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2014届高三数学总复习 3.3三角函数的图象和性质教案 新人教A 版1. (必修4P 16例1改编)α是第二象限角，tan α＝－815，则sin α＝________．答案：817解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝－815，解得sin α＝±817.∵ α为第二象限角，∴ sin α>0，∴ sin α＝817.2. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－523π＝________． 答案：－12解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos 52π3＝cos(17π＋π3)＝－cos π3＝－12.3. sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1＝________．答案：2解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2. 4. (必修4P 21例题4改编)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________．答案：－223解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos[π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α.又－π＜α＜－π2，所以－712π＜5π12＋α＜－π12.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋α＝－223，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223.5. (必修4P 22习题9(1)改编)已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos ()π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （π－θ）＝__________．答案：－2解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （π－θ）＝cos θ－（－cos θ）cos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.1. 同角三角函数的基本关系(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2) 商数关系：tan α＝sin αcos α.2. 诱导公式记忆规律：奇变偶不变，符号看象限． [备课札记]题型1 同角三角函数的基本关系式例1 (必修4P 23第18题改编)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1) 求tan α的值； (2) 将1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 解：(1) (解法1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15 ①，sin 2α＋cos 2α＝1 ②，由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理，得25sin 2α－5sin α－12＝0.∵ α是三角形内角，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴ tan α＝－43.(解法2)∵ sin α＋cos α＝15，∴ (sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴ 2sin αcos α＝－2425，∴ (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵ sin αcos α＝－1225<0且0<α<π，∴ sin α>0，cos α<0.∵ sin α－cos α>0，∴ sin α－cos α＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴ tan α＝－43.(2) 1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α. ∵ tan α＝－43，∴ 1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257.变式训练已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，且θ∈(0，2π)．(1) 求sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值；(2) 求m 的值；(3) 求方程的两根及此时θ的值． 解：(1) 由韦达定理可知 ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12①，sin θ·cos θ＝m2②，而sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝ sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2) 由①两边平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32，将②代入得m ＝32. (3) 当m ＝32时，原方程变为2x 2－(1＋3)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32.∵ θ∈(0，2π)，∴ θ＝π6或π3. 例2 (必修4P 23第10(2)题改编)化简： (1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α)·(1＋cos α1－cos α－1－cos α1＋cos α)．解：原式＝(（1＋sin α）2cos 2α－（1－sin α）2cos 2α)(（1＋cos α）2sin 2α－（1－cos α）2sin 2α)＝(1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|)(1＋cos α|sin α|－1－cos α|sin α|)＝2sin α|cos α|·2cos α|sin α|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，α在第一、三象限时，－4，α在第二、四象限时. 备选变式（教师专享）已知sin α·cos α<0，sin αtan α>0，化简：cos α2·1－sinα21＋sinα2＋sin α2·1＋cosα21－cosα2＝________． 答案：±2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 解析：∵sin α·cos α<0，∴α为第二或第四象限角． 又∵sin α·tan α>0，∴α为第四象限角， ∴α2为第二或四象限角． ∴原式＝cos α2·1－sin α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2·1＋cosα2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝⎩⎪⎨⎪⎧sin α2＋cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2为第二象限角，－sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2为第四象限角，∴原式＝±2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π4.题型2 利用诱导公式进行化简求值例3 已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin （π－α）＋5cos （2π－α）2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin （－α）的值．解：∵ sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴ －sin(3π－α)＝2cos(4π－α)， ∴ sin α＝－2cos α，且cos α≠0. ∴ 原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.备选变式（教师专享）已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1) sin(2π－α)；(2) sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n∈Z )．解：∵ cos(π＋α)＝－12，∴ －cos α＝－12，cos α＝12.又角α在第四象限，∴ sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1) sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32.(2)sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.1. (2013·广东文)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝________． 答案：15解析：sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.2. 已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)＝________． 答案：－12解析：由条件，知π＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5，∴ a 5＝π3，∴ cos(a 2＋a 8)＝cos2a 5＝cos 2π3＝－12. 3. 已知sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝________．答案：－24解析：因为sin α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－19＝－223，从而tan α＝－24. 4. 已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则cos(α－π6)＝____________．答案：0解析：依题意得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．又－π2＜α＜0，因此α＝－π3，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－π6＝cos π2＝0.1. 已知0<x<π，sinx ＋cosx ＝15.(1) 求sinx －cosx 的值； (2) 求tanx 的值．解：(1) ∵ sinx ＋cosx ＝15，∴ 1＋2sinxcosx ＝125，∴ 2sinxcosx ＝－2425，又∵ 0<x<π，∴ sinx>0，2sinxcosx ＝－2425<0，∴ cosx<0，∴sinx －cosx>0，∴ sinx －cosx ＝1－2sinxcosx ＝75.(2) sinx ＋cosx sinx －cosx ＝17，tanx ＋1tanx －1＝17，tanx ＝－43.2. 已知3cos 2(π＋x)＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，求6sinx ＋4tan 2x －3cos 2(π－x)的值．解：由已知得3cos 2x ＋5sinx ＝1，即3sin 2x －5sinx －2＝0，解得sinx ＝－13或sinx ＝2(舍去)．这时cos 2x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝89，tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝18，故6sinx ＋4tan 2x －3cos 2(π－x)＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋4×18－3×89＝－256.3. 已知在△ABC 中，sinA ＋cosA ＝15.(1) 求sinA·cosA；(2) 判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3) 求tanA 的值．解：(1) 因为 sinA ＋cosA ＝15①，两边平方得1＋2sinAcosA ＝125，所以sinA·cosA＝－1225. (2) 由(1) sinAcosA ＝－1225<0，且0<A<π，可知cosA<0，所以A 为钝角，所以△ABC是钝角三角形．(3) (sinA －cosA)2＝1－2sinAcosA ＝1＋2425＝4925.又sinA>0，cosA<0，sinA －cosA>0， 所以sinA －cosA ＝75②，所以由①，②可得sinA ＝45，cosA ＝－35，则tanA ＝sinA cosA ＝45－35＝－43.4. 已知sin(3π＋θ)＝13，求cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解：因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，所以sin θ＝－13.原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos （2π－θ）－sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θcos （π－θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝18.1. 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．2. 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2k π＋α(k∈Z )，0≤α＜2π；② 转化为锐角．3. 在应用诱导公式时需先将角变形，有一定技巧，如化32π＋α为π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α或2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.请使用课时训练（A ）第2课时（见活页）.[备课札记]。
1．2.2 同角三角函数的基本关系课时目标 1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：____________(α≠k π＋π2，k ∈Z )． 2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝________；cos 2α＝________；(sin α＋cos α)2＝____________________；(sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝______；sin α·cos α＝______________________＝________________________.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝________________；cos α＝______________.一、选择题1．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是( )A.14B.12 C ．1 D.322．若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α等于( )A ．0B ．1C ．2D ．33．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±434．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．86．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2二、填空题7．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝________. 8．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.9．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝____. 10．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．三、解答题 11．化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.12．求证：1－2sin 2x cos 2x cos 2 2x －sin 2 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x.能力提升13．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．14．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )．(1)求sin 3θ＋cos 3θ的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点．1．2.2 同角三角函数的基本关系答案知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α 1－2sin αcos α 2sin α＋cos α2－12 1－sin α－cos α22 (2)cos αtan α sin αtan α作业设计1．C 2.B 3.A4．C [1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α＋cos αsin α＋cos αsin α－cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.] 5．C [tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－sin α－cos α22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8.] 6．B [方法一 由⎩⎨⎧ cos α＋2sin α＝－5cos 2α＋sin 2α＝1联立消去cos α后得(－5－2sin α)2＋sin 2α＝1.化简得5sin 2α＋45sin α＋4＝0∴(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255. ∴cos α＝－5－2sin α＝－55. ∴tan α＝sin αcos α＝2. 方法二 ∵cos α＋2sin α＝－5，∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2α＝5，∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2αcos 2α＋sin 2α＝5，∴1＋4tan α＋4tan 2α1＋tan 2α＝5， ∴tan 2α－4tan α＋4＝0，∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2.]7．－5138.45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45. 9．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34， ∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32. 10.34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1， ∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7.当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34. 11．解 原式＝1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α＝sin 2α1＋cos 2α－sin 4αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 12．证明 左边＝cos 2 2x ＋sin 2 2x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x＝cos 2x －sin 2x 2cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x＝右边．∴原等式成立．13．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1 ＝sin 2 αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α＋cos αsin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α，右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α∴左边＝右边，∴原式成立．14．解 (1)由韦达定理知：sin θ＋cos θ＝a ，sin θ·cos θ＝a .∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a 2＝1＋2a .解得：a ＝1－2或a ＝1＋ 2∵sin θ≤1，cos θ≤1，∴sin θcos θ≤1，即a ≤1，∴a ＝1＋2舍去．∴sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)＝a (1－a )＝2－2.(2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝1a ＝11－2＝－1－ 2.。
课时规范练28 同角三角函数基本关系式与诱导公式基础 巩固练1.(陕西西北工大附中校考)若sin A=13,则sin(6π-A)的值为( )A.13B.-13C.-2√23D.2√232.(广东深圳模拟)已知sin(π3+α)=45,则cos(5π6+α)的值为( ) A.-35B.35C.-45D.453.(广西南宁模拟)已知sin 2α=cos α-1,则sin(α+3π2)=( ) A.1 B.-1C.2D.-124.(江西贵溪模拟)设sin 23°=m,则tan 67°=( ) A.-√1-m 2B.√1-m 2C.√1m2-m D.√1m 2-15.(多选题)(江苏常州模拟)已知角α的终边与单位圆交于点(35,y 0),则sinα+2cosα3sinα-cosα=( )A.109B.-109C.-215D.156.(山西阳泉模拟)已知sin α+cos α=√63,0<α<π,则sin α-cos α=( ) A.-2√33 B.2√33C.-√33D.√337.(山东日照实验高中模拟)已知α∈(π2,π),且3cos 2α-sin α=2,则( ) A.cos(π-α)=23B.tan(π-α)=√24C.sin(π2-α)=√53D.cos(π2-α)=√548.(江苏南通高三期末)已知sin(π-x)=13,x ∈(0,π2),则tan x= . 9.tan (2π-x )sin (-2π-x )cos (6π-x )cos (π-x )sin(x+3π2)cos(π2-x)= .10.(山东烟台模拟)已知α∈(0,π2),4sin α-3cos α=3,则tanα= .综合 提升练11.(四川高三第一次统一监测)已知sin α=2cos α,则sinα-sin 3αsin(α+π2)=( )A.35B.25C.-25D.-3512.(广东河源模拟)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边过点P(sin 138°,cos 138°),则tan(α+18°)=( )A.√3B.√33C.-√3D.-√3313.(湖南长郡中学模拟)已知tan α=cos α,则11-sinα−1sinα= .14.已知α为第二象限角,且满足sin α√1-cosα1+cosα+cos α√1-sinα1+sinα=75,则sin 2α= .创新 应用练15.若sin θ,cos θ是关于x 的方程x 2-ax+a=0的两个实数根,则实数a= .课时规范练28 同角三角函数基本关系式与诱导公式1.B 解析sin(6π-A)=sin(-A)=-sinA=-13.2.C 解析cos(5π6+α)=cos[π2+(π3+α)]=-sin(π3+α)=-45.3.B 解析∵sin 2α=1-cos 2α,又由题知sin 2α=cosα-1,∴1-cos 2α=cosα-1,即cos 2α+cosα-2=0,∴(cosα-1)(cosα+2)=0,∴cosα=1或cosα=-2(舍去),∴sin(α+3π2)=-cosα=-1.4.D 解析∵sin23°=m>0,∴cos67°=m,∴sin67°=√1-m 2,∴tan67°=√1-m 2m=√1m 2-1.5.AC 解析∵角α的终边与单位圆交于点(35,y 0),∴925+y 02=1,∴y 0=±45,∴tanα=y 035=±43,当tanα=43时,sinα+2cosα3sinα-cosα=tanα+23tanα-1=109;当tanα=-43时,sinα+2cosα3sinα-cosα=tanα+23tanα-1=-215.故选AC.6.B 解析因为sinα+cosα=√63,所以(sinα+cosα)2=23,即sin 2α+2sinαcosα+cos 2α=23,所以2sinαcosα=-13.又0<α<π,所以cosα<0<sinα,所以sinα-cosα>0.因为(sinα-cosα)2=sin 2α-2sinαcosα+cos 2α=1+13=43,所以sinα-cosα=2√33. 7.B 解析由题意得3(1-2sin 2α)-sinα=2,解得sinα=-12或sinα=13.又α∈(π2,π),所以sinα=13,则cosα=-√1-sin 2α=-2√23,tanα=sinαcosα=-√24,所以cos(π-α)=-cosα=2√23,tan(π-α)=-tanα=√24,sin(π2-α)=cosα=-2√23,cos(π2-α)=sinα=13,故A,C,D 错误,B 正确. 8.√24解析由sin(π-x)=13,得sinx=13.因为x ∈(0,π2),所以cosx=√1-sin 2x =√1-19=2√23,所以tanx=sinxcosx=2√2=√24. 9.sin x 解析tan(2π-x)=-tanx,sin(-2π-x)=sin(-x)=-sinx,cos(6π-x)=cos(-x)=c osx,cos(π-x)=-cosx,sin(x+3π2)=-cosx,cos(π2-x)=sinx,原式=(-tanx )×(-sinx )×cosx×(-cosx )(-cosx )×sinx=tanx×cosx=sinx.10.247解析(方法一)由4sinα-3cosα=3,得4sinα=3+3cosα,两边同时平方得16(1-cos 2α)=9(1+2cosα+cos 2α),整理得25cos 2α+18cosα-7=0,解得cosα=725或cosα=-1,因为α∈(0,π2),所以cosα=725,代入4sinα-3cosα=3,得sinα=2425,所以tanα=247.(方法二)将4sinα-3cosα=3两边同时平方,得16sin 2α-24sinαcosα+9cos 2α=9,即7sin 2α=24sinαcosα,① 又α∈(0,π2),所以sinαcosα≠0,①式两边同时除以sinαcosα,可得7tanα=24,所以tanα=247.11.B 解析由sinα=2cosα,显然cosα≠0,可得tanα=2,所以sinα-sin 3αsin(α+π2)=sinα(1-sin 2α)cosα=sinαcosα=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanαtan 2α+1=25,所以sinα-sin 3αsin(α+π2)=25.12.D 解析因为sin138°>0,cos138°<0,所以点P 在第四象限,即α为第四象限角,由三角函数定义得tanα=cos138°sin138°=cos (90°+48°)sin (90°+48°)=-sin48°cos48°=sin (-48°)cos (-48°)=tan(-48°),所以α=-48°+k·360°,k∈Z,所以tan(α+18°)=tan(-48°+k·360°+18°)=tan(-30°)=-tan30°=-√33. 13.1 解析由tanα=cosα,得sinαcosα=cosα,即sinα=cos 2α,则sinα=(1-sinα)·(1+sinα),即11-sinα=1+sinαsinα,所以11-sinα−1sinα=1+sinαsinα−1sinα=1.14.-2425解析由题意得sin α√1-cosα1+cosα+cos α√1-sinα1+sinα=sin α√(1-cosα)2(1+cosα)(1-cosα)+cos α√(1-sinα)2(1+sinα)(1-sinα)=sinα·1-cosα|sinα|+cosα·1-sinα|cosα|,因为α为第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,则有sinα·1-cosα|sinα|+cosα·1-sinα|cosα|=sinα·1-cosαsinα+cosα·1-sinα-cosα=sinα-cosα=75,两边同时平方得1-2sinαcosα=4925,故sin2α=-2425.15.1-√2 解析由题意得{Δ=a 2-4a ≥0,sinθ+cosθ=a ,sinθcosθ=a ,所以a≤0或a≥4,且sinθ+cosθ=sinθcosθ,所以(sinθ+cosθ)2=(sinθ·cosθ)2⇒1+2sinθcosθ=(sinθcosθ)2,即a2-2a-1=0.因为a≤0或a≥4,所以a=1-√2.。
§4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式1． 同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2． 下列各角的终边与角α的终边的关系3.1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．( × )(3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( × ) (4)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈[π2，π]，则m <－5或m ≥3.( × )(5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为－3或－33.( × )(6)已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是－13.( √ )2． 已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－255B.255C ．±255D.52答案 B解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈(－π2，0)，得cos α＝1－sin 2α＝53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.3． 若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________．答案 34解析 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34.4． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 答案 －23解析 sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 5． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，x ≤2 000，x －15，x >2 000，则f [f (2 015)]＝________.答案 －1解析 ∵f [f (2 015)]＝f (2 015－15)＝f (2 000)， ∴f (2 000)＝2cos 2 000π3＝2cos 23π＝－1.题型一 同角三角函数关系式的应用例1 (1)已知cos(π＋x )＝35，x ∈(π，2π)，则tan x ＝________.(2)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43B.54C ．－34D.45思维启迪 (1)应用平方关系求出sin x ，可得tan x ； (2)把所求的代数式中的弦转化为正切，代入可求． 答案 (1)43(2)D解析 (1)∵cos(π＋x )＝－cos x ＝35，∴cos x ＝－35.又x ∈(π，2π)， ∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－1－(－35)2＝－45，∴tan x ＝sin x cos x ＝43. (2)sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2sin 2θcos 2θ＋1＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.(1)已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2(2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________. 答案 (1)A (2)25解析 (1)由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos xsin x －1＝12.(2)sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25.题型二 诱导公式的应用例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值． 思维启迪 (1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系．(2)先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值． 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33， 即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33. (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫72π－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.思维升华 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为________． (2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.答案 (1)－13 (2)－916解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. (2)∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝－35－45＝34，∴原式＝cos α(－sin α)sin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916.题型三 三角函数式的求值与化简例3 (1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；(2)化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α).思维启迪 三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式． 解 (1)因为tan α＝13，所以12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝23.(2)原式＝－tan α·cos α·(－cos α)cos (π＋α)·(－sin (π＋α)) ＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.思维升华 在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．(1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形(2)已知tan α＝2，sin α＋cos α<0， 则sin (2π－α)·sin (π＋α)·cos (π＋α)sin (3π－α)·cos (π－α)＝________.答案 (1)D (2)－255解析 (1)∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝49，∴sin αcos α＝－518<0，∴α为钝角．故选D.(2)原式＝－sin α·(－sin α)·(－cos α)sin α·(－cos α)＝sin α，∵tan α＝2>0，∴α为第一象限角或第三象限角． 又sin α＋cos α<0，∴α为第三象限角， 由tan α＝sin αcos α＝2， 得sin α＝2cos α代入sin 2α＋cos 2α＝1， 解得sin α＝－255.方程思想在三角函数求值中的应用典例：(5分)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.思维启迪 利用同角三角函数基本关系，寻求sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ和sin θcos θ的关系． 规范解答解析 方法一 因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，所以sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0. 所以sin θ＝1213，cos θ＝－513.所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.方法二 同法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169.弦化切，得tan θtan 2θ＋1＝－60169，即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0， 解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0. 所以θ∈(π2，3π4)，所以tan θ＝－125.方法三 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713sin 2θ＋cos 2θ＝1得，⎩⎨⎧sin θ＝1213cos θ＝－513或⎩⎨⎧sin θ＝－513cos θ＝1213(舍)．故tan θ＝－125.答案 －125温馨提醒 三种解法均体现了方程思想在三角函数求值中的应用．利用已知条件sin θ＋cos θ＝713和公式sin 2θ＋cos 2θ＝1可列方程组解得sin θcos θ，sin θ－cos θ，也可以利用一元二次方程根与系数的关系求sin θ、cos θ.各解法中均要注意条件θ∈(0，π)的运用，谨防产生增解.方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1． 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2． 三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sinθcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…. 失误与防范1． 利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．2． 在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3． 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于 ( )A.15B ．－15C.513D ．－513答案 D解析 ∵tan α＝sin αcos α＝－512，∴cos α＝－125sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋14425sin 2α＝16925sin 2α＝1.又sin α<0，∴sin α＝－513.2． 已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( ) A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析 因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.3． 已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α等于( )A.25B ．－25C.25或－25D ．－15答案 B解析 由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)得sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，∴sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25，故选B. 4． 已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为( )A.12B ．－12C.32D ．－32答案 A解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝cos π3＝12.5． 已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是 ( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2} 答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，A ＝sin (2n π＋α)sin α＋cos (2n π＋α)cos α＝2； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，A ＝sin (2n π＋π＋α)sin α＋cos (2n π＋π＋α)cos α＝－2. 故A 的值构成的集合为{－2,2}．二、填空题6． 化简：sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________. 答案 －1解析 原式＝－cos α·tan αsin α＝－sin αsin α＝－1. 7． 如果cos α＝15，且α是第一象限的角，那么cos(α＋3π2)＝________. 答案 265 解析 ∵cos α＝15，α为第一象限角， ∴sin α＝1－cos 2α＝ 1－(15)2＝265， ∴cos(α＋3π2)＝sin α＝265. 8． 化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3(π2＋α)·sin (－α－2π)＝________.答案 1解析 原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 三、解答题9． 已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值． 解 (1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝925. 又π2<θ<π，∴cos θ＝－35. ∴tan θ＝sin θcos θ＝－43. (2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857. 10．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根，求cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)的值．解 由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝asin θcos θ＝a，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 则a 2－2a －1＝0，从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)，因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.∴cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)＝sin 3θ＋cos 3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)1． 已知sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)，则sin(θ－5π)sin(32π－θ)的值是 ( ) A.229B ．－229C ．－19 D.19 答案 B解析 ∵sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)， ∴cos θ＝1－sin 2θ＝223. ∴原式＝－sin(π－θ)·(－cos θ)＝sin θcos θ＝－13×223＝－229. 2． 当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x的最小值是 ( )A.14B.12 C ．2 D ．4 答案 D解析 当0<x <π4时，0<tan x <1， f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1tan x －tan 2x， 设t ＝tan x ，则0<t <1，y ＝1t －t 2＝1t (1－t )≥1[t ＋(1－t )2]2＝4. 当且仅当t ＝1－t ，即t ＝12时等号成立． 3． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 答案 0解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 4． 已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式； (2)求f (π2 014)＋f (503π1 007)的值． 解 (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f (π2 014)＋f (503π1 007) ＝sin 2π2 014＋sin 21 006π2 014 ＝sin 2π2 014＋sin 2(π2－π2 014) ＝sin 2π2 014＋cos 2π2 014＝1. 5． 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225. (2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π， 可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925， 又sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75.② ∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35， ∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.。
章末综合检测：第三章 三角函数1．已知α是第一象限角，tan α＝34，则sin α等于A.45 B.35 C －45 D ．－352．在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形 D ．等边三角形 3．函数22cos ()14y x π=--是A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14()b 2＋c 2－a 2，则∠B ＝A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．函数sin(2)5sin(2)63y x x ππ=++-的最大值是 A ．6＋532 B ．17 C ．13 D ．126．函数lg[sin(2)]4y x π=-的单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－5π8，k π－π8(k ∈Z)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π8，k π＋π8(k ∈Z) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－3π8，k π－π8(k ∈Z) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z) 7．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 km B ．3 2 km C ．3 3 km D ．2 3 km8.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋29．△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上均有可能 10．下列命题正确的是( )A ．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6内单调递增B ．函数y ＝cos 4x －sin 4x 的最小正周期为2πC ．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象是关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0成中心对称的图形D ．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象是关于直线x ＝π6成轴对称的图形11．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是12．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a=A ．1 B.110 C1或110 D1或1013．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ .14.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，2()23f π=-，则f (0)＝ .15．设a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 所对的边，sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为 ．16．在直径为30 m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为 m.17．已知33sin(),4544πππαα-=<<(1)求cos()4πα-的值； (2)求sin α的值．18．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lg sin B ＝lg 22，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos Cc . (1)求角C 的大小；(2)如果a ＋b ＝6，CA →·CB →＝4，求c 的值．20．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (0,0,)2A πωϕ>>< 的部分图象如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；(2)如何由函数y ＝2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图象，试写出变换过程．21．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2,cos ),m b c C =- (,cos )n a A = ，且//m n(1)求角A 的大小；(2)求22sin cos(2)3y B B π=+-的值域．22．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)的图象过点(,1)8π-(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的周期和单调增区间； (3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．2014年高考数学一轮总复习（人教A 版）章末综合检测：第三章 三角函数(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α是第一象限角，tan α＝34，则sin α等于( )A.45B.35 C ．－45D ．－35解析 B 由⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜α＜π2＋2k π(k ∈Z )，sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝35.2．在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析 A sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形． 3．函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析 A ∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，∴T ＝π，且为奇函数．4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14()b 2＋c 2－a 2，则∠B ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 B 根据正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，即sin(A ＋B )＝sin C ＝sin 2 C ，所以sin C ＝1.即C ＝90°.由S ＝14()b 2＋c 2－a 2得12bc sin A ＝14()b 2＋c 2－a 2，即sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝cos A ，即tan A ＝1，所以A ＝45°，所以B ＝45°，故选B.5．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的最大值是( )A ．6＋532B ．17C ．13D ．12解析 C y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＝arctan 512，故选C.6．函数y ＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－5π8，k π－π8(k ∈Z) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π8，k π＋π8(k ∈Z) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－3π8，k π－π8(k ∈Z) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z) 解析 C 由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x >0，则2k π<π4－2x <2k π＋π，k ∈Z ，即－k π－38π<x <－k π＋π8，k ∈Z.①函数的单调增区间即为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调减区间，即2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋32π，k ∈Z ，即k π＋38π<x ≤k π＋78π，k ∈Z ，②由①②知，k π－38π<x <k π－π8，k ∈Z.7．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km解析 B如图，由条件知AB ＝24×1560＝6. 在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°. 由正弦定理知BS sin 30°＝ABsin 45°， 所以BS ＝AB sin 30°sin 45°＝3 2.故选B.8．(2013·武汉模拟)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是( ) A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2解析 D ∵⎩⎨⎧ A ＋m ＝4，－A ＋m ＝0，∴⎩⎨⎧A ＝2，m ＝2.∵T ＝π2，∴ω＝2πT ＝4.∴y ＝2sin(4x ＋φ)＋2.∵x ＝π3是其对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π3＋φ＝±1.∴4π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)．∴φ＝k π－5π6(k ∈Z)． 当k ＝1时，φ＝π6，故选D.9．△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上均有可能解析 A 由题意可知c >a ，c >b ，即角C 最大．所以a 3＋b 3＝a ·a 2＋b ·b 2<ca 2＋cb 2，即c 3<ca 2＋cb 2，所以c 2<a 2＋b 2.根据余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >0，所以0<C <π2，即三角形为锐角三角形，故选A.10．(2013·西安模拟)下列命题正确的是( )A ．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6内单调递增B ．函数y ＝cos 4x －sin 4x 的最小正周期为2πC ．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象是关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0成中心对称的图形D ．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象是关于直线x ＝π6成轴对称的图形解析 C 对于A ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6时，2x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，23π，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6内不单调；对于B ，y ＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ，故最小正周期为π；对于C ，当x ＝π6时，y ＝cos π2＝0，故C 正确；D 显然错误．11．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是解析 A 令x ＝0得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.12．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为A ．1 B.110C ．1或110D ．1或10解析 C tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg 1a 1－lg (10a )·lg 1a＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0，所以lg a ＝0或lga ＝－1，即a ＝1或110. 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ .解析 ∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2，∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43. 【答案】 4314.(2013·黄冈模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝ .解析 由图象可得最小正周期为2π3. 所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，注意到2π3与π2关于7π12对称，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝23.【答案】 2315．设a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 所对的边，sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为 ．解析 由sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ， 得a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴2cos C ＝1.∴C ＝60°.又∵ab ＝4，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin 60°＝ 3.【答案】 316．在直径为30 m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为 m.解析 轴截面如图，则光源高度h ＝15tan 60°＝53(m)．【答案】 5 3三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，π4<α<3π4.(1)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值；(2)求sin α的值．解析 (1)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，且π4<α<3π4，∴0<α－π4<π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝45. (2)sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4＝7210.18．(12分)在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lg sin B ＝lg 22，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．解析 ∵lg sin B ＝lg22，∴sin B ＝22， ∵B 为锐角，∴B ＝45°.又∵lg a －lg c ＝lg 22，∴a c ＝22. 由正弦定理，得sin A sin C ＝22， ∴2sin C ＝2sin A ＝2sin(135°－C )，即sin C ＝sin C ＋cos C ，∴cos C ＝0，∴C ＝90°， 故△ABC 为等腰直角三角形．19．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos C c . (1)求角C 的大小；(2)如果a ＋b ＝6，CA →·CB →＝4，求c 的值． 解析 (1)因为a sin A ＝c sin C，sin A a ＝3cos Cc ， 所以sin C ＝3cos C ．所以tan C ＝ 3. 因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)因为CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos C ＝12ab ＝4，所以ab ＝8.因为a ＋b ＝6，根据余弦定理，得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12. 所以c 的值为2 3.20．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<⎭⎪⎫π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)如何由函数y ＝2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图象，试写出变换过程． 解析 (1)由题图象知A ＝2.f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2代入f (x )的解析式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1. 又|φ|<π2，∴φ＝π6. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.21．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)求y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B 的值域． 解析 (1)由m ∥n 得(2b －c )·cos A －a cos C ＝0.由正弦定理得2sin B cos A －sin C cos A －sin A cos C ＝0.所以2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，即2sin B cos A －sin B ＝0.因为A ，B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，cos A ＝12， 所以A ＝π3. (2)y ＝2sin 2B ＋cos π3cos 2B ＋sin π3sin 2B ＝1－12cos 2B ＋32sin 2B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1. 由(1)得0<B <2π3，所以－π6<2B －π6<7π6， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，所以y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. 22．(14分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，－1. (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的周期和单调增区间；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解析 (1)∵f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，－1， ∴－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ， ∴φ＋π4＝2k π－π2(k ∈Z)， 又φ∈(－π，0)，∴φ＝－3π4. ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4. (2)由题意，T ＝2π2＝π，由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4，由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z)得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)． (3)f (x )在[0，π]上的图象如图：。
