2012高三数学一轮复习单元练习题：排列、组合与二项式定理

高考第一轮复习数学单元测试卷排列、组合、二项式定理参考答案-数学试题
一、选择题：（每题5分，共60分）
1、C
2、C
3、B
4、D
5、B
6、B
7、C8、D9、C10、C
11、C12、B
二、填空题：（每题4分，共16分
13、14、1415、17916、96
三、解答题（共六个小题，满分74分）
17、（10分）设原来站在第i个位置的人是（i=1，2，3，4，5）。

重新站队时，站在第2个位置的站法有种，其中不符合要求的有：站第3位的种，站第4位的种，但有的站法在考虑的情形时已经减去了，故只应再算（）种，同理，站第5位的应再算[]种。

站在第3，4，5位的情形与站在第2位的情形时对等的，故所有符合要求的站法有：
=44（种）
18、（12分）设取个红球，个白球，于是：
，其中，
因此所求的取法种数是：=186（种）
19、（12分）假设满足要求的等差数列存在，由于所给等式对一切自然数n均成立，故当n=1，2，3时等式成立，从而可解得=1，=2，=3，因此若满足要求的等差数列存在，则必须是=n。

.然后再证明当=n时所给等式确实成立即可。

答案是肯定的。

20、（12分）注意到即可。

21、（14分）由已知得：。

注意到，从而等差数列的通项公式是：，设其前k项之和最大，则
，解得k=25或k=26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，。

22（14分）先求出的常数项是27，从而可得中n=7，对于由二项展开式的通项公式知，含的项是第4项，其二项式系数是35。

高三数学一轮复习单元练习题：排列、组合与二项式定理一、 选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节目插入原节目单中, 那么不同插法的种数为 ( )A ．42B ．48C ． 96D ． 124 2.从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有( ) A.20种 B.16种 C.12种 D.8种3. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )A ．34种B ．35种C ．120种D ．140 种 4.设集合A=｛-1、0、1｝，B=｛2、3、4、5、6｝，映射f ：A →B ，使得对任意A x ∈，都有()()x xf x f x ++是奇数，这样的映射f 的个数是( )A.12B.50C.15D.555.某校高三年级共有六个班,现从外校转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为( )A. 2426C AB. 2426A AC. 262A D.242621C A 6. 在56(1)(1)x x +-+的展开式中，含3x 的项的系数是 （ ）A. -5B. 5C. -10D. 107. 设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则所得不同直线的条数是 ( ) A ．20B ．19C ．18D ．168.年世界杯参赛球队共32支,现分成8个小组进行单循环赛,决出16强(各组的前2名小组出线),这16个队按照确定的程序进行淘汰赛,决出8强,再决出4强,直到决出冠、亚和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为( )A.64B.72C.60D.56 9如果()212122102132x a x a x a a x ++++=+ 那么()221531a a a a ++++()220420a a a a ++++- （ ）A.1B.-1C.2D.-210. 从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 ( )A ．12513 B ． 12516 C ． 12518 D ． 1251911.四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法各种数为( )A.96B.48C.24D.012. 从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为 （ ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。

高三数学单元测试《排列、组合二项式定理》一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．下列各式中，若1＜k ＜n , 与C n k 不等的一个是 （ ）A ．11++n k C n+1k+1B ．k n C n －1k －1 C ．kn n -C n －1k D ．1--n nk C n －1k+1 2．已知二项式(x －x2)7展开式的第4项与第5项之和为零，那么x 等于 （ ）A ．1B ．2C ．2D ．463．设(1－2x)10＝a 1+a 2x+a 3x 2+…+a 11x 10， 则a 3+a 5+…+a 7+a 9等于 （ ）A ．310－1B ．1－310C ．21(310－1) D ．21(310+1) 4．从10名女学生中选2名，40名男生中选3名，担任五种不同的职务，规定女生不担任其中某种职务，不同的分配方案有 （ ）A ．P 102P 403B ．C 102P 31P 44C 103 C ．C 152C 403P 55D ．C 102C 4035．用1，2，3，4，5，6，7七个数字排列组成七位数，使其中偶位数上必定是偶数，那么可得七位数的个数是 （ ）A ．P 44B ．P 44P 33C ．6P 33D ．C 152C 403P 556．若1212221012)23(x a x a x a a x ++++=+ ，则-++++211531)(a a a a212420)(a a a a ++++ 的值是 （ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－27．在某次数学测验中，学号)4,3,2,1(=i i 的四位同学的考试成绩}98,96,93,92,90{)(∈i f ，且满足)4()3()2()1(f f f f <≤<，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为 （ ）A ．9种B ．5种C ．23种D ．15种8．如果一个三位正整数形如“321a a a ”满足2321a a a a <<且，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为（ ）A ．240B ．204C ．729D ．9209．使得多项式1125410881234++++x x x x 能被5整除的最小自然数为 （ ） A ．1 B ．2C ．3D ．410．若n xx )2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．12 11．在AOB ∠的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点（均除O 点外），连同O 点共1m n ++个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有（ ） A ．211211m n n m C C C C +++ B ．2121m n n m C C C C + C ．112121n m m n n m C C C C C C ++ D ．121211n m n m C C C C +++12．已知若二项式：)()222(9R x x∈-的展开式的第7项为421，则)(lim 2nn x x x +++∞→ 的值为 （ ）A ．－41 B ．41C ．－43D ．43 二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．二项式（1－x21）10的展开式中含51x 的项的系数________（请用数字作答）14．某学校要从高三的6个班中派9名同学参加市中学生外语口语演讲，每班至少派1人，则这9个名额的分配方案共有 种.（用数字作答）15．在102)1)(1(x x x -++的展开式中，4x 项的系数是 . 16．有四个好友A, B, C, D 经常通电话交流信息, 已知在通了三 次电话后这四人都获悉某一条 高考信息, 那么第一个电话是 A 打的情形共有 种.甲、乙、丙、丁、戊5名学 生进行投篮比赛，决出了第 1至第5名的不同名次，甲、 乙两人向裁判询问成绩，根据右图所示裁判的回答，5人的名次排列共有 种不同的情况.三、解答题（本大题共6小题，共74分。

排列、组合、二项式定理一、基础知识要记牢(1)分类计数原理：完成一件事情有n类方法，只需用其中一种就能完成这件事．(2)分步计数原理：完成一件事情共分n个步骤，必须经过这n个步骤才能完成．缺少任何一步不能完成这件事．二、经典例题领悟好[例1] (2013·山东高考)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243 B．252C．261 D．279[解析] 0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．[答案] B解决此类问题的关键(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．三、预测押题不能少1．一个盒子里有3个分别标有号码1,2,3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有( )A．12种 B．15种C．17种 D．19种解析：选D 取3次球，共有3×3×3＝27种取法，其中最大值不是3的取法有2×2×2＝8种，故有27－8＝19种取法．一、基础知识要记牢区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．二、经典例题领悟好[例2] (1)(2013·陕西宝鸡)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A．85 B．56C．49 D．28(2)(2013·浙江高考)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．[解析] (1)因为丙没有入选相当于从9人中选3人，共有选法C39＝84种，甲、乙都没入选相当于从7人中选3人，共有选法C37＝35种，所以满足条件的选法种数是84－35＝49.(2)①当C在第一或第六位时，有A55＝120(种)排法；②当C在第二或第五位时，有A24A33＝72(种)排法；③当C 在第三或第四位时，有A 22A 33＋A 23A 33＝48(种)排法． 所以共有2×(120＋72＋48)＝480(种)排法． [答案] (1)C (2)480解排列组合综合应用题的解题流程三、预测押题不能少2．(1)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼­15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( ) A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．48种解析：选C 将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有A 22·A 22种排法．而后将丙、丁进行插空，有3个空，有A 23种排法，故共有A 22·A 22·A 23＝24种排法．(2)有4名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有1人参加，每名同学只参加一项比赛，另外甲同学不能参加跳舞比赛，则不同的参赛方式的种数为________(用数字作答)．解析：依题意，当甲1人一组时，共有C 12C 23A 22＝12种不同的参赛方式；当甲和另1人一组时，共有C 13A 12A 22＝12种不同的参赛方式，所以共有24种不同的参赛方式． 答案：24一、基础知识要记牢 (1)通项与二项式系数：T r ＋1＝C r n a n －r b r(r ＝0,1,2，…，n )，其中C r n 叫做二项式系数． (2)各二项式系数之和： ①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n . ②C 1n ＋C 3n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋…＝2n －1. 二、经典例题领悟好[例3] (1)(2013·全国新课标Ⅱ)已知(1＋ɑx )·(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1(2)(2013·大同调研)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 210的展开式中的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45(3)(2013·安徽高考)若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中，x 4的系数为7，则实数a ＝________.[解析] (1)(1＋x )5中含有x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1. (2)∵T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝C r 10(－2)r x 1052r-，∴10－5r 2＝0，∴r ＝2，∴常数项为C 210(－2)2＝180.(3)含x 4的项为C 38x 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3x 3＝C 38a 3x 4，∴C 38a 3＝7，∴a ＝12.[答案] (1)D (2)B (3)12解决此类问题关键要掌握的五个方面(1)T r ＋1表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； (2)T r ＋1是展开式中的第r ＋1项，而不是第r 项； (3)公式中a ，b 的指数和为n ，a ，b 不能颠倒位置； (4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(5)对二项式(a －b )n展开式的通项公式要特别注意符号问题． 三、预测押题不能少3．(1)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( ) A ．1或－3 B ．－1或3 C ．1 D ．－3解析：选A 令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9；令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9.所以有(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋13x n 的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x 2的系数为________． 解析：依题意得3n＝729，n ＝6.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋13x 6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r＝C r 6·26－r·x 6－4r 3.令6－4r 3＝2，得r ＝3.因此，在该二项式的展开式中x 2的系数是C 36·26－3＝160.答案：160二项式定理是高考热点内容，主要考查二项式的通项公式、二项式系数、二项式指定项(特定项)等知识，近年与函数、不等式、数列等知识交汇，让二项式定理问题在命题中有了“生机”．一、经典例题领悟好[例] (2013·陕西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，∴当x >0时，f (x )＝－x <0，∴f [f (x )]＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6.∴展开式中常数项为C 36(x )3⎝⎛⎭⎪⎫－1x 3＝－C 36＝－20.[答案] A以分段函数和复合函数的形式出现考查二项式定理的应用，凸显函数的主导作用，以复合函数的复合过程为切入点，再次使用不同区间上的表达式，再使问题化为二项展开式的问题，体现转化化归和特殊化思想在知识交汇处的具体应用. 二、预测押题不能少(1)已知f (x )＝(ax ＋2)6，f ′(x )是f (x )的导数，若f ′(x )的展开式中x 的系数大于f (x )的展开式中x 的系数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫25，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25C.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞解析：选 A f (x )的展开式中x 的系数是C 5625a 6－5＝192a .f ′(x )＝6(ax ＋2)5(ax ＋2)′＝6a (ax ＋2)5，f ′(x )的展开式中x 的系数是6a C 4524a 5－4＝480a 2.依题意得480a 2>192a ，解得a >25或a <0.(2)已知a ＝20π⎰(sin 2x 2－12)d x ，则⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋12ax 9的展开式中，关于x 的一次项的系数为( ) A ．－6316B.6316C ．－638D.638解析：选A a ＝20π⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 2－12d x ＝20π⎰1－cos x 2－12d x ＝20π⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2d x ＝－12.此时二项式的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 9－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 9⎝ ⎛⎭⎪⎫－129－r (－1)r x 9－2r.令9－2r ＝1，得r ＝4，所以关于x 的一次项的系数为C 49⎝ ⎛⎭⎪⎫－129－4·(－1)4＝－6316.1．(2013·河南开封模拟)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( ) A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种解析：选B 分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 24＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 14＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．2．(2013·辽宁高考)使⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 由二项式定理得，T r ＋1＝C rn(3x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －r x52n r－，令n －52r ＝0，当r ＝2时，n ＝5，此时n 最小．3．(2013·四川高考)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( ) A ．9 B ．10 C ．18 D ．20解析：选C lg a －lg b ＝lg a b ，lg a b 有多少个不同值，只要看a b不同值的个数，所以共有A 25－2＝20－2＝18个不同值．4．(2013·成都模拟)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180 B ．90 C ．45 D ．360解析：选A 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以n ＝10.T r ＋1＝C r 10·(x )10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r C r 10·x 552r －，令5－52r ＝0，则r ＝2，T 3＝4C 210＝180.5．(2013·深圳市调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( ) A ．18个 B ．15个 C ．12个 D ．9个解析：选B 依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计：3＋6＋3＋3＝15个．6．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项C ．5项D ．6项解析：选C T r ＋1＝C r24·()x 24－r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r 24·x 5126r－，且0≤r ≤24，r ∈N ，所以当r ＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数是整数．7．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不相同，则共有不同的放法( ) A ．15种 B ．18种 C ．19种 D ．21种解析：选B 对这3个盒子中所放的小球的个数情况进行分类计数：第一类，这3个盒子中所放的小球的个数是1,2,6，此类放法有A 33＝6种；第二类，这3个盒子中所放的小球的个数是1,3,5，此类放法有A 33＝6种；第三类，这3个盒子中所放的小球的个数是2,3,4，此类放法有A 33＝6种．因此满足题意的放法共有6＋6＋6＝18种.8．(2013·天津河西模拟)已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝( )A ．－180B ．180C ．45D ．－45解析：选B 因为(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，所以[2－(1－x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，∴a 8＝C 81022(－1)8＝180.9．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有( ) A ．288种 B ．144种 C ．72种 D ．36种解析：选B 首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法有C 34种；其次将获得同一道题目的2位教师选出，选法有C 24种；最后将选出的3道题目分配给3组教师，分配方式有A 33种．由分步乘法计数原理，知满足题意的情况共有C 34C 24A 33＝144(种)． 10．若(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x2 013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C 令x ＝0，则a 0＝1；令x ＝12，则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝0.∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－1.11．(2013·张家界模拟)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( )A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种解析：选C 本题是一个分步计数问题．由题意知程序A 只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置中选一个位置把A 排列，有A 12＝2种结果．∵程序B 和C 在实施时必须相邻，∴把B 和C 看作一个元素，同除A 外的3个元素排列，注意B 和C 之间还有一个排列，共有A 44A 22＝48种结果．根据分步计数原理知共有2×48＝96种结果．12．(2013·全国新课标Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( ) A ．5 B ．6 C.7 D.8解析：选B 根据二项式系数的性质知：(x ＋y )2m 的二项式系数最大有一项，C m 2m ＝a ，(x ＋y )2m＋1的二项式系数最大有两项，C m 2m ＋1＝C m ＋12m ＋1＝b .又13a ＝7b ，所以13C m 2m ＝7C m2m ＋1，将各选项中m 的取值逐个代入验证，知m ＝6满足等式．13．已知集合A ＝{x |x ＝a 0＋a 1×3＋a 2×32＋a 3×33}，其中a k ∈{0,1,2}(k ＝0,1,2,3)，且a 3≠0，则A 中所有元素之和等于( ) A ．3 240 B ．3 120 C ．2 997 D ．2 889解析：选D 可利用排除法，若a 3也可以取0，则a 0，a 1，a 2，a 3都可取0,1,2，根据分步乘法计数原理，可知这样的数共有3×3×3×3＝81(个)，显然0,1,2这3个数字每个数字要重复27次，故这些元素的和为27×(3＋3×3＋3×32＋3×33)＝27×120＝3 240；当a 3＝0时，a 0，a 1，a 2可取0,1,2，根据分步乘法计数原理，可知这样的数共有3×3×3＝27(个)，而0,1,2这3个数字每个数字要重复9次，故这些元素的和为9×(3＋3×3＋3×32)＝9×39＝351.所以集合A 中所有元素的和为3 240－351＝2 889.14．(2013·郑州预测)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )A.16B.14C.13D.512解析：选D 注意到二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式的通项是T r ＋1＝C rn ·(x )n －r ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫12·4x r ＝C rn·2－r·x234n r-.依题意有C 0n ＋C 2n ·2－2＝2C 1n ·2－1＝n ，即n 2－9n ＋8＝0，(n －1)(n －8)＝0(n ≥2)，因此n ＝8 .∵二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x 8的展开式的通项是T r ＋1＝C r8·2－r ·x 344r －，其展开式中的有理项共有3项，所求的概率等于A 66·A 37A 99＝512.15．(2013·长春模拟)用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为________．解析：A 22·C 12·A 22＝8个． 答案：816．(2013·长沙模拟)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－22的展开式中常数项是________．解析：∵⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 4，∴T r ＋1＝C r 4x4－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 4(－1)r x 4－2r ， 令4－2r ＝0，解得r ＝2，∴常数项为C 24(－1)2＝6. 答案：6 17．(2013·湖北八校联考)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为________．解析：先将2艘驱逐舰和2艘护卫舰平均分成两组，再排，有C 12A 22A 22A 22种方法，然后排2艘攻击型核潜艇，有A 22种方法，故舰艇分配方案的方法数为C 12A 22A 22A 22A 22＝32. 答案：3218．(2013·浙江名校联考)二项式(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是________．解析：∵(4x －2－x )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(4x )6－r (－2－x )r ＝(－1)r C r 62(12－3r )x，若T r ＋1为常数项，则r ＝4，T 5＝15. 答案：1519．(2013·银川模拟)若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________.解析：原等式两边求导得5(2x －3)4·(2x －3)′＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4，令上式中x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝10. 答案：1020.(2013·滨州模拟)如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．解析：按区域分四步：第一步A 区域有5种颜色可选； 第二步B 区域有4种颜色可选； 第三步C 区域有3种颜色可选；第四步由于D 区域可以重复使用区域A 中已有过的颜色，故也有3种颜色可选． 由分步计数原理知，共有5×4×3×3＝180(种)涂色方法． 答案：180。

素质能力检测（4）一、填空题（每小题5分，共30分）1.（2004年东北三校模拟题）已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能.在这25种可能中，电路从P 到Q 接通的情况有A.30种B.10种C.24种D.16种 解析：五个开关全闭合有1种情况能使电路接通；四个开关闭合有5种情况能使电路接通；三个开关闭合有8种情况能使电路接通；两个开关闭合有2种情况能使电路接通.所以共有1+5+8+2=16种情况能使电路接通.答案：D2.（2004年湖北八校模拟题）有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有A.240种B.192种C.96种D.48种解析：我们可以这样排，首先将乙、丙绑定为一个位置，排法有A 55A 22种，然后将甲站在中间位置，但此时有不符合条件的，即当乙、丙在中间位置时，甲再插入中间，应去掉，共有A 44·A 22种，则符合条件的站法有A 55·A 22－A 44·A 22=192种，选B.答案：B3.（理）在（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）2004的展开式中x 3的系数等于 A.C 42004B.C 42005C.2C 32004D.2C 32005解析：含x 3的系数为C 33+C 34+C 35+…+C 32004=C 42005.故选B.答案：B （文）在（2x －x 2）5的展开式中x 1的系数等于 A.10B.－10C.20D.－20解析：本题考查二项式定理，（a +b ）n 中第r +1项T 1+r =C r n ·a r ·bn －r， 则T 1+r =C r5（2x ）r ·（x2-）5－r =C r 5·2－r ·（－2）5－r ·x 2r －5. 由题知2r －5=－1，则r =2，则x 1的系数为C 25·2－2·（－2）5－2=C 25×41×（－8）=－20，故选D.答案：D4.如下图，A 、B 、C 、D 为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有A.8种B.12种C.16种D.20种 解法一：桥梁的建设有两大类：（1）A 、B 、C 、D 四岛之间依次建桥，如AB 、BC 、CD 一种方案，AC 、CD 、DB 一种方案等.其建造方案共有m 1=2A 44=12（种）.（2）四岛中的某一岛与其他三岛之间建桥，如AB 、AC 、AD 等其建造方案共有m 2=C 14=4（种）. 由分类计数原理可知N =m 1+m 2=16（种）.解法二：把四个岛看成三棱锥的四个顶点，四棱锥有6条棱，从中选3条把A 、B 、C 、D 连起来，有C 36种方法，其中共面时不合题意，则共有C 36－4=16（种）.答案：C5.登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是A.30B.60C.120D.240解析：先将4个熟悉道路的人平均分成两组有222224A C C .再将余下的6人中分成两组有C 36·C 33.故有21C 24·C 36=60（种）. 答案：B6.（2004年北京东城区模拟题）某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有A.90个B.99个C.100个D.112个解析：由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定，则只考虑千位、百位即可，千位、百位各有10种选择，所以有10×10种=100种.故选C. 答案：C二、填空题（每小题4分，共16分）7.从1，3，5中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_____________个.（用数字作答）解析：能被5整除的四位数的个位数只能是5或0， ∴必须从1，3，5中选取5或从0，2，4，6中选取0.（1）选取0不选取5，能被5整除的四位数有C 13·C 22·A 33=36（个）； （2）选取5不选取0，能被5整除的四位数有C 12C 23·A 33=36（个）.（3）同时选取0和5，能被5整除的四位数有C13C12（A33+A12A22）=60（个）.∴其中能被5整除的四位数共有132个.答案：1328.有A、B、C、D、E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次.A、B两位学生去问成绩，教师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列共有_____________种不同的可能.（用数字作答）解法一：A不是第一名有A44种.A不是第一名，B不是第三名有A33种.符合要求的有A44－A33=18种.解法二：第一名有3种，第二名有3种，第三名有1种，第四名有2种，第五名有1种，则完成这件事有3×3×1×2×1=18种.答案：189.若（1－2x）2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004（x∈R），则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2004）=_____________.（用数字作答）解析：在（1－2x）2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004中令x=1，得a0+a1+a2+…+a2004=（1－2）2004=1，又a0=1，∴a1+a2+…+a2004=0.∴（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2004）=2004.答案：200410.将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒子内放一个球，恰好有2个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为_____________.（用数字作答）解析：分两步：第一步，先取8个球，分别放入球的标号与盒子的标号相同的盒子里有C810种放法.第二步，再将余下的2个球放入盒子里的放法有1种.由分步计数原理得C810=45.答案：45三、解答题（本大题共4小题，共54分）11.（12分）中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自四个单位，分别在图中4个区域内坐定.有4种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否则不受限制，那么不同的着装方法有多少种?分析：显然，相对位置（比如Ⅰ，Ⅲ）的服装颜色可以相同，也可以不同，因为它们不相邻，但它们服装颜色是否相同对另两个区域（Ⅱ，Ⅳ）的服装颜色的影响是不同的，所以考虑以此为分类讨论的标准.解法一：若每个区域服装颜色不相同，则有C14·C13·C12·1=24种；若Ⅰ、Ⅲ或Ⅱ、Ⅳ同色，另两区域不同色，则有2C 14×3×2=48种；若Ⅰ、Ⅲ与Ⅱ、Ⅳ分别同色，则有C 24· A 22=12种.故共有24+48+12=84种.解法二：Ⅰ有4种可能，Ⅱ有3种可能，Ⅲ可与Ⅰ相同或不同，故共有4×3×3+4×3×2×2=84种方法.12.（14分）（理）某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A ，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法?解：由于张数不限，2张2，3张A 可以一起出，亦可分几次出，可以考虑按此分类. 出牌的方法可分为以下几类：（1）5张牌全部分开出，有A 55种方法；（2）2张2一起出，3张A 一起出，有A 25种方法； （3）2张2一起出，3张A 分开出，有A 45种方法； （4）2张2一起出，3张A 两次出，有C 23A 35种方法；（5）2张2分开出，3张A 一起出，有A 35种方法；（6）2张2分开出，3张A 分两次出，有C 23A 45种方法.因此，共有不同的出牌方法A 55+A 25+A 45+C 23A 35+ A 35+C 23A 45=860种.（文）抛物线方程y =ax 2+bx +c 的各项系数a 、b 、c ∈{－2，－1，0，1，2，3，4}，且a 、b 、c 两两不等.（1）过原点的抛物线有多少条?（2）过原点且顶点在第一象限的抛物线有多少条? 解：（1）抛物线过原点，则c =0.从－2，－1，1，2，3，4中任取2个数作为a 、b ，有A 26=30条.（2）∵顶点在第一象限，∴.00.0444,0222><∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=->-b a a b ab ac ab且 ∴C 13·C 13·C 11=9.∴过原点且顶点在第一象限的抛物线有9条.13.（14分）7名学生站成一排，下列情况各有多少种不同排法? （1）甲、乙必须排在一起； （2）甲不在排头，乙不在排尾；（3）甲、乙、丙互不相邻； （4）甲、乙之间必须隔一人.解：（1）（整体排列法）先将甲、乙看作一个人，有A 66种排法，然后甲、乙换位，所以不同的排法有A 22·A 66=1440种.（2）（间接法）甲在排头或乙在排尾的排法共2A 66种，其中都包含甲在排头且乙在排尾的情形，故有不同的排法A 77－2A 66+A 55=3720种.（3）（插空法）把甲、乙、丙插入其余4个元素产生的5个空，有A 44·A 35=1440种.（4）先从其余5人中选1人有5种选法，放在甲、乙之间，将三人看作一个有A 55种，然后甲、乙换位有A 22种，共有5A 55A 22=1200种方法.评述：解决“相邻”问题一般用整体法，解决不相邻问题一般用插空法，解决某些元素在某些位置用定位法，解决某些元素不在某些位置一般用间接法.14.（14分）已知（1+3x ）n 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项及二项式系数最大的项.解：末三项的二项式系数分别为C 2-n n 、C 1-n n 、C nn ， 由题设，得C 2-n n +C 1-n n +C n n =121，即C 2n +C 1n +1=121，∴n 2+n －240=0.∴n =15（n =－16舍去）.∵T 1+r =C r 15（3x ）r =C r 15·3r x r ，设T 1+r 项与T r 项的系数分别为t 1+r 与t r ，则t 1+r =C r153r ，t r =C 115-r ·31-r ，令rr t t 1+>1， 即1115153C 3C --⋅⋅r r r r =rr )115(3+-⨯ >1，解得r <12.也就是说，当r 取小于12的自然数时，都有t r <t 1+r ，即第12项以前的各项，前面一项的系数都比后面一项的系数小.又当r =12时，t 1+r =t r ，即t 13=t 12，∴展开式中系数最大的项是T 12=C 1115·311·x 11，T 13=C 1215·312·x 12，当n=15时，二项式系数最大的是第8、9项，分别为C715·37·x7与C715·38·x8.评述：本题考查二项式系数的性质、二项式定理、二项式系数与项的系数以及运算能力.注意二项展开式中，项的系数与项的二项式系数是两个不同的概念，前者由指数、底数二者决定，而后者只与二项式次数有关，一般地，项的系数不具备二项式系数的性质，不能混用.在（a+b）n的展开式中，系数最大的项是中间项；但当a、b的系数不是1时，最大系数值的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数值的增减性具体讨论而定.。

2012版高考数学 3-2-1精品系列专题10 排列、组合、二项式定理（学生版） 【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布 2012考纲解读 （3）二项式定理①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 考纲解读 （1）标准中只是对理科有要求，对文科不做要求；但大纲版对文理科均作要求。

（2）已删除：组合数的性质。

近几年考点分布 排列、组合、二项式定理是高考数学相对独立的内容，也是密切联系实际的一部分。

在高考中，注重基本概念，基础知识和基本运算的考查。

试题难度不大，多以选择、填空的形式出现。

排列组合的试题会以现实生活中的生产问题、经济问题为背景，不会仅是人或数的排列。

以排列组合应用题为载体，考查学生的抽象概括能力，分析能力，综合解决问题的能力。

将排列组合与概率统计相结合是近几年高考的一大热点，应引起重视。

二项式定理的知识在高考中经常以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法。

为此，只要我们把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。

【考点pk】名师考点透析 考点一、计数原理 例1电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有封，乙箱中有封，现有主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果？ 【名师点睛】.运用分步乘法计数原理时，也要确定分步的标准，分布必须满足：完成一件事情必须且只需完成这几步，即各个步骤是相互依存的，注意“步”与“步”的连续性。

例2.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，型血的共有人，型血的共有人，型血的共有人，型血的共有人。

（1）从中任选人去献血，有多少种不同的选法？（2）从四种血型的人中各选人去献血，有多少种不同的选法？ 【名师点睛】如何选用分类加法计数原理和分步计数乘法原理。

二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的； 第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 跟踪训练1.在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++x x (x ＞0)的展开式中的常数项为________.考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( ) A.63x B.4x C.4x 6x D.4x或4x 6x(2)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解题技法] 1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如： (1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可. (2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A.1B.243C.121D.1222.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.3.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三二项展开式的应用例、设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。

高中数学专题复习《计数原理排列组合二项式定理》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．(汇编江西理)在（x－2）汇编的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝2时，S等于（B ）A.23008B.-23008C.23009D.-230092．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不．一致的放入方法种数为（）A．120B．240C．360D．720(汇编湖北文)3．从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为（）A．24B．18C．12D．6（汇编北京理）4．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（A ）36 （B ）32 （C ）28 （D ）24（汇编四川文数）（9）解析：如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×2232A A ＝24种 如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，3×2222A A ＝12种共计12＋24＝36种5．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 360B. 188C. 216D. 96 （汇编四川理） 【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。

6．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）A ．2988A AB ．2988C AC ． 2788A AD ．2788C A(汇编北京理）7．1 ．（汇编年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 （ ）A ．243B ．252C ．261D ．2798．若(3)n x y +展开式的系数和等于10(7)a b +展开式的二项式系数之和，则n 的值为---（ ）(A) 15 (B ) 10 (C ) 8 (D) 59．一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目原有相对顺序不变，在增加3个节目，则不同的添加方法有 （ ） A ．210种 B ．252种 C ．504种 D ．505种10．从10名女学生中选2名，40名男生中选3名，担任五种不同的职务，规定女生不担任其中某种职务，不同的分配方案有 （）A ．P 102P 403B ．C 102P 31P 44C 103C ．C 152C 403P 55D ．C 102C 40311．已知二项式(x －x2)7展开式的第4项与第5项之和为零，那么x 等于 （） A ．1B ．2C ．2D ．4612．下列各式中，若1＜k ＜n, 与C n k不等的一个是（） A ．11++n k C n +1k +1 B ．k n C n －1k －1 C ．kn n -C n －1kD ．1--n nk C n －1k +1第II 卷（非选择题）请点击修改第I I 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题13．61()2x x-的二项展开式中含4x 的项的系数为_______. 14．()642()xx x R --∈展开式中的常数项是 15 .15． 四位成绩优异的同学报名参加数学、物理两科竞赛，若每人至少选报一科，则不同的报名方法种数为 ▲ ．（用数字作答）16．一份试卷有10个题目，分为,A B 两组，每组5题，要求考生选择6题，且每组至多选择4题，则考生有 ▲ 种不同的选答方法．17．设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集个数为T ，则TS=__ 18．2．一个盒子装有10个编号依次为1，2，3，…，10的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是_______（用数字做答 19．填空（1）550564662335555A C C A C A ++-+= 。

·高三数学·单元测试卷(十一)第十一单元 排列组合、二项式定理(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共18小题，每小题5分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为 A ．120B ．324C ．720D ．12802．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 A ．40B ．74C ．84D ．2003．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有 A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个4．从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是 A ．512B ．968C ．1013D ．10245．如果()n x x x +的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是A ．6810C xB ．5710C xxC ．468C xD ．6811C xx6．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是 A ．36B ．32C ．24D ．207．若n 是奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋯⋯+被9除的余数是A ．0B ．2C ．7D ．88．现有一个碱基A ，2个碱基C ，3个碱基G ，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有 A ．20个B ．60个C ．120个D ．90个9．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为 A ．504B ．210C ．336D ．12010．在342005(1)(1)(1)x x x ++++⋯⋯++的展开式中，x 3的系数等于A ．42005CB ．42006CC ．32005CD ．32006C11．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参加数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是 A ．2男6女B ．3男5女C ．5男3女D ．6男2女12．若x ∈R ，n ∈N ＋ ，定义n x M ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如55M -＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，则函数199()x f x xM -=的奇偶性为 A ．是偶函数而不是奇函数 B ．是奇函数而不是偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数13．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1),x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++定义映射12341234:(,,,)(,,,),f a a a a b b b b →则f （4，3，2，1）等于 A ．（1，2，3，4）B ．（0，3，4，0）C ．（－1，0，2，－2）D ．（0，－3，4，－1）14．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5，6}，从A 到B 的映射f (x )，B 中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为 A ．8B ．9C ．24D ．2715．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有 A ．24种B ．36种C ．60种D ．66种16．等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10，这样不同形状的三角形的种数为 A ．8B ．9C ．10D ．1117．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有 A ．36种B ．42种C ．50种D ．72种18．若1021022012100210139(2),()()x a a x a x a x a a a a a a -=+++⋯+++⋯+-++⋯+则 的值为 A ．0B ．2C ．－1D ．1答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18答案二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在横线上．19．某电子器件的电路中，在A ，B 之间有C ，D ，E ，F 四个焊点（如图），如果焊点脱落，则可能导致电路不通．今发现A ，B 间电路不通，则焊点脱落的不同情况有 种． 20．设f (x )＝x 5－5x 4＋10x 3－10x 2＋5x ＋1,则f (x )的反函数f －1(x )＝ ．21．正整数a1a2…a n…a2n－2a2n－1称为凹数，如果a1>a2>…a n，且a2n－1>a2n－2>…>a n，其中a i （i＝1,2,3,…）∈{0,1,2,…,9}，请回答三位凹数a1a2a3（a1≠a3）共有个（用数字作答）．22．如果a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋a3(x－1)2＋a4(x－1)＋a5＝x4，那么a2－a3＋a4．23．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有．24．已知（x＋1）6（ax－1）2的展开式中，x3的系数是56，则实数a的值为．三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．（本小题满分12分）将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？26．（本小题满分12分）已知(41x＋3x2)n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：⑴含x3的项；⑵系数最大的项．27．（本小题满分12分）求证：123114710(31)(32)2.nn n n n n C C C n C n -++++⋯++=+⋅第十一单元 排列组合、二项式定理参考答案一、选择题（每小题5分，共90分）： 题号12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案D BCBBDCBABBADDBCBD提示1．D 分五步：5×4×4×4×4＝1280．2．B 分三步：33425154545474.C C C C C C ++=3．C 46312.C -= 4．B 分8类：3451001210012101010101010101010101010()2(11045)968.C C C C C C C C C C C +++⋯+=+++⋯+-++=-++=5．B 12512,10,n n -=∴=中间项为5555761010().T C x x C xx ==6．D 按首位数字的奇偶性分两类：2332223322()20A A A A A +-=7．C 原式＝（7＋1）n －1＝(9－1)2－1＝9k －2＝9k ’＋7（k 和k ’均为正整数）．8．B 分三步：12365360C C C =9．A 939966504,504.A A A ==或10．B 原式＝11．B 设有男生x 人，则2138390,(1)(8)30x x C C A x x x -=--=即，检验知B 正确．12．A 2222()(9)(8)(9191)(1)(4)(81).f x x x x x x x x x =--⋯-+-=--⋯- 13．D 比较等式两边x 3的系数，得4＝4＋b 1,则b 1＝0，故排除A ，C ；再比较等式两边的常数项，有1＝1＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4,∴b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝0．14．D 223327.C =15．B 先排甲、乙外的3人，有33A 种排法，再插入甲、乙两人，有24A 种方法，又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占12 ，故所求不同和站法有3234136().2A A =种16．C 共有（1，1，1），（1，2，2），（1，3，3），（1，4，4），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，4，4），（3，3，3）（3，3，4）10种．17．B 每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周六的排法，共有2212264544242().C C A C A -+=种32003320062006442006(1)[1(1)](1)(1)(1).1(1)x x x x x x C x x+-+-+++=+-+即求中的系数为18．D 设f (x )＝(2－x )10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…－a 9＋a 10)＝f (1)f (－1)＝(2＋1)10(2－1)10＝1。