最新-江苏省六合高级中学高二实验班期末复习----圆锥曲线锦集[整理]-人教版 精品

高二第二学期数学期末复习卷函数与导数一、单选题：1.下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）A . ()()()2,f x x g x x ==B . ()()()22,1f x x g x x ==+C . ()()2,f x x g x x == D . ()()0,11f x g x x x ==-+- 2.已知()f x '是函数()f x 的导函数，()sin 2(0)f x x xf '=+，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭' ( ) A . 12 B . 12- C . 2-D . 2 3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数， ()()12f x f x =-，当[]0,6x ∈时， ()()6log 1f x x =+，若()[]()10,2020f a a =∈，则a 的最大值是 （ ）A ．2018B ．2010C ．2020D ．20114. 已知函数()f x 是定义在[]1,2a a -上的偶函数,且当0x >时, ()f x 单调递增,则关于x 的不等式(1)()f x f a ->的解集为 （ ）A ．45[,)33B ．]35,34()32,31[⋃ C ．)32,31[]31,32(⋃-- D ．随a 的值而变化5．已知函数),(21)(2是常数c b c x b x x f ++=和x x x 141)( g +=定义在M =}41|≤≤x x ｛上的函数，对于任意的x M ∈，存在0x M ∈使得()()00(),()f x f x g x g x ≥≥，且00()()f x g x =，则)(x f 在集合M 上的最大值为 （ ） A ．72B ．5C ．6D ．8 6.已知直线y m =分别与函数1x y e+=和1y x =+交于A 、B 两点，则A 、B 之间的最短距离是（ ） A . 3ln 22- B . 1ln 22+ C . 3ln 22+ D . 5ln 22+ 7.已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()'22x f x f x e x -=-（e 是自然对数的底数），()01f =，若方程()f x k =有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 （ ）A ．(],0-∞B ．40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．[),e +∞ 8.已知函数()()21021(0)x x x f x e x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪++<⎩，若函数()()1y f f x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是 （ ）A ． (]11123e ⎛⎫+⋃ ⎪⎝⎭，，B ． (]1111233e e ⎛⎫⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，， C ． [)1111233e e ⎛⎫⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，， D ． (]21123e ⎛⎫+⋃ ⎪⎝⎭，， 二、多选题：9.如果函数()y f x =在区间D 上是减函数，而函数()f x y x =在区间D 上是增函数，那么称函数()y f x =是区间D 上的“缓减函数”，区间D 叫做“缓减区间”.若函数()21212f x x x =-+是区间D 上的“缓减函数”，则下列区间中为函数()f x 的“缓减区间”的是( )A .(,2⎤-∞-⎦B .0,2⎡⎤⎣⎦C .2,2⎡⎤⎣⎦D .1,3⎡⎤⎣⎦10.设函数()1{ 0R x Zf x x C Z ∈=∈，，， Z 是整数集．给出以下四个命题：①()()21f f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若12x x R ∀∈，，则()()()1212f x x f x f x +≤+；④()f x 是周期函数，且最小正周期是1．请写出所有正确命题的序号 ( )A . ①B . ②C .③D . ④11．定义一种运算⎩⎨⎧>≤=⊗ba b b a a b a ,,，令t x x x x f -⊗-+=)23()(2(t 为常数) ，且[]3,3-∈x ，则使函数)(x f 的最大值为3的t 的值是 （ ）A ．1-B ．3-C ．3D ．512.已知函数()3x f x e x =⋅，则以下结论正确的是 ( ) A . ()f x 在R 上单调递增 B . ()()125log 2ln f f e f π-⎛⎫<< ⎪⎝⎭C . 方程()1f x =-有实数解D . 存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解三、填空题：13.若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩ （0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是 ．14.已知函数()2()x f x x a e -=-图象过点(3,0)，若函数()f x 在(,1)m m +上是增函数，则实数m 的取值范围为 ．15.已知函数()131,02ln ,0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的最大值是____． 16．对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设()''f x 是函数()y f x =的导数()'y f x =的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答如下问题：若已知函数()3231324f x x x x =-+-，则()f x 的对称中心为 ；计算 ．四、解答题：17.已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(0)1f =，对任意x R ∈，都有1()x f x -≤，且()(1)f x f x =-． ⑴求函数()f x 的解析式； ⑵若[2,2]x ∃∈-，使方程()2()f x x f m +=成立，求实数m 的取值范围．18.已知函数1)(+=x x g ，31)(+=x x h ，],3(a x -∈，其中a 为常数且0>a ，令函数)()()(x h x g x f ⋅=．⑴求函数)(x f 的表达式，并求其定义域； ⑵当41=a 时，求函数)(x f 的值域．19. 已知函数()3lg 3ax f x x -=+，其中a 为常数． ⑴若函数()f x 为奇函数，求a 的值；⑵若函数()f x 在()2,5上有意义，求实数a 的取值范围．20.已知函数()ln (1)f x x x a x =--.⑴若1a =时，判断()f x 的单调性；⑵若(1,2)a ∈，求()f x 在[1,]e 上的最小值．21.某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为60cm的正方形纸板．如图所示，先在其中相邻两个角处各切去一个边长是xcm的正方形，然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为30cm、xcm的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．求包装盒的容积关于x的函数表达式，并求函数的定义域；当x为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？22.已知函数f(x)＝13ax3－12bx2＋x(a，b∈R)．(1)当a＝2，b＝3时，求函数f(x)极值；(2)设b＝a＋1，当0≤a≤1时，对任意x∈[0，2]，都有m≥|f′(x)|恒成立，求m的最小值．23.已知函数1()ln f x x a x x=-+． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：1212()()2-<--f x f x a x x ．24.设函数21()1ln 2f x ax x =--，其中a R ∈． ⑴若0a =，求过点(0,1)-且与曲线()y f x =相切的直线方程； ⑵若函数()f x 有两个零点1x ，2x ．① 求a 的取值范围；② 求证：12'()'()0f x f x +<．。

2．1圆_锥_曲_线[对应学生用书P18]椭圆的定义取一条定长的无弹性的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．问题1：若绳长等于两点F1、F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？提示：线段F1F2.问题2：若绳长L大于两点F1、F2的距离．移动笔尖(动点M)满足的几何条件是什么？提示：MF1＋MF2＝L.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．(1)焦点：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．(2)焦距：两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距.双曲线的定义2013年11月30日，中国海军第16批护航编队“盐城”导弹护卫舰，“洛阳”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“洛阳”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“洛阳”舰哨兵相距1 600 m的“盐城”舰，3 s后也监听到了马达声(声速340 m/s)，用A、B分别表示“洛阳”舰和“盐城”舰所在的位置，点M表示快艇的位置．问题1：“盐城”舰比“洛阳”舰距离快艇远多少米？提示：MB－MA＝340×3＝1 020(m)．问题2：把快艇作为一个动点，它的轨迹是双曲线吗？提示：不是．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．(1)焦点：两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点．(2)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.抛物线的定义如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线．问题2：DA是点D到直线EF的距离吗？为什么？提示：是．AB是Rt△的一条直角边．问题3：点D在移动过程中，满足什么条件？提示：DA＝DC.1．一般地，平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．圆锥曲线定义用集合语言可描述为：(1)椭圆P＝{M|MF1＋MF2＝2a,2a>F1F2}；(2)双曲线P＝{M||MF1－MF2|＝2a,2a<F1F2}；(3)抛物线P＝{M|MF＝d，d为M到直线l的距离}．2．在椭圆定义中，当2a＝F1F2时，M的轨迹为线段F1F2，在双曲线定义中，当2a＝F1F2时，M的轨迹为两条射线．3．过抛物线焦点向准线作垂线，垂足为N，则FN的中点为抛物线顶点，FN所在直线为抛物线对称轴．4．对于椭圆、双曲线，两焦点的中点是它们的对称中心，两焦点所在直线及线段F1F2的垂直平分线是它们的对称轴．[对应学生用书P19]圆锥曲线定义的理解[例1]平面内动点M到两点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之和为3m，问m取何值时M的轨迹是椭圆？[思路点拨]若M的轨迹是椭圆，则MF1＋MF2为常数，但要注意这个常数大于F1F2.[精解详析]∵MF1＋MF2＝3m，∴M到两定点的距离之和为常数，当3m大于F1F2时，由椭圆定义知，M的轨迹为椭圆，∴3m>F1F2＝(3＋3)2＋(0－0)2＝6，∴m>2，∴当m>2时，M的轨迹是椭圆．[一点通]深刻理解圆锥曲线的定义是解决此类问题的前提，一定要注意定义中的约束条件：(1)在椭圆中，和为定值且大于F1F2；(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于F1F2；(3)在抛物线中，点F不在定直线上．1．命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和P A＋PB＝2a(a＞0，a为常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．解析：若P点轨迹是椭圆，则P A＋PB＝2a(a＞0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若P A＋PB＝2a(a＞0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a＞AB时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝AB时，P点轨迹是线段AB；当2a ＜AB 时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要而不充分条件． 答案：必要不充分2．动点P 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)构成的三角形的周长是10，则点P 的轨迹是________．解析：由题意知：P A ＋PB ＋AB ＝10，又AB ＝4， ∴P A ＋PB ＝6>4.∴点P 的轨迹是椭圆． 答案：椭圆圆锥曲线的应用[例2] 设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任一点，从某一焦点引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足是P ，那么点P 的轨迹是什么曲线？[思路点拨] 利用双曲线的定义，结合平面图形的性质判断． [精解详析] 如图所示，点Q 在双曲线的右支上，有QF 1－QF 2＝2a .①延长F 1P 、QF 2交于L .∵∠F 1QP ＝∠LQP ，QP ⊥F 1P ， ∴F 1Q ＝QL ，代入①， 则QL －QF 2＝2a ，即F 2L ＝2a .取线段F 1F 2中点O ，则由P 是F 1L 中点有 PO ＝12F 2L ＝12·2a ＝a .∴P 的轨迹是以O 为圆心，以a 为半径的圆．[一点通] 当点在圆锥曲线上时，点一定满足圆锥曲线的定义，如本题中，点Q 在双曲线上，则有QF 1－QF 2＝2a ，这是定义的要求．另外利用平面图形的性质解题是解析几何中很常见的解题思想．3．平面内到两定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的和为3的点的轨迹是________． 解析：F 1F 2＝2＜3，∴点P 的轨迹是椭圆． 答案：椭圆4．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，试判断动圆圆心M 的轨迹．解：设圆M的半径为r，由题意，得MC1＝1＋r，MC2＝3＋r.∵MC2－MC1＝2<C1C2，∴圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的左支．5．已知定点P(0,3)和定直线l：y＋3＝0，动圆M过P点且与直线l相切．求证：圆心M的轨迹是一条抛物线．解：∵直线y＋3＝0与圆相切，∴圆心M到直线y＋3＝0的距离为圆的半径r.又圆过点P(0,3)，∴r＝MP，∴动点M到点P(0,3)的距离等于到定直线y＋3＝0的距离，∴动点M的轨迹是以点P(0,3)为焦点，以直线y＋3＝0为准线的抛物线．椭圆定义中常数为动点到两焦点的距离之和，由三角形中两边之和大于第三边知，应要求常数大于焦距．双曲线定义中常数为动点到两焦点的距离之差的绝对值，由三角形中两边之差小于第三边知，应要求常数小于焦距．[对应课时跟踪训练(七)]1．平面内到一定点F和到一定直线l(F在l上)的距离相等的点的轨迹是______________．答案：过点F且垂直于l的直线2．设F1、F2为定点，PF1－PF2＝5，F1F2＝8，则动点P的轨迹是________．解析：∵5＜8，满足双曲线的定义，∴轨迹是双曲线．答案：双曲线3．以F1、F2为焦点作椭圆，椭圆上一点P1到F1、F2的距离之和为10，椭圆上另一点P2满足P2F1＝P2F2，则P2F1＝________.解析：∵P2在椭圆上，∴P2F1＋P2F2＝10，又∵P2F1＝P2F2，∴P2F1＝5.答案：54．平面内动点P到两定点F1(－2,0)，F2(2,0)的距离之差为m，若动点P的轨迹是双曲线，则m 的取值范围是________．解析：由题意可知，|m |＜4，且m ≠0，∴－4<m <4，且m ≠0. 答案：(－4,0)∪(0,4)5．已知椭圆上一点P 到两焦点F 1、F 2的距离之和为20，则PF 1·PF 2的最大值为________． 解析：∵PF 1＋PF 2＝20，∴PF 1·PF 2≤(PF 1＋PF 22)2＝(202)2＝100.答案：1006．已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，过F 作直线与抛物线相交于A 、B 两点，试判断以AB 为直径的圆与l 的位置关系．解： 如图，取AB 的中点O 2，过A 、B 、O 2分别作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，O 2O 1⊥l ，根据抛物线的定义，知AA 1＝AF ，BB 1＝BF ，∴O 2O 1＝AA 1＋BB 12＝AF ＋BF 2＝AB2＝R (R 为圆的半径)，∴以AB 为直径的圆与l 相切．7．动点P (x ，y )的坐标满足(x －2)2＋y 2＋(x ＋2)2＋y 2＝8.试确定点P 的轨迹． 解：设A (2,0)，B (－2,0)， 则(x －2)2＋y 2表示P A ，(x ＋2)2＋y 2表示PB ，又AB ＝4， ∴P A ＋PB ＝8＞4，∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆．8．在相距1 600 m 的两个哨所A ，B ，听远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速是340 m/s ，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所听到时间早3 s ．试判断爆炸点在怎样的曲线上？解：由题意可知点P 离B 比离A 远， 且PB －P A ＝340×3＝1 020 m ，而AB ＝1 600 m ＞1 020 m ，满足双曲线的定义，∴爆炸点应在以A ，B 为焦点的双曲线的靠近A 的一支上．。

高二数学圆锥曲线练习一、选择题：1．已知动点M 的坐标满足方程|12512|x y =+-，则动点M 的轨迹是（ ） A. 抛物线B.双曲线C. 椭圆D.以上都不对2．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ ）A. 1或5B. 1或9C. 1D. 93、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）.A.B. C. 2 D. 1-4．过点(2,-1)引直线与抛物线2x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条 A. 1 B.2C. 3D.45．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(y y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x7、无论θ为何值，方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（ ） A. 双曲线B.抛物线C. 椭圆D.以上都不对8．方程02=+ny mx 与)02>+mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（A B C D9．抛物线2y x =上的点到直线24x y -=的最短距离是A5 B 5 C 5 D 2010.椭圆22221x y a b+=，12A A 为长轴，12B B 为短轴，F 为靠近1A 点的焦点，若211B F A B ^，则椭圆的离心率为C 12D 2二、填空题1．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-by a x 的离心率为_________2 抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为________________3．圆的方程是(x －cos θ)2+(y －sin θ)2= 12 ,当θ从0变化到2π时，动圆所扫过的面积是______4．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 _______________5．椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的 ________倍6．以原点为圆心，且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是__________7．如果实数x 、y 满足等式3)2(22=+-y x ，则xy最大值_________8．已知x,y 满足||111x y x -<⎧⎨-<<⎩，求z=|3x-y-7|的值域为_________9．过双曲线x 2－22y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有_________条 10．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为__________11．椭圆的焦点是F 1（－3，0）F 2（3，0），P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为_______________．12．若直线03=-+ny mx 与圆322=+y x 没有公共点，则n m ,满足的关系式为 ．以（),n m 为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有 个.13．设点P 是双曲线1322=-y x 上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是____________．14．AB 是抛物线y =x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 .三、解答题15.求与双曲线141622=-y x 共焦点，且过点)2,23(的双曲线方程。

圆锥曲线定义的应用要的解题策略．如：(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．已知A(4,0)，B(2,2)，M是椭圆9x2＋25y2＝225上的动点，求MA＋MB 的最大值与最小值．【思路点拨】A(4,0)为椭圆的右焦点，B为椭圆内一点，画出图形，数形结合，并且利用椭圆定义转化．【规范解答】如图所示，由题意，知点A(4,0)恰为椭圆的右焦点，则A关于O的对称点为A1(－4,0)(左焦点)．由椭圆的定义，得MA＋MA1＝2a，∴MA＝2a－MA1，∴MA＋MB＝(2a－MA1)＋MB＝2a＋(MB－MA1)．∵|MB －MA 1|≤A 1B ＝210，即－210≤MB －MA 1≤210，又2a ＝10，∴MA ＋MB 的最大值是10＋210，最小值为10－210.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且AK ＝2AF ，求△AFK 的面积．【解】 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)，设A (x 0，y 0)，如图，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)， ∵AK ＝2AF ，又AF ＝AB ＝x 0－(－2)＝x 0＋2，∴由BK 2＝AK 2－AB 2得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4. ∴△AFK 的面积为12KF ·|y 0|＝12×4×4＝8.圆锥曲线的标准方程和几何性质圆锥曲线的方程，重在考查基础知识、基本思想方法，属容易题，其中对离心率的考查是重点．(2013·浙江高考改编)如图2－1，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．图2－1【思路点拨】由椭圆可求出|AF1|＋|AF2|，由矩形求出|AF1|2＋|AF2|2，再求出|AF2|－|AF1|即可求出双曲线方程中的a，进而求得双曲线的离心率．【解析】由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2 3.因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝22，因此对于双曲线有a＝2，c＝3，所以C2的离心率e＝ca ＝62.【答案】6 2已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为________．【解析】由题意知双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±ba x，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．由双曲线的两条渐近线均与圆C相切可知直线bx－ay＝0与圆C相切，∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2. ①又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.【答案】 x 25－y 24＝1直线与圆锥曲线章最常见，同时也是最重要的综合问题，它主要分为交点个数、弦长、中点、垂直、对称、定值、最值、范围等问题，解决这些问题的方法是：(1)利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式；(2)利用设而不求、整体代入，包括点差法；(3)解方程组，求出交点坐标；(4)利用定义．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 【思路点拨】联立、消元→一元二次方程→Δ判别式→m 的范围→韦达定理→弦长公式→求函数最值【规范解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m .得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0， 解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)．所以d ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2[4m 225－45(m 2－1)] ＝2510－8m 2，所以当m ＝0时，d 最大，此时直线方程为y ＝x .圆C 1的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆C 2的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其离心率为22，若C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰好为圆C 1的直径，求线段AB 的方程和椭圆C 2的方程．【解】 由e ＝22，得a 2＝2c 2＝2b 2， ∴椭圆C 2的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由圆心(2,1)， 得x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又∵x 212b 2＋y 21b 2＝1，x 222b 2＋y 22b2＝1，相减整理，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 从而y 2－y 1x 2－x 1＝－1，∴直线方程为y －1＝－(x －2)，即y ＝－x ＋3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3x 22b 2＋y 2b 2＝1⇒3x 2－12x ＋18－2b 2＝0. ∵直线AB 与椭圆相交． ∴Δ>0，即b 2>3. 由AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×42－4×18－2b 23＝2203，得b 2＝8.∴a 2＝16.∴椭圆方程为x 216＋y 28＝1.动点轨迹方程的求法满足已知曲线的定义，若符合，就可直接利用已知的曲线方程比较简捷；若动点所满足的条件比较明了、简单，我们就使用直接法；若动点所满足的条件不明了，但与之相关的另一个点所满足的条件明了，我们就使用代入转移法；若动点的坐标之间没有什么直接关系，就需要引入参数，使用参数法．设圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C ，过原点作圆的弦OA ，求OA 中点B的轨迹方程．【思路点拨】 画出图形，分别利用直接法，定义法，代入法，交轨法(参数法)求解．【规范解答】 法一 (直接法)设B 点坐标为(x ，y )， 由题意，得OB 2＋BC 2＝OC 2，如图所示，即x 2＋y 2＋[(x －1)2＋y 2]＝1，即OA 中点B 的轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法二 (定义法)设B 点坐标为(x ，y )， 由题意知CB ⊥OA ，OC 的中点记为M (12，0)，则MB ＝12OC ＝12，故B 点的轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法三 (代入法)设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为(x 1－1)2＋y 21＝1，所以(2x －1)2＋(2y )2＝1.即(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法四 (交轨法)设直线OA 的方程为y ＝kx ，当k ＝0时，B 为(1,0)；当k ≠0时，直线BC 的方程为y ＝－1k(x －1)，直线OA ，BC 的方程联立消去k 即得其交点轨迹方程：y 2＋x (x －1)＝0，即(x －12)2＋y 2＝14(x ≠0,1)， 显然B (1,0)满足(x －12)2＋y 2＝14，故(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)为所求．已知点H (－3,0)，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP ⊥PM ，PM →＝－32MQ →.当点P 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．【解】 设M (x ，y )，P (0，b )，Q (a,0)，其中a >0， 则PM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )． ∵PM →＝－32MQ →，即(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )．∴y －b ＝－32(－y )，b ＝－y2.∴PH →＝(－3，y 2)，PM →＝(x ，32y )．∵PH ⊥PM ，∴PH →·PM →＝0，即－3x ＋y 2·3y2＝0，整理得y 2＝4x ，∴动点M 的轨迹方程为y 2＝4x .函数与方程思想入手，通过联想与类比，将题目的条件转化为方程或方程组，然后通过方程或方程组从而使问题获解．本章中函数与方程思想应用广泛，尤其是方程思想，在讨论直线与圆锥曲线问题时，应用广泛．点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【思路点拨】 (1)由PA ⊥PF 得P 点的轨迹方程，与椭圆方程联立，求P 点的坐标． (2)由M 到直线AP 的距离等于MB 求出M 点坐标，将距离d 表示成关于椭圆上点的横坐标的函数，转化为函数最值．【规范解答】 (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)．设点P (x ，y )，则k AP ·k PF ＝－1.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，y x ＋6·yx －4＝－1.则2x 2＋9x －18＝0.解得x ＝32，或x ＝－6(舍去)．所以x ＝32，由于y ＞0，故y ＝532.所以点P 的坐标是(32，532)．(2)易知直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M (m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2.于是|m ＋6|2＝|m －6|.又－6≤m ≤6，解得m ＝2.椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离的平方为： d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15. 由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取得最小值15.图2－2如图2－2所示，已知正方形ABCD 的两个顶点A ，B 在抛物线y 2＝x 上，C ，D 在直线l ：y ＝x ＋4上，求正方形的面积．【解】 法一 设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，正方形的边长为d ，则D (y 22－2d ，y 2)，C (y 21，2d ＋y 1)，C ，D 在直线l 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝y 22－2d ＋4，①y 1＋2d ＝y 21＋4，②(y 21－y 22)2＋(y 1－y 2)2＝d 2，③由①②可知y 1，y 2都是t 2－t ＋4－2d ＝0的实数根， 所以y 1＋y 2＝1，y 1·y 2＝4－2d .∴y 1－y 2＝y 21－y 22，④将④代入③，得(y 1－y 2)2＝12d 2，所以(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12d 2即1－4(4－2d )＝12d 2，所以d 2－82d ＋30＝0，(d －32)(d －52)＝0， 解得d 2＝18或d 2＝50.从而正方形ABCD 的面积为18或50. 法二 设正方形ABCD 的边长为d ， 则直线AB 的方程为y ＝x ＋4－2d ，所以有方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4－2d ，y 2＝x ，消去x ，得y 2－y ＋4－2d ＝0， 弦长AB ＝(1＋1)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝2(1－16＋42d )＝82d －30，令82d －30＝d ，则d 2－82d ＋30＝0，以下同解法一． 综合检测(二)第2章 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．(2013·大连高二检测)双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程是________．【解析】 由题意知双曲线焦点在x 轴上a ＝3，b ＝2， ∴渐近线方程y ＝±23x .【答案】 y ＝±23x2．已知抛物线C 与椭圆x 25＋y 24＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的标准方程是________．【解析】 ∵抛物线的焦点为(±1,0)，∴抛物线的方程为y 2＝±4x . 【答案】 y 2＝±4x3．(2013·合肥高二检测)方程x 2(a －1)2＋y 2a 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是________．【解析】 (a －1)2>a 2，a 2－2a ＋1>a 2，a <12，又∵(a －1)2≠0，a 2≠0， ∴a ∈(－∞，0)∪(0，12)．【答案】 (－∞，0)∪(0，12)4．以x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．【解析】 对于双曲线：a 1＝2，c 1＝4，∴对于椭圆：a 2＝4，c 2＝2，∴椭圆方程为：x 216＋y 212＝1.【答案】 x 216＋y 212＝15．过已知点P (3,0)且与抛物线x 2＝4y 只有一个公共点的直线有________条． 【解析】 数形结合知：有两条切线，一条对称轴的平行线．【答案】 36．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点坐标为(0,4)，则实数k 的值为________． 【解析】 椭圆方程可化为：x 212k ＋y 21k ＝1(k ＞0)．∴c 2＝1k －12k ＝16，∴k ＝132.【答案】1327．(2013·广东高考改编)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是________．【解析】 右焦点为F (3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为ca ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y 25＝1.【答案】 x 24－y 25＝18．下列双曲线中离心率为62的是________．①x22－y24＝1；②x24－y22＝1；③x24－y26＝1；④x24－y210＝1.【解析】由e＝62得c2a2＝32，即1＋b2a2＝32，b2a2＝12，则只有②正确．【答案】②9．(2012·全国新课标改编)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，AB＝43，则C的实轴长为________．【解析】设等轴双曲线方程为x2－y2＝m(m>0)，抛物线的准线为x＝－4，由AB＝43，则|y A|＝23，把坐标(－4,23)代入双曲线方程得m＝x2－y2＝16－12＝4，所以双曲线方程为x2－y2＝4，即x24－y24＝1，所以a2＝4，a＝2，所以实轴长2a＝4.【答案】 4图110．(2012·福建高考改编)如图1，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上，则抛物线E的方程为________．【解析】依题意知，OB＝83，∠BOy＝30°.设B(x，y)，则x＝OB sin 30°＝43，y＝OB cos 30°＝12.因为点B(43，12)在抛物线E：x2＝2py(p>0)上，所以(43)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.【答案】x2＝4y11．(2013·苏锡常镇四市检测)如图2，已知椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆的离心率等于________．图2【解析】 由BC ，OA 平行且相等及椭圆的对称性，可得点C 的横坐标为a2.由∠COx ＝∠OAB ＝30°，得C (a 2，3a 6)，代入椭圆的方程得14＋a 212b 2＝1，即a 2＝9b 2，则c 2＝a 2－b 2＝8b 2，故椭圆的离心率e ＝ca＝c 2a 2＝8b 29b 2＝223. 【答案】232 12．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________．【解析】 由抛物线定义知：点P 的轨迹是以(－2,0)为焦点，直线x ＝2为准线的抛物线，故点P 的轨迹方程是y 2＝－8x . 【答案】 y 2＝－8x13．(2013·安徽高考)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．【解析】 设C (x ，x 2)，由题意可取A (－a ，a )，B (a ，a )， 则CA →＝(－a －x ，a －x 2)，CB →＝(a －x ，a －x 2)，由于∠ACB ＝π2，所以CA →·CB →＝(－a －x )(a －x )＋(a －x 2)2＝0，整理得x 4＋(1－2a )x 2＋a 2－a ＝0， 即y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－(1－2a )≥0，a 2－a ≥0，(1－2a )2－4(a 2－a )＞0，解得a ≥1.【答案】 [1，＋∞)14．老师在黑板上画出了一条曲线，让四名同学各回答一条性质，他们回答如下： 甲：曲线的对称轴为坐标轴；乙：曲线过点(0,1)； 丙：曲线一个焦点为(3,0)；丁：曲线的一个顶点为(2,0)．其中有一名同学回答是错误的，请写出该曲线的方程________．(只需写出一个方程即可)【解析】 当乙错时，则曲线可以为双曲线，c ＝3，a ＝2，∴b 2＝9－4＝5，方程为x 24－y 25＝1. 当丙错误时，曲线可以为椭圆，其中a ＝2，b ＝1，方程为x 24＋y 2＝1.当丁错误时，曲线可以为椭圆，其中c ＝3，b ＝1， ∴a 2＝c 2＋b 2＝10， 方程为x 210＋y 2＝1.【答案】 x 210＋y 2＝1或x 24＋y 2＝1或x 24－y 25＝1(只需写出一个方程即可)二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)(2013·西安高二检测)若椭圆经过M (－2，3)和N (1,23)，求椭圆的标准方程．【解】 设所求的椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )， 因为椭圆过M (－2，3)，N (1,23)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋3n ＝1m ＋12n ＝1，得⎩⎨⎧m ＝15n ＝115.所求椭圆方程为x 25＋y 215＝1.16．(本小题满分14分)(2012·安徽高考)如图3，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．图3【解】 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一 a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )， 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B (85c ，－335c )，所以S △AF 1B ＝12|F 1F 2|(y A －y B )＝835c 2＝403，∴c ＝5，故a ＝10，b ＝5 3.法二 设AB ＝t .因为AF 2＝a ，所以BF 2＝t －a . 由椭圆定义BF 1＋BF 2＝2a 可知，BF 1＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.17．(本小题满分14分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P (32，6)，求抛物线的方程和双曲线的方程．【解】 依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)， ∵点P (32，6)在抛物线上，∴6＝2p ×32，解得2p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，则a 2＋b 2＝1，又点P (32，6)在双曲线上，∴94a 2－6b2＝1， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1，得⎩⎨⎧a 2＝14b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去).∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.18．(本小题满分16分)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 【解】 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)，所以c ＝1.将点P (0,1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b 2＝1，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0， 整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2.所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 19．(本小题满分16分)设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32.已知点P (0，32)到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．【解】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M (x ，y )为椭圆上的点，由c a ＝32得a ＝2b .∴PM 2＝x 2＋(y －32)2＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3(－b ≤y ≤b )，若b <12，则当y ＝－b 时，PM 2最大，即(b ＋32)2＝7，则b ＝7－32>12，故舍去．若b ≥12时，则当y ＝－12时，PM 2最大，即4b 2＋3＝7，解得b 2＝1.∴所求方程为x 24＋y 2＝1.20．(本小题满分16分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点， (1)若以AB 线段为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；(2)是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线y ＝12x 对称？说明理由．【解】 (1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－y 2＝1y ＝ax ＋1，消去y 得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2x 1x 2＝－23－a2Δ＝(－2a )2＋8(3－a 2)>0由于以AB 线段为直径的圆经过原点，那么：OA →⊥OB →， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0. 所以x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，得到(a 2＋1)×－23－a2＋a ×2a3－a2＋1＝0，a 2<6，解得a ＝±1.(2)假定存在这样的a ，使A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝12x 对称．那么⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝13x 22－y 22＝1，两式相减得3(x 21－x 22)＝y 21－y 22，从而y 1－y 2x 1－x 2＝3(x 1＋x 2)y 1＋y 2.(*) 因为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝12x 对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 22＝12×x 1＋x 22y 1－y2x 1－x 2＝－2代入(*)式得到：－2＝6，矛盾．也就是说不存在这样的a ，使A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝12x 对称．。

第二章圆锥曲线与方程章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．例1已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是一次的．例2如图所示，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．(1)求x1x2与y1y2的值；(2)求证：OM⊥ON.知识点三轨迹问题轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．例3设点A、B是抛物线y2＝4px (p>0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四 圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．例4 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 24＋y23＝1相交于A 、B 两点(A 、B 不是左、右顶点)，A 2为椭圆的右顶点且AA 2⊥BA 2，求证：直线l 过定点．知识点五 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略： (1)平面几何法平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解． (2)目标函数法建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．例5 已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x 225＋y29＝1内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求MA ＋MB 的最值．例6 已知F 1、F 2为椭圆x 2＋y22＝1的上、下两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，求△ABF 2面积的最大值．章末总结重点解读 例1 解如图所示，设双曲线方程为x 2a2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)． ∵e ＝c a＝2，∴c ＝2a .由双曲线的定义，得|PF 1－PF 2|＝2a ＝c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2(1－cos 60°)，即4c 2＝c 2＋PF 1·PF 2.① 又S △PF 1F 2＝123， ∴12PF 1·PF 2sin 60°＝123， 即PF 1·PF 2＝48.②由①②，得c 2＝16，c ＝4，则a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12，∴所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1.例2 (1)解 过点P (2,0)且斜率为k 的直线方程为：y ＝k (x －2)．把y ＝k (x －2)代入y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2－(4k 2＋2)x ＋4k 2＝0， 由于直线与抛物线交于不同两点，故k 2≠0且Δ＝(4k 2＋2)2－16k 4＝16k 2＋4>0，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4＋2k2，∵M 、N 两点在抛物线上， ∴y 21·y 22＝4x 1·x 2＝16， 而y 1·y 2<0，∴y 1y 2＝－4.（2）证明 ∵OM → (x 1，y 1)，ON →＝(x 2，y 2)， ∴OM →·ON →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝4－4＝0.∴OM →⊥ON →，即OM ⊥ON .例3 解 设直线OA 的方程为y ＝kx (k ≠±1，因为当k ＝±1时，直线AB 的斜率不存在)，则直线OB 的方程为y ＝－x k， 进而可求A ⎝⎛⎭⎪⎫4p k 2，4p k 、B (4pk 2，－4pk )． 于是直线AB 的斜率为k AB ＝k1－k2，从而k OM ＝k 2－1k，∴直线OM 的方程为y ＝k 2－1k x ，①直线AB 的方程为y ＋4pk ＝－k k 2－1(x －4pk 2)．②将①②相乘，得y 2＋4pky ＝－x (x －4pk 2)，即x 2＋y 2＝－4pky ＋4pk 2x ＝4p (k 2x －ky )，③又k 2x －ky ＝x ，代入③式并化简，得(x －2p )2＋y 2＝4p 2.当k ＝±1时，易求得直线AB 的方程为x ＝4p .故此时点M 的坐标为(4p,0)，也在(x －2p )2＋y 2＝4p 2(x ≠0)上．∴点M 的轨迹方程为(x －2p )2＋y 2＝4p 2(x ≠0)，∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p 的圆，去掉坐标原点．例4证明 设A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64m 2k 2－＋4k2m 2－，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝m 2－3＋4k2.即⎩⎪⎨⎪⎧3＋4k 2－m 2>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝m 2－3＋4k2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m2－4k2 3＋4k2.∵椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2⊥BA2，∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.∴m2－4k23＋4k2＋m2－3＋4k2＋16mk3＋4k2＋4＝0.∴7m2＋16km＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－2k7，且均满足3＋4k2－m2>0.当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－2k7时，l的方程为y＝k⎝⎛⎭⎪⎫x－27，直线过定点⎝⎛⎭⎪⎫27，0，∴直线l过定点．例5解因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则A′(－4,0)，由椭圆定义知MA＋MA′＝10.如图所示，则MA＋MB＝MA＋MA′＋MB－MA′＝10＋MB－MA′≤10＋A′B. 当点M在BA′的延长线上时取等号．所以当M为射线BA′与椭圆的交点时，(MA＋MB)max＝10＋A′B＝10＋210.又如图所示，MA＋MB＝MA＋MA′－MA′＋MB＝10－(MA′－MB)≥10－A′B，当M在A′B的延长线上时取等号．所以当M为射线A′B与椭圆的交点时，(MA＋MB)min＝10－A′B＝10－210.例6解由题意，F1F2＝2.设直线AB方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程2x2＋y2＝2，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，则x A＋x B＝－2kk2＋2，x A·x B＝－1k2＋2，∴|x A－x B|＝k2＋k2＋2.S△ABF2＝12F1F2·|x A－x B|＝22×k2＋1k2＋2＝22×1k2＋1＋1k2＋1≤22×12＝ 2.当k2＋1＝1k2＋1，即k＝0时，S△ABF2有最大面积为 2.章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．例1已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是一次的．例2如图所示，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．(1)求x1x2与y1y2的值；(2)求证：OM⊥ON.知识点三轨迹问题轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．例3设点A、B是抛物线y2＝4px (p>0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四 圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．例4 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 24＋y23＝1相交于A 、B 两点(A 、B 不是左、右顶点)，A 2为椭圆的右顶点且AA 2⊥BA 2，求证：直线l 过定点．知识点五 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略： (1)平面几何法平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解． (2)目标函数法建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．例5 已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x 225＋y29＝1内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求MA ＋MB 的最值．例6 已知F 1、F 2为椭圆x 2＋y22＝1的上、下两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，求△ABF 2面积的最大值．章末总结重点解读 例1 解如图所示，设双曲线方程为x 2a2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)． ∵e ＝c a＝2，∴c ＝2a .由双曲线的定义，得|PF 1－PF 2|＝2a ＝c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2(1－cos 60°)，即4c 2＝c 2＋PF 1·PF 2.① 又S △PF 1F 2＝123， ∴12PF 1·PF 2sin 60°＝123， 即PF 1·PF 2＝48.②由①②，得c 2＝16，c ＝4，则a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12，∴所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1.例2 (1)解 过点P (2,0)且斜率为k 的直线方程为：y ＝k (x －2)．把y ＝k (x －2)代入y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2－(4k 2＋2)x ＋4k 2＝0， 由于直线与抛物线交于不同两点，故k 2≠0且Δ＝(4k 2＋2)2－16k 4＝16k 2＋4>0，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4＋2k2，∵M 、N 两点在抛物线上，∴y 21·y 22＝4x 1·x 2＝16，而y 1·y 2<0，∴y 1y 2＝－4.（2）证明 ∵OM → (x 1，y 1)，ON →＝(x 2，y 2)，∴OM →·ON →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝4－4＝0.∴OM →⊥ON →，即OM ⊥ON .例3 解 设直线OA 的方程为y ＝kx (k ≠±1，因为当k ＝±1时，直线AB 的斜率不存在)，则直线OB 的方程为y ＝－x k ，进而可求A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4pk 2，4p k 、B (4pk 2，－4pk )．于是直线AB 的斜率为k AB ＝k1－k 2，从而k OM ＝k 2－1k ，∴直线OM 的方程为y ＝k 2－1k x ，①直线AB 的方程为y ＋4pk ＝－k k 2－1(x －4pk 2)．②将①②相乘，得y 2＋4pky ＝－x (x －4pk 2)，即x 2＋y 2＝－4pky ＋4pk 2x ＝4p (k 2x －ky )，③又k 2x －ky ＝x ，代入③式并化简，得(x －2p )2＋y 2＝4p 2.当k ＝±1时，易求得直线AB 的方程为x ＝4p .故此时点M 的坐标为(4p,0)，也在(x －2p )2＋y 2＝4p 2 (x ≠0)上．∴点M 的轨迹方程为(x －2p )2＋y 2＝4p 2 (x ≠0)，∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p 的圆，去掉坐标原点．例4证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝64m 2k 2－＋4k 2m 2－，x 1＋x 2＝－8mk3＋4k 2，x 1x 2＝m 2－3＋4k 2.即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋4k 2－m 2>0，x 1＋x 2＝－8mk3＋4k 2，x 1x 2＝m 2－3＋4k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 23＋4k 2.∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2，∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0.∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0. ∴m 2－4k 23＋4k 2＋m 2－3＋4k 2＋16mk3＋4k 2＋4＝0.∴7m 2＋16km ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且均满足3＋4k 2－m 2>0.当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，∴直线l 过定点．例5 解 因为A (4,0)是椭圆的右焦点，设A ′为椭圆的左焦点，则A ′(－4,0)，由椭圆定义知MA ＋MA ′＝10.如图所示，则MA ＋MB ＝MA ＋MA ′＋MB －MA ′＝10＋MB －MA ′≤10＋A ′B . 当点M 在BA ′的延长线上时取等号．所以当M 为射线BA ′与椭圆的交点时，(MA ＋MB )max ＝10＋A ′B ＝10＋210.又如图所示，MA ＋MB ＝MA ＋MA ′－MA ′＋MB＝10－(MA ′－MB )≥10－A ′B ，当M 在A ′B 的延长线上时取等号．所以当M 为射线A ′B 与椭圆的交点时，(MA ＋MB )min ＝10－A ′B ＝10－210.例6 解 由题意，F 1F 2＝2.设直线AB 方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程2x 2＋y 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x A ＋x B ＝－2kk 2＋2，x A ·x B ＝－1k 2＋2，∴|x A －x B |＝k 2＋k 2＋2.S △ABF 2＝12F 1F 2·|x A －x B |＝22×k 2＋1k 2＋2 ＝22×1k 2＋1＋1k 2＋1≤22×12＝ 2.当k 2＋1＝1k 2＋1，即k ＝0时，S △ABF 2有最大面积为 2.。

苏教版高中数学选修1-12.7圆锥曲线复习（1）年级高二学科数学选修1-1/2-1总课题圆锥曲线总课时第课时分课题圆锥曲线复习分课时第1课时主备人梁靓审核人朱兵上课时间预习导读学习目标1．回顾与梳理圆锥曲线旧有知识体系，形成完整的知识结构；2．掌握圆锥曲线的定义、性质和常用题型，并能熟练应用于综合类题型；3．进一步提高、提升解决应用类问题和运用解析思想的能力。

一、预习检查1．命题“≤”的否定是．2．双曲线上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O是坐标原点，则ON的长为．3．已知以椭圆C的两个焦点及短轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则椭圆C的离心率为．4．中心在原点，一个焦点为（3，0），一条渐近线方程为2x-3y=0的双曲线方程是．5．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1,y1）、B（x2,y2）两点，若=6，则弦的长为．6．电影放映机上的聚光灯泡的反射镜的轴截面是椭圆的一部分（如右图），灯丝在焦点F2处，而且灯丝与反光镜的顶点A的距离F2A=1.5cm，椭圆的通径BC=5.4cm，为了使电影机的片门F1（椭圆的另一焦点）获得最强的光线，灯泡应安在距片门cm的地方．二、问题探究1．回顾本章知识点，梳理成体系：2．回顾本章题型，总结基本方法：例1．抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆:的一个焦点，并与椭圆的长轴垂直，已知抛物线与椭圆的一个交点为.（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）若双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求双曲线方程．例2．如图，过抛物线：的焦点的直线与该抛物线交于、两点，若以线段为直径的圆与该抛物线的准线切于点．（1）求抛物线的方程；（2）求圆的方程．例3．已知点在椭圆上,以为圆心的圆与轴相切于椭圆的右焦点.（1）若圆与轴相切,求椭圆的离心率；（2）若圆与轴相交于两点,且是边长为2的正三角形，求椭圆的方程.三、思维训练：1．焦点在直线x－2y－4=0上的抛物线的标准方程是．2．已知双曲线的左右焦点为，点在该双曲线上，若是一个直角三角形的三个顶点，则点到的距离为．3．已知抛物线的焦点恰好是椭圆（＞＞0）的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点，则该椭圆的离心率为．．4．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为非零常数，则动点P的轨迹为双曲线；②P是抛物线x2＝－4y上的动点，A的坐标为(12,－6)，F为焦点，则PA＋PF的最小值是13；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线有相同的焦点．其中真命题的序号为___________．四、课后巩固1．设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率2．给出下列命题：①“＞2”是“≥2”的必要不充分条件；②“若，则”的逆否命题是假命题；③“9＜＜15”是“方程表示椭圆”的充要条件．其中真命题的个数是个.3．已知命题：≤，命题：≤，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为．4．椭圆，右焦点F（c,0），方程的两个根分别为x1,x2，则点P（x1,x2）与圆的位置关系是．5．已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）；（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。

学习必备 欢迎下载高二期末复习圆锥曲线一．轨迹方程1. 到直线 x y 0, 与 2x y 0 的距离相等的点的轨迹方程为 .2. 已知点 M ( 2,0), N(2,0), 以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为.3. 已知等腰三角形 ABC 的顶点 A （ 4,2 ），底角顶点 B （ -3,5），则点 C 的轨迹方程为. 4. 已知△ ABC 的面积为 10，点 A(-1 ， 0) 、点 B （ 2,4 ），动点 C 的轨迹方程为 . 5.(1) 动点 M 与距离为 4 的两个定点 A,B 满足 MA MB5 ,建立适当的坐标系，求动点 M的轨迹方程。

（ 2）已知定点 M （ 4，3），动点 P 在曲线x 2y 2 1上运动，求线段 MP 的中5 9点 N 的轨迹方程。

二．椭圆1. 动点 P 到两个定点 F 1 （- 4 ， 0） . F 2 （ 4， 0）的距离之和为 8，则 P 点的轨迹为（ ）A. 椭圆B. 线段 F 1F 2C. 直线 F 1F 2D.不能确定2. 已知椭圆 x2y 2 1上一点 P 到椭圆的一焦点的距离为3，则 P 到另一焦点的距离59是.3. 如果x 2y 2 2 1表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围为（ ）a 2aA.( 2,) B. 2, 1 2, C. ( , 1) (2,) D. 任意实数 R 4．离心率为 2，长轴长为 6 的椭圆的标准方程是.35. 方程 x2y 2（ a ＞ b ＞ 0,k ＞0 且 k ≠1) 与方程 x 2y 2 （ a ＞ b ＞ 0) 表示的椭圆 （）ka 2kb 2 1 a 2 b 2 1A. 有相同的离心率；B. 有共同的焦点；C. 有等长的短轴 . 长轴；D. 有相同的顶点 . 6．若一个椭圆长轴的长度、 短轴的长度和焦距成等差数列， 则该椭圆的离心率是 .7. 已知椭圆 C 与椭圆：x 2y 2 1具有的焦点且经过点 P （4，-2 ），则曲线 C 的方程为。

高二数学第一学期期末考试总动员（苏教版）第一篇回顾基础篇专题1.2 第二章圆锥曲线【基础知识】1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．2．椭圆的标准方程和几何性质【易错提醒】1．椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．【重要方法】1．求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．2．椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.3．求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．【典型例题】例1.（1）如图，P为椭圆x225＋y216＝1上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，则△PF1F2的周长为________．（2）一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2, 3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为________．（3）已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．【方法与技巧】1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．2．利用定义和余弦定理可求得|PF 1|·|PF 2|，再结合|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2| 进行转化，可求焦点三角形的周长和面积．3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B＞0，且A ≠B )．例2 椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．变：本例条件变为“过F 1，F 2的两条互相垂直的直线l 1，l 2的交点在椭圆的内部”求离心率的取值范围.【方法与技巧】椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形． (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．例3 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (4m,0)(m >0，m 为常数)，离心率等于0.8，过焦点F ，倾斜角为θ的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若θ＝90°时，1MF ＋1NF ＝529，求实数m 的值；(3)试判断1MF ＋1NF的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．【方法与技巧】1．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2．直线和椭圆相交的弦长公式 |AB |＝ (1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]. 例4．点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．例5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，离心率为22，分别过点O ，F 的两条弦AB ，CD 相交于点E (异于A ，C 两点)，且OE ＝EF .(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线AC ，BD 的斜率之和为定值．例6如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎫2，62.(1)求椭圆E的方程．(2)若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M.①设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；②设过点M垂直于PB的直线为m，求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．【基础知识】1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程和几何性质【易错提醒】1．双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±ba ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±ab.【重要方法】1．待定系数法求双曲线方程的常用方法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；(3)若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．2．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 3．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 4．渐近线与离心率x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a ＝ b 2a 2＝ c 2－a 2a2＝e 2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．【典型例题】例1．（1）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．（2）已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为________．（3）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是________．【方法与技巧】1．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．2．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混．例2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为________．例3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率为________．例4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．例5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为________．【方法与技巧】解决渐近线与离心率关系的问题方法(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分m ＝b a 或m ＝ab 讨论．(2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用．例6 若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC ＝m (OA ＋OB )，求k ，m 的值．【方法与技巧】1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．2．与中点有关的问题常用点差法．注意：根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．例7 已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1―→·MF 2―→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．例8 在平面直角坐标系xOy 中，点F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A ，延长F A 与另一条渐近线交于点B .若FB ＝2FA ，则双曲线的离心率为________．【基础知识】 1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质【易错提醒】1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视只有p ＞0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．【重要方法】1．转化思想在定义中应用抛物线上点到焦点距离常用定义转化为点到准线的距离． 2．与焦点弦有关的常用结论 (以下图为依据)(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． 【典型例题】例1.（1）若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (2，m )到焦点的距离为6，则p ＝________. （2）抛物线y 2＝4x 的准线方程是________．（3）从抛物线x 2＝4y 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________．【方法与技巧】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．例2已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________．例3已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．例4已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作y轴垂线，垂足分别为C、D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．【方法与技巧】与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．例5如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C.若BC ＝2BF，且AF＝3，则此抛物线的方程为________．【方法与技巧】求解直线与抛物线位置关系问题的方法在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系．在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解．例6已知点A(0,2)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，线段F A交抛物线于点B，过B作l 的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p＝________.例7如图，直线AB经过抛物线y2＝2px的焦点F，交抛物线于点A、B，交抛物线的准线l于点C，若BC＝－2BF，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．例8如图，A1，A2，A3，…，A n分别是抛物线y＝x2上的点，A1B1垂直于x轴，A1C1垂直于y轴，线段B1C1交抛物线于A2，再作A2B2⊥x轴，A2C2⊥y轴，线段B2C2交抛物线于A3，这样下去，分别可以得到A4，A5，…，A n，其中A1的坐标为(1,1)，则S矩形A n B n OC n＝________.【基础知识】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2| ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 【易错提醒】1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点． 【重要方法】1．用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 设点―设出弦的两端点坐标 ↓代入―代入圆锥曲线方程 ↓作差―两式相减，再用平方差公式把上式展开 ↓整理―转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解 2．函数与方程思想和数形结合思想在直线与圆锥曲线中的应用直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．【典型例题】例1 设A 1，A 2与B 分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点与上顶点，直线A 2B 与圆C ：x 2＋y 2＝1相切．(1)求证：1a 2＋1b2＝1；(2)P 是椭圆E 上异于A 1，A 2的一点，直线P A 1，P A 2的斜率之积为－13，求椭圆E 的方程；(3)直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，且OM ·ON ＝0，试判断直线l 与圆C 的位置关系，并说明理由．【方法与技巧】研究直线与圆锥曲线位置关系的方法研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．例2 已知圆O ：x 2＋y 2＝8交x 轴于A ，B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，直线l ：x ＝－4为准线的椭圆．(1)求椭圆的标准方程；(2)若M 是直线l 上的任意一点，以OM 为直径的圆K 与圆O 相交于P ，Q 两点，求证：直线PQ 必过定点E ，并求出E 的坐标；(3)如图所示，若直线PQ 与椭圆C 交于G ，H 两点，且EG ＝3HE ，试求此时弦PQ 的长．【方法与技巧】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．例3 已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________．例4 过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是________．例5 已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x上，则实数m 的值为________．【方法与技巧】处理中点弦问题常用的求解方法 1．点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．2．根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．例6 已知椭圆E ：x 24＋y 2＝1的左、右顶点分别为A ，B ，圆x 2＋y 2＝4上有一动点P ，P 在x 轴上方，C (1,0)，直线P A 交椭圆E 于点D ，连结DC ，PB .(1)若∠ADC ＝90°，求△ADC 的面积S ；(2)设直线PB ，DC 的斜率存在且分别为k 1，k 2，若k 1＝λk 2，求实数λ的取值范围．例7 如图，圆O 与离心率为32的椭圆T ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相切于点M (0,1)．(1)求椭圆T 与圆O 的方程；(2)过点M 引两条互相垂直的直线l 1，l 2与两曲线分别交于点A ，C 和点B ，D (均不重合)．①若P 为椭圆上任意一点，记点P 到两直线的距离分别为d 1，d 2，求d 21＋d 22的最大值；②若3MA ·MC ＝4MB ·MD ，求直线l 1与l 2的方程．例8 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，且2AF ＋52BF ＝0.(1)求椭圆E 的离心率；(2)若D (1,0)为线段OF 2的中点，M 为椭圆E 上的动点(异于点A ，B )，连结MF 1并延长交椭圆E 于点N ，连结MD ，ND 并分别延长交椭圆E 于点P ，Q ，连结PQ ，设直线MN ，PQ 的斜率存在且分别为k 1，k 2，试问是否存在常数λ，使得k 1＋λk 2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．例9 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，焦点为F .圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为π3的直线n 交l 于点A ，交圆M 于另一点B ，且AO ＝OB ＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ·PF 的最小值；(3)过l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点为S ，T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．例10 如图，已知椭圆E ：x 2100＋y 225＝1的上顶点为A ，直线y ＝－4交椭圆E 于点B ，C (点B 在点C的左侧)两点，点P 在椭圆E 上．(1)若点P 的坐标为(6,4)，求四边形ABCP 的面积； (2)若四边形ABCP 为梯形，求点P 的坐标；(3)若BP ＝m ·BA ＋n ·BC (m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值．例11 已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM |＝1，且OM ·PM ＝0，则当|PM |取得最小值时的点P 到双曲线C 的渐近线的距离为________．【方法与技巧】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．例12 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点到它的两个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之和为22，且它的焦距为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点不在圆x 2＋y 2＝59内，求m的取值范围．【方法与技巧】求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．例13 设点A 1，A 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A 1、A 2的点P ，使得PO ⊥P A 2，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．例14 已知长轴在x 轴上的椭圆的离心率e ＝63，且过点P (1,1)． (1)求椭圆的方程；(2)若点A (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝1上任一点，过点A 作圆的切线交椭圆于B ，C 两点，求证：CO ⊥OB (O 为坐标原点)．【方法与技巧】圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．例15 已知椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，下顶点为A ，直线AF 1与椭圆的另一个交点为B ，△ABF 2的周长为8，直线AF 1被圆O ：x 2＋y 2＝b 2截得的弦长为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点P (1,3)的动直线l 与圆O 相交于不同的两点C ，D ，在线段CD 上取一点Q ，满足CP ＝－λPD ，CQ ＝λQD ，λ≠0且λ≠±1.求证：点Q 总在某定直线上．例16 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，右准线为l ：x ＝4.M 为椭圆上不同于A ，B 的一点，直线AM 与直线l 交于点P .(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM ＝MP ，判断点B 是否在以PM 为直径的圆上，并说明理由； (3)连结PB 并延长交椭圆C 于点N ，若直线MN 垂直于x 轴，求点M 的坐标．例17 在平面直角坐标系xOy 中，过点A (－2，－1)的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，短轴端点分别为B 1，B 2，1FB ·2FB ＝2b 2. (1)求a ，b 的值；(2)过点A 的直线l 与椭圆C 的另一个交点为Q ，与y 轴的交点为R .过原点O 且平行于l 的直线与椭圆的一个交点为P .若AQ ·AR ＝3OP 2，求直线l 的方程．例18 如图，已知椭圆E 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆E 2的方程为x 2＋y 2＝a 2，斜率为k 1的直线l 1过椭圆E 1的左顶点A ，且直线l 1与椭圆E 1和圆E 2分别相交于点B ，C .(1)若k 1＝1，B 恰好为线段AC 的中点，试求椭圆E 1的离心率e ；(2)若椭圆E 1的离心率e ＝12，F 2为椭圆的右焦点，当BA ＋BF 2＝2a 时，求k 1的值；(3)设D 为圆E 2上不同于点A 的一点，直线AD 的斜率为k 2，当k 1k 2＝b 2a 2时，试问直线BD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【方法与技巧】1．求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．2．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．例19在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝1与x轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为x＝m.记以AB为直径的圆为圆C.记以点F为右焦点，短半轴长为b(b>0，b为常数)的椭圆为D.(1)求圆C和椭圆D的标准方程；(2)当b＝1时，求证：椭圆D上的任意一点都不在圆C的内部；(3)已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与x轴不垂直的直线交椭圆D于P，Q 两点(点P在x轴上方)，点P关于x轴的对称点为N，设直线QN交x轴于点L，试判断OM·OL是否为定值，并证明你的结论．【方法与技巧】1．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．2．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．例20已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)以抛物线y2＝8x的焦点为顶点，且离心率为12.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆E相交于A，B两点，与直线x＝－4相交于Q点，P是椭圆E上一点且满足OP＝OA＋OB(其中O为坐标原点)，试问在x轴上是否存在一点T，使得OP·TQ为定值？若存在，求出点T的坐标及OP·TQ的值；若不存在，请说明理由．变：本例(2)中条件变为“过椭圆E的右焦点F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点，线段OF2上是否存在点M(m,0)使得QP·MP＝PQ·MQ？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.【方法与技巧】解决存在性问题应注意以下几点存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．例21 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M (32，2)，离心率e ＝223.(1)求椭圆C 的方程．(2)过点M 作两条直线与椭圆C 分别交于相异两点A ，B ，F 2是椭圆的右焦点． ①若直线MA 过坐标原点O ，求△MAF 2外接圆的方程；②若∠AMB 的平分线与y 轴平行，探究直线AB 的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．例22 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎫43，b 3，以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2.(1)求椭圆C的方程；(2)若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．例23已知椭圆O的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点A(2,0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为32.不经过点A的动直线y＝12x＋m交椭圆O于P，Q两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)求证：P，Q两点的横坐标的平方和为定值；(3)过点A，P，Q的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点坐标．例24已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P⎝⎛⎭⎫22，12，记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2＝2，求证：直线DE恒过一个定点．。

高二上期末理科数学复习圆锥曲线—3)、F 2 (0, 3),动点P 满足条件阳+ |“2|以十牛0＞°)，r 23・与椭圆亍宀1共焦点且过点0(2,1)的双曲线方程是4. 抛物线y = 2F 上两点A(jgyJ 、B(x 2,y 2)关于直线y = x + m 对称，且西•也二-丄，则加等于 ( )-2 3 5 A.工 B. 2 C ・工 D ・32 2二、填空题5. 已知动点P 在曲线2x 2-y = 0上移动，则点力(0, —1)与点P 连线中点的轨 迹方程为 ______________6. 已知双曲线£ = 1(°〉0"〉0)的两条渐近线方程为y = ±—x 9若顶点到er tr 3渐近线的距离为1,则双曲线方程为 ______________2 27. 设件巧是双曲线+ -話=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且碎 =60°,则厶F X PF 2的面积 _____________2 2RC:二+・=1«＞方＞0)的离心率为也■•双曲线x 2-y 2=\的渐近线 a lr2与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方则点P 的轨迹是 ( )A 、椭圆 线2、过双曲线的一个焦点佗作垂直于实轴的弦PQ ，仟是另一焦点,B 、线段C 、椭圆或线段D 、双曲 ZPF 、Q = +，则双曲线的离心率£等于A 、V2-1B 、V2C 、V2+1D 、72 + 2 一、选择题1、设定点Fi (0,B. J?C ・H1 3 38.已知椭程为____________________三、解答题9.已知椭圆C:刍+ £=l(d＞方＞0)的离心率为進，其中左焦点F(-2,0)・a 2(I)求出椭圆C的方程；(U)若直线y = x + m与曲线c交于不同的A、B两点，且线段AB的中点M在圆F + b = 1上求加的直所以椭圆C 的方程为韦(H)设点A, B 的坐标分别为(尤］』)，(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M(x 0,>?0)> ___ L 丄_ = 1由{ 8 4 -，消去y 得3兀2+4处+ 2加2 _8 = 0y = x+m •・• A = 96-8m 2 > 0, -2^/3 < m < 2^3x } +x 2 2 _2mm-3亠’+心3•・•点 M(x 0,y 0)在圆/ += 1 上,十卄即心琴10・已知中心在坐标原点、焦点在x 轴上椭圆的离心率e = — 9 3 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y =兀+ 2相切. ⑴求该椭圆的标准方程； ⑵设椭圆的左，右焦点分别是许和厲，直线厶过竹且与兀轴垂直， 动直线厶与丿轴垂直，厶交厶于点P ，求线段戶片的垂直平分线与仏的 交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型.【答案】⑴由题意时=亍―，解得:a — 2-\/2b = 2以原点解⑴依题意设所求椭圆方程为二+卑=\{a>b> 0)又它的离心率为空cr tr3得：琶土 =込片2£=3严①a 3又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y =兀+ 2相切.即原点到直线y = x + 2的距离为b,所以b = 4i,代入①中得a = 43r2 y2所以，所求椭圆方程为——+二=1 .3 2(2)由67 = V3,/7 = V2得耳、竹点的坐标分别为(—1,0), (1,0),设M点的坐标为(%, j),由题意：P点坐标为(l,y),因为线段PF】的垂直平分线与12的交点为M ,所以| MF. |=| MP |^> 7（^ + 1）2 +y2 =1 -V-11^ y2 =-4x故线段PF}的垂直平分线与12的交点M的轨迹方程是y2 = -4x,该轨迹是以百为焦点的抛物线.11.在平面直角坐标系兀0）冲，经过点（0,血）且斜率为£的丫2直线/与椭圆—+ /=1有两个不同的交点P和Q.厶（1）求£的取值范（2）设椭圆与无轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为力,〃，是否存在常数4使得向量OP + OQ与弼共线？如果存在，求鸟值; 如果不存在，请说明理由。

高中数学学习资料金戈铁骑整理制作课题：圆锥曲线综合复习江苏省外国语学校【教课目的】1、 掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质办理一些简单的实质问题， 认识运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法．2、 认识双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；认识双曲线的简单几何性质．3、 认识抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；认识抛物线的简单几何性质 .【教课重点难点】圆锥曲线中各量的计算，特别以求离心率 e 的题目是重点与难点．【教课过程】一、热身训练x 2y 231、若椭圆 4 ＋ m ＝ 1 的离心率等于2 ，则 m ＝ ________.3 m34分析： 由条件当 m<4 时，由题意得： 2＝1－ 4 ? m ＝ 1，当 m>4 时有2 ＝1－m ? m ＝ 16，故 m 的取值为 1或16.答案：1或16 x 2 y 22、已知 F 1、F 2 是椭圆→ → C ： 2＋ 2＝ 1(a>b>0) 的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且 PF 1⊥ PF 2，a b若△ PF 1F 2 的面积为 9，则 b ＝ ________.分析： 设 |PF 1|＝ r 1， |PF 2|＝ r 2，r 1＋ r 2＝ 2a ，∴ 2r 1r 2＝ (r 1＋ r 2)2－ r 1 2－r 22＝ 4a 2－ 4c 2＝ 4b 2 ，则r 12＋ r 22＝ 4c 2，1 2∴ S △PF 1F 2＝ r 1r 2＝ 9＝ b ， ∴b ＝ 3.2答案： 3x 2 y 23、已知 l 是双曲线 9 － 16＝ 1 的一条渐近线， F 为双曲线的右焦点，则 F 点到直线 l 的距离为________分析： 易知双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝ 0，右焦点 F 的坐标为 (5,0)，由对称性取此中一条渐近线 4x ＋ 3y ＝ 0，所以由点到直线的距离公式得 d ＝ |4×5| ＝ 4.42＋ 32答案： 44、双曲线 kx 2 － y 2＝ 1 的一条渐近线与直线 2x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 垂直，则此双曲线的离心率是________分析： 由题意知 k>0，因为双曲线的渐近线y ＝ ± kx 中有一条与直线2x ＋ y ＋ 1＝ 0 垂直．所1c 5 以 k ·(－ 2)＝－ 1，即 k ＝ 4，所以双曲线中 a ＝2， c ＝ 5，所以离心率e ＝ a ＝ 2.5答案： 21 2________． 5、已知抛物线 y ＝ x ，则过其焦点垂直于其对称轴的直线方程为4分析： 抛物线的焦点是(0,1)，且对称轴为x ＝ 0，故所求直线方程为 y ＝ 1.答案： y ＝ 16、已知 A 、B 是抛物线 x 2＝4y 上的两点，线段 AB 的中点为 M(2，2)，则 |AB|等于 ________．x 12x 22x 1＋ x 2＝ 4，x 1＝ 0，22分析： 设 A(x 1， 4 )， B(x 2， 4 )，由已知得x 1 ＋ x 2 ＝ 4，?x 2＝ 4， 即 A(0,0) ，B(4,4) ，44故|AB|＝4 2.答案：4 2 二、知识重点 1．椭圆(1) 平面内一点 P 与两定点 F 1、 F 2 的距离的和等于常数 (大于 |F 1F 2|)的点的轨迹 . 若常数等于 |F 1F 2|，则轨迹是 __________________若常数小于 |F 1F 2|，则轨迹是 __________________ 注意：必定要注意椭圆定义中限制条件“大于 |F1F2| ”能否知足． (2) 平面内点 M 与定点 F 的距离和它到定直线 定点 F 为椭圆的 ________，定直线 l 为椭圆的 _____________.l 的距离d 的比是常数e(0<e<1)的点的轨迹．(3) 标准方程、几何性质标准方程图象极点对称轴轴焦点焦距离心率准线方程2．双曲线（1）标准方程及简单几何性质标准方程图象极点轴焦点焦距离心率准线方程渐近线方程（2）思虑：若 |PF1 |－ |PF2 |＝ 2a>|F1F2|，则点 P 的轨迹是以F1、 F2为焦点的双曲线，对吗？________________________________________________________________________（3）双曲线中的几何量及其余问题①实轴 _________________ ，虚轴 ________________ ，焦距 _______________，且知足 _________________________②焦点到相应准线的距离_______________③焦点在x 轴上的双曲线的焦半径：|PF1|＝ ____________________(x 0>0)|PF2|＝ ____________________(x 0>0)或|PF1|＝ __________________(x 0<0) ，|PF2|＝ ____________________(x 0<0) ．④等轴双曲线方程_____________________________________其离心率 ____________渐近线方程 _____________⑤共渐近线x y0 的双曲线系的方程_______________________a b3、抛物线（1）平面内与必定点 F 和一条定直线 l(不经过 F)的距离 _________的点的轨迹叫做抛物线． ____________ 叫做抛物线的焦点 ,______________叫做抛物线的准线 .（2）抛物线的标准方程、种类及几何性质标准方程图形焦点准线范围对称性轴质极点离心率张口焦 半 径三、典例剖析 题型一、椭圆知识x 2y 2 (a>b>0) 的离心率为 1例 1： (2010 年苏州调研 )已知椭圆 C ：2212，且经过点ab3P(1， 2)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 F 是椭圆 C 的左焦点，判断以 PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的地点关系，并说明原因．x 2 y 2 1 3解： (1) ∵椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的离心率为 2，且经过点 P(1， 2)，a 2－ b 2 ＝ 1， ∴a 291 a2 ＋4b 2＝ 1.3a 2－ 4b 2＝ 0， 2即 19解得a ＝ 4，2a 2＋ 4b 2＝ 1，b ＝ 3.22∴ 椭圆 C 的方程为 x＋ y＝ 1. 4 3(2)∵ a 2＝ 4， b 2＝ 3，∴ c ＝ a 2－ b 2＝ 1. ∴ 椭圆 C 的左焦点坐标为 (－ 1,0)．x 2＋ y 2＝ 4，圆心坐标是 (0,0)，半径为 2.以椭圆 C 的长轴为直径的圆的方程为 以 PF 为直径的圆的方程为 23 2 ＝ 25 ，圆心坐标是 3 5 x ＋ (y － ) 16 (0， )，半径为 .4 4 4 ∵ 两圆心之间的距离为(0－ 0)2＋ (3－0)2＝3＝ 2－ 5，44 4故以 PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切． 题型二、双曲线知识例 2：已知双曲线的中心在原点，焦点 F 1、F 2 在座标轴上， 离心率为 2，且过点 M(4 ，－ 10)．(1) 求双曲线方程；(2) 若点 N(3 ， m)在双曲线上，求证： →→NF 1·N F 2＝ 0；(3) 求 △ F 1NF 2 的面积．解： (1) ∵e ＝ 2，故可等轴设双曲线的方程为x 2－ y 2＝ λ(λ≠ 2)， ∵过点 M(4，－ 10)， ∴ 16－10＝ λ， ∴ λ＝ 6. x 2 －y 2＝6.∴ 双曲线方程为(2)证明 ：由 (1)可知：在双曲线中， a ＝b ＝ 6， ∴ c ＝ 2 3. ∴ F 1(－ 2 3， 0)， F 2(2 3， 0)．→∴ NF 1＝ (－ 2 3－ 3，－ m)， →NF 2＝ (2 3－ 3，－ m)．→→22∴ N F1·N F 2＝ [( －2 3－ 3)·(2 3－ 3)]＋ m ＝－3＋ m .∵ N 点在双曲线上，∴9－ m2＝6，∴ m2＝ 3.→→∴ NF1·NF 2＝ 0.(3)∵△ F 1NF 2的底 |F 1F 2|＝ 43，高 h＝ |m|＝3，∴S△F1NF 2＝ 6.题型三、抛物线知识例2→→3：已知 A ，B 两点在抛物线 C： x ＝ 4y上，点 M(0,4) 知足 MA ＝λBM .(1)→ →求证： OA ⊥OB；(2)设抛物线 C 过 A 、 B 两点的切线交于点N.(ⅰ )求证：点 N 在一条定直线上；(ⅱ )设 4≤λ≤9，求直线 MN 在 x 轴上截距的取值范围．22解：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， l AB： y＝ kx＋4 与 x ＝ 4y 联立得 x － 4kx－ 16＝ 0，22＝ (－ 4k) － 4(－ 16)＝ 16k ＋ 64>0，x1＋ x2＝ 4k， x1x2＝－ 16，→ →(1)证明：∵OA·OB＝ x1x2＋ y1y2＝ x1x2＋(kx1＋ 4)(kx2＋ 4)＝ (1＋ k2)x1x2＋4k( x1＋ x2)＋ 16＝ (1＋ k2)( －16)＋ 4k(4k)＋ 16＝ 0→ →∴ OA⊥ OB.(2)( ⅰ) 证明：过点 A 的切线：1112y＝2x1(x－ x1)＋ y1＝2x1x－4x1，①112过点 B 的切线： y＝x2x－ x2，②24x1＋ x2联立①②得点 N(2，－ 4)，所以点 N 在定直线 y＝－ 4 上．→→(ⅱ )∵ MA＝λBM ，∴(x1， y1－ 4)＝λ(－ x2,4－ y2)，联立 x ＝－λx， x＋ x＝ 4k， x＝－ 16，12121x222可得k2＝(1－λ)＝λ－2λ＋1＝λ＋1－ 2,4≤ λ≤ 9，λλλ∴ 9≤k2≤ 6449 .－8直线 MN ： y＝在 x 轴上的截距为 k.2k x＋ 48338∴直线 MN 在 x 轴上截距的取值范围是 [－，－]∪[ ， ]．3223四、走进高考1.（ 2010 辽宁文）设 F1，F2分别为椭圆 C :x2y2 1 (a b 0) 的左、右焦点，过 F2的直线 l 与椭圆a2b2C 订交于 A , B 两点，直线 l 的倾斜角为60 ，F1到直线 l 的距离为2 3.（Ⅰ）求椭圆 C的焦距；（Ⅱ）假如AF22F2 B ,求椭圆C的方程.20）设F1 ，F2 分别为椭圆C :x2y21( ab 0)的左右焦点，过F2 的9. （辽宁卷文a2b2直线 l 与椭圆 C订交于A, B 两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线 l 的距离为2 3。