§2.2.4平面与平面平行的性质学案

张喜林制 [2.2.4平面与平面平行的性质教案【教学目标】1、通过图形探究平面与平面平行的性质定理；2、熟练掌握平面与平面平行的性质定理的应用；3、进一步培养学生的空间想象能力,以及逻辑思维能力.【教学重难点】重点：通过直观感知，操作确认，概括并证明平面和平面平行的性质定理。

难点：平面和平面平行的性质定理的证明和应用。

<2><4>2(在教师的启发下，师生共同概括完成上述结论及证明过程，从而得到两个平面平行的性质定理)。

、平面和平面平行平行的性质定理定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：//⎪⎫βα==,,a ba b a b a b a bαβαβ⊂⊂因为∩，∩所以，又因为∥所以没有公共点又因为同在平面γ内所以∥教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行4、平面和平面平行的性质定理应用例1:求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.（学生交流讨论形成结果） D C B A βα→首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言：已知：//αβ，AB CD ∥，,,,A D B C ααββ∈∈∈∈，求证：AB CD =。

解析：利用什么定理？（平面与平面平行性质定理）关键是如何得到第三个相交平面。

证明：因为AB ∥CD ，所以过AB 、CD 可作平面γ,且平面γ与平面α、平面β分别交于AD 和BC ，因为α∥β，所以AD ∥BC所以四边形ABCD 是平行四边形所以AB CD =点评：⇒面面平行线线平行变式训练1：判断下列结论是否成立：①过平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行；（）⑤一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交。

二、例题例1变式1例2变式2【作业布置】习题2.2A组第6、7、题，B组第2题；2、2、4平面与平面平行的性质课前预习学案一、预习目标：通过图形探究平面与平面平行的性质定理二、预习内容：阅读教材第66—67页内容，然后回答问题（1）利用空间模型探究：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？（2）请同学们回忆线面平行的性质定理，然后结合模型探究面面平行的性质定理；（3）用三种语言描述平面与平面平行的性质定理；（4）应用面面平行的性质定理的难点在哪里？应用面面平行的性质定理口诀是什么？三、提出疑惑 疑、直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一(教师引导学生借助长方体模型思考、交流得出结论)结论：过直线a 做平面与平面β相交,则交线和a 平行.(在教师的启发下，师生共同概括完成上述结论及证明过程，从而得到两个平面平行的性质定理)。

2.2.4平面与平面平行的性质（第1课时）设计者：田许龙解析：∵BC ∥平面B ′A ′C ′，BC ∥B ′C ′， ∴平面A ′C ′上过P 作EF ∥B ′C ′， 则EF ∥BC ，所以过EF 、BC 所确定的平面锯开即可，又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法，选B 项例 2. 如图，αβγ∥∥，直线a 与b 分别交α，β，γ于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，求证：AB DE BCEF=．解析：连结AF ，交β于G ，连结BG ，EG ，则由βγ∥得AB AG BCGF=．由αβ∥得AG DEGF EF =，从而AB DE BC EF=． 并运用平面几何知识即可证明. 请同学们认真体会. 看多媒体（出示课件2-2）巩固提高学生先独立思考完成导学案，之后小组交流老师参与其中指导个别组和学生。

然后教师出示《课件2-3》，学生与课件内容对比，订正自己思路和步骤.题目：如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是①③①②接下来，考验大家的时候到了，请同学们独立思考完成题目，之后学习小组互相交流，看自己能否得到准确答案.这个题目有一定难度，要认真思考.分析:要证明直线与直线平行，由已知条件直线与平面平行，可以得到直线与直线平行，进而再运用直线与平面平行的性质得到题目的结论.需要提醒同学们的一点是：立体几何使用定理时，必须要把定理的条件全部摆上才能使用.好，请同学们看多媒体（《课件2-3》内容）：③④解析：对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP；对于③，MP//AB,故AB//面MNP, 对于②④，过AB找一个平面与平面MNP相交，AB与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP.课堂练习：学生看书本61页练习题，学生独立思考解决，后同桌交流，提问学生并师生一起得出准确答案.大家看课本61页复习题的练习题，独立思考后把答案写在书上，一会儿找几个同学分别说出答案.很好！三、总结（归纳总结课堂检测）(4分钟)总结、布置作业学习总结：提醒学生对本节课所学内容进行总结.1.对学生出现的问题进行点拨；2.强调本节课的重难点.(1)、平面与平面平行的性质定理在使用时要注意第三个平面与这两个平行平面同时相交，这一条件容易被忽略；(2)、平面与平面平行的性质定理中是一个平面与两个平行平面都相交，不是三个平面两两相交；(3)、线面平行的性质定理和面面平行的性质定理充分体现了等价转化思想，即把线面平同学们，这节课我们共同学习了：平面与平面平行的性质定理，大家要注意面面平行的性质是第三个平面与这两个平行平面同时相交，交线才平行，不是三个平面两两相交，交线平行；大家思考一下如果是三个平面两两相交，交线什么关系呢？结合平面的性质我们可以推证交线重合或平行；另外做一些判断正误题目时可以考虑使用教室中的实物进行判断.好，看多媒体（出示《课件3》），和你的总结一样吗！。

高二上册数学必修二2.2.4平面与平面平行的性质学案有庆中学 余传明【学习目标】1、通过图形探究平面与平面平行的性质定理；2、熟练掌握平面与平面平行的性质定理的应用；3、进一步培养学生的空间想象能力,以及逻辑思维能力【学习重点】通过直观感知，操作确认，概括并证明平面和平面平行的性质定理。

【学习难点】. 平面和平面平行的性质定理的证明和应用。

【学法指导】 自主学习与互动合作一、复习旧知1、平面与平面平行的定义：2、平面与平面平行的判定定理：文字语言：如果一个平面内有直线都 于另一个平面，那么这两个平面 . 符号语言：图形语言：二、引入新知：问题1：若两平面平行，则其中一平面内的任一直线与另一平面有什么关系？ 结论：问题2：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？（借助右图中的长方体模型）问题3：长方体中，平面ABCD 内哪些直线会与直线平行？怎么样找到这些直线？探究：平面βα平面∥，第三平面γ分别他们都相交，探求交线b a ,的关系归纳（两个平面平行的性质定理）：文字语言：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的 。

符号语言： 图形语言“思考：应用面面平行的性质定理的难点在哪里？应用面面平行的性质定理口诀是什么？拓展：如果.若的位置关系如何？结论： 一、典例分析例1:求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.D B ''例题2：已知：如下图，四棱锥S-ABCD 底面为平行四边形，E 、F 分别为边AD 、SB 中点求证：EF ∥平面SDC 。

二、变式训练1.判断下列结论是否成立：① 过平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行；（ ） ② αββγαγ若∥，∥，则∥；（ ） ③ 平行于同一个平面的两条直线平行；（ ）④ 两个平面都与一条直线平行，则这两个平面平行；（ ）⑤ 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交。

（ 2.11111111ABCD A B C D E F BC C D EF BB D D-已知：正方体，、分别为棱、中点，求证：∥平面知识内容： 方法总结： 思想渗透:课后作业：完成课本习题2.2。

2.2.4 平面与平面平行的性质自主学习学习目标1．理解平面与平面平行的性质定理的含义．2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确地描述平面与平面平行的性质定理，并知道其地位和作用．3．能运用平面与平面平行的性质定理，证明一些空间面面平行关系的简单命题．自学导引平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________. (1)符号表示为：____________Þa ∥b. (2)性质定理的作用：利用性质定理可证______________，也可用来作空间中的平行线． (3)面面平行的其他性质：①两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于______________，即⎭⎬⎫α∥βa αÞ，可用来证明线面平行；②夹在两个平行平面间的平行线段________； ③平行于同一平面的两个平面________．对点讲练知识点一 证明直线与直线平行例1 如图所示，平面四边形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 均在平行四边形A ′B ′C ′D ′所确定的平面α外，且AA ′、BB ′、CC ′、DD ′互相平行．求证：四边形ABCD 是平行四边形．点评 证明线线平行的方法(1)定义法：在同一平面内没有公共点的两条直线平行．(2)平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行．(3)线面平行的性质定理Þa ∥b ，应用时题目条件中需有线面平行．(4)面面平行的性质定理：⎭⎬⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b Þa ∥b ，应用时题目条件中需有面面平行．(5)反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而证明两条直线应当是平行的．变式训练1 如图，异面直线AC ，DF 被三个平行平面α，β，γ所截． 求证：AB BC ＝DE EF.知识点二 证明直线和平面平行例2 如图，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，点E 在AB ′上，点F 在BD 上，且B ′E ＝BF. 求证：EF ∥平面BB ′C ′C.点评证明线面平行的方法主要有三种：(1)应用线面平行的定义；(2)应用线面平行的判定定理；(3)应用面面平行的性质，即“两个平面平行时，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．”应用平面与平面平行的性质证题的关键是找到过直线和已知平面平行的平面并给予证明，这时注意线线平行，线面平行和面面平行之间的相互转化．本题方法一使用线面平行的判定定理，方法二利用面面平行的性质．变式训练2如图所示，四边形ABCD与ABEF是两个全等的正方形，点M在AC上，点N在BF上，且AM＝FN.求证：MN∥平面BCE(你能用几种方法证明)．知识点三综合应用例3 如图所示，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1.那么，在棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？证明你的结论．点评 本题是线面平行的判定定理和面面平行的性质定理的综合运用，进一步体现了转化思想在立体几何证明题中的重要作用．变式训练3已知：如图所示，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点． (1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1； (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC 的值．1．在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：2．注意两个问题(1)一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线，这种说法是不对的，但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行．(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一平面，但这两个平面内的直线不一定相互平行，也有可能异面.课时作业一、选择题1．设平面α∥平面β，直线aÌα，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中() A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在惟一一条与a平行的直线2.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于() A．2∶25 B．4∶25C．2∶5 D．4∶53．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C()A．不共面B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A、B如何移动，都共面4．设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2二、填空题5．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________________________________________________________________________．6．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：①若α∥β，mÌα，nÌβ，则m∥n；②若m、nÌα，m∥β，n∥β，则α∥β；③若mÌα，nÌβ，α∥β，则m与n没有公共点．上面命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．7．平面α∥平面β，点A、C∈α，点B、D∈β，直线AB、CD相交于点P.已知AP＝8，BP＝9，CD＝34，则CP＝________.三、解答题8．已知两条异面直线BA、DC与两平行平面α、β分别交于B、A和D、C，M、N分别是AB、CD的中点．求证：MN∥平面α.9．已知M、N是底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD棱AB、PC的中点，平面CMN 与平面PAD交于PE，求证：(1)MN∥平面PAD；(2)MN∥PE.2．2.4平面与平面平行的性质自学导引那么它们的交线平行(2)线线平行(3)①另一个平面a∥β②相等③平行对点讲练例1证明∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′.∵AA′∥BB′，且AA′、A′D′是平面AA′D′D内的两条相交直线，BB′、B′C′是平面BB′C′C内的两条相交直线，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又因AD、BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D、平面BB′C′C的交线，故AD∥BC.同理可证AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．变式训练1证明过A点作DF的平行线AH，分别交β，γ于G，H两点．过平行线AH，DF的平面分别交平面α，β，γ于AD，GE，HF.根据两平面平行的性质定理，有AD∥GE∥HF.为平行四边形．∴AG＝DE.同理GH＝EF.又AC，AH两相交直线确定的平面与平面β，γ的交线分别为BG，CH.根据两平面平行的性质定理，有BG∥CH.在△ACH 中，AB BC ＝AGGH.而AG ＝DE ，GH ＝EF ，∴AB BC ＝DEEF .例2 证明 连接AF 并延长交BC 于点M ，连接B ′M. ∵AD ∥BC ， ∴△AFD ∽△MFB ， ∴AF MF ＝DF BF. 又∵BD ＝B ′A ，B ′E ＝BF ， ∴DF ＝AE.∴AF FM ＝AEEB ′.∴EF ∥B ′M ，又平面BB ′C ′C ，B ′M Ì平面BB ′C ′C ，∴EF ∥平面BB ′C ′C. 变式训练2 证明如图所示，在平面ABCD 内作MM 1⊥BC 于M 1，在平面ABEF 内，作NN 1⊥BE 于N 1，连接MN ，M 1N 1.则有MM 1∥AB ∥NN 1，AC ＝BF ，AM ＝FN ，所以MC ＝NB ， 在Rt △MM 1C 和Rt △NN 1B 中， ∠MCM 1＝∠FBN 1＝45°，所以Rt △MM 1C ≌Rt △NN 1B ，所以MM 1＝NN 1， 于是，四边形MM 1N 1N 为平行四边形，故MN ∥M 1N 1， 而M 1N 1Ì平面BCE ，MN Ë平面BCE ， 由直线与平面平行的判定定理知MN ∥平面BCE.例3 解 如图所示，当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC ， 证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE.①由EM ＝12PE ＝ED 知，E 是MD 的中点，连接BM 、BD ，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点， 所以BM ∥OE.② 又BM ∩FM ＝M ，③由①②③可得，平面BFM ∥平面AEC. 又BF Ì平面BFM ，所以BF ∥平面AEC. 变式训练3 解 (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1，由棱柱的性质知四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， ∴OD 1∥BC 1，又∵OD 1Ì平面AB 1D 1，BC 1Ë平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1. ∴A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. (2)由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1， 且平面A 1BC 1∩平面BDC 1＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ， ∴BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1， ∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DCAD. 又∵A 1O OB ＝1，∴DC AD ＝1，即AD DC ＝1.课时作业1．D 2.B 3.D 4．B [如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ∥面A 1B 1CD ，CD ∥面A 1B 1BA ，但面A 1B 1CD 与面A 1B 1BA 相交，故A 不正确；取AD 中点为E ，BC 中点为F ，则EF ∥面ABB 1A 1，C 1D 1∥面ABB 1A 1，但面ABB 1A 1与面EFC 1D 1不平行，故C 不对；虽然EF ∥AB 且C 1D 1∥面A 1B 1BA ，但是面EFC 1D 1与面A 1B 1BA 不平行，故D 不正确．对于选项B ，当l 1∥m ，l 2∥n 且m Ìα，n Ìα时，有l 1∥α，l 2∥α.又l 1与l 2相交且都在β内，∴α∥β，而α∥β时，无法推出m ∥l 1且n ∥l 2.∴l 1∥m 且l 2∥n 是α∥β的充分不必要条件．]5．平行四边形 6.③7．16或272解析分两种情况：当交点P在两面之间时(如图甲)，由面α∥面β得，AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴APPB＝CPPD，即89＝CP34－CP，解得：CP＝16；当交点P在两平面外时(如图乙)，求得CP＝272.8.证明过A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连接MP、PN、BE、ED.∵AE∥CD，∴AE、CD确定平面AEDC.则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，∵α∥β，∴AC∥DE.又P、N分别为AE、CD的中点，∴PN∥DE.PNËα，DEÌα，∴PN∥α.又M、P分别为AB、AE的中点，∴MP∥BE，且MPËα，BEÌα，∴MP∥α，又∵MP∩PN＝P，∴平面MPN∥α.又MNÌ平面MPN，∴MN∥α.9．证明(1)取DC中点Q，连接MQ、NQ.∵NQ是△PDC的中位线，∴NQ∥PD.∵NQË平面PAD，PDÌ平面PAD，∴NQ∥平面PAD.∵M是AB中点，ABCD是平行四边形，∴MQ∥AD，平面PAD，ADÌ平面PAD. 从而MQ∥平面PAD.∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PAD.∵MNÌ平面MNQ，∴MN∥平面PAD.(2)∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE.∴MN∥PE.。

2.2.2 平面与平面平行的判定2.2.4 平面与平面平行的性质整体设计教学分析空间中平面与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转化为面面平行的方法；面面平行的性质定理又给出了由面面平行转化为线线平行的方法，所以本节在立体几何中占有重要地位.本节重点是平面与平面平行的判定定理及其性质定理的应用.三维目标1.通过图形探究平面与平面平行的判定定理及其性质定理.2.熟练掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用.3.进一步培养学生的空间想象能力,以及逻辑思维能力.重点难点教学重点:平面与平面平行的判定与性质.教学难点:平面与平面平行的判定.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)大家都见过蜻蜓和直升飞机在天空飞翔，蜻蜓的翅膀可以看作两条平行直线，当蜻蜓的翅膀与地面平行时，蜻蜓所在的平面是否与地面平行？直升飞机的所有螺旋桨与地面平行时，能否判定螺旋桨所在的平面与地面平行？由此请大家探究两平面平行的条件.思路2.(事例导入)三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在的平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？下面我们讨论平面与平面平行的判定问题.推进新课新知探究提出问题①回忆空间两平面的位置关系.②欲证线面平行可转化为线线平行，欲判定面面平行可如何转化？③找出恰当空间模型加以说明.④用三种语言描述平面与平面平行的判定定理.⑤应用面面平行的判定定理应注意什么？⑥利用空间模型探究：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？⑦回忆线面平行的性质定理，结合模型探究面面平行的性质定理.⑧用三种语言描述平面与平面平行的性质定理.⑨应用面面平行的性质定理的难点在哪里？⑩应用面面平行的性质定理口诀是什么？活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.问题①引导学生回忆两平面的位置关系.问题②面面平行可转化为线面平行.问题③借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题④引导学生进行语言转换.问题⑤引导学生找出应用平面与平面平行的判定定理容易忽视哪个条件.问题⑥引导学生画图探究，注意考虑问题的全面性.问题⑦注意平行与异面的区别.问题⑧引导学生进行语言转换.问题⑨作辅助面.问题⑩引导学生自己总结，把握面面平行的性质.讨论结果：①如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=∅,则α∥β.如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交.两平面平行与相交的图形表示如图1.图1②由两个平面平行的定义可知：其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行.这是因为在这些直线中，如果有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点，那么这两个平面就不可能平行了.另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，否则，这两个平面有公共点，那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面.由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，但事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面，到底要多少条直线（且直线与直线应具备什么位置关系）与另一面平行，才能判定两个平面平行呢？③如图2,如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行，两个平面不一定平行.图2例如：AA′⊂平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′.如图3,如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，两个平面也不一定平行.图3例如：AA′⊂平面AA′D′D,EF⊂平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′,EF∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′.如图4,如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面一定平行.图4例如：A′C′⊂平面A′B′C′D′,B′D′⊂平面A′B′C′D′,A′C′∥平面ABCD,B′D′∥平面ABCD;直线A′C′与直线B′D′相交.可以判定,平面A′B′C′D′∥平面ABCD.④两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.以上是两个平面平行的文字语言，另外面面平行的判定定理的符号语言为：若a⊂α，b⊂α，a∩b=A,且a∥α,b∥β，则α∥β.图形语言为：如图5,图5⑤利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：(Ⅰ)有两条直线平行于另一个平面;(Ⅱ)这两条直线必须相交.尤其是第二条学生容易忽视，应特别强调.⑥如图6,借助长方体模型，我们看到，B′D′所在的平面A′C′与平面AC平行，所以B′D′与平面AC没有公共点.也就是说，B′D′与平面AC内的所有直线没有公共点.因此，直线B′D′与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线.图6⑦直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.因为，直线B′D′与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线，只要过B′D′作平面BDD′B′与平面AC相交于直线BD，那么直线B′D′与直线BD平行.如图7.图7⑧两个平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.两个平面平行的性质定理用符号语言表示为：⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂b a γβγαβα//a∥b.两个平面平行的性质定理用图形语言表示为：如图8.图8⑨应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.⑩应用线面平行性质定理的口诀：“见到面面平行，先过某些直线作两个平面的交线.” 应用示例思路1例1 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，如图9,求证：平面AB 1D 1∥平面BDC 1.图9活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价.证明：∵ABCD—A 1B 1C 1D 1为正方体， ∴D 1C 1∥A 1B 1,D 1C 1=A 1B 1. 又∵AB∥A 1B 1,AB=A 1B 1, ∴D 1C 1∥AB,D 1C 1=AB.∴四边形ABC 1D 1为平行四边形. ∴AD 1∥BC 1.又AD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1. 同理，BD∥平面AB 1D 1.又BD∩BC 1=B ，∴平面AB 1D 1∥平面BDC 1. 变式训练如图10,在正方体ABCD —EFGH 中，M 、N 、P 、Q 、R 分别是EH 、EF 、BC 、CD 、AD 的中点，求证：平面MNA∥平面PQG.图10证明：∵M、N、P、Q、R分别是EH、EF、BC、CD、AD的中点，∴MN∥HF,PQ∥BD.∵BD∥HF,∴MN∥PQ.∵PR∥GH,PR=GH;MH∥AR,MH=AR,∴四边形RPGH为平行四边形，四边形ARHM为平行四边形. ∴AM∥RH,RH∥PG.∴AM∥PG.∵MN∥PQ,MN⊄平面PQG,PQ⊂平面PQG,∴MN∥平面PQG.同理可证，AM∥平面PQG.又直线AM与直线MN相交，∴平面MNA∥平面PQG.点评：证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，所以关键是证线线平行.例2 证明两个平面平行的性质定理.解：如图11,已知平面α、β、γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,求证:a∥b.图11证明：∵平面α∥平面β,∴平面α和平面β没有公共点.又a⊂α，b⊂β,∴直线a、b没有公共点.又∵α∩γ=a，β∩γ=b,∴a⊂γ，b⊂γ.∴a∥b.变式训练如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.解：已知α∥β，γ∥β，求证：α∥γ.证明：如图12，作两个相交平面分别与α、β、γ交于a、c、e和b、d、f,图12γαγγγββα//////////////////////⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧⇒⇒⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎩⎨⎧⇒⎩⎨⎧⇒b f b a e a f d e c d b c a .点评：欲将面面平行转化为线线平行，先要作平面.知能训练已知：a 、b 是异面直线，a ⊂平面α,b ⊂平面β，a∥β，b∥α. 求证：α∥β.证明：如图13,在b 上任取点P ，显然P ∉a.于是a 和点P 确定平面γ，且γ与β有公共点P.图13设γ∩β=a′，∵a∥β，∴a′∥a.∴a′∥α. 这样β内相交直线a′和b 都平行于α，∴α∥β. 拓展提升1.如图14，两条异面直线AB 、CD 与三个平行平面α、β、γ分别相交于A 、E 、B 及C 、F 、D ，又AD 、BC 与平面的交点为H 、G.图14求证：EHFG 为平行四边形.证明：⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βαβα//EG ABC AC ABC 平面平面⇒AC∥EG.同理,AC∥HF.⎭⎬⎫HF AC EG AC ////⇒EG∥HF.同理,EH∥FG.故EHFG 是平行四边形.课堂小结知识总结：利用面面平行的判定定理和面面平行的性质证明线面平行. 方法总结：见到面面平行,利用面面平行的性质定理转化为线线平行,本节是“转化思想”的典型素材. 作业课本习题2.2 A 组7、8.设计感想面面关系是直线与平面关系中比较复杂的关系，它是学生学习的一个难点，也是高考考查的重点，因此它在立体几何中占有比较重要的地位.本节选用了大量的经典习题作为素材，对于学生学好面面平行的判定与性质一定会有很大的帮助，本节的引入也别具一格，相信这是一节大家喜欢的精彩课例.。

平面与平面平行的判断平面与平面平行的性质整体设计教课剖析空间中平面与平面之间的地点关系中，平行是一种特别重要的地点关系，它不单应用较多，并且是空间问题平面化的模范. 空间中平面与平面平行的判断定理给出了由线面平行转化为面面平行的方法；面面平行的性质定理又给出了由面面平行转变为线线平行的方法，所以本节在立体几何中据有重要地位. 本节要点是平面与平面平行的判断定理及其性质定理的应用 .三维目标1. 经过图形研究平面与平面平行的判断定理及其性质定理.2. 娴熟掌握平面与平面平行的判断定理和性质定理的应用.3.进一步培育学生的空间想象能力, 以及逻辑思想能力 .要点难点教课要点 : 平面与平面平行的判断与性质.教课难点 : 平面与平面平行的判断.课时安排1课时教课过程导入新课思路 1. ( 情境导入 )大家都见过蜻蜓和直升飞机在天空翱翔，蜻蜓的翅膀能够看作两条平行直线，当蜻蜓的翅膀与地面平行时，蜻蜓所在的平面能否与地面平行？直升飞机的全部螺旋桨与地面平行时，可否判断螺旋桨所在的平面与地面平行？由此请大家研究两平面平行的条件.思路 2. ( 案例导入 )三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在的平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，状况又怎样呢？下边我们议论平面与平面平行的判断问题.推动新课新知研究提出问题①回想空间两平面的地点关系 . ②欲证线面平行可转变为线线平行，欲判断面面平行可怎样转变？③找出适合空间模型加以说明 .④用三种语言描绘平面与平面平行的判断定理.⑤应用面面平行的判断定理应注意什么？⑥利用空间模型研究：假如两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线拥有什么地点关系？⑦回想线面平行的性质定理，联合模型研究面面平行的性质定理.⑧用三种语言描绘平面与平面平行的性质定理.⑨应用面面平行的性质定理的难点在哪里？⑩应用面面平行的性质定理口诀是什么？活动：先让学生着手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生实时夸奖，对回答不正确的学生提示指引考虑问题的思路.问题①指引学生回想两平面的地点关系.问题②面面平行可转变为线面平行.问题③借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题④指引学生进行语言变换.问题⑤指引学生找出应用平面与平面平行的判断定理简单忽略哪个条件.问题⑥指引学生绘图研究，注意考虑问题的全面性.问题⑦注意平行与异面的差别.问题⑧指引学生进行语言变换.问题⑨作协助面.问题⑩指引学生自己总结，掌握面面平行的性质.议论结果：①假如两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β =, 则α∥β .假如两个平面有一条公共直线，则两平面订交若α∩β =AB,则α与β订交.两平面平行与订交的图形表示如图 1.图 1②由两个平面平行的定义可知：此中一个平面内的全部直线必定都和另一个平面平行. 这是由于在这些直线中，假如有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点，那么这两个平面就不行能平行了.另一方面，若一个平面内全部直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，不然，这两个平面有公共点，那么在一个平面内经过这点的直线就不行能平行于另一个平面.由此将判断两个平面平行的问题转变为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，但事实上判断两个平面平行的条件不需要一个平面内的全部直线都平行于另一平面，究竟要多少条直线（且直线与直线应具备什么地点关系）与另一面平行，才能判断两个平面平行呢？③如图 2, 假如一个平面内有一条直线与另一个平面平行，两个平面不必定平行.图 2比如： AA′平面AA′ D′ D,AA′∥平面 DCC′ D′ ; 可是 , 平面AA′D′ D∩平面DCC′ D′=DD′ .如图 3, 假如一个平面内有两条直线与另一个平面平行，两个平面也不必定平行.图 3word可是 , 平面 AA′ D′ D∩平面 DCC′ D′ =DD′ .如图 4, 假如一个平面内有两条订交直线与另一个平面平行，则这两个平面必定平行.图 4比如： A′ C′平面A′ B′ C′ D′ ,B′D′平面A′ B′ C′ D′ ,A′C′∥平面ABCD,B′D′∥平面ABCD;直线 A′ C′与直线 B′D′订交 .能够判断 , 平面 A′ B′ C′ D′∥平面 ABCD.④两个平面平行的判断定理：假如一个平面内有两条订交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.以上是两个平面平行的文字语言，此外面面平行的判断定理的符号语言为：若 aα，bα，a∩ b=A,且a∥α ,b∥β，则α∥β.图形语言为：如图5,图 5⑤利用判断定理证明两个平面平行，一定具备：( Ⅰ ) 有两条直线平行于另一个平面;( Ⅱ ) 这两条直线一定订交.特别是第二条学生简单忽略，应特别重申.⑥如图 6, 借滋长方体模型，我们看到， B′ D′所在的平面 A′ C′与平面 AC平行，所以 B′ D′与平面 AC没有公共点 . 也就是说， B′ D′与平面 AC内的全部直线没有公共点 . 所以，直线 B′ D′与平面AC内的全部直线要么是异面直线，要么是平行直线.图 6⑦直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面订交，那么这条直线和交线平行 .由于，直线 B′D′与平面 AC内的全部直线要么是异面直线，要么是平行直线，只需过 B′D′作平面 BDD′ B′与平面 AC订交于直线 BD，那么直线 B′ D′与直线 BD平行 .如图 7.图 7⑧两个平面平行的性质定理用文字语言表示为：假如两个平行平面同时和第三个平面订交，那么它们的交线平行.//两个平面平行的性质定理用符号语言表示为：a a∥ b.b两个平面平行的性质定理用图形语言表示为：如图8.图 8⑨应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.⑩应用线面平行性质定理的口诀：“见到面面平行，先过某些直线作两个平面的交线 . ”应用示例思路 1例 1已知正方体ABCD— A1B1C1D1，如图 9, 求证：平面AB1 D1∥平面 BDC1.图 9活动：学生自己思虑或议论，再写出正确的答案. 教师在学生中巡视学生的解答，发现问题实时纠正 , 并实时评论 .证明：∵ ABCD— A1B1C1D1为正方体，∴D1C1∥ A1B1,D 1C1=A1B1.又∵ AB∥ A1B1,AB=A1B1,∴D1C1∥ AB,D1C1=AB.∴四边形ABC1D1为平行四边形.∴AD1∥ BC1.又 AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，∴BC1∥平面 AB1D1.同理， BD∥平面 AB1D1.又 BD∩ BC1=B，∴平面 AB1D1∥平面 BDC1.变式训练如图 10, 在正方体 ABCD—EFGH中， M、N、P、Q、R 分别是 EH、 EF、BC、CD、AD的中点，求证：平面 MNA∥平面 PQG.图 10证明：∵ M、 N、P、Q、 R 分别是 EH、 EF、BC、CD、AD的中点，∴ MN∥ HF,PQ∥ BD.∵BD∥ HF, ∴MN∥ PQ.∵PR∥ GH,PR=GH;MH∥ AR,MH=AR,∴四边形RPGH为平行四边形，四边形ARHM为平行四边形.∴AM∥ RH,RH∥ PG.∴AM∥ PG.∵MN∥ PQ,MN平面PQG,PQ平面PQG,∴ MN∥平面PQG.同理可证， AM∥平面 PQG.又直线 AM与直线 MN订交，∴平面 MNA∥平面 PQG.评论：证面面平行，往常转变为证线面平行，而证线面平行又转变为证线线平行，所以要点是证线线平行 .例 2证明两个平面平行的性质定理.解：如图 11, 已知平面α、β、γ知足α∥β, α∩γ =a, β∩γ =b, 求证 :a ∥b.图 11证明：∵平面α∥平面β,∴平面α和平面β没有公共点.又 aα，bβ ,∴直线 a、b 没有公共点 .又∵α∩γ =a，β∩γ =b,∴aγ，bγ.∴ a∥ b.变式训练假如两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面相互平行.解：已知α∥β，γ∥β，求证：α∥γ.证明：如图 12，作两个订交平面分别与α、β、γ交于a、c、 e 和 b、 d、 f,图 12a // c//a // e a //b // d // .c // eb // fb ////d // f评论： 欲将面面平行转变为线线平行，先要作平面.知能训练已知： a 、b 是异面直线， a平面α ,b平面β， a ∥β， b ∥α .求证：α∥β .证明： 如图 13, 在 b 上任取点 P ，明显 P a. 于是 a 和点 P 确立平面γ，且γ与β有公共点P.图 13设γ∩β =a ′，∵ a ∥β，∴ a ′∥ a. ∴a ′∥α . 这样β内订交直线 a ′和 b 都平行于α，∴α∥β .拓展提高1. 如图 14，两条异面直线AB 、 CD 与三个平行平面α、β、γ分别订交于A 、E 、B 及C 、 F 、D ，又 AD 、BC 与平面的交点为 H 、 G.图 14求证： EHFG 为平行四边形 .平面 ABCAC 证明： 平面 ABCEG//AC ∥ EG.同理 ,AC ∥ HF.AC // EG EG ∥ HF. 同理 ,EH ∥ FG.故 EHFG 是平行四边形 .AC // HF讲堂小结知识总结： 利用面面平行的判断定理和面面平行的性质证明线面平行 .方法总结： 见到面面平行 , 利用面面平行的性质定理转变为线线平行 , 本节是 “转变思想” 的典型素材 . 作业课本习题 2.2 A组 7、 8.设计感想面面关系是直线与平面关系中比较复杂的关系，它是学生学习的一个难点，也是高考考查的要点，所以它在立体几何中据有比较重要的地位. 本节采用了大批的经典习题作为素材，关于学生学好面面平行的判断与性质必定会有很大的帮助，本节的引入也标新立异，相信这是一节大家喜爱的出色课例.。

2.2.4平面与平面平行的性质【自主预习】[新知初探]平面与平面平行的性质定理思考：如果两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？[初试身手]1．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是() A．平行B．相交C．异面D．平行或异面2．已知平面α∥平面β，直线l∥α，则()A．l∥βB．l⊂β C．l∥β或l⊂βD．l, β相交3．已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．【合作探究】[探究问题]1．平面与平面平行性质定理的条件有哪些？2．线线、线面、面面平行之间有什么联系？【例1】如图，已知平面α∥平面β，Pα且Pβ，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D，且P A＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．[母题探究]1．将本例改为：若点P在平面α，β之间(如下图所示)，其他条件不变，试求BD的长．2. 将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C与D 、E 、F .已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝________．3．将本例改为：已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a 与这三个平面依次交于点A 、B 、C ，直线b 与这三个平面依次交于点E 、F 、G . 求证：AB BC ＝EF FG.[规律方法]应用平面与平面平行性质定理的基本步骤：【例2】 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：GH ∥平面P AD .[规律方法]1．证明直线与直线平行的方法(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．(2)公理4.(3)线面平行的性质定理．(4)面面平行的性质定理．2. 证明直线与平面平行的方法：(1)线面平行的判定定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．[跟踪训练]如图，三棱锥A­BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD∥平面EFGH.【课堂小结】1．常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．【当堂达标】1．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交2．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线3．用一个平面去截三棱柱ABC­A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于点E，F，G，H. 若A1A>A1C1，则截面的形状可以为_____．(填序号)①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．4．如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD.求证：BC＝2EF.【参考答案】【自主预习】[新知初探]平行a∥b思考：[提示]不一定．它们可能异面．[初试身手]1．A[因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.] 2．C[假设l与β相交，又α∥β，则l与α相交，与l∥α矛盾，则假设不成立，则l∥β或l⊂β.]3．②[由面面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a平行，异面均可，其中包括异面垂直，故③错误．]【合作探究】[探究问题]1．[提示]必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可．2．[提示]联系如下：【例1】[解]因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以P AAC＝PBBD，即69＝8－BDBD.所以BD＝245.[母题探究]1．[解]与本例同理，可证AB∥CD.所以P A PC ＝PB PD ，即63＝BD －88，所以BD ＝24. 2. 15 [由题可知DE DF ＝AB AC ⇒AC ＝DF DE ·AB ＝52×6＝15.] 3．[证明] 连接AG 交β于H ，连BH 、FH 、AE 、CG .因为β∥γ，平面ACG ∩β＝BH ，平面ACG ∩γ＝CG ，所以BH ∥CG .同理AE ∥HF ，所以AB BC ＝AH HG ＝EF FG.【例2】[证明] 如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO .∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴P A ∥MO ，而AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，∴P A ∥平面BMD ，又∵P A ⊂平面P AHG ，平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ，∴P A ∥GH .又P A ⊂平面P AD ，GH ⊄平面P AD ，∴GH ∥平面P AD .[跟踪训练] [证明] 由于四边形EFGH 是平行四边形，∴EF ∥GH .∵EF ⊄平面BCD ，GH ⊂平面BCD ，∴EF ∥平面BCD .又∵EF ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，∴EF ∥CD .又∵EF ⊂平面EFGH ，CD ⊄平面EFGH ，∴CD ∥平面EFGH .【当堂达标】1．D[如图①②③所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．]①②③2．D[由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．] 3．②⑤[当FG∥B1B时，四边形EFGH为矩形；当FG不与B1B平行时，四边形EFGH 为梯形．]4．[证明]因为平面EFG∥平面BCD，平面ABD∩平面EFG＝EG，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EG∥BD，又G为AD的中点，故E为AB的中点，同理可得，F为AC的中点，所以BC＝2EF.。

2.2.4 平面与平面平行的性质教学要求：掌握平面和平面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线、线面、面面”平行的转化.教学重点：掌握面面平行的性质定理. 教学难点：掌握平行之间的转化. 教学过程： 一、复习准备：1．提问：线面平行、面面平行判定定理的符号语言？线面平行性质定理的符号语言？ 2. 讨论：两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线有什么关系？ 二、讲授新课：1. 教学面面平行性质定理：① 讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？两个平面内的直线有什么位置关系？当第三个平面和两个平行平面都相交，两条交线有什么关系？为什么？② 提出性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

③ 用符号语言表示性质定理：}a bαβαγβγ⇒∥＝，＝a ∥b④ 讨论性质定理的证明思路.⑤ 出示例2：求证：夹在两个平行平面间的两条平行线的长相等. →首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言：已知：//αβ，,AB CD 是夹在两个平行平面,αβ间的平行线段，求证：AB CD =. → 分析：利用什么定理？（面面平行性质定理） 关键是如何得到第三个相交平面 2. 教学例题：① 出示例3：已知,l m 是两条异面直线，//l 平面α，//l 平面β，//m 面α，//m 平面β，求证：//αβ．讨论：如何将符号语言转化为图形语言？ → 如何作辅助平面？ → 师生共同完成 ② 练习：若//αβ，//βγ，求证：//αγ． （试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演） 在平面α内取两条相交直线,a b ，分别过,a b 作平面,ϕδ，使它们分别与平面β交于两相交直线,a b ''， ∵//αβ，∴//,//a a b b ''，DCBA βααβγba 'a ''ab 'b ''又∵//βγ，同理在平面γ内存在两相交直线,a b ''''，使得//,//a a b b ''''''， ∴//,//a a b b ''''， ∴//αγ3. 小结：面面平行的性质定理及其它性质（//,//a a αβαβ⊂⇒）；转化思想. 三、巩固练习：1、 已知,l m 是两条异面直线，//l 平面α，//l 平面β，//m 面α，//m 平面β，求证：//αβ．2、教材P61面的练习。