, X n ~ N ( , ), 则U ~ N (0, 1) / n
iid 2
1 n 证明: X X i n i 1
1 n E( X ) E( X i ) n i 1
1 D( X ) 2 n
是n 个独立的正态 随机变量的线性组 合,故服从正态分布
研究怎样有效地收集、整理、分析所获得 的有限的资料，对所研究的问题, 尽可能地作 出精确而可靠的结论.
2014-1-12
3
1 随机样本
一、总体与样本
Hale Waihona Puke 1. 总体：试验的全部可能的观察值。
组成总体的元素称为个体。
例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每一 个灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高的全 体是一个总体，每个男生的身高是一个个体。 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量， 容量为有限的称为有限总体，容量无限的 称为无限总体。
S /S 即 ~F （n1 1, n2 1) /
2014-1-12 24
2 1 2 1
2 2 2 2
2. 因为X Y ~ N ( 1 2 ,
所以 ( X Y ) ( 1 2 )
2
n1

2
n2
)
1 / n1 1 / n 2
~ N (0,1)
2 (n1 1) S12 ( n 1 ) S 2 2 2 2 ~ ( n 1 ), ~ (n2 1), 且它们独立。 1 2 2