第六章 样本及抽样分布.

样本及抽样分布§6.1 基本概念一、总体:在统计学中, 我们把所研究的全部元素组成的集合称作母体或总体, 总体中的每一个元素称为个体。

我们只研究感兴趣的某个或者几个指标(记为X)，因此把这些指标的分布称为总体的分布，记为X～F(x)。

二、样本:设总体X具有分布函数F(x),若X1, X2,…,Xn是具有分布函数F(x)的相互独立的随机向量，则称其为总体F（或总体X ）的简单随机样本, 简称样本,它们的观察值x1,x2, …, xn称为样本观察值, 又称为X 的n 个独立的观察值。

三、统计量:设X 1, X 2, …, X n 是来自总体X 的一个样本, g (X 1, X 2, …, X n )是一个与总体分布中未知参数无关的样本的连续函数，则称g (X 1,X 2,…,X n )为统计量。

统计量是样本的函数,它是一个随机变量，如果x 1, x 2, …, x n 是样本观察值, 则g (x 1, x 2, …, x n )是统计量g (X 1, X 2, …, X n )的一个观察值.四、 常用的统计量:, ,)(x 11s ,,x 1x 1. n12i2n1i 称为样本方差均值仍称为样本它们的观察值为∑∑==--==i i x n n .B ,,1,2,X A ,1k 2.22221S S nn B k ≈-====当样本容量很大时时当时当3.kkkk若总体X 的k 阶矩E(X )存在,则当n时, A .P注：ni i 111. X X ;n ==∑样本均值2n 2i i 112. S (X );n-1X ==-∑样本方差n kk i 113. k A X , k 1, 2,;n i ===∑样本阶原点矩nk i i 114. k B (X ) , k 2, 3,.n k X ==-=∑样本阶中心矩4.样本的联合分布：2) 若总体X 是离散型随机变量，其分布律为 p x =P (X=x ) , x=x 1,x 2,… 则样本X 1, X 2, …, X n 的联合分布:11112(,,)(),,;(1,2,,)nn n i i i i P X y X y P X y y x x i n =======∏其中12n *12i 13)(), ,X , (, ,)()n n i X f x X X f x x x f x ==∏若具有概率密度则的联合概率密度为12121211)(),,,,, ,,,:()()n n n*n i i X ~F x X X X F X X X F x , x ,x F x ==∏若为的一个样本则的联合分布函数为例1：X~U (0,θ),X 1, X 2, …, X n 是来自X 的样本，求（X 1, X 2, …, X n ）的联合密度函数。

第六章样本及抽样分布【基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念；2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算；3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论；4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。

【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布——2 分布，t分布，F分布；分位数的理解和计算。

【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。

【学时分配】4学时【授课内容】§6.0 前言前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。

它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。

所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象）。

其研究方法是归纳法（部分到整体）。

对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。

数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。

§6.1 随机样本一、总体与样本1.总体、个体在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。

例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。

但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X(可以是向量)和该数量指标X在总体的分布情况。

在上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。

在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。

第六章 样本及抽样分布1.[一] 在总体N （52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率。

解： 8293.0)78()712(}63.68.163.65263.62.1{}8.538.50{),363.6,52(~2=-Φ-Φ=<-<-=<<X P X P N X2.[二] 在总体N （12，4）中随机抽一容量为5的样本X 1，X 2，X 3，X 4，X 5. （1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。

（2）求概率P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}. （3）求概率P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>10}.解：（1）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=>-25541225415412}112{|X P X P X P =2628.0)]25(1[2=Φ-（2）P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}=1－P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≤15}=.2923.0)]21215([1}15{1551=-Φ-=≤-∏=i i X P （3）P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)<10}=1－ P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≥10}=.5785.0)]1([1)]21210(1[1}10{15551=Φ-=-Φ--=≥-∏=i i X P 4.[四] 设X 1，X 2…，X 10为N （0，0.32）的一个样本，求}.44.1{1012>∑=i i X P解：)5(1.0}163.0{}44.1{),10(~3.0101221012221012查表=>=>∑∑∑===i ii ii iX P XP χX7．设X 1，X 2，…，X n 是来自泊松分布π (λ )的一个样本，X ，S 2分别为样本均值和样本方差，求E (X ), D (X ), E (S 2).解：由X ~π (λ )知E (X )= λ ，λ=)(X D∴E (X )=E (X )= λ, D (X )=.)()(,)(2λX D S E nλnX D ===[六] 设总体X~b (1,p)，X 1，X 2，…，X n 是来自X 的样本。