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最新课程标准：掌握基本不等式错误!≤错误!（a，b≥0）．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.知识点基本不等式（１）重要不等式：对于任意实数a、b，都有a２＋b２≥２ab，当且仅当a＝b时，等号成立．（２）基本不等式：错误!≤错误!（a>0，b>0），当且仅当a＝b时，等号成立．其中错误!和错误!分别叫做正数a，b的算术平均数和几何平均数．错误!基本不等式错误!≤错误!（a，b∈R＋）的应用：（１）两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a>0，b>0，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤错误!，当且仅当a＝b时等号成立．即：a＋b＝M，M为定值时，（ab）＝错误!.max（２）两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a>0，b>0，且ab＝P，P 为定值，则a＋b≥２错误!，当且仅当a＝b时等号成立．[基础自测]１．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是（）Ａ．a２＋b２>２abＢ．a＋b≥２错误!Ｃ．错误!＋错误!>错误!Ｄ．错误!＋错误!≥２解析：对于A，当a＝b时，a２＋b２＝２ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以错误!>0，错误!>0，所以错误!＋错误!≥２错误!，即错误!＋错误!≥２成立．答案：D２．若a>１，则a＋错误!的最小值是（）Ａ．２Ｂ．aＣ．错误!Ｄ．３解析：a>１，所以a—１>0，所以a＋错误!＝a—１＋错误!＋１≥２错误!＋１＝３．当且仅当a—１＝错误!即a＝２时取等号．答案：D３．下列不等式中，正确的是（）Ａ．a＋错误!≥４Ｂ．a２＋b２≥４abＣ．错误!≥错误!Ｄ．x２＋错误!≥２错误!解析：a<0，则a＋错误!≥４不成立，故A错；a＝１，b＝１，a２＋b２<４ab，故B 错，a＝４，b＝１6，则错误!<错误!，故C错误；由基本不等式可知D项正确．答案：D４．已知x，y都是正数．（１）如果xy＝１５，则x＋y的最小值是________．（２）如果x＋y＝１５，则xy的最大值是________．解析：（１）x＋y≥２错误!＝２错误!，即x＋y的最小值是２错误!；当且仅当x＝y＝错误!时取最小值．（２）xy≤错误!２＝错误!２＝错误!，即xy的最大值是错误!.当且仅当x＝y＝错误!时xy取最大值．答案：（１）２错误!（２）错误!第１课时基本不等式题型一对基本不等式的理解[经典例题]例１（１）下列不等式中，不正确的是（）Ａ．a２＋b２≥２|a||b|Ｂ．错误!≥２a—b（b≠0）Ｃ．错误!２≥错误!—１（b≠0）Ｄ．２（a２＋b２）≥（a＋b）２１若x∈R，则x＋错误!≥２；２若a<0，b<0，则ab＋错误!≥２；３不等式错误!＋错误!≥２成立的条件是x>0且y>0．其中正确命题的序号是________．【解析】（１）A中，a２＋b２＝|a|２＋|b|２≥２|a||b|，所以A正确．由a２＋b２≥２ab，得a２≥２ab—b２.B中，当b<0时，错误!≤２a—b，所以B不正确．C中，b≠0，则错误!２≥错误!—１，所以C正确．D中，由a２＋b２≥２ab，得２（a２＋b２）≥a２＋b ２＋２ab＝（a＋b）２，所以D正确．１．举反例、基本不等式⇒逐个判断．２．明确基本不等式成立的条件⇒逐个判断．【答案】（１）B【解析】（２）只有当x>0时，才能由基本不等式得到x＋错误!≥２错误!＝２，故１错误；当a<0，b<0时，ab>0，由基本不等式可得ab＋错误!≥２错误!＝２，故２正确；由基本不等式可知，当错误!>0，错误!>0时，有错误!＋错误!≥２错误!＝２成立，这时只需x与y同号即可，故３错误．基本不等式的两个关注点（１）正数：指式子中的a，b均为正数，（２）相等：即“＝”成立的条件．【答案】（２）２跟踪训练１设0<a<b，则下列不等式中正确的是（）Ａ．a<b<错误!<错误!Ｂ．a<错误!<错误!<bＣ．a<错误!<b<错误!Ｄ．错误!<a<错误!<b解析：0<a<b⇒a２<ab<b２⇒a<错误!<b,0<a<b⇒２a<a＋b<２b⇒a<错误!<b，又错误!<错误!，所以a<错误!<错误!<b.答案：B利用基本不等式时先要确定成立的条件，有的要适当变形处理．题型二利用基本不等式求最值[教材P４５例２]例２已知x，y都是正数，求证：（１）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２错误!；（２）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值错误!S２.【证明】因为x，y都是正数，所以错误!≥错误!.（１）当积xy等于定值P时，错误!≥错误!，所以x＋y≥２错误!，当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，和x＋y有最小值２错误!.（２）当和x＋y等于定值S时，错误!≤错误!，所以xy≤错误!S２，当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，积xy有最大值错误!S２.积是定值，和有最小值．和是定值，积有最大值．教材反思１．利用基本不等式求最值的策略２．通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．特别提醒：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件．跟踪训练２（１）已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则（１＋x）（１＋y）的最大值为（）Ａ．１6 Ｂ．２５Ｃ．9 Ｄ．３6（２）若正实数x，y满足x＋２y＋２xy—8＝0，则x＋２y的最小值（）Ａ．３Ｂ．４Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：（１）因为x>0，y>0，且x＋y＝8，所以（１＋x）（１＋y）＝１＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋错误!２＝9＋４２＝２５，因此当且仅当x＝y＝４时，（１＋x）·（１＋y）取最大值２５．（２）因为正实数x，y满足x＋２y＋２xy—8＝0，所以x＋２y＋错误!２—8≥0．设x＋２y＝t>0，所以t＋错误!t２—8≥0，所以t２＋４t—３２≥0，即（t＋8）（t—４）≥0，所以t≥４，故x＋２y的最小值为４．答案：（１）B （２）B错误!１．展开（１＋x）（１＋y）⇒将x＋y＝8代入⇒用基本不等式求最值．２．利用基本不等式得x＋２y＋错误!２—8≥0⇒设x＋２y＝t>0，解不等式求出x＋２y的最小值．易错点利用基本不等式求最值例若正数x，y满足x＋３y＝５xy，则３x＋４y的最小值是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．５Ｄ．6【错解】由x＋３y＝５xy⇒５xy≥２错误!，因为x>0，y>0，所以２５x２y２≥１２xy，即xy≥错误!.所以３x＋４y≥２错误!≥２错误!＝错误!，当且仅当３x＝４y时取等号，故３x＋４y的最小值是错误!.错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式，等号成立的条件必须一致．【正解】由x＋３y＝５xy可得错误!＋错误!＝１，所以３x＋４y＝（３x＋４y）错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋２错误!＝错误!＋错误!＝５，当且仅当x＝１，y＝错误!时取等号，故３x＋４y的最小值是５．答案：C课时作业8一、选择题１．给出下列条件：１ab>0；２ab<0；３a>0，b>0；４a<0，b<0，其中能使错误!＋错误!≥２成立的条件有（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个解析：当错误!，错误!均为正数时，错误!＋错误!≥２，故只须a、b同号即可，∴１３４均可以．答案：C２．已知t>0，则y＝错误!的最小值为（）Ａ．—１Ｂ．—２Ｃ．２Ｄ．—５解析：依题意得y＝t＋错误!—４≥２错误!—４＝—２，等号成立时t＝１，即函数y ＝错误!（t>0）的最小值是—２．答案：B３．若a≥0，b≥0，且a＋b＝２，则（）Ａ．ab≤错误!Ｂ．ab≥错误!Ｃ．a２＋b２≥２Ｄ．a２＋b２≤３解析：∵a２＋b２≥２ab，∴（a２＋b２）＋（a２＋b２）≥（a２＋b２）＋２ab，即２（a２＋b２）≥（a＋b）２＝４，∴a２＋b２≥２．答案：C４．若a，b都是正数，则错误!错误!的最小值为（）Ａ．7 Ｂ．8Ｃ．9 Ｄ．１0解析：因为a，b都是正数，所以错误!错误!＝５＋错误!＋错误!≥５＋２错误!＝9，当且仅当b＝２a>0时取等号．答案：C二、填空题５．不等式a２＋１≥２a中等号成立的条件是________．解析：当a２＋１＝２a，即（a—１）２＝0时“＝”成立，此时a＝１．答案：a＝１6．设a＋b＝M（a>0，b>0），M为常数，且ab的最大值为２，则M等于________．解析：因为a＋b＝M（a>0，b>0），由基本不等式可得，ab≤错误!２＝错误!，因为ab的最大值为２，所以错误!＝２，M>0，所以M＝２错误!.答案：２错误!7．已知x>0，y>0，且错误!＋错误!＝１，则３x＋４y的最小值是________．解析：因为x>0，y>0，错误!＋错误!＝１，所以３x＋４y＝（３x＋４y）错误!＝１３＋错误!＋错误!≥１３＋３×２错误!＝２５（当且仅当x＝２y＝５时取等号），所以（３x＋４y）min＝２５．答案：２５三、解答题8．已知x<错误!，求f（x）＝４x—２＋错误!的最大值．解析：因为x<错误!，所以４x—５<0,５—４x>0．f（x）＝４x—５＋３＋错误!＝—错误!＋３≤—２错误!＋３＝１．当且仅当５—４x＝错误!时等号成立，又５—４x>0，所以５—４x＝１，x＝１．所以f（x）max＝f（１）＝１．9．已知函数f（x）＝４x＋错误!（x>0，a>0）在x＝３时取得最小值，求a的值．解析：因为f（x）＝４x＋错误!≥２错误!＝４错误!，当且仅当４x＝错误!，即４x２＝a时，f（x）取得最小值．又因为x＝３，所以a＝４×３２＝３6．[尖子生题库]１0．已知x∈错误!，求函数y＝错误!＋错误!的最小值．解析：y＝错误!＋错误!＝错误!·（２x＋１—２x）＝１0＋２·错误!＋8·错误!，而x∈错误!，２·错误!＋8·错误!≥２错误!＝8，当且仅当２·错误!＝8·错误!，即x＝错误!∈错误!时取到等号，则y≥１8，所以函数y＝错误!＋错误!的最小值为１8．。
最新课程标准：（１）从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．（２）从函数观点看一元二次不等式．１经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．２借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax２＋bx＋c（a>0）的图象ax２＋bx＋c＝0（a>0）的根有两个不相等的实数根x１，x２（x１<x２）有两个相等的实数根x１＝x２＝—错误!没有实数根ax２＋bx＋c>0{x|x<x１，或x>x２}{x|x≠—错误!}R错误!一元二次不等式的解法：（１）图象法：一般地，当a>0时，解形如ax２＋bx＋c>0（≥0）或ax２＋bx＋c<0（≤0）的一元二次不等式，一般可分为三步：１确定对应方程ax２＋bx＋c＝0的解；２画出对应函数y＝ax２＋bx＋c的图象简图；３由图象得出不等式的解集．对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．（２）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若（x—p）（x—q）>0，则x>q或x<p；若（x—p）（x—q）<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．[教材解难]教材P５0思考能．可以从２个角度来看１函数的角度：一元二次不等式ax２＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax２＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax２＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x 轴上方部分的自变量的取值范围．２方程的角度：一元二次不等式ax２＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax２＋bx＋c＝0的根．[基础自测]１．下列不等式中是一元二次不等式的是（）Ａ．a２x２＋２≥0 Ｂ．错误!<３Ｃ．—x２＋x—m≤0 Ｄ．x３—２x＋１>0解析：选项A中，a２＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．答案：C２．不等式x（x＋１）≤0的解集为（）Ａ．[—１，＋∞）Ｂ．[—１,0）Ｃ．（—∞，—１] Ｄ．[—１,0]解析：解不等式得—１≤x≤0，故选Ｄ．答案：D３．函数y＝错误!的定义域为（）Ａ．[—7,１]Ｂ．（—7,１）Ｃ．（—∞，—7]∪[１，＋∞）Ｄ．（—∞，—7）∪（１，＋∞）解析：由7—6x—x２>0，得x２＋6x—7<0，即（x＋7）（x—１）<0，所以—7<x<１，故选Ｂ．答案：B４．不等式１＋２x＋x２≤0的解集为________．解析：不等式１＋２x＋x２≤0化为（x＋１）２≤0，解得x＝—１．答案：{—１}题型一解不含参数的一元二次不等式[教材P５２例１、２、３]例１（１）求不等式x２—５x＋6>0的解集．（２）求不等式9x２—6x＋１>0的解集．（３）求不等式—x２＋２x—３>0的解集．【解析】（１）对于方程x２—５x＋6＝0，因为Δ>0，所以它有两个实数根．解得x１＝２，x２＝３．画出二次函数y＝x２—５x＋6的图象（图１），结合图象得不等式x２—５x＋6>0的解集为{x|x<２，或x>３}．（２）对于方程9x２—6x＋１＝0，因为Δ＝0，所以它有两个相等的实数根，解得x１＝x２＝错误!.画出二次函数y＝9x２—6x＋１的图象（图２），结合图象得不等式9x２—6x＋１>0的解集为错误!（３）不等式可化为x２—２x＋３<0．因为Δ＝—8<0，所以方程x２—２x＋３＝0无实数根．画出二次函数y＝x２—２x＋３的图象（图３）．结合图象得不等式x２—２x＋３<0的解集为∅.因此，原不等式的解集为∅.因为方程x２—５x＋6＝0的根是函数y＝x２—５x＋6的零点，所以先求出x２—５x ＋6＝0的根，再根据函数图象得到x２—５x＋6>0的解集．教材反思我们以求解可化成ax２＋bx＋c>0（a>0）形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．跟踪训练１解下列不等式：（１）x２—7x＋１２>0；（２）—x２—２x＋３≥0；（３）x２—２x＋１<0；（４）—２x２＋３x—２<0．解析：（１）因为Δ＝１＞0，所以方程x２—7x＋１２＝0有两个不等实根x１＝３，x＝４．再根据函数y＝x２—7x＋１２的图象开口向上，可得不等式x２—7x＋１２＞0的２解集是{x|x＜３或x＞４}．（２）不等式两边同乘—１，原不等式可化为x２＋２x—３≤0．因为Δ＝１6＞0，所以方程x２＋２x—３＝0有两个不等实根x１＝—３，x２＝１．再根据函数y＝x２＋２x—３的图象开口向上，可得不等式—x２—２x＋３≥0的解集是{x|—３≤x≤１}．（３）因为Δ＝0，所以方程x２—２x＋１＝0有两个相等的实根x１＝x２＝１．再根据函数y＝x２—２x＋１的图象开口向上，可得不等式x２—２x＋１＜0的解集为∅.（４）原不等式可化为２x２—３x＋２＞0，因此Δ＝9—４×２×２＝—7＜0，所以方程２x２—３x＋２＝0无实根，又二次函数y＝２x２—３x＋２的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.错误!错误!―→错误!错误!错误!题型二三个“二次”之间的关系[经典例题]例２已知关于x的不等式ax２＋bx＋c>0的解集为{x|２<x<３}，求关于x的不等式cx２＋bx＋a<0的解集．【解析】方法一由不等式ax２＋bx＋c>0的解集为{x|２<x<３}可知，a<0，且２和３是方程ax２＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知错误!＝—５，错误!＝6．由a<0知c<0，错误!＝错误!，故不等式cx２＋bx＋a<0，即x２＋错误!x＋错误!>0，即x ２—错误!x＋错误!>0，解得x<错误!或x>错误!，所以不等式cx２＋bx＋a<0的解集为错误!∪错误!.方法二由不等式ax２＋bx＋c>0的解集为{x|２<x<３}可知，a<0，且２和３是方程ax２＋bx＋c＝0的两根，所以ax２＋bx＋c＝a（x—２）（x—３）＝ax２—５ax＋6a⇒b＝—５a，c＝6a，故不等式cx２＋bx＋a<0，即6ax２—５ax＋a<0⇒6a错误!错误!<0，故原不等式的解集为错误!∪错误!.错误!错误!→错误!→错误!→错误!→错误!方法归纳一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．（１）若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．（２）若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．跟踪训练２已知一元二次不等式x２＋px＋q<0的解集为错误!，求不等式qx２＋px ＋１>0的解集．解析：因为x２＋px＋q<0的解集为错误!，所以x１＝—错误!与x２＝错误!是方程x２＋px＋q＝0的两个实数根，由根与系数的关系得错误!解得错误!所以不等式qx２＋px＋１>0即为—错误!x２＋错误!x＋１>0，整理得x２—x—6<0，解得—２<x<３．即不等式qx２＋px＋１>0的解集为{x|—２<x<３}．错误!错误!→错误!→错误!→错误!题型三含参数的一元二次不等式的解法[经典例题]例３解关于x的不等式２x２＋ax＋２>0．【解析】对于方程２x２＋ax＋２＝0，其判别式Δ＝a２—１6＝（a＋４）（a—４）．１当a>４或a<—４时，Δ>0，方程２x２＋ax＋２＝0的两根为x１＝错误!（—a—错误!），x２＝错误!（—a＋错误!）．∴原不等式的解集为错误!.２当a＝４时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x１＝x２＝—１，∴原不等式的解集为{x|x≠—１}．３当a＝—４时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x１＝x２＝１，∴原不等式的解集为{x|x≠１}．４当—４<a<４时，Δ<0，方程无实根，∴原不等式的解集为R.错误!二次项系数为２，Δ＝a２—１6不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．方法归纳含参数一元二次不等式求解步骤（１）讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向；（２）讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数；（３）当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；（４）最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．跟踪训练３解关于x的不等式x２—（a＋a２）x＋a３>0．解析：原不等式可变形为（x—a）·（x—a２）>0，则方程（x—a）（x—a２）＝0的两个根为x１＝a，x２＝a２，（１）当a<0时，有a<a２，∴x<a或x>a２，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a２}；（２）当0<a<１时，有a>a２，即x<a２或x>a，此时原不等式的解集为{x|x<a２或x>a}；（３）当a>１时，有a２>a，即x<a或x>a２，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a ２}；（４）当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；（５）当a＝１时，有x≠１，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠１}；综上可知：当a<0或a>１时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a２}；当0<a<１时，原不等式的解集为{x|x<a２或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＝１时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠１}．错误!错误!→错误!→错误!→错误!题型四一元二次不等式的实际应用[经典例题]例４某工厂的固定成本为３万元，该工厂每生产１00台某产品的生产成本为１万元，设生产该产品x（百台），其总成本为g（x）万元（总成本＝固定成本＋生产成本），并且销售收入r（x）满足r（x）＝错误!假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：（１）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？（２）工厂生产多少台产品时盈利最大？【解析】（１）依题意得g（x）＝x＋３，设利润函数为f（x），则f（x）＝r（x）—g（x），所以f（x）＝错误!要使工厂有盈利，则有f（x）>0，因为f（x）>0⇒错误!或错误!⇒错误!或错误!⇒错误!或错误!则３＜x≤7或7＜x＜１0．５，即３＜x＜１0．５，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于３00台小于１0５0台的范围内．（２）当３＜x≤7时，f（x）＝—0．５（x—6）２＋４．５，故当x＝6时，f（x）有最大值４．５，而当x＞7时，f（x）＜１0．５—7＝３．５，所以当工厂生产600台产品时盈利最大.（１）求利润函数f（x）⇒解不等式f（x）>0⇒回答实际问题．（２）根据第（１）题所求范围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题．方法归纳解不等式应用题的四步骤（１）审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．（２）设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．（３）求：解不等式．（４）答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练４某农贸公司按每担２00元收购某农产品，并按每１00元纳税１0元（又称征税率为１0个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加２x个百分点．（１）写出税收y（万元）与x的函数关系式；（２）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的8３．２%，试确定x的取值范围．解析：（１）降低税率后的税率为（１0—x）%，农产品的收购量为a（１＋２x%）万担，收购总金额为２00a（１＋２x%）依题意得，y＝２00a（１＋２x%）（１0—x）%＝错误!a（１00＋２x）（１0—x）（0<x<１0）．（２）原计划税收为２00a·１0%＝２0a（万元）．依题意得，错误!a（１00＋２x）（１0—x）≥２0a×8３．２%，化简得x２＋４0x—8４≤0，∴—４２≤x≤２．又∵0＜x＜１0，∴0＜x≤２．∴x的取值范围是{x|0＜x≤２}．错误!根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：一、选择题１．不等式３x２—２x＋１>0的解集为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．∅Ｄ．R解析：因为Δ＝（—２）２—４×３×１＝—8<0，所以抛物线y＝３x２—２x＋１开口向上，与x轴无交点，故３x２—２x＋１>0恒成立，即不等式３x２—２x＋１>0的解集为R.答案：D２．设m＋n>0，则关于x的不等式（m—x）（n＋x）>0的解集是（）Ａ．{x|x<—n或x>m} Ｂ．{x|—n<x<m}Ｃ．{x|x<—m或x>n} Ｄ．{x|—m<x<n}解析：不等式（m—x）（n＋x）>0可化为（x—m）（x＋n）<0，方程（x—m）（x＋n）＝0的两根为x１＝m，x２＝—n.由m＋n>0，得m>—n，则不等式（x—m）（x＋n）<0的解集是{x|—n<x<m}，故选Ｂ．答案：B３．不等式ax２＋５x＋c>0的解集为错误!，则a，c的值分别为（）Ａ．a＝6，c＝１Ｂ．a＝—6，c＝—１Ｃ．a＝１，c＝１Ｄ．a＝—１，c＝—6解析：由题意知，方程ax２＋５x＋c＝0的两根为x１＝错误!，x２＝错误!，由根与系数的关系得x１＋x２＝错误!＋错误!＝—错误!，x１·x２＝错误!×错误!＝错误!.解得a＝—6，c＝—１．４．若不等式x２＋mx＋错误!>0的解集为R，则实数m的取值范围是（）Ａ．（２，＋∞）Ｂ．（—∞，２）Ｃ．（—∞，0）∪（２，＋∞）Ｄ．（0,２）解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m２—４×１×错误!<0，即m２—２m<0，解得0<m<２，故答案为Ｄ．答案：D二、填空题５．不等式（２x—５）（x＋３）<0的解集为________．解析：方程（２x—５）（x＋３）＝0的两根为x１＝错误!，x２＝—３，函数y＝（２x—５）（x＋３）的图象与x轴的交点坐标为（—３,0）和错误!，所以不等式（２x—５）（x ＋３）<0的解集为错误!.答案：错误!6．不等式错误!<0的解集为________．解析：原不等式可以化为（２x—１）（２x＋１）<0，即错误!错误!<0，故原不等式的解集为错误!.答案：错误!7．用一根长为１00 m的绳子能围成一个面积大于600 m２的矩形吗？若“能”，当长＝________ m，宽＝________ m时，所围成的矩形的面积最大．解析：设矩形一边的长为x m，则另一边的长为（５0—x）m,0<x<５0．由题意，得x（５0—x）>600，即x２—５0x＋600<0，解得２0<x<３0．所以，当矩形一边的长在（２0,３0）的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m２的矩形．用S表示矩形的面积，则S＝x（５0—x）＝—（x—２５）２＋6２５（0<x<５0）．当x＝２５时，S取得最大值，此时５0—x＝２５．即当矩形的长、宽都为２５m时，所围成的矩形的面积最大．答案：２５２５8．解下列不等式：（１）x２＋２x—１５>0；（２）x２—３x＋５>0；（３）４（２x２—２x＋１）>x（４—x）．解析：（１）x２＋２x—１５>0⇔（x＋５）（x—３）>0⇔x<—５或x>３，所以不等式的解集是{x|x<—５或x>３}．（２）因为Δ＝（—３）２—４×１×５＝—１１<0，再根据函数y＝x２—３x＋５图象的开口方向，所以原不等式的解集为R.（３）由原不等式得8x２—8x＋４>４x—x２.∴原不等式等价于9x２—１２x＋４>0．解方程9x２—１２x＋４＝0，得x１＝x２＝错误!.结合二次函数y＝9x２—１２x＋４的图象知，原不等式的解集为错误!.9．若关于x的一元二次不等式ax２＋bx＋c<0的解集为错误!，求关于x的不等式cx ２—bx＋a>0的解集．解析：由题意知错误!所以错误!代入不等式cx２—bx＋a>0中得错误!ax２＋错误!ax＋a>0（a<0）．即错误!x２＋错误!x＋１<0，化简得x２＋５x＋6<0，所以所求不等式的解集为{x|—３<x<—２}．[尖子生题库]１0．解关于x的不等式x２—ax—２a２<0．解析：方程x２—ax—２a２＝0的判断式Δ＝a２＋8a２＝9a２≥0，得方程两根x１＝２a，x２＝—a.（１）若a>0，则—a<x<２a，此时不等式的解集为{x|—a<x<２a}；（２）若a<0，则２a<x<—a，此时不等式的解集为{x|２a<x<—a}；（３）若a＝0，则原不等式即为x２<0，此时解集为∅.综上所述，原不等式的解集为：当a>0时，{x|—a<x<２a}；当a<0时，{x|２a<x<—a}；当a＝0时，∅.。
一元二次函数补充学习资料学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本资料将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。
一.解析式1．一般式： ；2．顶点式： ，其中顶点坐标是(－h ，k )． 3．零点式： ，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．其中aacb b x 2422,1-±-=. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数。
【例1】一个二次函数的图象如图，求函数的解析式. 解：1.若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，则()1f -的值是______．2.若二次函数()2f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-与y 轴的交点坐标为(0,11)，则 A ．1,4,11a b c ==-=- B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==-= D ．3,12,11a b c ==-= 3. 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1）,则二次函数的解析式为_______________．二.图像特征二次函数()0)(2≠++=a cbx ax x f 的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。
结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观。
()222424b ac b y a x a x h k a a -⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭,其中，24,24b ac b h k a a -=-=（1）函数的图象是一条抛物线，顶点坐标是（h,k ），对称轴是直线x=h 。
（2）当a>0时，抛物线开口向上，函数在x=h 处取最小值 k=()f h ； 在区间(,]h -∞上是减函数，在区间[,)h +∞上是增函数；（3）当a<0时，抛物线开口向下，函数在x=h 处取最大值 k=()f h ；在区间(,]h -∞上是增函数，在区间[,)h +∞上是减函数； （4）a 越大开口越小二次项系数a 决定了函数图象的开口方向、开口的大小和单调性，当a>0时，开口向上，a 越大，开口越大，函数在对称轴两侧先减后增;当a<0时，开口向下，a 的绝对值越大开口越大函数在对称轴两侧先增后减。
当b=0时，函数为偶函数，当0b ≠且0c ≠时，函数既不是奇函数也不是偶函数。
C 是否为零决定着函数的图象是否过原点。
另外，a 和b 决定着函数的对称轴。
a,b,和c 三者共同决定着函数的顶点位置。
413【例2】求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出函数的单调区间？【例3】若函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数x 都有f(2+x)=f(2-x)， 那么（ ）A.f(2)＜f(1)＜f(4)B.f(1)＜f(2)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1) （1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a 是函数f(x)的对称轴x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=2ba +是f(x)的对称轴. 3(x ＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ； 当x ＝ 时，函数取最 值y ＝ ；函数的单调减区间为___________． 2.若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_____．3.设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象下列之一：(A) 则a 的值为（ ） （A ）1 （B ）－1 （C ）251-- （D ）251+- 4.函数()2f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是（ ）A ．()()()110f f f <-<B ．()()()011f f f <-<C ．()()()101f f f <<-D ．()()()101f f f -<<三.单调性二次函数()0)(2≠++=a cbx ax x f 在区间 和区间 上分别单调.【例4】已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈．(1)求()f x ，()g x 的单调区间；【例5】己知a,b,c∈R,且a<0,6a+b<0.设f(x)=ax2+bx+c,试比较f(3)、与f(π)的大小.()()215f x x a x=--+在区间(12,1)上为增函数，那么()2f的取值范围是_____．1．函数y=x2+x+2单调减区间是( )A、1[,)2-+∞ B、（-1，+∞） C、1(,]2-∞-D、（-∞，+∞）2．函数f(x)=2x2－mx+3,当x∈[2,)-+∞时,增函数,当x∈(]2,-∞-时,是减函数, 则f（1）等于（）A．－3 B．13 C．7 D．由m而定的其它常数3．已知函数()242f x x ax=++在区间(),6-∞内单调递减，则a的取值范围是（）A．3a≥B．3a≤C．3a<-D．3a≤-四.最值（值域）因为二次函数()0)(2≠++=acbxaxxf在区间]2,(ab--∞和区间),2[+∞-ab上分别单调，所以函数()xf在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得。
求二次函数在某区间上的最值(或值域)，在画出了二次函数图象之后，就要考察顶点的横坐标与指定的区间的位置关系．假若顶点的横坐标或者指定区间含有参数，那就要就顶点的横坐标是在区间内，还是在区间的右侧，或在区间的左侧进行分类讨论．【例7】已知二次函数2()f x ax bx=+ (a,b是常数且0a≠) 满足条件(5)(3)f x f x-+=-，且方程()f x x=有等根．⑴求()f x的解析式；⑵是否存在实数m,n(m n<)，使()f x的定义域和值域分别为[,]m n和[3,3]m n，如果存在，求出m,n 的值，如果不存在，说明理由．解：【例8】求f(x)=x2-2ax+2在［2，4］上的最小值和最大值.解：评述：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a与区间［2，4］的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两.2-4x-4,x∈［t,t+1］(t∈R)，求f(x)的最小值φ（t）的解析式.五.奇偶性二次函数()0)(2≠++=acbxaxxf当时，函数为偶函数，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数。
()()2312f x ax bx a b a x a=+++-≤≤是偶函数，则点(),a b的坐标是_____．1．若函数()()()22111f x m x m x=-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()f x是（）A．增函数B．减函数C．常数D．可能是增函数，也可能是常数六.翻折变换Ⅰ、函数|()|y f x=的图像可以将函数()y f x=的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留()y f x=的x轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x=的图像可以将函数()y f x=的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x=在y轴右边部分即可得到【例10】已知函数)(|2|)(2Rxbaxxxf∈+-=．给下列命题：①)(xf必是偶函数；②当)2()0(ff=时，)(xf的图像必关于直线x=1对称；③若02≤-ba，则)(xf在区间[a，＋∞)上是增函数；④)(xf有最大值||2ba-．____223x x=-++的单调增区间为___________．2．（上海春卷）设函数54)(2--=xxxf.（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像； （2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明。
七.函数与方程1．韦达定理：方程02=++c bx ax （0≠a ）的二实根为1x 、2x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a cx x a b x x 2121 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|Δ＝b 2－4ac ）． 2．实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个根x 1,x 2⑴两根均正⇔⎪⎩⎪⎨⎧>+>≥∆0002121x x x x ；⑵两根均负⇔⎪⎩⎪⎨⎧<+>≥∆0002121x x x x ；⑶一正一负⇔x 1x 2<0（这时ac<0,已经内含了△=b 2-4ac>0的条件）.这样，可以等价转化一个角度去解题。
3．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标．即方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．4．二次方程根的分布问题：可以运用公式法先求出方程的根，再列出等价条件组，也可以引入二次函数，由函数的图象特征列出等价的条件组，应因题而异，优化解题的思路值。
【例11】估算方程25710x x --=的正根所在的区间是 （ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【例12】m 为何值时，关于x 的方程x 2-mx+3+m=0有两个大于1的根。
（涉及一元二次不等式的解法请阅读下面材料:一元二次不等式解法）【例13】已知二次函数2()f x ax bx c =++和一次函数()g x ax b =+，其中a b c >>，且(1)0f =，（1）求证：两函数()f x 、()g x 的图象交于不同两点A 、B ； （2）求线段AB 在x 轴上投影11A B 长度的取值范围．1-(k+2)x+4=0有两负根，则k 的取值范围为________.2．已知函数f(x)在区间[a,b]上单调且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]内 （ ） A ． 至少有一实根 B ． 至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 3．二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ． 4．函数y=2x+1的图象与函数y=x 2+2x-3的图象交点的个数为（ ）A,1 B,2 C,3 D,05．已知()()()2f x x a x b =---()a b <，并且α、β是方程()0f x =的两个根()αβ<，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是（ ）A ．a b αβ<<<B ．a b αβ<<<C ．a b αβ<<<D ．a b αβ<<< 6．(广东卷)已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点．求a 的取值范围．八.应用题【例14】已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞． （1）当0.5a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围．解：一元二次不等式解法怎样解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)呢？我们可以借助于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象来解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)．为了方便起见，我们先来研究二次项系数a ＞0时的一元二次不等式的解．我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)，设△＝b 2－4ac ，它的解的情形按照△＞0， △=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（a ＞0）与ax 2＋bx ＋c ＜0（a ＞0）的解． （1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有两个公共点(x 1，0)和(x 2，0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根x 1和x 2(x 1＜x 2)，由图2.3－2①可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为 x ＜x 1，或x ＞x 2； 不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为 x 1＜x ＜x 2．（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有且仅有一个公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a，由图2.3－2②可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为 x ≠－b2a；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解．（3）如果△＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴没有公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为一切实数；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解．今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．图2.3－2② ③①。
