ch6_1

则二次型可记作 f = x Ax ,其中A为对称矩阵.
第六章 第六章
二次型 二次型
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f = xT Ax
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
对称矩阵 A叫做二次型 f 的矩阵 ; f 叫 做 对 称 矩 阵 A的 二 次 型;
f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) = a11 x1 + 2a12 x1 x2 + 2 +a22 x2 +
+ 2a1n x1 xn + 2a 2 n x 2 x n
2 +ann xn
称为n元二次型，简称二次型. 当系数 aij 均为实数时，称为实二次型. 当系数 a i j 为复数时，称为复二次型. 本章只讨论实二次型。
= ( x1 , x 2 ,
⎛ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⎜ ⎜ a 21 x 1 + a 22 x 2 + , x n )⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a n1 x1 + a n 2 x 2 +
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⎛ a11 a12 ⎜ ⎜ a21 a22 = ( x1 , x2 , , xn )⎜ ⎜ ⎜a ⎝ n1 an 2
解 1) 这是3元二次型, 所求矩阵为3阶实对称矩阵
⎛1 4 0⎞ ⎜ 4 −1 0 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠
2) 这是2元二次型, 所求矩阵为2阶实对称矩阵
⎛1 4 ⎞ ⎜ 4 −1⎟ . ⎝ ⎠
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例3
求n元二次型
f ( x1 , x 2 , , xn ) =
例4
求n阶对称矩阵
⎛2 1 ⎜1 2 A=⎜ ⎜ ⎜ ⎝1 1 1⎞ ⎟ 1 ⎟ ⎟ ⎟ 2⎠
所对应的二次型.
解： 所对应的二次型为
f ( x1 , x2 , , xn ) =
1≤ i ≤ j ≤ n
∑
2 xi x j .
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二次型 二次型
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作业
习题6.1:
A: 1 (2) (3) ; 2 (1) (3)
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对 称 矩 阵 A的 秩 叫 做 二 次 型 f 的 秩 .
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例１
写出二次型
2 2 2 f = x1 + 2 x2 − 3 x3 + 4 x1 x2 − 6 x2 x3
的矩阵.
解
a11 = 1 , a 22 = 2 , a 33 = −3 , a12 = a 21 = 2 , a13 = a 31 = 0 , a 23 = a 32 = −3.
= ∑ a ij x i x j .Байду номын сангаас
i , j =1
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n
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2 f = a 11 x 1 + a 12 x 1 x 2 + + a 1 n x 1 x n 2 + a 21 x 2 x 1 + a 22 x 2 + + a 2 n x 2 x n 2 + a n1 x n x 1 + a n 2 x n x 2 + + a nn x n +
第六章
6.1 6.2 6.3
二次型
二次型的定义及其矩阵表示 二次型的标准形 正定二次型与正定矩阵
6.1
二次型的定义及其矩阵表示
曲线 x + 4 xy + 4 y + 12 x − y + 1 = 0
2 2
曲面 z = xy
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二次型 二次型
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二次型的定义
定义6.1 含n个变量 x1 , x2 , , xn 的二次齐次多项式
∑xx
i≠ j i
j
的矩阵A. 解: aii = 0
∀1 ≤ i ≤ n
1 ≤ i; j ≤ n
0 1 /2 1 /2 ⎞ ⎟ 1 /2 ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎠
1 aij = a ji = 2
⎛ 0 ⎜ ⎜ 1 /2 ∴ A = ⎜ ⎜ ⎝ 1 /2
1 /2
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二次型 二次型
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⎛ a11 a12 ⎜ ⎜ a21 a22 记 A=⎜ ⎜ ⎜a ⎝ n1 an 2
T
a1n ⎞⎛ x1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ a 2 n ⎟⎜ x 2 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ann ⎠⎜ xn ⎟ ⎝ ⎠
a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ a2 n ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎟, x = ⎜ ⎟, ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜x ⎟ ann ⎠ ⎝ n⎠
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例如
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 4 x2 + 5 x3 − 4 x1 x3
f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3
都为3元二次型；
2 f ( x1 , x 2 ) = x12 + 8 x1 x 2 − x 2
则2 a ij x i x j = a ij x i x j + a ji x j x i , 于是
2 f = a 11 x 1 + a 12 x 1 x 2 + + a 1 n x 1 x n 2 + a 21 x 2 x 1 + a 22 x 2 + + a 2 n x 2 x n 2 + + a n1 x n x 1 + a n 2 x n x 2 + + a nn x n
= x 1 ( a 11 x 1 + a 12 x 2 + + x 2 ( a 21 x 1 + a 22 x 2 + +
+ a1n x n ) + a2n xn ) + a nn x n ) + a1n x n ⎞ ⎟ + a2n xn ⎟ ⎟ ⎟ + a nn x n ⎟ ⎠
+ x n ( a n1 x 1 + a n 2 x 2 +
0 ⎞ ⎛1 2 ⎟ ⎜ ∴ A = ⎜ 2 2 − 3 ⎟. ⎜ 0 − 3 − 3⎟ ⎠ ⎝
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二次型 二次型
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例2 求下列二次型的矩阵 2 1) 3元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 8 x1 x2 − x2 ;
2 2) 2元二次型 f ( x1 , x2 ) = x12 + 8 x1 x2 − x2 .
是2元二次型.
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二次型 二次型
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二次型的矩阵及秩
对二次型 f ( x1 , x2 ,
取 a ji = a ij ,
2 , xn ) = a11 x1 + 2a12 x1 x2 + 2 +a22 x2 +
+ 2a1n x1 xn + 2a 2 n x 2 x n
2 +ann xn