普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题五理

绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试押题卷(五)理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh .其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．两个共轭复数的差是( )A ．实数B ．纯虚数C ．零D ．零或纯虚数 2．设集合A ＝{x |log 2x ＞0}，B ＝{x |x 2－y 2＝1}，则A ∩B ＝( )A ．{x |x ＞1}B ．{x |x ＞0}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x ＜－1或x ＞1} 3．若向量a ＝(3，－6)，b ＝(4，2)，c ＝(－12，－6)，下列结论中错误．．的是( ) A ．a ⊥bB ．b ∥cC ．c ＝a －3bD ．对任一向量AB →，存在实数m ，n ，使AB →＝ma ＋nb4．若命题p ：存在x ∈(－∞，0)，2x ＜3x ；命题q ：在△ABC 中，若cos A ＞cos B ，则A ＜B ，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )5．各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A.5＋12 B.5－12 C.1－52 D.5－12或5＋126．在二项式(x 2－2x )n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为( )A ．32B ．－32C ．0D ．－1 7．如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．0B ．1＋ 2 C.22 D.22＋1 8．下列命题正确的有( )①若某个球的体积等于某个圆柱体积的23时，则可以存在该球内切于该圆柱的情况②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行③a 、b 是异面直线，则过a 平行于b 的平面平行于过b 平行于a 的平面④若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三条侧棱的公共点在底面的投影点是底面三角形的内心A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．我们把形如y ＝f (x )g (x )的函数叫做f (x )的幂指函数(f (x )＞0)，可以利用对数法求其导数：在解析式两边同时求对数得ln y ＝ln f (x )g (x )＝g (x )ln f (x )，两边对x 求导数，得y ′y ＝g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′（x ）f （x ），于是y ′＝y ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ′（x ）ln f （x ）＋g （x ）·f ′（x ）f （x ），得y ′＝f (x )g (x )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ′（x ）ln f （x ）＋g （x ）·f ′（x ）f （x ），运用此方法求函数y ＝x x (x ＞0)的导数y ′＝( )A ．ln x ＋1B ．(ln x ＋1)x xC ．x xD ．x x ln x10．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，右焦点F (c ，0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)在( )A ．x 2＋y 2＝2内B ．x 2＋y 2＝2上C ．x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情况都有可能11．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，A ＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a 、b ，则满足条件的三角形有两个解的概率是( )A.16B.13C.12D.3412．设f (x )是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f (1－x )＋f (1＋x )＝0恒成立，如果实数m ，n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （m 2－6m ＋23）＋f （n 2－8n ）≤0m ≥3，那么m 2＋n 2的取值范围是( )A ．[3，7]B ．(9，25)C ．[13，49]D ．[9，49]第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a的最小值为________．14．F 是抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，过焦点F 且斜率为33的直线交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＞|BF |，则|AF ||BF |＝________．15．如图，线段EF 的长度为1，端点E 、F 在边长为2的正方形ABCD 的四边上滑动，当E 、F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹与正方形的四边围成的区域为G (不含正方形中心部分)，在正方形中任取一点，该点落在G 内的概率为________．16．若数列{a n }满足a 2n －a 2n －1＝p (p 为常数，n ≥2，n ∈N *)，则称数列{a n }为等方差数列，p为公方差，已知正数等方差数列{a n }的首项a 1＝1，且a 1，a 2，a 5成等比数列，a 1≠a 2，设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫A n |A n ＝1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋…＋1a n ＋a n ＋1，1≤n ≤100，n ∈N *，取A 的非空子集B ，若B 的元素都是整数，则B 称为“理想子集”，那么集合A 中的“理想子集”的个数为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －(－1)n ，n ∈N *.(1)在数列{a n }中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由；(2)证明：在{a n }中，一定存在满足条件1＜r ＜s 的正整数r ，s ，使得a 1，a r ，a s 成等差数列，并求出正整数r 、s 之间的关系； (3)设{a n }的前n 项和为S n ，求S n .18．(本小题满分12分)右图是一个几何体的三视图，正视图中AD ＝BC ＝12，DB ＝32，PD ⊥AB .侧视图中，PD ⊥DA ，DA ＝32.俯视图是一个平行四边形，且BD ＝3，在该几何体中， (1)证明：平面PBC ⊥平面PBD ；(2)若二面角P －BC －D 为π6，求AP 与平面PBC所成角的正弦值．19．(本小题满分12分)2013年4月20日，四川雅安发生7.0级地震，某市卫生部门立即抽调了16名男医生和14名女医生随志愿队前去抢险救灾，男女医生中分别有10人和6人会外科手术．(1)根据以上数据完成以下2×2列联表：(2)若从会外科手术的医生中随机抽取3人成立一个小组，则小组中既有男又有女的概率是多少？(3)若从14名女医生中随机抽取2人，记会外科手术的人数为ξ，求ξ的期望． 参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）参考数据：20.(本小题满分120)，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为－12.(1)求动点E 的轨迹C 的方程；(2)设过点F (1，0)的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，若点P 在y 轴上，且|PM |＝|PN |，求点P 的纵坐标的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －ax －3(a ≠0)，(1)讨论y ＝f (x )的单调性；(2)若对任意的a ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎣⎡⎦⎤b 2－f ′（x ）x 2在区间(a ，3)上有最值，求实数b 的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，直线AB 过⊙O 上的点C ，且OA ＝OB ，CA ＝CB . ⊙O 交直线OB 于E 、D 两点，连结EC ，CD . (1)求证：直线AB 是⊙O 的切线；(2)若CE ＝2CD ，⊙O 的半径为3，求OA 的长． 23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t y ＝2＋t (t 为参数)，(1)求曲线C 1的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)判断直线l 与曲线C 1是否相交，若相交求其弦长． 24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋3|，g (x )＝m －2|x －11|， (1)若2＜f (x )≤4，求解不等式；(2)若2f (x )≥g (x ＋4)恒成立，求实数m 的取值范围．普通高等学校招生全国统一考试押题卷(五) 理科数学参考答案及评分标准1．D 设z ＝a ＋b i 及z ＝a －b i (a ，b ∈R)，则z －z ＝2b i 或z －z ＝－2b i ，当b ≠0时，为纯虚数；当b ＝0时，为零．2．A 易得A ＝{x|x ＞1}，B ＝{x|x ≤－1或x ≥1}，∴A ∩B ＝{x|x ＞1}．3．C ∵a ·b ＝(3，－6)·(4，2)＝0，∴a ⊥b .又∵c ＝－3b ，∴b ∥c .∵a －3b ＝(3，－6)－3(4，2)＝(－9，－12)≠c .故选C. 4．C p 为假命题，q 为真命题，所以(綈p)∧q 为真命题． 5．B ∵a 2，12a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1，设等比数列{a n }的公比为q ，∴q 2＝q ＋1，∵q ＞0，∴q ＝1＋52，∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12.6．D 由题得2n ＝32，∴n ＝5.令x ＝1，得(1－2)5＝－1.7．D n ＝1，S ＝sin π4→n ＝2，S ＝sin π4＋sin 24π→n ＝3，S ＝sin π4＋sin 24π＋sin 34π，…→n ＝2013，∴S ＝sin π4＋sin 24π＋…＋sin 20134π→n ＝2014输出S.∴输出的S ＝sin π4＋sin 24π＋…＋sin 20134π.又∵y ＝sin π4x 的周期为T ＝8， 2013＝8×251＋5，而sin π4＋sin 24π＋sin 34π＋…＋sin 84π＝0，∴S ＝0×251＋sin π4＋sin 24π＋sin 34π＋sin 44π＋sin 54π＝22＋1＋22＋0＋(－22)＝22＋1. 8．B ①当球内切于圆柱时，V 球＝23V 圆柱，故①对．②错，两直线可以平行，也可以相交或异面． ③对，利用正方体判定． ④错，应该是底面三角形的垂心． 9．B 在y ＝x x 两边取对数得ln y ＝x·ln x ，求导：y ′y＝x′ln x ＋x(ln x )′＝ln x ＋1， ∴y ′＝y(ln x ＋1)＝(ln x ＋1)x x . 10．A 由题意知c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－b a，x 1x 2＝－c a.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a2＋2c a＝b 2a2＋1＝a 2－c 2a2＋1＝2－c 2a2＝74＜2，在圆内．11．A 点(a ，b)共有6×6＝36(种)，三角形有两个解的条件为b2＜a ＜b ，当b ＝1时，无解；当b ＝2时，无解； 当b ＝3时，a ＝2；当b ＝4时，a ＝3；当b ＝5时，a ＝3或a ＝4；当b ＝6时，a ＝4或a ＝5.共有(2，3)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，6种情况，其概率为636＝16.12．C 由题意得f(1－x)＝－f(1＋x)，则－f(x)＝f(2－x)，由f(m 2－6m ＋23)＋f(n 2－8n)≤0，得f(m 2－6m ＋23)≤－f(n 2－8n)，即f(m 2－6m ＋23)≤f(2－n 2＋8n)．又f(x)在R 上是增函数，∴m 2－6m ＋23≤2－n 2＋8n ， 即(m －3)2＋(n －4)2≤4.在坐标平面mOn 内画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（m －3）2＋（n －4）2≤4m ≥3的区域，则m 2＋n 2表示区域内的点(m ，n )与(0，0)间的距离的平方， 当m ＝3，n ＝2时，m 2＋n 2有最小值为32＋22＝13. m 2＋n 2在B 点取得最大值为(32＋42＋2)2＝49. 13．解析：由题意得a ＞0且Δ＝4－4ac ＝0， ∴c ＝1a.∴a ＋1c ＋c ＋1a ＝a ＋11a ＋1a ＋1a ＝(a 2＋1a 2)＋(a ＋1a)≥4，当且仅当a ＝1时取等号． 答案：414．解析：由题意可知，抛物线的准线为l ：y ＝－p 2，焦点F(0，p2)．作AA′⊥l 于A′点，作BB′⊥l 于B′点，作FM ⊥AA′于M 点，作BN ⊥y 轴于N 点，又∠AFM ＝∠FBN ＝30°，设|AF|＝a ，|BF|＝b ，∴|MA ′|＝a －a 2＝a2＝p ，∴a ＝2p ，又|FN|＝b 2，∴b ＋b2＝p ，2p ＝3b ，∴a ＝3b.即|AF|＝3|BF|，∴|AF||BF|＝3. 答案：315．解析：当E 、F 两点分别在正方形的两个边上时，M 的轨迹是分别以A 、B 、C 、D 为圆心，半径为12的圆的14；当E 、F 两点在同一个边上时，M的轨迹为边上的线段，故区域G 的面积G ＝π×⎝⎛⎭⎫122＝π4，而正方形的面积S ＝4， ∴落在G 内的概率为P ＝G S ＝π16.答案：π1616．解析：由题意得a 2n ＝a 21＋(n －1)p.∵a 1＝1，∴a 2n ＝pn －p ＋1，∴a 22＝p ＋1，a 25＝4p ＋1，又∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴a 22＝a 1a 5， ∴p ＋1＝4p ＋1，∴p 2－2p ＝0， ∴p ＝0或p ＝2.又∵a 1≠a 2，∴p ＝2，∴a 2n ＝2n －1， ∵a n ＞0，∴a n ＝2n －1.又∵a 2n －a 2n －1＝2，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝2 ， ∴1a n ＋a n －1＝a n －a n －12，∴A n ＝a 2－a 12＋a 3－a 22＋…＋a n ＋1－a n 2＝a n ＋1－a 12＝2n ＋1－12， 令2n ＋1－12＝k(k ∈N *)，则n ＝（2k ＋1）2－12，由1≤n ≤100，得1≤2k 2＋2k ≤100， 即12≤k (k ＋1)≤50， ∴k ＝1，2，3，4，5，6，即A 中共有6个整数， 故A 中的“理想子集”的个数为26－1＝63(个)． 答案：6317．解：(1)若存在连续3项a k －1，a k ，a k ＋1(k ∈N *，k ≥2)成等差数列，即有a k －1＋a k ＋1＝2a k ，∴2k －1＝4(－1)k －1.2分∵4(－1)k －1＝±4，只有2k －1＝4.当且仅当k ＝3时，a k －1，a k ，a k ＋1成等差数列.4分 (2)要使a 1，a r ，a s 成等差数列，只需a 1＋a s ＝2a r ， 即2s －2r ＋1＝(－1)s －2(－1)r －3，①∵s ≥r ＋1，则①式左端2s －2r ＋1≥0.又∵①式右端(－1)s －2(－1)r －3≤0.8分故当且仅当s ＝r ＋1且s 为小于4的偶数时，a 1，a r ，a s 成等差数列.10分 (3)当n 为偶数时，S n ＝21＋22＋ (2)＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2，当n 为奇数时，S n ＝21＋22＋ (2)－(－1)＝2－2n ＋11－2＋1＝2n ＋1－1.12分18．解：(1)证明：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥．底面为ABCD ，且PD ⊥平面ABCD(如图).1分 AB ＝2， AD ＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫122＝1＝BC ， ∵DC 2＝BC 2＋BD 2， ∴BC ⊥BD.又∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥BC.3分 由PD ∩BD ＝D ，∴BC ⊥平面PBD ，而BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD.6分 (2)由(1)知BC ⊥平面PBD.∴∠PBD 即为二面角P －BC －D 的平面角， ∴∠PBD ＝π6.而BD ＝3，∴PD ＝1.7分分别以DA ，DB ，DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，3，0)，C(－1，3，0)，P(0，0，1)，∴AP →＝(－1，0，1)，BC →＝(－1，0，0)，BP →＝(0，－3，1)．设平面PBC 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0n ·BP →＝0，即⎩⎨⎧－a ＝0－3b ＋c ＝0，∴n ＝(0，1，3).10分∴AP 与平面PBC 所成角的正弦值为sin θ＝|AP →·n ||AP →|·|n |＝32·2＝64.12分 19．解：(1)如下表由已知数据得K 2＝30×（10×8－6×6）2（10＋6）（6＋8）（10＋6）（6＋8）≈1.1575＜2.706，所以在犯错的概率不超过0.10的前提下，不能判断会外科手术与性别有关.4分 (2)从会外科手术的医生中随机抽取3人，基本事件总数为C 316.小组中既有男又有女的基本事件数为C 210C 16＋C 110C 26， ∴小组中既有男又有女的概率为C 210C 16＋C 110C 26C 316＝34.7分(3)会外科手术的人数ξ的取值分别为0，1，2，8分 其概率分别如下：P(ξ＝0)＝C 28C 214＝2891，P (ξ＝1)＝C 16C 18C 214＝4891，P (ξ＝2)＝C 26C 214＝1591.10分所以ξ的分布列为：∴E ξ＝0×2891＋1×4891＋2×1591＝7891.12分20．解：(1)设动点E 的坐标为(x ，y)，由题意可得y x ＋2·y x －2＝－12.3分整理得x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．∴动点E 的轨迹C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2).5分(2)当直线l 的斜率不存在时，则P 为原点(0，0)， 即P 点纵坐标为0.6分当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）x 22＋y 2＝1，消去y 并整理得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，∴Δ＝(－4k 2)2－4(2k 2＋1)(2k 2－2)＝8k 2＋8＞0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.8分 设MN 的中点为Q ，则x Q ＝x 1＋x 22＝2k 22k 2＋1， ∴y Q ＝k(x Q －1)＝－k 2k 2＋1， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1，(k ≠0).9分 ∴MN 的垂直平分线方程为y ＋k 2k 2＋1＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 22k 2＋1 令x ＝0，得y P ＝k 2k 2＋1＝12k ＋1k .10分当k ＞0时，由2k ＋1k ≥22，得0＜y P ≤122＝24； 当k ＜0时，由2k ＋1k ≤－22，得－122≤y P ＜0. 综上，P 点的纵坐标取值范围是⎣⎡⎦⎤－24，24.12分 21．解：(1)由题意得f(x)的定义域为(0，＋∞)．对f(x)求导得f′(x)＝1－ax x.1分 当a ＞0时，由f′(x)＞0，得1－ax ＞0，∴0＜x ＜1a， 由f′(x)＜0，得1－ax ＜0，∴x ＞1a.3分 当a ＜0时，x ∈(0，＋∞)都有f′(x)＞0.综上，当a ＞0时，f(x)在⎝⎛⎭⎫0，1a 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是减函数． 当a ＜0时，f(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间.5分(2)由(1)得f′(x)＝1x－a ， ∴g(x)＝x 3＋⎣⎡⎦⎤b 2－1x ＋a x 2＝x 3＋⎝⎛⎭⎫b 2＋a x 2－x ， ∴g ′(x)＝3x 2＋(b ＋2a)x －1，7分∵g(x)在(a ，3)上有最值，等价于g′(x)在(a ，3)上有零点， ∵g ′(0)＝－1＜0，∴题意为⎩⎪⎨⎪⎧g ′（a ）＜0g′（3）＞0对任意的a ∈[1，2]恒成立.10分 即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋（b ＋2a ）a －1＜0 ①26＋3（b ＋2a ）＞0 ②对任意的a ∈[1，2]恒成立． 由①得b ＜1a －5a ，∴b ＜⎝⎛⎭⎫1a －5a min ＝12－10＝－192， 由②得b ＞－2a －263， ∴b ＞⎝⎛⎭⎫－2a －263max ＝－2－263＝－323， ∴－323＜b ＜－192.12分 22．解：(1)证明：如图，连结OC.∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，∴OC ⊥AB ，2分又∵点C 在圆上，∴AB 是⊙O 的切线.4分(2)由(1)可知∠BCD ＝∠BEC ，∠B ＝∠B ， ∴△BCD ∽△BEC ，∴CD EC ＝DB BC ＝12.6分 设BD ＝x ，∴BC ＝2x ，又∵BC 2＝BD·BE ，∴(2x)2＝x·(x ＋6)，∵x ＞0，∴x ＝2，8分∴BD ＝2，∴OA ＝OB ＝OD ＋DB ＝2＋3＝5.10分23．解：(1)由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ， ∴x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4.所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.3分 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t y ＝2＋t ，∴x ＋y ＝4.即直线l 的普通方程为x ＋y ＝4.5分 (2)曲线C 1是以(0，2)为圆心，半径r ＝2的圆．直线l 过定点(2，2)和(0，4)，且点A(2，2)，B(0，4)也在圆x 2＋(y －2)2＝4上.7分∴直线l 与曲线C 1相交于两点A(2，2)，B(0，4)． |AB|＝22＋（4－2）2＝2 2.10分24．解：(1)由2＜f(x)≤4，得2＜|x ＋3|≤4，∴2＜x＋3≤4或－4≤x＋3＜－2，3分∴－1＜x≤1或－7≤x＜－5，∴不等式解集为{x|－1＜x≤1或－7≤x＜－5}.5分(2)易得2f(x)＝2|x＋3|，g(x＋4)＝m－2|x＋4－11|＝m－2|x－7|，∴2f(x)≥g(x＋4)恒成立，即2|x＋3|≥m－2|x－7|恒成立．∴m≤2(|x＋3|＋|x－7|).8分又∵|x＋3|＋|x－7|≥|(x＋3)－(x－7)|＝10，∴m≤20，∴实数m的取值范围为(－∞，20].10分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（五）本试卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A．∅2.）A3.）A4.）A5.）A6.）A7.）ABD8.得到函）A BD）A10.如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（）A11.）A12.）A第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22~23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题:本题共4小题，每小题5分。

14..的取值范围是．15.的取值范围是．16.的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）（1（2. 18. （本小题满分12分）.（1（2.19. （本小题满分12分），该市.（1）任选出一名大学生，求他（她）骑行过共享单车的概率；（2乱停乱放，并预测当②已知该市共有五个区，其中有两个区的单车乱停乱放数量超过标准.在“双创”活动中，检数”20. （本小题满分12分）. （1（2. 21. （本小题满分12分）.（1（2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程.（1（2.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1（2.。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（五）本试卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

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4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}12|{},02|{2+==<-=x y y N x x x M ，则=⋂N M （ ）A ．)2,0(B ．)2,1(C ．)1,0(D ．∅2.已知i 为虚数单位，复数iai i z ++=1)1(的虚部为2，则实数=a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.函数x x y sin 22cos +=的最大值为（ ）A ．21B ．1C ．23 D ．2 4.如图，分别以C A ,为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A ．21B ．22-π C. 41 D ．42-π 5.已知O 为坐标原点，分别在双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 第一象限和第二象限的渐近线上取点N M ,，若MON ∠的正切值为34，则双曲线离心率为（ ） A ．55 B ．25 C. 45 D ．35 6.若点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥+3202y x x y y x ，则22)2(-+y x 的最小值为（ ）A ．552B ．55 C. 54 D ．51 7.按下面的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的x 的取值范围为（ ）A ．]4,3[-B ．]3,1[- C. ]9,3[- D ．]4,3[8.将函数)3cos(sin )(π+=x x x f 的图象向右平移3π个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 图象的一个对称中心是（ ）A ．)0,6(πB ．)0,3(π C. )43,6(-πD ．)43,3(-π9. )102()1(10101022101105x C x C x C x ++++ 展开式中，7x 项的系数是（ ）A ．50400B ．15300 C. 30030 D ．15001510.如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）A ．425πB ．1625π C. 41125π D ．161125π 11.已知函数)(x f 是定义在R 内的奇函数，且满足)()2(x f x f =-，若在区间]1,0(上，x x f 1)(=，则=++++++)818()212()111(f f f （ ） A ．631 B ．1231 C. 635 D ．1235 12.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线l 交抛物线于点B A ,，若→→=FB AF λ，且)21,31(∈λ，则k 的取值范围是（ ） A ．)3,1( B ．)2,3( C. )22,2( D ．)22,3(第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题-数学（五）(数学)1. 已知，则( )A. B. C. D.2. 已知集合，，，则A. B. C. D.3.已知，，设命题，命题，则p是q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若，则( )A. B. C. D.5. 科研团队对某型号投篮机器人进行投篮试验，假设机器人每次投篮的命中率相同，且两次投篮试验中至少投中一次的概率为若机器人进行5次投篮试验，则投中次数的期望为( )A. B. 3 C. D. 46.已知数列的前n项和为，，则A. 132B. 134C. 136D. 1387. 某中学开展劳动实习，学生需要将半径为4的实心木球加工成由同底的圆锥和圆柱组成的陀螺半成品，圆锥的顶点在球面上，如图所示.若圆锥与圆柱的体积之比为，则陀螺半成品的底面积的最大值为( )A. B. C. D.8. 函数的零点个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 39. 空气质量指数简称是能够对空气质量进行定量描述的数据，污染物监测为6项：二氧化硫、二氧化氮、PM10、、一氧化碳和臭氧，AQI将这6项污染物用统一的评价标准呈现，AQI越小代表空气质量越好．甲、乙两地在9次空气质量监测中的AQI数据如图所示，则( )A. 甲地的AQI的平均值大于乙地B. 甲地的AQI的方差大于乙地C. 甲地的AQI的中位数大于乙地D. 甲地的空气质量好于乙地10. 已知函数，，则( )A. 与的图象有公共点B. 与的图象关于y轴对称C. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象D. 与在区间上单调性相反11. 已知椭圆C：的右顶点为A，上顶点为B，P为C上一点．若的面积为，则点P可能位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限12. 已知，则A. 的最大值为1B. 的最小值为C. 的最大值为D. 的最小值为13. 若双曲线C的两个顶点是以两个焦点为端点的线段的三等分点，则C的一个标准方程为__________.14. 若展开式中项的系数为80，则__________.15. 如图，在等腰直角中，，，D为AC的中点，将线段AC绕点D旋转得到线段设M为边AB上的点，则的最小值为__________.16. 在直角梯形ABCD中，，，，P为四边形ABCD所在平面外一点，且，，设M为PD的中点，则CM的值为__________.17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足求若，，求的周长.18. 已知数列的前n项和为，，数列为等差数列，且，求的通项公式；若对任意的N，都有，证明：19. 光伏发电是利用半导体界面的光生伏特效应而将光能直接转变为电能的一种技术，具有充分的清洁性、绝对的安全性，相对的广泛性、资源的充足性及潜在的经济性等优点，但同时受到四季、昼夜以及阴晴等气象条件的影响．某西部城市统计了从3月份以来连续6个月的光伏发电量单位：万千瓦时如表所示：月份x345678发电量万千瓦时172019242526从前4个月中随机选择2个月，求这2个月的光伏发电量均不低于20万千瓦时的概率；由数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系．根据表中前4组数据，求y关于x的线性回归方程；根据所求的线性回归方程计算7，8月发电量的预测值，并与当月发电量的真实值y进行比较．若满足，则可用此回归方程预测以后的发电量，并预测9月的发电量；若不满足，请说明理由．参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，20. 如图，四棱锥的底面是矩形，证明：若，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值的取值范围.21. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，过点A作C 的切线l，过点A作垂直于l的直线交y轴于点求t的取值范围;设直线AH与C的另一个交点为D，BH与C的另一个交点为E，证明：22. 已知函数当时，证明：；若存在极小值点，求的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复数的四则运算以及共轭复数，复数的模，属于基础题.先由复数的四则运算化简复数z，得，再求即可.【解答】解：因为，所以，所以，则故选：2.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的表示方法，考查集合间的关系.由题意化简B、C，即可解答.【解答】解：由题意知，，故故选：3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件，必要条件的判断，涉及基本不等式，属于基础题.利用基本不等式，可推出“\(p⇒q\)”，取特殊值可得到“\(q⇏p\)”，从而得到答案.【解答】解：，若，则，所以p是q的充分条件，若\(x=0.81\)，\(y=0.25\)，则\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=1.4\leqslant\sqrt{2}\)，而\(x+y=1.06>1\)，所以\(q⇏p\)，故p是q的充分不必要条件.故选4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦公式，属于基础题.利用同角三角函数中的平方关系，完成弦与切的互化，进而得出结论．【解答】解：由，得，故选：5.【答案】B【解析】【分析】本题考查n次独立重复试验与二项分布，考查离散型随机变量的期望，属于基础题.先求出p，再利用二项分布的期望即可求解.【解答】解：设机器人投篮命中的概率为p，在两次投篮中投中的次数为X，则，则，解得，则在5次投篮试验中，投中次数的期望为6.【答案】D【解析】【分析】本题考查递推公式的应用，考查数列分组求和，属于中档题.由数列的递推公式，得，再求和得出答案．【解答】解：因为，所以，所以，所以7.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆锥与圆柱的体积公式，考查直观想象的核心素养，属于中档题．若使陀螺半成品的底面积最大，则圆锥的顶点和圆柱底面圆均在球面上，作出轴截面，结合圆锥与圆柱的体积公式，即可得结果．【解答】解：若使陀螺半成品的底面积最大，则圆锥的顶点和圆柱底面圆均在球面上，此陀螺半成品的轴截面如图，球心O即为长方形ABCD对角线的交点，由圆锥与圆柱的体积之比为，得圆锥与圆柱的高之比为，则，由，得，故为等边三角形，则，故底面积的最大值故选：8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了函数零点个数求解，属于基础题.利用对数的运算和函数的零点求解即可.【解答】解：由题知的定义域为，因为，所以令，得，所以，所以或，所以或，所以的零点个数为9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查折线统计图和样本的数据特征，属于基础题.利用已知图表对选项逐个判断即可.【解答】解：由题图可知，甲地AQI除第2次低于乙地外，其他8次均高于乙地，所以甲地的AQI的平均值不会小于乙地的平均值，A选项正确;甲地的AQI没有乙地的波动大，所以甲地的AQI数据更为稳定，则甲地的AQI的方差小于乙地的方差，B选项错误;甲地的AQI的中位数位于50到60之间，乙地的AQI的中位数位于40到50之间，甲地的AQI的中位数大于乙地的中位数，C选项正确;因为AQI越小代表空气质量越好，所以乙地的空气质量好于甲地的空气质量，D选项错误.故选：10.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查三角函数的性质，函数的对称性，单调性以及函数图像的平移.对于A：取，可得出函数与有公共点，进而判断选项A；对于B：根据函数对称性来判断选项B；对于C：根据函数平移法则可判断选项C；对于D：根据函数单调性可判断选项【解答】解：对于A：因为，所以与的图象均经过点，故A选项正确;对于B：，故与的图象关于y轴对称，故B选项正确;对于C：的图象向左平移个单位长度得到的函数解析式为：，故C选项不正确;对于D：令，，得：，，令，得：函数在区间上单调递增，同理可得函数在区间上单调递减，故与在区间上单调性不同，故D选项正确.，故选：11.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查椭圆的性质，属于中档题.先求出三角形面积的表达式，进而解出m的可能取值，进而分析这个公共点所在的象限.【解答】解：由得，，，则直线AB的方程为，设经过点P且与AB平行的直线l的方程为，则直线AB与l的距离，的面积，所以，解得或，当时，由得，解得，此时l与椭圆有一个公共点位于第一象限；当时，因为，所以公共点位于第二象限、第四象限.故答案选：12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题.转化为利用基本不等式求最值进行求解即可.【解答】解：，当且仅当时取等号，A 选项正确；，则，当且仅当时取等号，故B错误；当a，b，c同号时，，则，当且仅当时取等号，故C正确；当a，c同号，b与a，c异号时，则当且仅当时取取等号，D选项正确.故选：13.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程，属于基础题.根据题意，得到，进而求得标准方程.【解答】解：设C的方程为，设焦距为由题意，，则，即，不妨设则则C的一个标准方程为14.【答案】2【解析】【分析】本题考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题.利用二项展开式的通项公式进行求解即可.【解答】解：展开式的通项公式为，由可得，则由题意可得，解得故答案为：15.【答案】【解析】【分析】本题考查向量的数量积，属于中档题.先判断四边形AECF为矩形，得，设，再利用数量积的运算性质得，利用二次函数的性质即可求解.【解答】解：连接AF，FC，CE，EA，因为，D为AC，EF的中点，所以四边形AECF为矩形，则，，设，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了空间几何体中线段长度的求法，涉及余弦定理，属于中档题.取AD的中点N，连接MN，CN，利用三角形中位线定理、勾股定理等知识计算MN，NC的长，并且得到，在中，利用余弦定理计算CM的长即可.【解答】解：由题意可知，，，取AD的中点N，连接MN，CN，如图，在中，因为，，所以，在直角梯形ABCD中，因为，，所以四边形ANCB为平行四边形，所以，，所以在中，由余弦定理可得，故故答案为：17.【答案】解：因为，所以由正弦定理得，而，因此，所以，即因为C为三角形内角，所以，因此，即，所以因为，所以由正弦定理得①.又因为，，所以由余弦定理得②，因此由①②解得，，所以的周长为【解析】本题考查了两角和与差的三角函数公式，正弦定理和余弦定理，属于中档题.利用正弦定理，结合题目条件得，再利用两角和的正弦函数公式，计算得结论;利用正弦定理，结合题目条件得，再利用余弦定理得余弦定理得，解得，，从而得结论.18.【答案】解：因为数列的前n项和，当时，，当时，，满足，所以，则，设等差数列的公差为d，则，，即，所以证明：，对任意的，，即因为对任意的，都有，所以，，所以【解析】本题考查数列的递推关系式及等差数列的通项公式，以及数列的函数特征，属于中档题.先由与的关系得出，再由等差数列的通项公式得出由得出，由得出的取值范围即可得出.19.【答案】解：设“从前4个月中随机选择2个月，这2个月的光伏发电量均不低于20万千瓦时”为事件A，从前4个月中随机选择2个月的基本事件有：3月和4月，3月和5月，3月和6月，4月和5月，4月和6月，5月和6月，共6个基本事件.其中事件A包括1个基本事件，所以，，，，则所以所求线性回归方程为当时，，当时，，故可用此回归方程预测以后的发电量，当时，，所以9月的发电量预计为29万千瓦时.【解析】本题考查古典概型和回归直线方程及其应用，属于中档题.利用古典概型的概率公式即可求解;求出回归直线方程的系数，得所求线性回归方程为；分别令、和，即可求出预测值.20.【答案】证明：因为四边形ABCD为矩形，所以，因为所以，又，AB，平面PAB，所以平面PAB，又因为平面PAB，所以，同理，，又，平面ABCD，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以解：如图，以A为坐标原点，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.设则，则则设平面PCD的一个法向量为，则有，得令可得所以设直线PB与平面PCD所成角为，，因为，所以所以在上单调递增，所以当时，当时，所以即直线PB与平面PCD所成角的正弦值的取值范围为【解析】本题考查了线面垂直的判定与性质及利用空间向量求线面角，属于中档题.利用已知条件证明平面ABCD，再利用线面垂直的性质即可求解.利用空间向量求线面角，再利用边长的范围确定正弦值的范围.21.【答案】解：由，得，设，则切线l的斜率，即直线AH的斜率，故直线AH的方程为，整理得当时，点H的纵坐标，因为，所以，故t的取值范围是证明：设，，，由题意得直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为，联立整理得，，，即设直线AD的方程为，联立整理得，，，即同理可得，即则，故【解析】本题考查导数的几何意义，考查直线与抛物线的位置关系，属于较难题.利用导数的几何意义求出直线AH的方程，进而求出t的范围；设，，，由题意得直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为，分别求出，，，进而得到，即可证明结论.22.【答案】证明：，由，得，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，故解：由可知当时，无极小值.当时，令，解得或①若，则，当x变化时，，的变化情况如下表：x-+-单调递减单调递增单调递减故在处取极小值，则②若，即时，在R上恒成立，所以单调递减，无极值.③若，则，当x变化时，，的变化情况如下表：x-+-单调递减单调递增单调递减故在处取极小值.则令，设，则，令，得或舍去当时，，单调递增;当时，，单调递减;所以所以，当且仅当时取等号，综上，的最大值为【解析】本题考查了利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数的极值、最值，属于较难题.，由，得，，再利用单调性求得的最大值，即可证明；由可知当时，无极小值.当时，令，解得或，讨论两根的大小，结合单调性求得极小值点，进而可得的最大值.。

2019年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷理科数学（五）本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 已知集合2{|ln }{|0}1x A x y x B x x -===<+， ，则A B =I A ．{|0}x x >B ．{|02}x x <<C ．{|1}x x >-D ．{|10}x x -<<2． 已知复数z 满足1i2i iz -+=，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 下列命题中，是真命题的是A ．(01)cos x x x ∀∈>， ，B ．22210x R x x ∀∈-+>，C ．000(0)tan 2x x x π∃∈=， ，D ．00210xx R ∃∈+=，4． 已知a b ，r r 均为单位向量，若a b +r r 与a r 的夹角为3π，则a b ⋅=r r A．2- B ．12-C ．12 D．25． 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．13B ．23C ．1D ．436． 张老师有学生A B C ， ， ，李老师有学生D E ， ，王老师有学生F 共6人参加一次高三数学对抗赛，赛前丁老师还辅导了学生B C D ， ， 。

赛后，四位老师在未公布成绩前预测谁得第一名，张老师：“应该是我的学生”；李老师：“会是我的学生”；王老师：“我那学生不可能”；丁老师：“我辅导过的学生都不可能”。

成绩公布后，四位老师中只有一位老师预测正确，则得第一名的学生是 A ．AB ．CC ．ED ．F7． 在一次采用“五局三胜制”的乒乓球决赛中，已知同学甲以2:1的优势暂时领先于同学乙，若两同学每局获胜的概率相同，则在剩下的比赛中，同学甲获得冠军的概率是 A ．12B ．35C ．23D ．341211正视图侧视图俯视图9．已知奇函数()y f x=对任意x R∈都有(2)()f x f x+=-，(1)2f=，则(2018)(2019)f f+的值为A．2-B．0C．2D．410．对于函数22()(sin cos)2sinf x x x x=+-，下列说法正确的是A．()f x的最大值为2B．()f x的最小正周期为2πC．()f x的图象可由曲线2y x=向左平移8π个单位得到D．()f x的单调增区间为5[]()88k k kππ+π+π∈Z，11．已知双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，的右焦点为(0)F c，，若它关于直线by xa=的对称点恰好落在直线2x y c-=上，则该双曲线的离心率为A．3B C D12．已知定义域为R的函数()f x满足(2)(2)f x f x+=-，且函数()f x的图象与x轴至多一个交点．若2x≥时，2422()e(4)e1x xf x x x a--=+--+，则实数a的取值范围为A．(2]-∞-，B．(2)-∞-，C．[)2-+∞，D．(2)-+∞，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

5i 2-i,5,2023年普通高等学校招生考试模拟试题数学(五)本试卷共4 页,22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知x=1+i则复数x的虚部为A.-3B.- 1C.1D.32.已知集合A=(r l r=3k-2,k∈Z),B=(r l log2r△4),则A n B=A.( 7,10,13)B.(4,7,10,13)C.( 1,4,7,10,13)D.( 1,4,7,10,13,16)3.若双曲线-=1 的一条渐近线与圆r2+2r+y2=3相交于A,B两点,且l AB l=8^则m=A.2B.4C.5D.81 15.若函数f(r)=(ar+b)e r在点(0,f(0)处的切线方程为y=r+3,则f(r)的最大值为A.^B.2^C.eD.2e6.月牙泉 ,古称沙井 ,俗名药泉 ,自汉朝起即为"敦煌八景,之一,得名"月泉晓澈,,因其形酷似一弯新月而得名.如图所示,某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧,两段圆弧可以看成是/ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分,若<ACB=,AB的长约为20^,则该月牙泉模型的面积约为A.300^-50rB.120r+150^C.100r+180^D.120r+180^7.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若S S乙甲=VV乙甲=34,A. B.C. D.3r8.设a=99ln97,b=98ln98,c=97ln99,则A.a△b△cB.c△b△aC.c△a△bD.b△a△c二、选择题:本题共4 小题,每小题5 分,共20分。

绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（五）理科数学必修选修II 第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A B 、互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A B 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是，那么 343V R π=次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k k n kn n P k C p p k n -=-=…一．选择题（1）设3tan ,sin cos 2παπααα=<<-则的值 （ ）A ．12-+B ．12-C ．12D ．12-（2）定义在R 上的函数的反函数为1()f x -，且对任意的都有,2)6()(=-+x f x f 若ab=100,则()()=+--b f a f lg lg 11（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6（3）221x y +=002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩2121.54C()()() 14212x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩()1,+∞12527.12536.12554.12581.D C B A 2()sin 22cos 1f x x x =+-12()()()f x f x f x ≤≤12x x -()(2)f x f x[]35x ∈，()24f x x sin cos 6π6πf f (sin1)(cos1)f f cos sin 332π2πf f (cos 2)(sin 2)f f ,//,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥则,,,m n m nαβαβ⊥⊥⊥⊥则//,//,//,//m n m n αβαβ则//,,,//m n m n αβαβ⊥⊥则32y x =-210x y -+=320x y --=3210x y --=3250x y +-=，n 是平面及外的两条不同直线．从“①m⊥n ；②⊥；③n ⊥；④m ⊥”中选取三个作为条件，余下一个作为结论组成命题，其中为真命题的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D 1 （12）22143x y +=1260F PF ∠=︒12PF PF ⋅25(1)(1)x x x ++- a b c ，，ABC∆4cos cos cos a b cA B C===ABC∆BA 、()1lg f x x=()1,+∞()2,1-34100x y --=142a b +=2212516x y -=()0,AOP OQ OA OP θθπ∠=<<=+OAQP OA OQ S ⋅+34,,55AOB α⎛⎫-∠= ⎪⎝⎭()0cos αθ+21(21)(21)41n n n S n S n +--+=-)(*N n ∈111)2na+>3”2”1”22221x ya b+=0a b>>1，1，离心率e=，O为坐标原点Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ若直线是圆O：221x y+=OA OB⋅为定值（22）（本小题满分12分）已知函数xxxf ln21)(2+=．（1）求函数在区间上的最大值、最小值；（2）已知，求证：在区间),1(∞+上，函数的图象在函数2)(axxg=的图象的下方．2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（五）理科数学必修选修II参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。

2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷数学（五）注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5,7B =，则A B ⋂的子集共有（）A.2个B.3个C.4个D.8个【答案】C 【解析】【分析】先通过集合的交集运算得出A B ⋂，即可根据集合内元素的个数得出子集个数.【详解】 集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5,7B =，{}1,3A B ∴= ，则A B ⋂的子集共有224=个，故选：C.2.已知复数52i2iz =-，则z =（）A.1B.35C.355D.【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法、除法运算，以及模的定义求解.【详解】因为()()()542i 2i 2i 2i 2i 24i 24i 2i 2i i 2i 2i 2i 555z +-+======-+--⋅--+，所以255z ==，故选:D.3.在ABC 中，记AB m = ，AC n =u u ur r ，则()CB AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r （）A.m n- B.22m n+u r r C.22n m-r u r D.22m n-u r r 【答案】D 【解析】【分析】利用向量线性运算和向量数量积的运算律可直接求得结果.【详解】()()()2222CB AB AC AB AC AB AC AB AC m n ⋅+=-⋅+=-=- .故选：D.4.已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则()f x 的单调递增区间为（）A.()2,3 B.()3,4 C.(),3-∞ D.()3,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间.【详解】由2040x x ->⎧⎨->⎩得：24x <<，即()f x 的定义域为()2,4；()()()()23112424x f x x x x x -'=-=---- ，∴当()2,3x ∈时，()0f x ¢>；当()3,4x ∈时，()0f x '<；()f x \的单调递增区间为()2,3.故选：A.5.如图，已知正四棱锥P ABCD -的底面边长和高分别为2和1，若点E 是棱PD 的中点，则异面直线PA 与CE 所成角的余弦值为（）A.B.3311C.6D.66【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，然后用向量方法即可求解【详解】连接,AC BD 交于O ，由题意，以O 为原点，分别以OB →,OC →，OP →的方向为x 轴，y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，由正四棱锥P ABCD -的底面边长和高分别为2和1可得AC BD ==，所以()()()()10,0,1,0,,0,,,,0,,22P A C D E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以()10,1,22PA CE ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，设异面直线PA 与CE 所成的角为θ，所以12332cos 11PA CE PA CEθ-⋅===⋅故选：B6.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5mm 规格的芯片，现有25块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块，10块，10块，若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为0.1，0.2，0.3，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为（）A.0.78B.0.64C.0.58D.0.48【答案】A 【解析】【分析】设B =“任取一块芯片是正品”，()1,2,3i A i =分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产，根据互斥事件的概率公式以及全概率公式，即可求得答案.【详解】设B =“任取一块芯片是正品”，()1,2,3i A i =分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产，根据题意可得∶12351010()0.2,()0.4,()0.4252525P A P A P A ======，123(10.10.9,(10.20.8,()10.30|)|).7|P B A P B A P B A =-==-==-=，由全概率公式可得∶112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.20.90.40.80.40.70.78=⨯+⨯+⨯=.故选：A7.已知()1sinsin 2222x x x f x ⎫=-+⎪⎭.若存在0π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()20132f x m m ≤--有解，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,3 B.(][),03,-∞+∞ C.1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】利用正弦余弦的二倍角公式及正弦两角和公式化简函数，然后将问题转化为函数在区间上成立问题，求出最值，解不等式即可.【详解】()1sin sin 2222x x x f x ⎫=-+⎪⎭1cos sin sin22222x x x x =-+()1cos 1sin 222x x -=-+1sin cos 22x x =+ππcos sin sin cos 66x x=+πsin 6x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若存在0π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()20132f x m m ≤--有解，则问题转化为在0π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上()20min132m m f x --≥⎡⎤⎣⎦因为0ππ6x ≤≤，所以0ππ7π366x ≤+≤，所以()0112f x -≤≤，所以221133022m m m m --≥-⇒-≥，解得：3m ≥或0m ≤即实数m 的取值范围为：(][),03,-∞+∞ ，故选：B.8.已知(),,1,a b c ∈+∞，且1ln 1e a a ---=，2ln 2e b b ---=，4ln 4e c c ---=，其中e 是自然对数的底数，则（）A.a b c <<B.b a c<< C.b<c<aD.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】由题意可得1ln e 1a a --=+，2ln e 2b b --=+，4ln e 4c c --=+，令()e x f x x -=+，利用导函数可得ln ln ln a a b b c c -<-<-，再令()ln g x x x =-，利用导函数求()g x 单调性即可求解.【详解】由题意可得1ln e 1a a --=+，2ln e 2b b --=+，4ln e 4c c --=+，令()exf x x -=+，则()e 1x f x -'=-+，因为当0x >时()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()()()124f f f <<，即ln ln ln a a b b c c -<-<-，令()ln g x x x =-，则()11g x x'=-，因为当1x >时，()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，又因为(),,1,a b c ∈+∞且()()()g a g b g c <<，所以a b c <<，故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.空气质量指数大小分为五级.指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围[)0,50，[)50,100，[)100,200，[)200,300，[]300,500分别对应“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重污染”五个等级.如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是（）A.这14天中有5天空气质量指数为“轻度污染”B.从2日到5日空气质量越来越好C.这14天中空气质量的中位数是196.5D.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日【答案】ABC 【解析】【分析】根据趋势图可判断出空气质量指数位于[)100,200的天数，知A 正确；由2日到5日空气质量指数依次下降知B 正确；由中位数的定义可计算知C 正确；根据方差与数据波动幅度之间的关系可知D 错误.【详解】对于A ，由空气质量指数趋势图可知：这14天中，空气质量指数位于[)100,200的天数有4,6,9,10,11日，则有5天空气质量指数为“轻度污染”，A 正确；对于B ，从2日到5日空气质量指数依次下降，则空气质量越来越好，B 正确；对于C ，将14天空气质量指数按照从小到大顺序排序，中位数为第7和第8个数的平均数，即179214196.52+=，C 正确；对于D ，若连续三天空气质量指数方差最小，则连续三天数据波动幅度最小，显然5日到7日数据波动幅度最大，则方差应为最大，D 错误.故选：ABC .10.密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”.若()2sin cos sin 2ααα-=，则角α可取的值用密位制表示可能是（）A.10—50B.2—50C.13—50D.42—50【答案】BD 【解析】【分析】通过三角恒等变换化简()2sin cos sin 2ααα-=，得出,12k k Z παπ=+∈或5,12k k Z παπ=+∈，再通过题意对选项一一化为弧度制，即可判断是否符合题意.【详解】()2sin cos sin 2ααα-=Q ，22sin 2sin cos cos 2sin cos αααααα∴-+=，22sin cos 1αα+= ，4sin cos 1αα∴=，即1sin 22α=，,12k k Z παπ∴=+∈或5,12k k Z παπ=+∈，对于选项A ：密位制10—50对应的角的弧度制为105072600020ππ⨯=，不符合题意，故选项A 错误；对于选项B ：密位制2—50对应的角的弧度制为2502600012ππ⨯=，符合题意，故选项B 正确；对于选项C ：密位制13—50对应的角的弧度制为135092600020ππ⨯=，不符合题意，故选项C 错误；对于选项D ：密位制42—50对应的角的弧度制为4250172600012ππ⨯=，符合题意，故选项D 正确；综上所述，选项BD 正确，故选：BD.11.已知点A ，B 分别是双曲线22:14x C y -=的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，则下列说法正确的是（）A.双曲线CB.双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为1C.12k k 为定值14D.存在点P ，使得1212k k +=【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，求出c =，得到离心率；B 选项，求出焦点坐标和渐近线方程，得到焦点到渐近线的距离；C 选项，设(),P m n ，表达出12,22n n k k m m ==+-，结合2214m n -=求出1214k k =；D 选项，设(),P m n ，0,0m n >>，由渐近线方程得到2mn >，结合2214m n -=得到1212m k k n +>=.【详解】A 选项，由题意得：2a =，1b =，故c ===故离心率为52c a =，A 正确；B 选项，双曲线C 的焦点为()，渐近线的方程为20y x ±=，故焦点到渐近线的距离为1d ==，B 正确；C 选项，由题意得：()()2,0,2,0A B -，设(),P m n ，则2214m n -=，2214m n -=，故12,22n n k k m m ==+-，21222224241414n n n k k m m m m m =⋅=-=--=+-，C 正确；D 选项，设(),P m n ，0,0m n >>，2214m n -=，2244m n -=，因为渐近线的方程为20y x ±=，故2m n >，即2mn >，使得2122221222222444n n mn n mn n mn mn m m k m m mnn k -++=+====--+->+，D 错误；故选：ABC12.已知()221f x x =+，()4g x x =-，若方程()()()()420f x g x f x g x ax a ---+++=有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为（）A.1-B.15C.35D.1【答案】BC 【解析】【分析】通过分类讨论去绝对值，得出()()24601a x a x ++-=>，()()24601a x a x -+-=<-，与()20441ax x x a ++=≤-，再根据根的数量确定a 的取值范围，即可对选项一一验证.【详解】当()()f x g x ≤时，即2214x x +≤-，解得1x ≤，当()()f x g x >时，即2214x x +>-，解得1x >，则当1x >时，()()()()f x g x f x g x -=-，此时方程()()()()420f x g x f x g x ax a ---+++=，即()2420g x ax a -+++=，即2460x ax a ++-=，此时若1x >则()()24601a x a x ++-=> ①，此时若1x <-则()()24601a x a x -+-=<- ②，当1x ≤时，()()()()f x g x g x f x -=-，此时方程()()()()420f x g x f x g x ax a ---+++=，即()2420f x ax a -+++=，即()24041ax a x x +=-+≤ ③，其中方程①与②最多各有一个实数根，方程③最多有两个不同的实数根，原方程有四个不同的实数根，∴方程①与②各有一个实数根，方程③有两个不同的实数根，对于方程()20441ax x x a ++=≤-有两个不同的实数根，可以等价为：2Δ640118540340a a a a a ⎧=+>⎪⎪-<<⎪⎨⎪-≤⎪-≤⎪⎩解得405a <≤，对于选项A ：405a <≤取不到1-，故选项A 错误；对于选项B ：当15a =时，方程①的根为26111>，方程②的根为2619-<-，符合题意，故选项B 正确；对于选项C ：当35a =时，方程①的根为18113>，方程②的根为1817-<-，符合题意，故选项C 正确；对于选项D ：405a <≤取不到1，故选项D 错误；综上所述，选项BC 正确，故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含4x 的项的系数为______.【答案】1458-【解析】【分析】利用赋值法，令1x =，则13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式各项系数之和为2n ，即可求得n ；再由二项展开式的通项求得含4x 项的系数.【详解】令1x =，则13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式各项系数之和为62642==n ，则6n =,其中通项()()66621661C 3C 31rrr rr rr r T x x x ---+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，令624r -=，则1r =，则()1154426C 311458T x x =⋅⋅-=-，故含4x 的项的系数为1458-.故答案为：1458-.14.设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为2，3，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，则12V V 的值是______.【答案】23##2:3【解析】【分析】利用圆柱体的侧面积和体积公式求解即可.【详解】设甲的高为1h ，乙的高为2h ，由题意可得122π22π3h h ⨯⨯=⨯⨯，所以1232h h =，所以()()211222π223π3h V V h ⨯⨯==⨯⨯，故答案为：2315.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则30n S n+的最小值为__________．【答案】612【解析】【分析】先由“两个等差数列的公共项构成的新的等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数”得n S ，再应用基本不等式求得30n S n+的最小值.【详解】解：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为8，公差为15的等差数列{}n a ，则2(1)151815222n n n S n n n -=+⨯=+∴30153011612222n S n n n +=++≥+=当且仅当1530=2n n，即2n =时，等号成立，∴30n S n +的最小值为612．故答案为：612.16.抛物线()2:20C y px p =>的焦点到直线10x y -+=的距离为528，点M 是C 上任意一点，点N 是圆()22:31D x y -+=上任意一点，则MN 的最小值是______.【答案】1112-【解析】【分析】根据焦点到直线的距离可构造方程求得p ，得到抛物线方程；由圆的方程可得圆心和半径；设()2,M t t ，利用两点间距离公式可表示出DM ，根据二次函数性质求得minDM；由圆的几何性质可知所求最小值为minDMr -.【详解】由抛物线方程得：焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，8=，解得：12p =，∴抛物线2:C y x =，设()2,M t t ；由圆的方程可知：圆心()3,0D ，半径1r =，DM ∴=则当252t =时，min112DM ==，min1111122MN r ∴=-=.故答案为：12-.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin sin sin A B A B +-=)sin sin A C C -.（1）求角B 的大小；（2）若BC 边上的高为2b c -，求sin C .【答案】（1）π6B =（2）1sin 5C =【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理边角互化即可求解；（2）利用面积公式可得52b c =，再利用正弦定理边角互化即可求解.【小问1详解】由题意可得222sin sin sin sin A B A C C -=-，根据正弦定理可得222a b c -=-，所以222c a b ac+-=又根据余弦定理可得2223cos 22c a b B ac +-==，因为()0,πB ∈，所以π6B =.【小问2详解】因为11(2)sin 22ABC S a b c ac B =-= ，即52b c =，由正弦定理可得5sin sin 2B C =，所以21sin sin 55C B ==.18.设等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，()*141n n n a S a n +=+∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设5nn a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]2.62=.【答案】（1）21n a n =-（2）16【解析】【分析】(1)根据,n n a S 的关系求出数列的首项公差即可求解；(2)根据定义分别写出数列{}n b 的前10项，求和即可.【小问1详解】设等差数列公差为d ，因为()*141n n n a S a n +=+∈N，所以当2n ≥时，1141n n n Sa a --=+，所以1114411n n n n n n a a S S a a -+--=+--，所以114n n n n n a a a a a +-=-，因为0n a >，所以1124n n a a d +--==，所以2d =，令1n =得1121141(2)1a a a a a =+=++整理得211210a a -+=解得11a =，所以12(1)21n a n n =+-=-.【小问2详解】由（1）得215n n b -⎡⎤=⎢⎣⎦，所以215n n b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的前10项和等于1357111315195555557559155⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦001112233316=+++++++++=.19.某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，竞赛成绩的频率分布表如下：竞赛成绩[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[)90,100频率0.080.240.360.200.12（1）估计该校学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知样本中竞赛成绩在[)50,60的男生有2人，从样本中竞赛成绩在[)50,60的学生中随机抽取3人进行调查，记抽取的男生人数为X ，求X 的分布列及期望.【答案】（1）75.4（2）分布列见解析；期望()34E X =【解析】【分析】（1）利用每组区间的中点值乘以该组的概率，加总和即可得到平均数的估计值；（2）根据频率分布表可求得样本中竞赛成绩在[)50,60的总人数，进而确定X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，进而得到分布列；根据数学期望公式可计算求得期望值.【小问1详解】平均数为550.08650.24750.36850.20950.1275.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】由题意知：样本中竞赛成绩在[)50,60的共有1000.088⨯=人，其中有男生2人，则X 所有可能的取值为0,1,2，()3638C 2050C 5614P X ∴====；()216238C C 30151C 5628P X ====；()126238C C 632C 5628P X ====；X ∴的分布列为X12P5141528328∴数学期望()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=.20.如图所示的几何体中，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，四边形PDCE 为矩形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，F 为PA 的中点，N 为PC 与DE 的交点，PD =112AB AD CD ===.（1）求证：//FN 平面ABCD ；（2）若G 是线段CD 上一点，平面PBC 与平面EFG 所成角的余弦值为6，求DG 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）49-.【解析】【分析】（1）连接AC ，证明//FN AC ，利用线面平行的判定定理即得；（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.【小问1详解】因为四边形PDCE 为矩形，则N 为PC 的中点，连接AC，在PAC △中，F ，N 分别为PA ，PC 的中点，则有//FN AC ，而直线FN ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以//FN 平面ABCD ；【小问2详解】因为平面PDCE ⊥平面ABCD ，DP DC ⊥，平面PDCE ⋂平面ABCD CD =，DP ⊂平面PDCE ，所以DP ⊥平面ABCD ，又//AB CD ，AB AD ⊥，故DC AD ⊥，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z轴，建立空间直角坐标系，则12(00(100),(110),(020),(02(0),,22,,,,,,,,P A B C E F ，设()0,,0G t ，[]0,2t ∈，所以(11,,,,(110)PB BC ==-，1222,,FE ⎛=- ⎪⎝⎭，(0,2GE t =-，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则0m PB x y m BC x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得(1,m =，设平面EFG 的法向量为(),,n a b c =r ，则()12202220n FE a b nGE t b ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ ，令b =，得)2n t =+-r，所以cos ,6m n n n m m ⋅==⋅，整理可得298110t t +-=，解得11549t -=或11549t =(舍去)，即DG 的长为49.21.设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为P，离心率为22，O 是坐标原点，且OP FP ⋅=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线，分别与C 交于A ，B ，M ，N 四点，求四边形AMBN 面积的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据题意，结合离心率及椭圆,,ab c 的关系列出方程即可得到结果；（2）当1l ，2l 中有一条斜率不存在时，122AMBN S ==；当1l ，2l 的斜率都存在时，设过点()1,0F -的两条互相垂直的直线1l ：1x ky =-，直线2l ：11x y k=--，联立22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩求出AB 与MN ，所以12S AB MN =⋅代入整理成关于k 的式子，求式子的值域即可.【小问1详解】设椭圆C 的焦距为2c ，则22c a =，所以a =因为222a b c =+，所以b c =，又OP FP ⋅=，,OP b FP a ==，所以ab =，即1c =所以1a b ==所以2212x y +=【小问2详解】当1l ，2l 中有一条斜率不存在时，设直线1l 的方程为=1x -，此时直线2l 与x 轴重合，即AB MN ==，所以122AMBN S ==；当1l ，2l 的斜率都存在时，设过点()1,0F -的两条互相垂直的直线1l ：1x ky =-，直线2l ：11x y k=--由22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210k y ky +--=此时()224420k k ∆=++>，∴12222k y y k +=+，12212y y k -⋅=+则AB ==)()222122k k k k+=++.把上式中的k 换成1k -得：MN =则四边形AMBN 的面积为12S AB MN =⋅=)())22221112122k k k k k k ++⋅⋅=++()()()222241212k k k +++令21k t +=，则1t >，且221k t +=+，22121k t +=-()()()22222241421212kt S t t kk +===+-++2411924t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，()1t >，∴1629S ≤<，所以四边形AMBN 的面积的取值范围是16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦.22.已知函数()()()ln 21f x x m x m m =+-+-∈R .（1）当4m =时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在正整数m ，使得()0f x ≤恒成立，若存在求出m 的最小值，若不存在说明理由.【答案】（1）函数()f x 的单调减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）存在正整数3m =【解析】【分析】（1）当4m =时，对函数()f x 求导，令()0f x ¢>和()0f x '<，即可求出函数()f x 的单调区间；（2）要使()0f x ≤恒成立，即()max 0f x ≤恒成立，讨论2m ≤和m>2，求出()f x 的单调性，即可知要使()max 1ln02f x m m =-≤-，令()()()ln 22g m m m m =-+>，对()g m 求导，得出()g m 的单调性，即可得解.【小问1详解】当4m =时，函数()ln 23f x x x =--的定义域为()0,∞+，()1122x f x x x-'=-=，令()0f x ¢>，解得：102x <<；令()0f x '<，解得：12x >，所以函数()f x 的单调减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】()()ln 21f x x m x m =+-+-的定义域为()0,∞+，()()2112m x f x m x x-+=+'-=，若20m -≥，即2m ≤，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，无最大值；若20m -<，即m>2，函数()f x 在10,2m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,2m ∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭上单调递减.当12x m =-时，函数()f x 取得最大值，且()max 11ln 22f x f m m m ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭，要使()0f x ≤恒成立，即()max 0f x ≤，所以1ln02m m -≤-，即()ln 20m m -+≥，令()()()ln 22g m m m m =-+>，()()1110222m g m m m m -=+=>>--'所以()g m 在()2,+∞上单调递增，当m 趋近于2时，()0g m <，()3ln130g =+>，所以存在最小正整数3m =，使得()()ln 20g m m m =-+>，即是使得()0f x ≤恒成立.。

2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考全真模拟测试（五）数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集U={1,2,3,4,5,6}，M={1,4}，P={2,3}，则集合(∁U M)∩(∁U P)=（）A．{1,2,3,4,5,6}B．{2,3,5,6}C．{1,4,5,6}D．{5,6}2．不论m为何值，直线(2m−1)x+(m+2)y+5=0恒过定点A．(−1,−2)B．(1,−2)C．(−1,2)D．(1,2)3．设p：关于x的方程4x−2x+1−a=0有解；q：函数f(x)=log2(x+a−1)在区间(0,+∞)上恒为正值，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图，已知底面边长为a 的正四棱锥P −ABCD 的侧棱长为2a,若截面PAC 的面积为8√7,则正四棱锥P −ABCD 的体积等于（ ）A ．12√14B ．32√143C ．32√78D ．10835．已知函数f(x)=x 3+ax 2的图象在x =1处的切线的斜率为7，则函数f (−2x )的最大值为（ ） A ．1627B ．3227C ．2716D ．27326．函数y =cos(1+x 2)的导数是（ ） A ．2xsin(1+x 2)B ．−sin(1+x 2)C ．−2xsin(1+x 2)D ．2cos(1+x 2)7．设F 1(−c,0),F 2(c,0)是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是∠F 1PF 2的角平分线，过点F 1作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则|OQ|的长为 A ．定值a B ．定值bC ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化8．已知α、β、γ、δ为锐角，在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosδ，sinδcosα四个值中，大于12的个数的最大值记为m ，小于14的个数的最大值记为n ，则m +n 等于（ ） A ．8B ．7C ．6D ．5二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现在统计了该平台从2013年到2021年共9年“年货节”期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y看成年份序号x（2013年作为第一年）的函数.运用excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法正确的是（）A．销售额y与年份序号x正相关B．销售额y与年份序号x线性关系不显著C．三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果D．根据三次函数回归曲线可以预测2022年“年货节”期间的销售额约为2680.54亿元10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）A．D1D⊥AFB．A1G⊥平面AEFC．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为√1010D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 11．已知数列{an }是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列{an 2}是等比数列 B ．若a 3=2，a 7=32，则a 5=±8C ．若a 1<a 2<a 3，则数列{an }是递增数列D ．若数列{an }的前n 和S n =3n−1+r ，则r =﹣112．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知A (2,3)，B (4,−3)，点P 在直线AB 上，且|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=32|PB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，则P 的坐标为(165,−35). B ．已知O 是△ABC 的外接圆圆心，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AO ⃑⃑⃑⃑⃑ ，|AO ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=R ，R 为圆的半径，则BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 在BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 上的投影为√32R . C ．若c ⊥(a −b ⃑ )，且c ≠0⃑ ，则a =b⃑ . D ．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =PC⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则P 是△ABC 的垂心. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．复数z 满足z(2−3i)=18−i ，则|z |=__________． 14．9910被1000整除的余数为________.15．已知点A ，B ，C 在函数f (x )=√3sin (ωx +π3)(ω>0)的图象上，如图，若AB ⊥BC ，则ω=______.16．已知函数的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝____________四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知菱形ABCD中,∠DAB=60∘，E是边BC上一点，线段DE交AC与点F.（1）若ΔDCE的面积为√32，DE=√3，求菱形的边长AB.（2）若CFDF =85，求cos∠DFC.18．某学习网按学生数学成绩的水平由高到低分成甲､乙两档，进行研究分析，假设学生做对每道题相互独立，其中甲､乙档学生做对每道题的概率分别为p，58p，现从甲､乙两档各抽取一名学生成为一个学习互助组合.(1)现从甲档中选取一名学生，该生5道题做对4道题的概率为f(p)，求出f(p)的最大值点p0；(2)若以p0作为p的值，⊥求每一个互助组合做对题的概率；⊥现选取n个组合，记做对题的组数为随机变量X，当X=90时，P(X)取得最大值，求相应的n和E(X).19．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AC=AB=BC=√3AA1=√3A1C，且O为AC的中点.(1)求证：A1O⊥平面ABC；(2)求二面角C−A1B−C1的余弦值.20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，焦距为2.（1）求椭圆C的方程；（2）设A，B为椭圆C上两点，O为坐标原点，k OA⋅k OB=−12，点D在线段AB上，且AD⃑⃑⃑⃑⃑ =1 3AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，连接OD并延长交椭圆C于E，试问|OE||OD|是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由.21．黄冈市一中学高一年级统计学生本学期20次数学周测成绩(满分150)，抽取了甲乙两位同学的20次成绩记录如下:甲:92,96,99,103,104,105,113,114,117,117,121,123,124,126,129,132,134,136,142,141乙:102,105,113,114,116,117,125,125,127,128,128,131,131,135,136,138,139,142,145,150（1）根据以上记录数据求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好?（2）将同学乙的成绩分成[100,110),[120，130)[130,140)[140,150)，完成下列频率分布表，并画出频率分布直方图;分组频数频率[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)合计201（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意取出2个成绩，求取出的2个成绩不是同一个人的且没有满分的概率.22．已知函数f(x)=ax−lnx+1有两个不同的零点x1,x2(x1<x2).（1）求实数a的取值范围；（2）记f(x)的极值点为x0，求证：1x1+1x2>2ef(x0).\2022年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟测试（五）数学答案1．D∁U M={2,3,5,6}，∁UP={1,4,5,6}，(∁UM)∩(∁UP)={5,6}.故选：D.2．B∵(2m−1)x+(m+2)y+5=0恒过定点，∴(2x+y)m+(−x+2y+5)=0恒过定点，由{2x+y=0,−x+2y+5=0,解得{x=1,y=−2,即直线(2m−1)x+(m+2)y+5=0恒过定点(1,−2).3．B因为方程4x−2x+1−a=0有解,即方程a=(2x)2−2⋅2x有解，令t=2x>0，则y=t2−2t=(t−1)2−1∈[−1,+∞)，即a∈[−1,+∞)；因为函数f(x)=log2(x+a−1)在区间(0,+∞)上恒为正值，所以x+a−1>1在区间(0,+∞)上恒成立，即a>−x+2在区间(0,+∞)上恒成立，解得a≥2，所以p是q的必要不充分条件，4．B解：连接BD，交AC于O，连接PO，则PO⊥底面ABCD且O是AC中点，AC=√a2+a2=√2a，PO=√PC2−(AC2)2=√(2a)2−(√22a)2=√142a，∵截面PAC的面积为8√7，∴S△PAC＝12×√2a×√142a=8√7，解得a=4，∴正四棱锥P−ABCD的体积为：V P−ABCD＝13×S正方形ABCD×PO=13×a2×√142a=√146a3=√146×43=32√143.故选：B．5．B⊥f′(x)=3x2+2ax，⊥f′(1)=3+2a=7，则a=2，⊥f′(x)=x(3x+4)，当x <−43时，f ′(x)>0；当−43<x <0时，f ′(x)<0. 故f(x)在(−∞,0)上的最大值为f(−43)=3227. ⊥−2x <0，⊥f(−2x )的最大值为3227. 故选B. 6．C因为函数y =cos(1+x 2)所以y′=−sin(1+x 2)(1+x 2)′=−2xsin(1+x 2) 7．A依题意如图，延长F 1Q ，交PF 2于点T ， ⊥PQ 是⊥F 1PF 2的角分线．TF 1是PQ 的垂线， ⊥PQ 是TF 1的中垂线，⊥|PF 1|＝|PT |， ⊥P 为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1上一点， ⊥|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， ⊥|TF 2|＝2a ，在三角形F 1F 2T 中，QO 是中位线， ⊥|OQ |＝a ． 故选A ．8．B解：因为α、β、γ、δ为锐角， 则sinαcosβ≤sin 2α+cos 2β2，当且仅当sinα=cosβ时取等号，同理sinαcosβ+ sinβcosγ+ sinγcosδ+ sinδcosα≤2，0<sinαcosβ sinβcosγ sinγcosδ sinδcosα=116sin2α⋅sin2β⋅sin2δ⋅sin2γ≤116， 故不可能有4个数都大于12，所以最多三个数大于12，所以m =3，例如α=45°,β=44°,γ=30°,δ=60°，故最多有4个数均小于14，所以n =4，例如α=β=γ=δ=80°， 所以m +n =7. 9．ACD根据图象可知，散点从左下到右上分布， 销售额y 与年份序号x 呈正相关关系，故A 正确；因为相关系数0.936>0.75，靠近1，销售额y 与年份序号x 线性相关显著，B 错误. 根据三次函数回归曲线的相关指数0.999>0.936，相关指数越大，拟合效果越好，所以三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，C 正确；由三次多项式函数y =0.07x 3+29.31x 2−33.09x +10.44， 当x =10时，y ≈2680.54亿元，D 正确； 10．BCDA 选项，由DD 1//CC 1，即CC 1与AF 并不垂直，所以D 1D ⊥AF 错误.B 选项，如下图，延长FE 、GB 交于G’连接AG’、GF ，有GF//BE 又E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，所以GG ′=BB 1=AA 1，而AA 1//GG ′，即A 1G//AG ′；又因为面ABB 1A 1 ∩面AEF =AG ，且A 1G ⊄面AEF ，A 1G ⊂面ABB 1A 1，所以A 1G ⊥平面AEF ，故正确.C选项，取B1C1中点H，连接GH，由题意知GH与EF平行且相等，所以异面直线A1G与EF 所成角的平面角为∠A1GH，若正方体棱长为2，则有GH=√2,A1G=A1H=√5，即在△A1GH中有cos∠A1GH=√1010，故正确.D选项，如下图若设G到平面AEF的距离、C到平面AEF的距离分别为ℎ1、ℎ2，则由V A−GEF=13⋅AB⋅S GEF=V G−AEF=13⋅ℎ1⋅S AEF且V A−CEF=13⋅AB⋅S CEF=V C−AEF=13⋅ℎ2⋅S AEF，知ℎ1ℎ2=S GEFS CEF=2，故正确.11．AC解：由数列{an }是等比数列，设公比为q ，知：在A 中，⊥a n 2=a 12q2n−2， ⊥a n+12a n2=a 12q 2n a 12q 2n−2=q 2是常数，⊥数列{an 2}是等比数列，故A 正确；在B 中，若a 3=2，a 7=32，则a 5=√2×32=8，故B 错误；在C 中，若a 1<a 2<a 3，则a 1<a 1q <a 1q 2，当a 1>0时，可得1<q <q 2，解得q >1， 且{a n }中各项为正数，所以a n+1−a n =a n (q −1)>0，此时数列{an }是递增数列； 当a 1<0时，可得1>q >q 2，解得0<q <1，此时{a n }中各项为负数， 所以a n+1−a n =a n (q −1)>0，此时数列{an }是递增数列，综上所述，C 正确； 在D 中，若数列{an }的前n 和Sn =3n ﹣1+r ，则a 1=S 1=1+r ，a 2=S 2﹣S 1=(3+r )﹣(1+r )=2，a 3=S 3﹣S 2=(9+r )﹣(3+r )=6，⊥a 1，a 2，a 3成等比数列，⊥a 22=a 1a 3，⊥4=6(1+r )，解得r =﹣13，故D 错误. 12．BD在直线AB 上满足|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=32|PB ⃑⃑⃑⃑⃑ |的点P 有两个，一个在线段AB 上，一个在线段AB 的延长线上，A 错；如图，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AO ⃑⃑⃑⃑⃑ ．则ABOC 是平行四边形，又|AO ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=R ，而|OB |=|OC |=R ， 所以ABOC 是菱形，且∠ABO =π3，|BE |=√32R ，BA⃑⃑⃑⃑⃑ 在BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 上的投影为|BE |= √32R ，B 正确；如，a =(2,1),b ⃑ =(1,2)，c =(1,1)，满足c ⊥(a −b ⃑ )，但a ≠b⃑ ，C 错； PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⇒PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(PA ⃑⃑⃑⃑⃑ −PC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CA ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⇒PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，即PB ⊥CA ，同理PC ⊥AB,PA ⊥BC ，所以P 是△ABC 的垂心，D 正确； 故选：BD ． 13．5.分析：先求复数z ，再求|z |. 详解：由题得z =18−i2−3i =(18−i)(2+3i)(2−3i)(2+3i)=39+52i 13=3+4i,所以|z|=√32+42=5.故答案为5.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的模，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数z =a +bi(a,b ∈R)的共轭复数z =a −bi, |z|=√a 2+b 2. 14．19910=(100−1)10=(1−100)10=1−C 101×100+C 102×1002−⋯+10010，展开式中从第二项开始都是1000的倍数，因此它除以1000后余数为1． 15．π2设AC 的中点为D ，连接BD ，∵AB⊥BC，∴BD=AD，且AB=BD，∴ΔABD是等边三角形，并且ΔABD的高是√3,∴AD=2，即AC=2AD=4，∴T=4，即2πω=4，解得：ω=π2.故答案为：π216．±2试题分析：求导函数可得y′=3（x+1）（x-1），令y′＞0，可得x＞1或x＜-1；令y′＜0，可得-1＜x＜1；⊥函数在（-∞，-1），（1，+∞）上单调增，（-1，1）上单调减，⊥函数在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值．⊥函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，⊥极大值等于0或极小值等于0．⊥1-3+c=0或-1+3+c=0，⊥c=-2或2．17．（1）在ΔDCE中，设CD=x，CE=y(x>y)，则S=12xysin60∘=√32，⊥xy=2，由余弦定理可得，DE2=x2+y2−2xycos60∘，⊥x2+y2=5，解得x=2，y=1，所以菱形的边长AB为2.（2）在ΔDCF中，由题意知,∠DCF=30∘，由正弦定理可得，CFsin∠CDF =DFsin30∘，⊥sin∠CDF=CFDF sin30∘=45，⊥E 是边BC 上一点，所以∠CDE ≤∠CDB =60∘， ⊥cos∠CDF =35，因为∠DFC =π−(∠CDF +30∘),所以cos∠DFC =cos [π−(∠CDF +30∘)]=−cos (∠CDF +30∘), 由两角和的余弦公式可得，cos (∠CDF +30∘)=cos∠CDFcos30∘−sin∠CDFsin30∘=35×√32−45×12=3√3−410，所以cos∠DFC = 4−3√310即为所求. 18 (1)由题可知f (p )=C 54p 4(1−p )=5p 4(1−p )，f ′(p )=5p 3(4−5p )，令f ′(p )=0，得p =45， 当p ∈(0,45)时，f ′(p )>0，f (p )在(0,45)上单调递增； 当p ∈(45,1)时，f ′(p )<0，f (p )在(45,1)上单调递减. 所以f (p )的最大值点p 0=45 (2)⊥记事件A 为一个互助组合做对题，事件B 为一个互助组合中甲档中的学生做对题，事件C 为一个互助组合中乙档中的学生做对题， 则P(B)=45，P (C )=45⋅58=12， P (A )=1−P (B̅)P (C )=1−15⋅12=0.9. ⊥由题意知随机变量X ∼B (n,0.9)，P (X =k )=C n k ×0.9k ×0.1n−k (k =0,1,2,⋅⋅⋅,n )因为P (X =90)最大，所以{C n 90×0.990×0.1n−90≥C n 91×0.991×0.1n−91C n 90×0.990×0.1n−90≥C n 89×0.989×0.1n−89，解得99≤n ≤9019，因为n 是整数，所以n =99或n =100， 当n =99时，E (X )=np =99×0.9=89.1； 当n =100时，E (X )=np =100×0.9=90 19． (1)证明：⊥AA 1=A 1C ，且O 为AC 的中点，⊥A 1O ⊥AC ，又侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，侧面AA 1C 1C ∩底面ABC =AC ，且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ， ⊥A 1O ⊥平面ABC . (2)解：如图，连接OB ，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.因为边长呈比例关系，不妨设AA 1=2.由已知可得A(0,−√3,0)，A 1(0,0,1)，B (3,0,0)，C(0,√3,0)，C 1(0,2√3,1) ⊥BC →=(−3,√3,0)，A 1B →=(3,0,−1)，A 1C 1→=(0,2√3,0).设平面CA 1B 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1).则有{m →⋅BC →=0m →⋅A 1B →=0⇒{−3x 1+√3y 1=03x 1−z 1=0 取x 1=1，则y 1=√3，z 1=3，⊥m →=(1,√3,3)为平面CA 1B 的一个法向量. 设平面A 1BC 1的法向量为n →=(x 2,y 2,z 2)，则有{n →⋅A 1C 1→=0n →⋅A 1B →=0⇒{2√3y 2=03x 2−z 2=0y 2=0，令x 2=1，则z 2=3，⊥n →=(1,0,3)为平面A 1BC 1的一个法向量， ⊥cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n→|m →|⋅|n →|√13⋅√10√13013.⊥所求二面角的余弦值为√13013.20．解：（1）由已知得e =c a=√22且2c =2，所以a =√2，c =1.所以椭圆方程为x 22+y 2=1.（2）设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，D (x 3,y 4)， 由AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，得{x 3=2x 1+x23y 3=2y 1+y 23 ， 设|OE ||OD |=λ，则结合题意可知OE ⃑⃑⃑⃑⃑ =λOD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以E (λx 3,λy 3). 将点E (λx 3,λy 3)代入椭圆方程，得λ2(x 322+y 32)=1.即1λ2=x 322+y 32=(2x 1+x 23)22+(2y 1+y 23)2. 变形，得1λ2=49(x 122+y 12)+49(x 1x 22+y 1y 1)+19(x 222+y 22)(*) 又因为A ，B 均在椭圆上，且k OA ⋅k OB =−12，所以{ x 122+y 12=1x 222+y 22=1k OA ⋅k OB=y 1x 1⋅y 2x 2=−12，代入(*)式解得λ=3√55. 所以|OE ||OD |是定值，为λ=3√55. 21．（1）甲的中位数是117+1212=119，乙的中位数是128+1282=128，乙的成绩更好（2）乙频率分布直方图如下图所示：分组频数频率[100,110)20.1[110,120)40.2[120,130)50.25[130,140)60.3[140,150)30.15合计201（3）甲乙两位同学的不低于140分的成绩共5个，甲两个成绩记作A1、A2,乙3个成绩记作B1、B2、B3（其中B3表示150分），任意选出2个成绩所有的取法为(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B2,B3)共10种取法其中两个成绩不是同一个人的且没有满分的是：(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)共4种取法，∴取出的2个成绩不是同一个人的且没有满分的概率：410=25. 22．解：（1）由f(x)=a x −lnx +1得f′(x)=−a x 2−1x =−a+x x 2(x >0)，⊥函数f(x)=ax −lnx +1有两个不同的零点x 1，x 2， ⊥f(x)在(0,+∞)上不单调， ⊥a <0，令f′(x)>0得0<x <−a ，f′(x)<0得x >−a ， 故f(x)在(0,−a )上单调递增，在(−a,+∞)上单调递减， 则f(x)的极大值为f (−a )=−ln (−a )>0， ⊥0<−a <1，⊥−1<a <0.⊥x →0+时f(x)<0，x →+∞时f(x)<0， ⊥a 的取值范围是−1<a <0. （2）由（1）知f (x 0)=−ln (−a )，⊥f (x 1)=f (x 2)，⊥a x 1−lnx 1+1=ax 2−lnx 2+1，⊥a =lnx 1−lnx 21x 1−1x 2=ln1x 2−ln 1x 11x 1−1x 2.令1x 1=t 1，1x 2=t 2，则a =lnt 2−lnt 1t 1−t 2，且1x 1+1x 22=t 1+t 22， 要证1x 1+1x 2>2ef (x 0)，只需证t 1+t 22>e(−ln(−a)).下面先证明t 1+t 22>t 1−t2lnt 1−lnt 2，这只要证明ln t 1t 2<2(t1t 2−1)t 1t 2+1，设0<t1t 2=m <1，所以只要证明lnm −2(m−1)m+1<0，设g(m)=lnm −2(m−1)m+1，则g′(m)=1m −4(m+1)2=(m−1)2m(m+1)2≥0，所以g (m )递增， 则g (m )<g (1)=0成立.于是得到t 1+t 22>t 1−t 2lnt 1−lnt 2=−1a，因此只要证明−1a ≥−eln(−a)(−1<a <0)，构造函数ℎ(a)=−1a +eln(−a)， 则ℎ′(a)=1a 2+ea =1+ea a 2，故ℎ(a )在(−1,−1e )上递减，在(−1e ,0)上递增，则ℎ(a)≥ℎ(−1e )=0，即−1a ≥−eln(−a)成立.。