浙江省高三数学专题复习攻略 第二部分第四讲 解答题的解法考前优化训练 理 新人教版

《优化方案》高三专题复习攻略（新课标）数学浙江理科第一部分专题一第三讲 导数及其应用专题针对训练一、选择题1．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(0，e) D ．(－∞，e) 解析：选A.函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x，令1－1x<0，解得 0<x <1，所以递减区间是(0,1)．2．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0)解析：选C.由题意知x ＞0，且f ′(x )＝2x －2－4x，即f ′(x )＝2x 2－2x －4x＞0，∴x 2－x －2＞0， 解得x ＜－1或x ＞2. 又∵x ＞0，∴x ＞2.3．函数f (x )的导函数为f ′(x )，若(x ＋1)·f ′(x )>0，则下列结论中正确的是( ) A ．x ＝－1一定是函数f (x )的极大值点 B ．x ＝－1一定是函数f (x )的极小值点 C ．x ＝－1不是函数f (x )的极值点 D ．x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点解析：选D.由题意，得x >－1，f ′(x )>0或x <－1，f ′(x )<0，但函数f (x )在x ＝－1处未必连续，即x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点，故选D.4．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12C ．－22D.22解析：选 B.y ′＝cos x sin x ＋cos x －cos x －sin x sin xsin x ＋cos x2＝1sin x ＋cos x 2，故y ′⎪⎪⎪⎪ x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.5．已知函数f (x )＝x 2(ax ＋b )(a ，b ∈R )在x ＝2时有极值，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线3x ＋y ＝0平行，则函数f (x )的单调减区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选B.∵f (x )＝ax 3＋bx 2， f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ×22＋2b ×2＝0，3a ＋2b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.令f ′(x )＝3x 2－6x <0，则0<x <2，故选B.二、填空题6．函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间[0，π2]上的单调递减区间是________．解析：f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )≤0，即1－2sin x ≤0，所以sin x ≥12.又∵x ∈[0，π2]，所以π6≤x ≤π2，即函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 7．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________．解析：y ′＝e x ＋a ，问题转化为“方程e x＋a ＝0有大于零的实数根”，由方程解得x ＝ln(－a )(a <0)，由题意得ln(－a )>0，即a <－1.答案：a <－18．已知函数f (x )＝x e x，则f ′(x )＝________；函数f (x )图象在点(0，f (0))处的切线方程为________．解析：依题意得f ′(x )＝1·e x ＋x ·e x ＝(1＋x )e x ；f ′(0)＝(1＋0)e 0＝1，f (0)＝0·e 0＝0，因此函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程是y －0＝x －0，即y ＝x .答案：(1＋x )e xy ＝x 三、解答题9．设a >0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x .(1)若曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为－1，求a 的值； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的极值点． 解：(1)由已知得x >0，f ′(x )＝x －(a ＋1)＋ax.因为曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为－1， 所以f ′(2)＝－1.即2－(a ＋1)＋a2＝－1，所以a ＝4.(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x＝x 2－a ＋1x ＋a x ＝x －1x －a x，因0<a <1，当x ∈(0，a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 函数f (x )单调递增．此时x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点．10．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ln x (x >0，实数a ，b 为常数)． (1)若a ＝1，b ＝－1，求函数f (x )的极值；(2)若a ＋b ＝－2，且b <1，讨论函数f (x )的单调性．解：(1)函数f (x )＝x 2＋x －ln x ，则f ′(x )＝2x ＋1－1x，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1(舍去)，x 2＝12.当0<x <12时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x >12时，f ′(x )>0，函数单调递增；∴f (x )在x ＝12处取得极小值34＋ln 2.(2)由于a ＋b ＝－2，则a ＝－2－b ，从而f (x )＝x 2－(2＋b )x ＋b ln x ，则f ′(x )＝2x －(2＋b )＋b x ＝2x －b x －1x， 令f ′(x )＝0，得x 1＝b2，x 2＝1.①当b2≤0，即b ≤0时，函数f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)；②当0<b2<1，即0<b <2时，列表如下：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋ － ＋ f (x )↗↘↗所以，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，(1，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1. 11．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋c (c >0)，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图所示，f (x )＝ln x －h (x )．(1)求函数f (x )在x ＝1处的切线斜率；(2)若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ＋14上是单调函数，求实数m 的取值范围；(3)若函数y ＝2x －ln x (x ∈[1,4])的图象总在函数y ＝f (x )的图象的上方，求c 的取值范围．解：(1)由题知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图象为直线，且过A (2，－1)、B (0,3)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝－1b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3. ∴h (x )＝－x 2＋3x ＋c .∴f (x )＝ln x －(－x 2＋3x ＋c )＝x 2－3x －c ＋ln x .∴f ′(x )＝2x －3＋1x，∴f ′(1)＝2－3＋11＝0，所以函数f (x )在x ＝1处的切线斜率为0.(2)由题意可知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x＝2x －1x －1x.令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝1.x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0＋ f (x ) ↗ 极大值 ↘极小值↗∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，(1，＋∞)． f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 要使函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ＋14上是单调函数，则⎩⎪⎨⎪⎧12<m ＋14m ＋14≤1，解得14<m ≤34.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤14，34. (3)由题意可知，2x －ln x >x 2－3x －c ＋ln x 在x ∈[1,4]上恒成立，即当x ∈[1,4]时，c >x 2－5x ＋2ln x 恒成立设g (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，x ∈[1,4]，则c >g (x )max .易知g ′(x )＝2x －5＋2x＝2x 2－5x ＋2x＝2x －1x －2x.令g ′(x )＝0得，x ＝12或x ＝2.当x ∈(1,2)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减；当x ∈(2,4)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增．而g (1)＝12－5×1＋2ln 1＝－4，g (4)＝42－5×4＋2ln 4＝－4＋4ln 2， 显然g (1)<g (4)，故函数g (x )在[1,4]上的最大值为g (4)＝－4＋4ln 2，故c >－4＋4ln 2.∴c 的取值范围为(－4＋4ln 2，＋∞)．。

《优化方案》高三专题复习攻略（新课标）数学浙江理科第二部分第二讲 选择题的解法考前优化训练1．i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈S D.2i∈S 解析：选B.因为i 2＝－1∈S ，i 3＝－i ∉S ，2i＝－2i ∉S ，故选B. 2．(2011年高考安徽卷)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数解析：选D.由于全称命题的否定是存在性命题，本题“所有能被2整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定为存在性命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数”．3．复数z ＝32－a i ，a ∈R 且z 2＝12－32i ，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.12 D.14解析：选C.z 2＝(32－a i)2＝34－a 2－3a i ＝12－32i ， 故⎩⎪⎨⎪⎧34－a 2＝12，32＝3a ，∴a ＝12. 4．(2011年高考陕西卷)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一景点的概率是( )A.136B.19C.536D.16 解析：选D.最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P ＝636＝16，所以选D. 5．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )A ．y ＝ln 1|x |B ．y ＝x 3C ．y ＝2|x |D ．y ＝cos x解析：选A.对于A ，∵f (－x )＝ln 1|－x |＝ln 1|x |＝f (x )，定义域为{x |x ≠0}，故是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故A 正确；y ＝x 3是奇函数；y ＝2|x |是偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增；y ＝cos x 在(0，＋∞)上不是单调函数，故B 、C 、D 均错误．6．(2011年高考课标全国卷)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )解析：选D.由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形，故应选D.7．(2011年高考天津卷)设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)，B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，∴A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件．8．将函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π4＋1 B ．g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π4－1 C ．g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π12＋1 D ．g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π12－1 解析：选B.由题意得g (x )＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x ＋π4＋π6－1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π4－1，故选B. 9．函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b 2＝( )A ．0 B.22C ．－1D ．1解析：选D. 不妨设a ＝－π2，则b ＝π2，cos a ＋b 2＝cos 0＝1，故选D. 10．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αB ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥αC ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m解析：选B.若l ⊥m ，m ⊂α，则l 与α可能平行、相交或l ⊂α，若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α；若l ∥α，m ⊂α，则l 与m 可能平行或异面；若l ∥α，m ∥α，则l 与m 可能平行、相交或异面，故只有B 选项正确．11．设a 、b 是满足ab <0的实数，那么( )A ．|a ＋b |>|a －b |B ．|a ＋b |<|a －b |C ．|a －b |<|a |－|b |D ．|a －b |<|a |＋|b |解析：选B.∵A 、B 是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误选项C 、D.又由ab <0，可令a ＝1，b ＝－1，代入知B 为真．12. (2011年高考四川卷)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF→＝( )A ．0 B.BE →C.AD →D.CF →解析：选D.如图，在正六边形ABCDEF 中，CD →＝AF →，BF →＝CE →，∴BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋EF →＝BF →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →.13．(2011年高考陕西卷)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )A ．①和⑳B ．⑨和○10 C ．⑨和⑪ D.○10和⑪解析：选D.要使所有同学的路程总和最小，则应使放树苗的树坑两边的树坑尽量保持一样多．由于共有20个树坑，所以树应放在第10或第11个树坑旁．14．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选B.∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．15．下列说法正确的是( )A ．函数f (x )＝a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过点(0,1)B ．函数f (x )＝x α(α<0)在其定义域上是减函数C ．命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”的否定是：“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1>0”D ．给定命题p 、q ，若綈p 是假命题，则“p 或q ”为真命题解析：选D.对于选项A ，函数f (x )＝a x ＋1的图象恒过点(0,2)，故A 不正确；对于选项B ，当α＝－2时结论就不正确了，故B 不正确；对于选项C ，命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”的否定是：“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，故C 不正确；而选项D 是正确的，故选D.16．(2011年高考安徽卷)设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1解析：选B.|x |＋|y |≤1表示的平面区域如图阴影部分所示．设z ＝x ＋2y ，作l 0：x ＋2y ＝0，把l 0向右上和左下平移，易知：当l 过点(0,1)时，z 有最大值z max ＝0＋2×1＝2；当l 过点(0，－1)时，z 有最小值z min ＝0＋2×(－1)＝－2.17．(2011年高考广东卷)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆解析：选A.设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r .由两圆外切可得，圆心C 到点(0,3)的距离为r ＋1，也就是说，圆心C 到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，故点C 到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹为抛物线．18．已知P 、Q 是椭圆3x 2＋5y 2＝1上满足∠POQ ＝90°的两个动点，则1OP 2＋1OQ 2等于( ) A ．34B ．8 C.815D.34225 解析：选B.取两特殊点P ⎝⎛⎭⎪⎫33，0、Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55即两个端点，则1OP 2＋1OQ 2＝3＋5＝8.故选B.19．定义一种运算：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a a ≥b b a <b ，已知函数f (x )＝2x⊗(3－x )，那么函数y ＝f (x ＋1)的大致图象是( )解析：选B.由题意得函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≥13－x ，x <1，所以函数f (x )的大致图象如图所示，函数f (x ＋1)的图象可由函数f (x )的图象向左平移1个单位得到，故选B.20．定义在R 上的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1,2]上是减函数，则f (x )( )A ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数 解析：选B.数形结合法，f (x )是抽象函数，可画出其草图图象即可得出结论，如图知选B.。

【优化方案】（浙江专用）高三数学专题复习攻略 第一部分专题二第二讲专题针对训练 理 新课标一、选择题1．在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．45°或135° 解析：选B.∵BC >AC ，∴A >B . ∴角B 是锐角，由正弦定理得BC sin A ＝ACsin B， 即sin B ＝AC sin A BC ＝42×3243＝22，∴B ＝45°，故选B.2．(2011年高考辽宁卷)设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19D.79解析：选A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝22(sin θ＋cos θ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin 2θ)＝19，∴sin 2θ＝－79. 3．若cos(3π－x )－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝0，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4等于( )A ．－12B ．－2C.12D ．2 解析：选D.∵cos(3π－x )－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝0，∴－cos x ＋3sin x ＝0，∴tan x ＝13，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝1＋131－13＝2，故选D.4．(2011年高考天津卷)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33B.36C.63D.66解析：选D.设AB ＝a ，∴AD ＝a ，BD ＝23 a ，BC ＝2BD ＝43a ，cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2－43a22a 2＝13， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝223.由正弦定理知sin C ＝AB BC·sin A ＝34×223＝66. 5．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．－255B ．－3510C ．－31010D.255解析：选A.由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α＝－255.二、填空题6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，π4－α是第一象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值是________．解析：∵π4－α是第一象限角，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1013.故填1013.答案：10137．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan60°＝ABBC，AB ＝BC tan60°＝10 6.答案：10 68．方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根为tan A ，tan B ，且A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则A＋B ＝________.解析：由根与系数的关系得tan A ＋tan B ＝－3a ，tan A tan B ＝3a ＋1，则tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3a1－3a ＋1＝1.又A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，A ＋B ∈(－π，π)，tan A ＋tan B ＝－3a <0， tan A tan B ＝3a ＋1>0，所以tan A <0，tan B <0，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，A ＋B ∈(－π，0)．所以A ＋B ＝－3π4.答案：－3π4三、解答题9．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知tan B ＝12，tan C ＝13，且c ＝1.(1)求tan(B ＋C )； (2)求a 的值．解：(1)因为tan B ＝12，tan C ＝13，tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C ，代入得tan(B ＋C )＝12＋131－12×13＝1.(2)因为A ＝180°－B －C ，所以tan A ＝tan[180°－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－1. 又0°<A <180°，所以A ＝135°.因为tan C ＝13>0，且0°<C <180°，所以sin C ＝1010，由a sin A ＝csin C，得a ＝ 5.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状． 解：(1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. ∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°. ∴B ＋30°＝90°，B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，△ABC 为正三角形．11．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos 2x (x ∈R )．(1)当x 取什么值时，函数f (x )取得最大值，并求其最大值；(2)若θ为锐角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝23，求tan θ的值． 解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝sin2x ＋cos 2x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x ＋22cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，函数f (x )取得最大值，其值为 2.(2)法一：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝23，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝23.∴cos 2θ＝13.∵θ为锐角，即0<θ<π2，∴0<2θ<π.∴sin 2θ＝1－cos 22θ＝223. ∴tan 2θ＝sin 2θcos 2θ＝2 2.∴2tan θ1－tan 2θ＝2 2. ∴2tan 2θ＋tan θ－2＝0.∴(2tan θ－1)(tan θ＋2)＝0.∴tan θ＝22或tan θ＝－2(不合题意，舍去)．∴tan θ＝22. 法二：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝23，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝23. ∴cos 2θ＝13.∴2cos 2θ－1＝13.∵θ为锐角，即0<θ<π2，∴cos θ＝63.∴sin θ＝1－cos 2θ＝33.∴tan θ＝sin θcos θ＝22.。

【优化方案】（浙江专用）高三数学专题复习攻略 第一部分专题二第三讲专题针对训练 理 新课标一、选择题1．若a ＝(1,2)，b ＝(－3,0)，(2a ＋b )∥(a －m b )，则m ＝( )A ．－12 B.12C ．2D ．－2解析：选A.因为a ＝(1,2)，b ＝(－3,0)，所以2a ＋b ＝(－1,4)，a －m b ＝(1＋3m,2)，又因为(2a ＋b )∥(a －m b )，所以(－1)×2＝4(1＋3m )，解得m ＝－12.2．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 解析：选A.由BD →＝2DC →得AD →－AB →＝2(A C →－AD →)，所以有AD →＝13(2AC →＋AB →)＝13(2b ＋c )，故选A.3．(2020年高考湖北卷)若向量a ＝()1，2，b ＝()1，－1，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4 B.π6C.π4D.3π4解析：选C.2a ＋b ＝2()1，2＋()1，－1＝()3，3， a －b ＝()1，2－()1，－1＝()0，3， ()2a ＋b ·()a －b ＝9.|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3. 设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∴α＝π4.4．已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( ) A ．最大值为8 B ．是定值6C ．最小值为2D ．与P 的位置有关解析：选B.如图，∵AB →＋AC →＝AD →＝2AO →，△ABC 为正三角形，∴四边形ABDC 为菱形，BC ⊥AO ，∴AP →在向量AD →上的投影为AO →，又|AO →|＝3，∴AP →·(AB →＋AC →)＝|AO →|·|AD →|＝6，故选B.5．(2020年高考辽宁卷)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2解析：选B.由(a －c )·(b －c )≤0，a ·b ＝0，得a ·c ＋b ·c ≥c 2＝1，∴(a ＋b －c )2＝1＋1＋1－2(a ·c ＋b ·c )≤1.∴|a ＋b －c |≤1. 二、填空题6．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，λ)，且a 与b 共线，则|a ＋b |的值为________． 解析：由a 与b 共线，得λ＋23＝0，所以λ＝－23，所以b ＝(－2，－23)，则a ＋b ＝(－1，－3)，所以|a ＋b |＝1＋3＝2.答案：27．已知平面向量|a |＝2，|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，则a 与b 的夹角为________． 解析：因为(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，所以a 2－52b 2－32a ·b ＝0.又因为|a |＝2，|b |＝1，所以a 2＝4，b 2＝1，所以4－52－32a ·b ＝0，所以a ·b ＝1.又a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝12.又a 与b 的夹角范围为[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3.答案：π38．(2020年高考湖南卷)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.解析：由题意画出图形如图所示，取一组基底{}AB →，AC →，结合图形可得AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝ 12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos 60°＝－14. 答案：－14三、解答题9．已知向量AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a )，a ∈R .(1)若D 为BC 中点，AD →＝(m,2)，求a 、m 的值； (2)若△ABC 是直角三角形，求a 的值．解：(1)因为AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a )，所以AD →＝12()AB →＋AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋a 2. 又AD →＝(m,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，1＋a ＝2×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，m ＝1.(2)因为△ABC 是直角三角形，所以A ＝90°或B ＝90°或C ＝90°.当A ＝90°时，由AB →⊥AC →，得3×(－1)＋1·a ＝0，所以a ＝3；当B ＝90°时，因为BC →＝AC →－AB →＝(－4，a －1)，所以由AB →⊥BC →，得3×(－4)＋1·(a －1)＝0，所以a ＝13；当C ＝90°时，由BC →⊥AC →，得－1×(－4)＋a ·(a －1)＝0，即a 2－a ＋4＝0，因为a ∈R ，所以无解．综上所述，a ＝3或13.10．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝12＋22，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4， 即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.11．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4.(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解：(1)∵m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2 x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12， 又∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12.(2)由(2a －c )cos B ＝b cos C 及正弦定理得 (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且 sin A ≠0，∴2sin A cos B ＝sin A ，cos B ＝12，B ＝π3，∴0<A <2π3，∴π6<A 2＋π6<π2，12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6<1. 又∵f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12，∴函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。

高考数学一轮复习学案：第4讲 二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递增在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数顶点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a对称性图象关于直线x ＝－b2a成轴对称图形常用结论1．巧识幂函数的图象和性质2．记牢一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.[思考辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 13是幂函数．( )(2)当n >0时，幂函数y ＝x n在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )不可能是偶函数．( ) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× [诊断自测]1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A ．14 B ．4C ．22D ． 2解析：选C ．设f (x )＝x α，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，所以f (4)＝4α＝12，解得α＝－12，所以f (2)＝2－12＝22.2．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]解析：选D ．函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧，所以－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D ．3．函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，3]上的最大值为________．最小值为________． 解析：f (x )＝(x －1)2＋2，0≤x ≤3，所以x ＝1时，f (x )min ＝2，x ＝3时，f (x )max ＝6. 答案：6 24．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝12－20a <0，解得a >120. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫120，＋∞幂函数的图象及性质(自主练透)1．已知幂函数f (x )＝mx n的图象过点(2，22)，设a ＝f (m )，b ＝f (n )，c ＝f (ln 2)，则( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <c <aD ．a <b <c解析：选B ．因为函数f (x )＝mx n为幂函数，故m ＝1.因为函数f (x )＝mx n的图象过点(2，22)，所以(2)n ＝22，解得n ＝3.故函数f (x )＝x 3，所以函数f (x )为增函数，因为n >m >ln 2，故c <a <b ，故选B ．2．幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象如图所示，则实数m 的值为( )A ．3B ．0C ．1D ．2解析：选C ．因为函数y 在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.因为m ∈Z ，所以m ＝0，1，2.而当m ＝0或2时，f (x )＝x －3为奇函数，当m ＝1时，f (x )＝x－4为偶函数，所以m ＝1.3．若幂函数y ＝x －1，y ＝x m与y ＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<mC ．－1<m <0<nD ．－1<n <0<m <1解析：选D ．幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m <1；当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x ＝2，根据图象可得2－1<2n，所以－1<n <0，综上所述，选D ．4．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________． 解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.二次函数的解析式(师生共研)(一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】 方法一(利用一般式)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.方法二(利用顶点式)：设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)，f (－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三(利用零点式)：由已知得f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a (－2a －1)－a24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：1．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5的图象过点P (－1，11)，且其对称轴是直线x ＝1，则a ＋b 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选A ．因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5的图象的对称轴是直线x ＝1，所以－b2a＝1 ①.又f(－1)＝a－b＋5＝11，所以a－b＝6 ②.联立①②，解得a＝2，b＝－4，所以a ＋b＝－2，故选A．2．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f(x)的解析式为f(x)＝________．解析：由二次函数f(x)有两个零点0和－2，可设f(x)＝a(x＋2)x，则f(x)＝a(x2＋2x)＝a(x＋1)2－a.又f(x)有最小值－1，则a＝1.所以f(x)＝x2＋2x.答案：x2＋2x二次函数的图象与性质(多维探究)角度一二次函数图象的识别问题如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的结论是( )A．②④B．①④C．②③D．①③【解析】因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a －b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．故选B．【答案】 B识别二次函数图象应学会“三看”角度二 二次函数的单调性问题(1)函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，0]B ．(－∞，－3]C ．[－2，0]D ．[－3，0](2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的最小值为f (1)，则f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f (3)的大小关系是( )A ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (3)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 D ．f (2)<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 【解析】 (1)当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a 2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]．(2)由已知可得二次函数f (x )图象开口向上，对称轴为x ＝1，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－32－1>|3－1|>|2－1|，所以f (2)<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32. 【答案】 (1)D (2)D【迁移探究】 (变条件)若将本例(1)的条件改为函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________．解析：由题意知f (x )必为二次函数且a <0，又3－a2a ＝－1，所以a ＝－3.答案：－3二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置．若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．角度三 二次函数的最值问题若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关【解析】 f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a 24＋b ，①当0≤－a 2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b ，1＋a ＋b }，所以M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0，1]上单调递增，所以M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a有关，与b 无关；③当－a2>1时，f (x )在[0，1]上单调递减，所以M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B ．【答案】 B二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．角度四 一元二次不等式恒成立问题(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为____________．【解析】 (1)作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0.(2)由题意得x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减． 所以g (x )min ＝g (－1)＝1.所以k <1.故k 的取值范围为(－∞，1)． 【答案】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)(－∞，1)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .1．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )有两个零点，则“－2≤a ＋b ≤0”是“函数f (x )至少有一个零点属于区间[0，2]”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．因为函数f (x )至少有一个零点属于区间[0，2]，所以可设f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )有两个零点，分别为x 1，x 2，其中x 1∈[0，2]，x 2∈R ，则f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x －x 1)(x －x 2)，a ＋b ＝f (1)－1＝(1－x 1)(1－x 2)－1.由于x 1∈[0，2]，x 2∈R ，所以1－x 1∈[－1，1]，1－x 2∈R ，所以a ＋b ＝(1－x 1)(1－x 2)－1∈R .所以“－2≤a ＋b ≤0”是“函数f (x )至少有一个零点属于区间[0，2]”的充分不必要条件.2．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (0)<f (2)<f (－2) B ．f (0)<f (－2)<f (2) C ．f (2)<f (0)<f (－2) D ．f (－2)<f (0)<f (2)解析：选A ．由f (1＋x )＝f (－x )知函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝12，而抛物线的开口向上，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－12＝12，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12＝32，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－12＝52，根据到对称轴的距离越远的函数值越大得f (－2)>f (2)>f (0)．故选A ．3．若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则a 的取值集合为________．解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，对称轴x＝1，因为f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，所以当1≤a时，f(x)min＝f(a)＝(a－1)2＝4，解得a＝－1(舍去)或a＝3，当a＋2≤1，即a≤－1时，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，解得a＝1(舍去)或a＝－3，当a<1<a＋2，即－1<a<1时，f(x)min＝f(1)＝0≠4，－3，3.故a的取值集合为{}－3，3答案：{}。

【优化方案】（浙江专用）高三数学专题复习攻略 第一部分专题二第一讲专题针对训练 理 新课标一、选择题1．下列函数中，在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数且以π为周期的函数是( )A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin xC ．y ＝－tan xD ．y ＝－cos2x解析：选D.由函数的周期为π可排除A 、B 选项，再由在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数可排除C选项．2．(2011年高考课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B.设P ()t ，2t ()t ≠0为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 3．设函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D.由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π－π6，k ∈Z ，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6.4．定义行列式运算⎪⎪⎪⎪a 1a 3 a 2a 4＝a 1a 4－a 2a 3.将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪31 sin x cos x 的图象向左平移n (n >0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为( )A.π6B.π3C.5π6D.2π3解析：选C.f (x )＝⎪⎪⎪⎪31 sin x cos x ＝3cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，将其图象向左平移n (n >0)个单位长度得到f (x ＋n )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋n ＋π6的图象，函数为偶函数时，n 的最小值为5π6.故选C. 5．(2011年高考天津卷)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A.∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝2π6π＝13，∴13×π2＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )． ∵－π<φ≤π，∴令k ＝0得φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3. 令2k π－π2≤x 3＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，则6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z .显然f (x )在[－2π，0]上是增函数，故A 正确，而在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π，－5π2上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π2，－π上为增函数，故B 错误，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π，7π2上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π2，13π2上为增函数，故C 错误，f (x )在[4π，6π]上为增函数，故D 错误．二、填空题6．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向________长度单位．解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6，所以只要把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π4个长度单位，就可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象． 答案：右平移π4个7．设函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________.解析：设2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x 0＝k π2－π6(k ∈Z )，又∵x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴令k ＝0，得x 0＝－π6. 答案：－π68．对于函数f (x )＝sin x ，g (x )＝cos x ，h (x )＝x ＋π3，有如下四个命题：①f (x )－g (x )的最大值为2；②f [h (x )]在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上是增函数；③g [f (x )]是最小正周期为2π的周期函数；④将f (x )的图象向右平移π2个单位长度可得g (x )的图象．其中真命题的序号是________．解析：f (x )－g (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤2，故①正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，函数f [h (x )]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上为增函数，故②正确；函数g [f (x )]＝cos(sin x )的最小正周期为π，故③错误；将f (x )的图象向左平移π2个单位长度可得g (x )的图象，故④错误．答案：①② 三、解答题9．设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象． 解：(1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， 又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)10．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12x ，32，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 12x ，f (x )＝a ·b ，(1)求函数y ＝f (x )的最小正周期；(2)若x ∈[－2π，2π]，求函数y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12x ，32，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 12x ，∴f (x )＝a ·b ＝12sin 12x ＋32cos 12x＝sin 12x cos π3＋cos 12x sin π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.∴函数y ＝f (x )的最小正周期T ＝2πω＝4π.(2)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，令 z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ， ∴－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π时函数单调递增，∴－53π＋4k π≤x ≤π3＋4k π，k ∈Z 时，函数单调递增．取k ＝0时，－53π≤x ≤π3，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－53π，π3在[－2π，2π]内，∴当x ∈[－2π，2π]时，函数y ＝f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3.11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．解：(1)由图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT＝2，将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2·π12＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12＝32. ∴2x －π12＝π3＋2k π或2x －π12＝2π3＋2k π(k ∈Z )，∴x ＝5π24＋k π或x ＝3π8＋k π(k ∈Z )．∵x ∈(0，π)，∴x ＝5π24或x ＝3π8.∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π24，6，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，6.。

《优化方案》高三专题复习攻略（新课标）数学浙江理科第二部分第一讲 数学思想方法考前优化训练一、选择题1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.83 3 B ．4 3 C.29 3 D ．43或833 解析：选D.分侧面展开图矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况．2．若函数f (x )＝ax 2＋4ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，34]B ．(0，34)C ．[0，34]D ．[0，34)解析：选C.∵函数f (x )＝ax 2＋4ax ＋3的定义域为R ， ∴ax 2＋4ax ＋3≥0对x ∈R 恒成立，当a ＝0时有3≥0对x ∈R 恒成立，符合题意；当a ≠0时，要使ax 2＋4ax ＋3≥0对x ∈R 恒成立，必须a >0且Δ＝16a 2－12a ≤0，解得34≥a >0.综上a ∈[0，34]，故选C.3．(2011年高考湖北卷)若定义在R 上的偶函数f ()x 和奇函数g ()x 满足f ()x ＋g ()x ＝e x，则g ()x ＝( )A ．e x －e －xB.12()e x ＋e －xC.12()e －x －e xD.12()e x －e －x 解析：选D.∵f ()x 为偶函数，g ()x 为奇函数， ∴f ()－x ＝f ()x ，g ()－x ＝－g ()x .∴f ()－x ＋g ()－x ＝f ()x －g ()x ＝e －x.又∵f ()x ＋g ()x ＝e x，∴g ()x ＝e x －e －x 2.4．已知圆面C ：(x －a )2＋y 2≤a 2－1的面积为S ，平面区域D ：2x ＋y ≤4与圆面C 的公共区域的面积大于12S ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)∪(1,2)D ．(－∞，－1)∪(1,2]解析：选C.依题意并结合图形分析可知，圆面C ：(x －a )2＋y 2≤a 2－1的圆心(a,0)应在不等式2x ＋y ≤4表示的平面区域内，即有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>02a ＋0<4，由此解得a <－1，或1<a <2.因此，实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1,2)，故选C.5．已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个解析：选A.如图，作出图象可知y ＝f (x )与y ＝|lg x |的图象共有10个交点．二、填空题6．(2011年高考江西卷)对于x ∈R ，不等式|x ＋10|－|x －2|≥8的解集为________． 解析：当x ≥2时，不等式化为x ＋10－x ＋2≥8，即12≥8，成立． 当x ≤－10时，不等式化为－x －10＋x －2≥8，即－12≥8，不成立． 当－10＜x ＜2时，不等式化为x ＋10＋x －2≥8，即x ≥0， 所以0≤x ＜2.综上，得原不等式的解集为{x |x ≥0}． 答案：[0，＋∞)7．若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为__________．解析：∵关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，方程m (x －1)＝x 2－x 即x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0的两根为1,2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝3m ＝1×2，解得m ＝2.答案：28．(2011年高考浙江卷)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．解析：设2x ＋y ＝t ，∴y ＝t －2x ，代入4x 2＋y 2＋xy ＝1，整理得6x 2－3tx ＋t 2－1＝0.关于x 的方程有根，因此Δ＝(－3t )2－4×6×(t 2－1)≥0，解得－2105≤t ≤2105.则2x ＋y 的最大值是2105. 答案：2105三、解答题9．(2011年高考江西卷)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值． 解：(1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2，由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2)，即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－ 2.所以{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n －1或a n ＝(2－2)n －1.(2)设{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0(*)．由a ＞0得Δ＝4a 2＋4a ＞0， 故方程(*)有两个不同的实根．由{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a ＝13.10．设函数f (x )＝x 3＋3bx 2＋3cx 有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈[－1,0]，x 2∈[1,2]． (1)求b 、c 满足的约束条件；(2)证明：－10≤f (x 2)≤－12.解：(1)f ′(x )＝3x 2＋6bx ＋3c . 依题意知，方程f ′(x )＝0有两个根x 1、x 2，且x 1∈[－1,0]，x 2∈[1,2]．等价于f ′(－1)≥0，f ′(0)≤0，f ′(1)≤0，f ′(2)≥0.由此得b 、c 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧c ≥2b －1c ≤0c ≤－2b －1c ≥－4b －4.(2)证明：由题设知f ′(x 2)＝3x 22＋6bx 2＋3c ＝0，故bx 2＝－12x 22－12c ，于是f (x 2)＝x 32＋3bx 22＋3cx 2＝－12x 32＋3c 2x 2.由于x 2∈[1,2]，而由(1)知c ≤0，故－4＋3c ≤f (x 2)≤－12＋32c .又由(1)知c ∈[－2,0]，所以－10≤f (x 2)≤－12.11．已知点M 、N 分别在直线y ＝mx 和y ＝－mx (m >0)上运动，点P 是线段MN 的中点，且|MN |＝2，动点P 的轨迹是曲线C .(1)求曲线C 的方程，并讨论C 所表示的曲线类型；(2)当m ＝22时，过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，0的直线l 与曲线C 恰有一个公共点，求直线l 的斜率．解：(1)设P (x ，y )，M (x 1，mx 1)，N (x 2，－mx 2)， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2x ，mx 1－mx 2＝2y ，x 1－x 22＋mx 1＋mx 22＝22，消去x 1，x 2，整理得x 21m 2＋y 2m 2＝1.当m >1时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆； 当0<m <1时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆； 当m ＝1时，方程表示圆．(2)当m ＝22时，方程为x 22＋y 212＝1，设直线l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋263，联立方程组⎩⎨⎧x 22＋y 212＝1，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋263，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋1663k 2x ＋32k23－2＝0.根据已知可得Δ＝0，故有⎝ ⎛⎭⎪⎫1663k 22－4(1＋4k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 23－2＝0，∴k 2＝34.∴直线l 的斜率为k ＝±32.。

《优化方案》高三专题复习攻略（新课标）数学浙江理科第二部分第四讲 解答题的解法考前优化训练 1．(2020年高考福建卷)设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，求f (θ)的值； (2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．解： (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得错误!于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2. (2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC )如图，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．于是0≤θ≤π2. 又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π6)， 且π6≤θ＋π6≤2π3， 故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时， f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时， f (θ)取得最小值，且最小值等于1.2．如图所示为某军训练基地，一条坑道宽4 m ，坑道中有3排等距离的木柱子，并且木柱子上端与坑道面是水平的，士兵可以借助木柱子跳跃过坑道，已知士兵跳跃2 m 的概率为13，跳跃1 m 的概率为23，假定士兵从起跳点起跳，落在坑道边的着脚点处(落在任一着脚点处均可)．(1)求士兵跳跃3次过坑道的概率；(2)设士兵跳跃过坑道时跳跃的次数为X ，求X 的分布列及数学期望．解：(1)设起跳点为0，三排木柱子分别为1,2,3，着脚点为41,42，则士兵跳跃3次过坑道的情形有：2次2 m,1次1 m 或2次 1 m,1次2 m 的两种情况，即0→1→3→42,0→2→3→42；0→1→2→41,0→1→3→41,0→2→3→41.概率为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＋3×(23)2×13＝1627. (2)随机变量X 的取值为2,3,4，则P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19，即(0→2→41)，P (X ＝3)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝1627， P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝827，即(0→1→2→3→41,0→1→2→3→42)， ∴E (X )＝2×19＋3×1627＋4×827＝8627. 3.如图所示，已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，E 为棱CC 1上的动点，F 是线段AB 的中点，AC ＝BC ＝2，AA 1＝4.(1)求证：CF ⊥平面ABB 1；(2)当E 是棱CC 1的中点时，求证：CF ∥平面AEB 1；(3)在棱CC 1上是否存在点E ，使得二面角A －EB 1－B 的大小是45°？若存在，求CE 的长；若不存在，说明理由．解：(1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱B 1B ⊥底面ABC ，∵CF ⊂平面ABC ，∴B 1B ⊥CF .∵AC ＝BC ，F 是线段AB 的中点，∴CF ⊥AB .∵AB ，B 1B 是平面ABB 1内两相交直线，∴CF ⊥平面ABB 1.(2)证明：如图所示，取AB 1的中点D ，连接ED ，DF .∵DF 是△ABB 1的中位线，∴DF 綊12B 1B . ∵E 是棱CC 1的中点，∴EC 綊12B 1B .∴DF 綊EC . ∴四边形EDFC 是平行四边形．∴CF ∥ED .∵CF ⊄平面AEB 1，ED ⊂平面AEB 1，∴CF ∥平面AEB 1.(3)假设存在点E ，使二面角A －EB 1－B 的大小为45°，由于∠ACB ＝90°，易证AC ⊥平面BEB 1，过C 点作CK ⊥直线B 1E 于K ，连接AK ，则∠AKC 为二面角A －EB 1－B 的平面角，∴∠AKC ＝45°.∴CK ＝AC ＝2，设CE ＝x ，则x 2－42＝4－x 2，x ＝52， 故线段CE ＝52. 综上，在棱CC 1上存在点E ，使得二面角A －EB 1－B 的大小是45°，此时CE ＝52. 4．(2020年高考四川卷)已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和．()1当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；()2当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列．解：()1由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a ()1＋q ＋q 2，S 4＝a ()1＋q ＋q 2＋q 3.当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1，可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0.解得q ＝1±52. ()2若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然成等差数列． 若q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，即a ()q m －1q －1＋a ()q l －1q －1＝2a ()q n －1q －1， 整理得q m ＋q l ＝2q n .因此，a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1()q m ＋q l ＝2aq n ＋k －1＝2a n ＋k .所以，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 成等差数列．5．(2020年高考北京卷)已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32， 此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |>1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －m x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k2. 又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1， 即m 2k 2＝k 2＋1.所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 1＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 21＋4k 22－44k 2m 2－41＋4k 2 ＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，且当m ＝±3时， |AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.6．已知函数f (x )＝e x ＋ax ，g (x )＝e x ln x ．(e≈2.71828)(1)设曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线与直线x ＋(e －1)y ＝1垂直，求a 的值；(2)若对于任意实数x ≥0，f (x )>0恒成立，试确定实数a 的取值范围．解：(1)由题知，f ′(x )＝e x ＋a .因此曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线l 的斜率为e ＋a ，又直线x ＋(e －1)y ＝1的斜率为11－e， ∴(e ＋a )11－e＝－1， ∴a ＝－1.(2)∵当x ≥0时，f (x )＝e x ＋ax >0恒成立；∴若x ＝0，a 为任意实数，f (x )＝e x ＋ax >0恒成立．若x >0，f (x )＝e x ＋ax >0恒成立，即当x >0时，a >－e x x恒成立． 设Q (x )＝－e xx， Q ′(x )＝－e x x －e x x 2＝1－x e x x 2. 当x ∈(0,1)时，Q ′(x )>0，则Q (x )在(0,1)上单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，Q ′(x )<0，则Q (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴当x ＝1时，Q (x )取得最大值．Q (x )max ＝Q (1)＝－e ，∴要使x ≥0时，f (x )>0恒成立，a 的取值范围为(－e ，＋∞)．。