2020版新高考理科数学考前专题强化训练：(八) 不等式、线性规划 Word版含解析

限时规范训练五 不等式及线性规划限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.①ac 2＞bc 2，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B. 4．已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12解析：选B.∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2C ．[－1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.6．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：选A.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A.7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( ) A. 5 B. 6 C.52D ．3解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11]D ．[3,10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12的可行域如图阴影部分所示，则x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义为过点(x ，y )和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y ＋1x ＋1的取值范围为k MA ≤y ＋1x ＋1≤k MB ，即y ＋1x ＋1∈[1,5]，所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,11]．9．设x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72，则M －N 的最小值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x －y ＝0与直线2x ＋y ＝2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，而直线x ＋y ＝a 与x 轴的交点是(a,0)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a ≥23＋23或0＜a ≤1，所以选D.11．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos∠APB ＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6， ∴∠APB ＝π3，∴cos∠APB ＝12.12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C.由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0，① 由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得 4a －b －13＝0，②由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3， 即6＜c ≤9，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)． 由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2.而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以nm ＞0，m n＞0. 由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)， 所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.答案：214．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 215．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。

热点08 数列与不等式【命题趋势】在新高考卷的考点中，数列主要以两小和一大为主的考查形式，在小题中主要以等差数列和等比数列为主，大题中新高考比以往的考察有了很大的改变，以前是三角和数列在17题交替考查，现在作为主干知识必考内容，考察位置是17或18题，题型可以是多条件选择的开放式的题型。

由于三角函数与数列均属于解答题第一题或第二题的位置，考查的内容相对比较简单，这一部分属于必得分，对于小题部分，一般分布为一题简单题一道中等难度题目。

对于不等式内容新教材删除了线性规划和不等式选讲，新高考主要考察不等式性质和基本不等式。

基本不等式考察往往都是已基本不等式作为切入点形式出现，题目难度中等。

专题针对高考中数列、不等式等高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列，不等式。

请学生务必注意题目答案后面的名师点睛部分，这是对于本类题目的一个总结。

【满分技巧】1、等差、等比数列如果记住基本的通项公式以及求和公式和性质，基本上所有的等差、等比数列问题都可以解决。

2、数列求通项主要方法有：公式法、利用前n项和求通项、累加、累乘、构造等方法；这里要注意各个方法中递推关系的模型结构特点。

3、数列求和问题主要包含裂项求和，分组求和，绝对值求和，错位相减求和，掌握固定的求和方式即可快速得到答案；这里要注意各个方法中数列通项的结构模型；本专题有相应的题目供参考。

4、对于基本不等式类的题目应注意等号成立地条件和基本不等式的模型结构，对“1”的活用。

【考查题型】选择题、填空、解答题【常考知识】数列的概念、等差等比数列的概念和公式和性质、数列求通项的方法、数列求和的方法、不等式的性质、基本不等式【限时检测】（建议用时：90分钟）一、单选题1．（2020·云南省个旧市第一高级中学高三其他模拟（理））设等差数列的前项和为，且{}n a n n S ，则的值为（ ）1144S =378a a a ++A ．11B ．12C ．13D ．142．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设是等比数列，且，{}n a 1231a a a ++=，则（ ）234+2a a a +=678a a a ++=A ．12B ．24C ．30D ．323．（2018·陆川中学高三其他模拟（理））等差数列的前项和为,且，.设{}n a n n S 10a >500S =，则当数列的前项和取得最大值时, 的值为（ ）()*12n n n n b a a a n N ++=∈{}nb n nT n A ．23B ．25C ．23或24D ．23或254．（2020·广西高三一模（理））已知数列，，则（ ）21131322n n n a a a --=++12a =()25log 1a +=A ．B ．C ．D ．263log 331-231log 315-363log 231-331log 215-5．（2020年浙江省高考数学试卷）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，．记b 1=S 2，11a d≤b n+1=S 2n+2–S 2n ，，下列等式不可能成立的是（ ）n *∈N A ．2a 4=a 2+a 6B ．2b 4=b 2+b 6C ．D ．2428a a a =2428b b b =6．（2020·江苏宝应中学高二期中）若a ，b 为正实数，且，则的最小值为（ ）1123a b +=3a b +A ．2B ．C ．3D ．4327．（2020·云南省个旧市第一高级中学高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且{}n a n n S ，，，则的通项公式为（ ）12n n S a n +=+-*n N ∈12a ={}n a A ．B ．C ．D ．121n n a -=-12n n a -=121n n a -=+2nn a =8．（2020·贵州高三其他模拟（理））已知是双曲线的半焦距，则的最c 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>a b c+大值是（ ）A BC D9．（2020·四川遂宁·高三零模（理））已知正项等比数列满足，，又为数{}n a 112a =2432a a a =+n S 列的前项和，则（ ）{}n a n 5S =A ． 或B ．312112312C ．D ．15610．（2020·河南焦作·高三一模（理））在等比数列中，，，则（{}n a 11a =427a =352a a +=）A ．45B ．54C ．99D ．8111．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））数列中，，，若{}n a 12a =m n m n a a a +=，则（ ）155121022k k k a a a ++++++=- k =A ．2B ．3C ．4D ．512．（2020·江西高三二模（理））已知等比数列的首项，公比为，前项和为，则“{}n a 10a >q n n S”是“”的（ ）1q >3542S S S +>A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．（2020·浙江省东阳中学高三其他模拟）已知数列的前n 项和，则{}n a ()212,1n n S n a n a =≥=n a =（ ）A ．B ．C ．D ．()21n n +22(1)n +121n-121n -二、多选题14．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ）A ．B ．2212a b +≥122a b ->C ．D 22log log 2a b +≥-+≤15．（2020·广东湛江·高三其他模拟）已知数列{a n }满足：0＜a 1＜1，．则下列说()14n n n a a ln a +-=-法正确的是（ ）A ．数列{a n }先增后减B ．数列{a n }为单调递增数列C ．a n ＜3D ．202052a >三、填空题16．（2020年浙江省高考数学试卷）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈17．（2020·广西高三一模（理））已知数列和满足，，，{}n a {}n b 12a =11b =1n n n a b b ++=.则＝_______.114n n n a b a +++=20211008b a 18．（2020·山东济宁·高三其他模拟）已知，若不等式对140,0,1m n m n >>+=24m n x x a +≥-++已知的及任意实数恒成立，则实数最大值为_________．,m n x a 19．（2020·福建莆田·高三其他模拟）在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对应的角分别是A ，B ，C ，已知a ，b ，c 成等比数列.若，数列满足，前n 项和为，sin sin sin B A C ={}n a 32|cos |2nn a nB =n S 2nS =__________.20．（2020·四川遂宁·高三零模（理））已知均为实数，函数在时取,a b 1()(2)2f x x x x =+>-x a =得最小值，曲线在点处的切线与直线_____2ln(1)y x =+()0,0y bx =a b +=四、解答题21．（2020·福建莆田·高三其他模拟）在①；②为等差数列，其中成131n n n a a a +=+1{}n a 236111,1,a a a +等比数列；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答2123111132n n na a a a -++++= 补充完整的题目.已知数列中，______.{}n a 11a =(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设为数列的前项和，求证：.1,n n n n b a a T +={}n b n 13n T <注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．（2020·安徽高三其他模拟（理））已知公比大于的等比数列满足，，1{}n a 2312a a +=416a =.2log n n b a =（1）求数列、的通项公式；{}n a {}n b （2）若数列的前项和为，求的前项和.{}n b n n S ()()*12n nnn a c n S -=∈N n n T 23．（2020年天津高考数学卷）已知为等差数列，为等比数列，{}n a {}n b ．()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-（Ⅰ）求和的通项公式；{}n a {}n b （Ⅱ）记的前项和为，求证：；{}n a n n S ()2*21n n n S S S n ++<∈N （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．n ()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数{}n c 2n 24．（2020年浙江省高考数学试卷）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，．1111121,,()nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比，且，求q 与{a n }的通项公式；0q >1236b b b +=（Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差，证明：．0d >1211n c c c d +++<+*()n N ∈25．（2018·陆川中学高三其他模拟（理））已知数列为公差不为零的等差数列，且，{}n a 23a =1a 3a ，成等比数列.7a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）若数列满足，记数列的前项和为，求证：.{}n b 110101n n n b a a +=+{}n b n n S 12n S <。

2020年高考数学（理）二轮复习命题考点串讲系列-专题05 不等式与线性规划1、考情解读与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点．2020年高考备考时，应切实理解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．2、重点知识梳理1.熟记比较实数大小的依据与基本方法．①作差(商)法；②利用函数的单调性．2．特别注意熟记活用以下不等式的基本性质(1)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(2)同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(3)同向可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(4)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)；3．熟练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值．4．牢记常见类型不等式的解法．(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解．(2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化．(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解．5．简单线性规划(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域．(2)简单的线性规划问题解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．3、高频考点突破考点1 不等式性质及解不等式 例1、(1)不等式组⎩⎨⎧x x ＋2＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1}解析：基本法：由x (x ＋2)＞0得x ＞0或x ＜－2；由|x |＜1得－1＜x ＜1，所以不等式组的解集为{x |0＜x ＜1}，故选C.答案：C(2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞速解法：令x ＝0，f (x )＝f (0)＝－1＜0. f (2x －1)＝f (－1)＝ln 2－12＝ln 2－ln e ＞0. 不适合f (x )＞f (2x －1)，排除C. 令x ＝2，f (x )＝f (2)＝ln 3－15， f (2x －1)＝f (3)，由于f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2在(0，＋∞)上为增函数 ∴f (2)＜f (3)，不适合．排除B 、D ，故选A. 答案：A考点2 基本不等式及应用例2、【2017山东，理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+（C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以()221,01,1,log log 21,2aba b a b ab ><<∴+= ()12112log a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B. 【变式探究】(1)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2B ．3C ．4D ．5答案：C(2)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：基本法：x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22yx ＝2x 2－2y 2＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝x 2y ＋yx ，∵x ＞0，y ＞0，∴x 2y ＋yx ≥212＝2，当且仅当x 2y＝yx ，即x ＝2y 时等号成立，故所求最小值为 2. 答案： 2考点3 求线性规划中线性目标函数的最值例3、【2017课标II ，理5】设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】A【解析】x 、y 满足约束条件2+330{2330 30x y x y y -≤-+≥+≥的可行域如图：【变式探究】(1)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：基本法：作出可行域，如图：由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，当直线y ＝－x ＋z 过点 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，z 取得最大值，z max ＝1＋12＝32. 速解法：由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0x －2y ＝0得点(－2，－1)，则z ＝－3由⎩⎨⎧ x －y ＋1＝0x ＋2y －2＝0得点(0,1)，则z ＝1 由⎩⎨⎧x －2y ＝0x ＋2y －2＝0得点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12则z ＝32.答案：32(2)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：基本法：二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12.平移直线x ＋ay ＝0，可知在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12处，z 取得最小值，答案：B考点4 线性规划的非线性目标函数的最值例4、(1)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11] D ．[3,10]答案：C(2)(2016·高考山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12解析：基本法：先作出不等式组表示的平面区域，再求目标函数的最大值．作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.答案：C4、真题感悟（2014-2017年）1.【2017北京，理4】若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，， 则x + 2y 的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 【答案】D【解析】如图，画出可行域，2.【2017浙江，4】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)∞+D ．[4，)∞+【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ．3.【2017山东，理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a bb +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+（C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B4.【2017课标II ，理5】设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】Axoy2x y -=02=-y x03=-+y x【解析】x、y满足约束条件2+330{233030x yx yy-≤-+≥+≥的可行域如图：z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由3{2330yx y=--+=解得A(−6,−3)，则z=2x+y的最小值是：−15. 故选：A.5.【2017山东，理4】已知x,y满足x y3x y⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x，则z=x+2y的最大值是（A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6 【答案】C【解析】由x y3x y⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x画出可行域及直线20x y+=如图所示，平移20x y+=发现，当其经过直线3x +y 50=+与x -3=的交点(3,4)-时，2z x y =+最大为3245z =-+⨯=，选C.6.【2017天津，理2】设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1（C ）32 （D ）3【答案】D1. 【2016高考新课标1卷】若101a b c >><<，,则( )（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C【解析】用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误，2313log 2log 22<，选项C 正确，3211log log 22>，选项D 错误，故选C ． 2.【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y=+的最小值为（ ）（A ）4-（B ）6（C ）10（D ）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B.3.【2016高考山东理数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（ ） （A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C4.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=（ ）A ．22B ．4C ．32D ．6 【答案】C【解析】如图∆PQR 为线性区域，区域内的点在直线20x y +-=上的投影构成了线段''R Q ，即AB ，而''=R Q PQ ，由3400-+=⎧⎨+=⎩x y x y 得(1,1)-Q ，由2=⎧⎨+=⎩x x y 得(2,2)-R ，22(12)(12)32==--++=AB QR ．故选C ．5.【2016年高考北京理数】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A.0B.3C.4D.5 【答案】C6.【2016年高考四川理数】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的( )（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选A.7.【2016高考新课标3理数】若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩ 则z x y =+的最大值为______.xy OP【答案】328.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【答案】216000【解析】设生产产品A、产品B分别为x、y件,利润之和为z元,那么1.50.5150,0.390,53600,0,0.x yx yx yxy+⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩……………①目标函数2100900z x y=+.二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x yx yx yxy+⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩?…………②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.9.【2016高考江苏卷】已知实数,x y满足240220330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y+的取值范围是.【答案】4[,13]51.【2015高考北京，理2】若x，y满足1x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y=+的最大值为（）A．0 B．1 C．32D．2【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y =+，则1122y x z =-+，令0Z =，作直线12y x =-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取得最小值2. 2．【2015高考广东，理6】若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）A ． B. 6 C. D. 4 【答案】C3.【2015高考天津，理2】设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y=+的最大值为( )x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x y x z 23+=531523（A）3 （B）4 （C）18 （D）40 【答案】C864224681510551015AB4.【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128【答案】D当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ．5.【2015高考福建，理5】若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =- 的最小值等于( )A ．52-B ．2-C ．32- D ．2【答案】AxyBOA6.【2015高考山东，理6】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3 【答案】B【解析】不等式组020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若z ax y =+的最大值为4，则最优解可能为1,1x y == 或2,0x y == ，经检验，2,0x y ==是最优解，此时2a = ；1,1x y ==不是最优解.故选B.7.【2015高考新课标1，理15】若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为.【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.8.【2015高考浙江，理14】若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ．【答案】3.9．【2015高考新课标2，理14】若x，y满足约束条件1020,220,x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则z x y=+的最大值为____________．【答案】32【考点定位】线性规划．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO10.【2015高考湖南，理4】若变量x，y满足约束条件1211x yx yy+≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y=-的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.2【答案】A.【解析】如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l ：30x y -=，平移l ，从而可知当2-=x ，1=y 时，min 3(2)17z =⨯--=-的最小值是7-，故选A.11.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B12.【2015高考陕西，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，若)p f ab =，()2a bq f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C【解析】()ln p f ab ab ==，()ln22a b a b q f ++==，11(()())ln ln 22r f a f b ab ab =+==，函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b ab +>，所以()()2a bf f ab +>，所以q p r >=，故选C ．1. 【2014高考安徽卷理第5题】y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（ ） A,121-或 B.212或 C.2或1 D.12-或【答案】D【考点定位】线性规划2. 【2014高考北京版理第6题】若x 、y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12- 【答案】D【解析】若0≥k ，x y z -=没有最小值，不合题意；【考点定位】不等式组表示的平面区域，求目标函数的最小值3. 【2014高考福建卷第11题】若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 则y x z +=3的最小值为________.A (0,1)Oxy【答案】1【解析】依题意如图可得目标函数过点A 时截距最大.即min 1z =. 【考点定位】线性规划.4. 【2014高考福建卷第13题】要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）.【答案】88【解析】假设底面长方形的长宽分别为x, 4 x. 则该容器的最低总造价是808020160y xx=++≥.当且仅当2x=的时区到最小值.【考点定位】函数的最值.5. 【2014高考广东卷理第3题】若变量x、y满足约束条件11y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩，且2z x y=+的最大值和最小值分别为M和m，则M m-=（）A.8B.7C.6D.5【答案】C【解析】作出不等式组11y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示，Bl:z=2x+yOyxAy=-1x+y=1y=x【考点定位】线性规划中线性目标函数的最值6. 【2014高考湖南卷第14题】若变量yx,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤kyyxxy4，且yxz+=2的最小值为6-，则____=k .【答案】2-【考点定位】线性规划7. 【2014辽宁高考理第16题】对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .【答案】2-【解析】法一：判别式法：令2a b t +=，则2b t a =-，代入到224240a ab b c -+-=中，得()()22422420a a t a t a c --+--=，即22241840a ta t c -+-=……①因为关于a 的二次方程①有实根，所以()2221842440t t c ∆=-⨯-≥，可得285ct ≤， 2a b +取最大值时，321010c a c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩321010c a c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 当321010ca cb ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22345210410510552222a b c c c c c c c -+=+=-=-≥-，当321010c ac b⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，34521041052105a b c c cc c c-+=-++=+>，综上可知当531,,242c a b===时，min3452a b c⎛⎫-+=-⎪⎝⎭【考点定位】柯西不等式.8. 【2014全国1高考理第9题】不等式组1,24,x yx y+≥⎧⎨-≤⎩的解集为D,有下面四个命题：1:(x,y)D,x2y2p∀∈+≥-，2:(x,y)D,x2y2p∃∈+≥，3:(x,y)D,x 2y 3p ∀∈+≤ 4:(x,y)D,x 2y 1p ∃∈+≤-，其中的真命题是（ ）A ．23,p pB ．12,p pC ．13,p pD ．14,p p 【答案】Bxy –1–2–3–41234–1–2–3–41234OA【考点定位】线性规划、存在量词和全称量词．10. 【2014山东高考理第5题】已知实数y x ,满足)10(<<<a a a y x ，则下面关系是恒成立的是（ ）A.111122+>+y x B.)1ln()1(ln 22+>+y x C.y x sin sin > D.33y x > 【答案】D【解析】由(01)x y a a a <<<及指数函数的性质得，,x y >所以，33x y >，选D . 【考点定位】指数函数的性质，不等式的性质.11. 【2014山东高考理第9题】 已知,x y 满足约束条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值25时，22a b +的最小值为（ ）A.5B.4 5 D.2 【答案】B【解析】画出可行域（如图所示），由于0,0a b >>，所以，ax by z +=经过直线230x y --=【考点定位】简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.12. 【2014四川高考理第4题】若0a b >>，0x d <<，则一定有（ ） A ．a bc d> B ．a bc d< C ．a b d c> D ．a b d c< 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 【答案】D【解析】110,0,0c d c d d c <<∴->->->->Q ，又0,0,a b a ba b d c d c>>∴->->∴<.选D 【考点定位】不等式的基本性质.13. 【2014四川高考理第5题】执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】Cxy–112–1–2–3–412O【考点定位】程序框图与线性规划.14. 【2014浙江高考理第13题】当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.【答案】31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】作出不等式组240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示的区域，由14ax y ≤+≤得，由图可知，0a ≥，且在()1,0点取得最小值在()2,1取得最大值，故1a ≥，214a +≤，故a 取值范围为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【考点定位】线性规划.15. 【2014天津高考理第2题】设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）【答案】5.2112342246810yBCAOx【考点定位】二元一次不等式组表示的平面区域、线线目标函数的最值的计算．17. 【2014高考上海理科】若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.【答案】22【解析】22222222222x y x y xy +≥⋅=⋅=，当且仅当222x y =时等号成立. 【考点定位】基本不等式.18.【2014高考安徽卷第21题】设实数0>c ，整数1>p ，*N n ∈. （1）证明：当1->x 且0≠x 时，px x p +>+1)1(；（2）数列{}n a 满足pc a 11>，pn n n a pc a p p a -++-=111，证明：p n n c a a 11>>+. 【答案】（1）证明：当1->x 且0≠x 时，px x p +>+1)1(；（2）pn n c a a 11>>+. 【解析】（1）证明：用数学归纳法证明①当2p =时，22(1)1212x x x x +=++>+，原不等式成立. ②假设(2,*)p k k k N =≥∈时，不等式(1)1k x kx +>+成立.当1p k =+时，12(1)(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k k x x x x kx k x kx k x ++=++>++=+++>++ 所以1p k =+时，原不等式也成立.综合①②可得，当1->x 且0≠x 时，对一切整数1p >，不等式px x p +>+1)1(均成立.再由111(1)n p n na ca p a +=+-可得11n n a a +<，即1n n a a +<.综上所述，11,*pn n a a c n N +>>∈.证法2：设111(),p p p cf x x x x c p p --=+≥，则p x c ≥，并且111'()(1)(1)0,p p p p c p cf x p x x c p p p x---=+-=->>.由此可得，()f x 在1[,)p c +∞上单调递增，因而，当1p x c >时，11()()p pf x f c c >=. ①当1n =时，由110pa c >>，即1p a c >可知121111111[1(1)]p p p c c a a a a a p p p a --=+=+-<，并且121()p a f a c =>，从而112p a a c >>.故当1n =时，不等式11pn n a a c +>>成立.②假设(1,*)n k k k N =≥∈时，不等式11pk k a a c +>>成立，则当1n k =+时，11()()()p k k f a f a f c +>>，即有112pk k a a c ++>>.所以当1n k =+时，原不等式也成立.综合①②可得，对一切正整数n ，不等式11pn n a a c +>>均成立. 【考点定位】数学归纳法证明不等式、构造函数法证明不等式. 5、押题专练1．若点A (a ，b )在第一象限且在直线x ＋2y ＝4上移动，则log 2a ＋log 2b ( ) A ．有最大值2 B ．有最小值1 C ．有最大值1 D ．没有最大值和最小值解析：基本法：由题意，知a ＋2b ＝4(a ＞0，b ＞0)，则有4＝a ＋2b ≥22ab ，当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立，所以0＜ab ≤2，所以log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 22＝1，故选C.答案：C2．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案：D3．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2y －x ≤2y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2，2]D ．[2,4]解析：基本法：如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]，故选B.答案：B4．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤1x ＋1≥0x －y ≤1，则目标函数z ＝yx ＋2的取值范围为( )A ．[－3,3]B ．[－3，－2]C ．[－2,2]D ．[2,3]解析：基本法：(特殊点数形结合法)根据yx ＋2的几何意义，观察图形中点的位置作可行域如图阴影部分所示y x ＋2＝y －0x －－2表示点(x ，y )与点(－2,0)连线的斜率．答案：C5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：结合题意分段求解，再取并集． 当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2， ∴当x <1时满足f (x )≤2. 当x ≥1时，x 13≤2，x ≤23＝8， ∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]． 答案：(－∞，8]6．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为________．速解法：数形结合作出y 1＝x 2－4x 与y 2＝x 的图象使y 1的图象在y 2图象的上部所对应的x 的范围．设y 1＝f (x )＝x 2－4x ，y 2＝x (x >0)． 令y 1＝y 2，∴x 2－4x ＝x ，∴x ＝0或x ＝5. 作y 1＝f (x )及y 2＝x 的图象，则A (5,5)，由于y 1＝f (x )及y 2＝x 都是奇函数，作它们关于(0,0)的对称图象，则B (－5，－5)，由图象可看出当f (x )>x 时，x ∈(5，＋∞)及(－5,0)．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)7．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0.则z ＝3x ＋y 的最大值为________．解析：基本法：画出可行域，并分析z 的几何意义，平移直线y ＝－3x 求解．画出可行域如图所示．∵z ＝3x ＋y ， ∴y ＝－3x ＋z .∴直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上截距最大时，即直线过点B 时，z 取得最大值．答案：4。

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《简单的线性规划》【题型一】：二元一次不等式（组）表示的平面区域【题型二】：图解法解决简单的线性规划问题.【题型三】：实际应用问题中的线性规划问题【题型二元一次不等式（组）表示的平面区【例1】.画出3x+y-3<0所表示的平面区域.【解析】[x + y — 4 € 0【变式4】下面给出四个点中，位于y，表示的平面区域内的点是（）（x_y + 1 >0A. (0,2)B. (-2,0)C. (0, -2)D. (2,0)【答案】C【变式2】(x 2y 4)(x-y - 4)—0表示的平面区域为( )【变式3】画出不等式2x • y-4 0表示的平面区域。

【解析】先画直线2x • y -4 =0 （画成虚线）取原点（0,0）代入2x ^4得2 0 * 0-4八4 ：：：0,【答案】B;原不等式可转化为'x+2y+4 色0A -y +4 乞0【变式训练】：•••原点不在2x • y 一4 0表示的平面区域内, 不等式2x・y—4 0表示的区域如图:Vq□.**21■ \ 10 1 2\3 4 *1【例2】.画出下列不等式组表示的平面区域。

【解析】3x ~'2 y _'2 - 0,【变式2】求不等式组x 4y 4 0,的整数解。

2x y -6 ：： 0【解析】如图所示,x v3 x + y 兰22y H x x +2y 兰3\ ; (2)」；（3）«3x + 2y K6 xH°2y ex +6 -怦i(1)^<x + y <3x 2y _4x _ 0y _0【变式训练】：【变式1】用平面区域表示不等式(x y -1)(x - y 4)02(1)(2)作直线h：3x-2y-2=0 , S：x 4y 4 = 0 , b：2xy-6 = 0 ,在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域，此三角形区域内的整点(2,1)，(1,0)，(2,0)，(1,- 1), (2,- 1), (3,- 1)即为原不等式组的整数解。

2020届高考数学命题猜想不等式与线性规划2【考向解读】不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高.【命题热点突破一】不等式的解法1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．2．简单分式不等式的解法(1)f xg x>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)f xg x≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．例1、（2018年北京卷）设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2,1）C. 当且仅当a<0时,（2,1）D. 当且仅当 时,（2,1）【答案】D【变式探究】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ .【答案】30【解析】总费用，当且仅当900x x =，即30x =时等号成立.【变式探究】若,则( )（A ）c c a b < （B ）c cab ba < （C ）（D ）【答案】C【解析】用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，，选项B 错误，，选项C 正确，，选项D 错误，故选C ．【变式探究】设变量x ，y 满足约束条件则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）（A ）4- （B ）6（C ）10（D ）17【答案】B【感悟提升】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．【变式探究】(1)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x2－y2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y)⊗x 的最小值为________.(2)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________.【答案】(1)2 (2)15【解析】(1)由题意，得x ⊗y ＋(2y)⊗x ＝x2－y2xy＋2y2－x22yx＝x2＋2y22xy ≥2x2·2y22xy＝2，当且仅当 x ＝2y 时取等号.(2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t2＋1， 所以y ＝tt2＋1＋3＋t ＝tt2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t>0，即x>1时，y ＝1t ＋4t＋1， 因为t ＋4t≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15， 即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值).【点评】求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值.等号能够取得.【命题热点突破三】简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．例3、（2018年全国I 卷）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45 【答案】C【变式探究】【2017山东，文3】已知x,y 满足约束条件,则z=x+2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.3 【答案】D【解析】画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线20x y +=,可知当其经过直线与2y =的交点()1,2-时, 2z x y =+取得最大值，为,故选D.3. （2018年浙江卷）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．【答案】 (1). -2 (2). 84. （2018年天津卷）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为__________．【答案】【解析】由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.5. （2018年北京卷）若,y满足，则2y−的最小值是_________.【答案】3【解析】不等式可转化为，即满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为. 6. （2018年江苏卷）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D ，且，则的最小值为________．【答案】97. （2018年全国III卷）若变量满足约束条件则的最大值是________．【答案】3【解析】作出可行域1.【2017课标1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z=x+y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D2.【2017课标II ，文7】设,x y 满足约束条件,则2z x y =+的最小值是A.15-B.9-C.1 D 9 【答案】A【解析】x 、y 满足约束条件的可行域如图：5.【2017山东，文3】已知x,y 满足约束条件,则z=x+2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.3 【答案】D6.【2017浙江，4】若x ，y 满足约束条件，则y x z 2+=的取值范围是 A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)∞+D ．[4，)∞+【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ．7.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ .【答案】30y【解析】总费用，当且仅当900x x =，即30x =时等号成立.1. 【2016高考新课标1卷】若,则( )（A ）c c a b < （B ）c cab ba < （C ）（D ）【答案】C2.【2016高考天津文数】设变量x ，y 满足约束条件则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）（A ）4- （B ）6（C ）10（D ）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B.3.【2016高考山东文数】若变量x ，y 满足，则22x y +的最大值是（ ）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,22x y +表示点（x,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为210OC =,故选C.6.【2016年高考四川文数】设p ：实数x ，y 满足，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩ 则p 是q 的( )（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A7.【2016高考新课标3文数】若,x y 满足约束条件 则z x y =+的最大值为_____________.【答案】32【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线z x y =+经过点A 时，z 取得最大值.由得112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，即1(1,)2A ，则．8.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．【答案】216000作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将变形,得,平行直线73y x=-,当直线经过点M 时,z 取得最大值.【答案】A8.(2015·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为()A.315B.6C.235D.4【解析】不等式组所表示的可行域如下图所示，【答案】C9.(2015·浙江卷)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x2＋1），x ＜1，则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.【解析】f(f(－3))＝f(1)＝0，当x ≥1时，f(x)＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号；当x ＜1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，∴f(x)的最小值为22－3.【答案】0 22－3专题练习1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a3＞b3 B.1a ＜1bC ．ab ＞1D ．lg(b －a)＜a【解析】选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a)＜0＜a ，故选D.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是()A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥4311．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A.ca ＜b a B.b －ac ＞0 C.b2c <a2c D.a －c ac＜0 【解析】∵c<b<a 且ac<0，∴c<0，a>0，∴c a <b a ，b －a c >0，a －c ac <0，但b2与a2的关系不确定，故b2c <a2c 不一定成立．【答案】C12．已知不等式ax2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，－13，则不等式x2－bx －a<0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞【答案】A13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且1x ＋ay ≥4对任意的x ，y ∈(0,1)恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[4，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)【解析】正数x ，y 满足x ＋y ＝1，当a>0时，1x ＋ay ＝(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a＋2y x ·axy＝1＋a ＋2a ，当且仅当y ＝ax 时取等号，因为1x ＋ay≥4对任意的x ，y ∈(0,1)恒成立，∴1＋a ＋2a ≥4，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．当a ≤0时显然不满足题意，故选D.【答案】D14．已知函数f(x)＝ax2＋bx ＋c ，不等式f(x)<0的解集为{x|x<－3或x>1}，则函数y ＝f(－x)的图象可以为( )【解析】由f(x)<0的解集为{x|x<－3或x>1}知a<0，y ＝f(x)的图象与x 轴交点为(－3,0)，(1,0)，∴f(－x)图象开口向下，与x 轴交点为(3,0)，(－1,0)． 【答案】B15．设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6 B ．4 2C ．22 D ．26【答案】B16．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0，则z ＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，13B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，13 C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12，＋∞ D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12，1【解析】由题知可行域如图阴影部分所示，∴z ＝y －1x ＋1的取值范围为[kMA,1)，即⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12，1.【答案】A21．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥x4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( )A ．[1,5]B ．[2,6]C ．[2,10]D ．[3,11]【答案】D22．已知函数f(x)＝4x －14x ＋1，若x1>0，x2>0，且f(x1)＋f(x2)＝1，则f(x1＋x2)的最小值为( )A ．14 B ．45C ．2D ．4【解析】由题意得f(x)＝4x －14x ＋1＝1－24x ＋1，由f(x1)＋f(x2)＝1得2－241x ＋1－242x ＋1＝1，化简得412x x ＋－3＝41x ＋42x ≥2×212x x ＋，解得2x1＋x2≥3，所以f(x1＋x2)＝1－2412x x ＋＋1≥1－232＋1＝45.故选B. 【答案】B23．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x<0，则不等式f(x)>f(1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)【答案】A24．若关于x 的不等式ax －b>0的解集是(－∞，－2)，则关于x 的不等式ax2＋bxx －1>0的解集为( )A ．(－2,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(－∞，－2)∪(0,1)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)【解析】关于x 的不等式ax －b>0的解集是(－∞，－2)，∴a<0，b a ＝－2，∴b ＝－2a ，∴ax2＋bxx －1＝ax2－2ax x －1.∵a<0，∴x2－2xx －1<0，解得x<0或1<x<2，故选B.【答案】B25．若对任意x>0，xx2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a>15C ．a<15D ．a ≤15【解析】因为对任意x>0，xx2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x x2＋3x ＋1max ， 而对x ∈(0，＋∞)，xx2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x ＋3＝15， 当且仅当x ＝1x 时等号成立，∴a ≥15，故选A.【答案】A26．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为( )A.12或14B.12或18 C ．1或12D ．1或14【解析】由不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，得k ＝0或1，当k ＝0时，表示区域的面积为12；当k ＝1时，表示区域的面积为14，故选A.【答案】A27．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17解法二(界点定值法)：由题意知，约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0所表示的平面区域的顶点分别为A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．将A ，B ，C 三点的坐标分别代入z ＝2x ＋5y ，得z ＝10,6,17，故z 的最小值为6，故选B.【答案】B28．在关于x 的不等式x2－(a ＋1)x ＋a<0的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是( )A ．(－3,5)B ．(－2,4)C ．[－3,5]D ．[－2,4]【答案】D29．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x>0，y ≤2，则z ＝2y2x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤43，4B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫43，4 C ．[2,4] D ．(2,4]【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(不包括边界OB)所示，其中A(1,2)，B(0,2)．z ＝2y2x ＋1＝yx ＋12＝y －0x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，则z 的几何意义是可行域内的点P(x ，y)与点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，0所连直线的斜率．可知kMA ＝2－01－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝43，kMB ＝2－00－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝4，结合图形可得43≤z<4. 故z ＝2y2x ＋1的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫43，4，故选B.【答案】(－∞，4)36．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋2y ≥42x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，则可行域D 的面积为________．【解析】如图，画出可行域．易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43，43，B(0,2)，C(0,4)，∴可行域D 的面积为12×2×43＝43.【答案】4337．函数f(x)＝1＋logax(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．【答案】238．设P(x ，y)是函数y ＝2x (x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．【解析】因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得 x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．【答案】2239．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y 的最大值是________．【解析】作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y ，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A(3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x ·2y 的最大值为29＝512.【答案】51240．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f(x)≤m2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。