重庆市綦江实验中学高中数学必修五：3-4基本不等式 1 课件

∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则 是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1”是 相同的．
已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值．
∵x＋1x≤－2，∴－12≤x＋1 1x<0，当且仅当 x＝－1 时，等号 成立，
∴－1≤y<0；当 x＝0 时，y＝0.综上所述，该函数的值域 为[－1,1].
一变形技巧：“1”的代换
已知正数 x，y 满足 x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值． [分析] 灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常常 将不等式“乘以 1”、“除以 1”或将不等式中的某个常数用等 于 1 的式子代替．本例中可将分子中的 1 用 x＋2y 代替，也可 以将式子1x＋1y乘以 x＋2y.
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 不等式
第三章 3.4 基本不等式 ab≤a＋2 b
第1课时 基本不等式
课前自主预习
下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会 标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客．那么你 能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
[解析] ∵x，y 为正数，且 x＋2y＝1. ∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2xy＋xy≥3＋2 2，当且仅当2xy ＝xy，即当 x＝ 2－1，y＝1－ 22时等号成立． ∴1x＋1y的最小值为 3＋2 2.
[方法总结] (1)本题若由 1＝x＋2y≥2 2xy，得 1xy≥2 2，

2
我们可以用四个全等的直角三角形拼成一 个“风车”图案？
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
一 、探究
问题1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,
则AB=
a2则 b正2 方形的面积为S= a2 。b2
问题2：Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等
三
角形，它们的面积2a总b和是S’=—
所以a2 b2≥2ab.
合作探究，问题解决
探究二：若 a 0,b 0 用 a , b 去替换 a2 b2 2a b
中的 a,b ,能得到什么结论?
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
即： a b≥2 ab
即： ab a b (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
名称
重要不等式
基本不等式
公式
a2 b2 2ab
等号成立条件
ab
a,b的取值范围 a, b R
ab a b 2
ab
a 0,b 0
常见变形
ab a2 b2 2
a b 2 ab
ab ( a b )2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
典例探究 例1.试判断x+ 1 (x 0)与2的大小关系？ x
学案72页例1、2
变式：若x<0,求f（x）=4x+ 9 的最值，并求取得最值时x的值. x
（2）求函数y 1 x(x 3)的最小值. x3
（3）已知：x 3，求x+ 4 的最小值. x
学案75页例2、3
课堂小结
1、 主要内容：
2. 数形结合，换元的数学思想方法。 3、不等式的简单应用：求最值。特别要注意公式适用 的条件。

学家大会的会标，它是根据中国古代数
学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使
它看上去象一个风车，代表中国人民热
情好客.在这个图案中既有一些相等关系，
也有一些不等关系，
对这
些等与不等的关系，
我们作些相应研究.
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探究（一）:基本不等式的原理
思考1：将图中的“风车”
抽象成如图，在正方形
ABCD中有4个全等的直角
2
两边平方可得什么结论？它与不等式 a2＋b2≥2ab有什么内在联系？
( a + b)2 ³ ab 2
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思考2：在不等式a2＋b2≥2ab两边同加
上a2＋b2可得什么结论？所得不等式有
什么特色？ a 0
y ax2 bx c x1, x2 (x1 x2 )
a2 + b2 ³
2
(a + b)2 2
b
和
ab 分别为a，
2
b的算术平均数和几何平均数，如何用 文字语言表述基本不等式？
两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
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a+b
思2 考8：如图，在直角三角形ABC中，CD
为斜边上的高， CO为斜边上中线，你能
利用这个图形对基本不等式作出几何解
释吗？
C
A
O
DB
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探究（二）：基本不等式的变通 思考1：将基本不等式 a b ab
三角形.设直角三角形的
两a2b2 条直角边长为a，b那么 正方形ABCD和EFGH的边长 D
分别为多少？
A
F GE
C
H
a2 b2
|a－b |
B

������+������ 1 ������+������ , 当且仅当a=b 2 ������+������
时,等号成立.
(3)几何意义:弦长的一半不大于半径.如图所示,AC=a,CB=b,则 OD= 2 ,DC= ������������ = 2 ������������ , 则DC≤OD. (4)变形:ab≤
求最值的条件是“一正二定三相等”,具体如下: 一正:a,b 都是正实数,即所求最值的代数式中的各项必须都是正数,
1 否则就会得出错误的答案.例如,当 x<0 时,函数 f(x)=x+ ≥ ������ 1 5 所以函数f(x)的最小值是 2.由于 f(-2)=-2 + -2 = − 2 < 2, 1 那么显然这是一个错误的答案.其原因是当 x<0时, ������ < 0,
1 ������-1
=
+ 1 ≥ 2 (������-1)·
1 + 1=3.由此看来,当 ������-1
ab 与 a+b 没有
一个是定值时,通常要把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和 或积为定值的形式.
9
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2
1 ������· ������
= 2,
不符合基本不等式中a,b 均为正数这个条件.因此,利用基本不等式求最 值时,首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数.其实,当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=(-x) + -������ ≥ 2 (-������)· -������ = 2, 此时有f(x)≤-2.由此看 来,所求最值的代数式中的各项都是负数时,经过变形,先转化为各项都 是正数的代数式,再求最值.

3.4 基本不等式
ab ab 2
思考：这会标中含有怎 样的几何图形？ 思考：你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系？
zxxk
问1：在正方形 ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积 2 2 a b 为S=———— , 问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角 2ab A D 形,它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？
4800 Z=150× 3
+ (2 3x 2 3 y) 120=240 000+720(x+y)
3 x y
∵容积为4800
m
3
∴3xy=4800
即xy=1600
由基本不等式与不等式的性质,可得
240000 720( x y) 240000 720 2 xy ∴z≥297 600 240000 720 2 1600
当且仅当 a=b 时“＝”号成
立 此不等式称为基本不等式
ab 2
算术平均数
ab
几何平均数
基本不等式的几
B
E
半弦CD不大于半径
2 (1)用篱笆围一个面积为100 m 的矩形菜园,问这个矩形菜园长、宽个为多少 例题1
时,所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？ 解： 设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则 篱笆的长为2(x+y)m 由
∴当这个直角三角形的直角边都时10的时候,两条直角边的和最小为20
(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 菜园的面积最大？面积最大值是多少？学科网 解： 设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则 2(x+y)=36 即 X+y=18 x y 2 ) =81 ∴ xy ( 当且仅当x=y=9时取等号 2 2 ∴ 当这个矩形的长、宽都是9m的时候面积最大,为81 m x 练习：用20m长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折？ 解： 设矩形的长为xm,宽为ym,则 2(x+y)=20 即 x+y=10 x y 2 ) =25 ∴ xy ( 当且仅当x=y=5时取等号 2 2 ∴ 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大,为25 m

如图，这是在北京 召开的第24届国际数学 大会的会标，会标根据 中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去像一个风 车，代表中国人民热情 好客.
问题探索
b a
a2 b2
问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b, 则正方形的面积为a2S=b—2———
问2： Rt△AEB,Rt△BFC,Rt△CGD,Rt△AHD2是ab全 等三角形，它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？ 从图形中易得，S > S’,即
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
时,
取“=”号.
∴当
x
=
1 4
时,
函数 y=x(1-2x) 的最大值是
1 8
.
五、作业：
课本习题练习 1,2,3,
21
（1）a2 b2 2ab(a,b R) 当且仅当a b时取""号
（2） a b 2 ab (a当且0,b仅当0)a=b时，等号成立
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数. 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件.

（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18，
x y 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ 2
因此 xy ≤ 9 将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立， 此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，
它的面积最大，最大值是81m2。
ab ab 2
∴a b 2 ab
ab ab 即： 2
ab ab 当且仅当a=b时 2
ab 为a，b 的算术平均数， 称 2 称 ab 为a，b 的几何平均数。
注意：1．适用的范围：a, b 为非负数. 2．语言表述：两个非负数的算术平
均数不小于它们的几何平均数。
ab 3.我们把不等式 ab (a≥0,b≥0) 2
的最大
值，及此时x的值。
3 解： f ( x) 1 (2 x ) ，因为x>0， x
3 3 所以 2 x ≥ 2 2 x 2 6 x x 3 得 (2 x )≤ -2 6 x
因此f(x)≤ 1 2 6
当且仅当 号成立。
3 2x x
3 ，即 x 2
2
时，式中等
当a b时， ( a b) 0 2 当a b时， ( a b) 0
2
a b 2ab
2 2
1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件：
a, b R
ab
基本不等式2： 如果a,
b∈R+，那么
（当且仅当a=b 时，式中等号立）
2 2 证明： ( a ) ( b ) 2 a b ∵
由于x>0，所以

②若 xy=P(积为定值),则 x+y≥2 ������, 当且仅当x=y 时,和 x+y 取
得最小值 2 ������.
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D典例透析
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题型一
名师点拨 从数列的角度看,a,b的算术平均数是a,b的等差中项,几 何平均数是a,b的正的等比中项,则基本不等式可表示为:a与b的正 的等比中项不大于它们的等差中项. 【做一做2】 已知ab=16,a>0,b>0,则a+b的最小值 为 . 答案:8
-7-
第1课时 基本不等式
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������+������ 所以只需比较 2 , ������������, ������ + ������的大小即可. ������+������ ������+������ 显然 > ������������. 又因为 < ������ + ������, 所以 2 2
2 2
������+������
).
A.P>Q>M C.Q>M>P
B.Q>P>M D.M>Q>P
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半径AO=_____
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
高中数学【人教A版必修】5第三章3.4 基本不 等式课 件(16 张ppt) 【精品 】
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知识要点：
1.重要不等式： a2b22a(b a,b R )
当且仅当a=b时，等号成立.
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构造条件
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1、本节课主要内容？
你会了 吗？
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相等”
三、应用 高中数学【人教A版必修】5第三章3.4基本不等式课件(16张ppt)【精品】
当两正数积为定值时，求其和的最小值
abab（ a0,b0） ab2a（ ba0,b0）
2
例1、（1）若
求
的最小值.
(2) 若
求
的最大值.
练习1:若 x0求 y 3x12的最小值.
x
练习2:若 ab0 求 y a b 的最小值. ba
几何平均数 算术平均数
基本不等式
2.代数意义：两个正数的几何平均数小于等于算术平均数
3. 代数方法如何证明？ 4.从几何上如何解释？
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代数方法： 高中数学【人教A版必修】5第三章3.4基本不等式课件(16张ppt)【精品】
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1

3x(13x)
2

＝
1
，
3 2 12
当且仅当 3x＝1－3x，即 x＝16时，等号成立．
∴当 x＝16时，函数取最大值112.
跟踪
训练
(2)y＝x－x21＝x2－x－1＋1 1＝x＋1＋x－1 1
栏目链接
＝x－1＋x－1 1＋2≥2＋2＝4，
当且仅当x－1 1＝x－1， 即(x－1)2＝1 时，等式成立， ∵x＞1，∴当 x＝2 时，ymin＝4.
基础 梳理
“半4径．不基 本小不于等半式 弦ab ≤”a＋2 b 的 几 何 意 义 是 ：
________________________________________________. 5．已知 x，y 都是正数， (1)如果积 xy 是定值 P，那么当 x＝y 时，和______
有最小值__________；
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基础
梳理
3．基本不等式： 设 a，b 是任意两个正数，那么 ab≤a＋2 b. 当且仅当_a_＝__b__时，等号成立．基本不等式可叙述为： 两个正数的_算__术_平__均__数__不__小__于__它__们_的__几__何__平__均__数_． 如果把a＋2 b看做是正数 a，b 的等差中项， ab看做是 正数 a，b 的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两 个正数的____等_差__中__项__不__小__于__它_们__的__等__比__中__项____．
例3 某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与仓库到车 站的距离成反比，而每月库存货物的运费 y2 与到车站的 距离成正比，如果在距车站 10 公里处建仓库，这两项费 用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用 之和最小，仓库应建在离车站多少公里处？