上海交大附中高三(上)摸底数学试卷(学生版)

交大附中2018-2019学年第一学期摸底考试卷高三数学一、填空题(第1-6题毎题4分,第7-12题每题5分,共54分)1.方程组⎩⎨⎧-=+=-2312y x y x 的增广矩阵是___________. 2.若直线l 的参数方程为，，R t ty t x ∈⎪⎩⎪⎨⎧--=+=3233,则直线l 的倾斜角是_________. 3.=-+⋯++∞→nn n n n n C C C 43lim 222202_______. 4.已知数列{}n a 的前n 项的和⎪⎩⎪⎨⎧-=为正偶数，为正奇数，n n n s n n 212，则当n 为正偶数时,=n a ______. 5.函数()()()2211-++=x x axx x f 是奇函数,那么=a ___________.6.若函数()()2lg 2+-=ax x x f 无最值,则a 的取值范围是__________. 7.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、,已知△ABC 的面积为，，1cosC cos 6sin 32=B Aa 则A=_______.8.设R b ∈,i 是虚数单位，已知集合{}{}A z bi z z z B i z z A ∈++==≤-=111|2|，，，若 φ=B A ,则b 的取值范围是__________.9.双曲线()0012222＞，＞b a by a x =-的左焦点F 引圆222a y x =+的切线,切点为T,延长F 交双曲线右支于点P,若M 是线段FP 的中点,O 为坐标原点,则MT MO -的值是________.10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列{}n a ,首先,他令11=a ,当1≥n 时,他掷一次骰子,若所得点数大于n a ,即令11+=+n n a a ,否则令11-=+n n a a ,则04=a 的概率为_____ (结果用最简分数表示).11.关于x 的方程()0cos arcsin 2=++a x x 恰有3个实数根321x x x 、、,则=++232221x x x _. 12.由无理数理论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续卖性的要求岀发,用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割),并把实数理论建 在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机,所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N,且满足，，φ==N M Q N M M 中的每一个元素都小于N 中的每一素,则称()N M ，为戴德金分割。

1交大附中2024学年第一学期高三年级数学摸底考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.已知全集U R =,集合{|},{|13}A x x a B x x =<=−<<,且B A ⊆,则实数a 的取值范围 是 .2.已知常数0a >且1a ≠,无论a 为何值,函数21x y a −=+的图像恒经过一个定点,则这个点 的坐标为 .3.用简单随机抽样的方法从含n 个个体的总体中,逐个抽取一个样本量为3的样本,若其中 个体a 在第一次就被抽取的可能性为18，那么n = . 4.两正数a 与b 的几何平均值为2,则2a 与2b 的算术平均值的最小值为 .5.已知二项式31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项,正整数n 的最小值为 .6.不等式21log x x <−+的解集是 .7.已知等差数列{}n a 的首项11,n a S =−表示{}n a 的前n 项和,若数列{}n S 是严格增数列，则{}n a 的公差d 取值范围是 .8.已知()()()()1f x x x a x b =+++.若()y f x =为奇函数,则()'0f = . 9.满足定义域为{}1234,,,且值域为{}123,,的函数共有 个.10.已知函数()(0,0,02)y Asin x A =ω+φ>ω>≤φ<π的图像与直线(0)y b b A =<<的三个 相邻交点的横坐标依次是1,2,4,则ϕ=11.已知实数,,a b c 成公比为q 的等比数列,抛物线2x y =上每一点到直线0ax by c ++=的距 离均大于98,则q 的取值范围是 .212.在边长为1的正六边形ABCDEF 中,以A 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别 记为12345,,,,a a a a a ，以D 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为12345,,,,d d d d d ，若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{}{}{}{}12345,12345i ,j,k ,,,,r ,s,t ,,,,⊂⊂。

上海交通大学附属中学2021-2021学年度第一学期高三摸底考试数学试卷〔总分值150分，120分钟完成，答案一律写在答题纸上〕一、填空题〔本大题总分值48分〕1、集合Q P x y y Q R a a a x x P 则},3|{},,34|{2-==∈---===2、假设幂函数222)33(--+-=m mx m m y 的图象只是原点，那么实数m 的值为3、设复数()i z mm1214++-=,R m ∈，假设z 对应的点在03=-y x 上，那么m 的值为 4、以下表中的对数值有且仅有一个是错误的：请将错误的一个改正为lg =5、)(x f y =是关于3=x 对称的奇函数，1)1(=f ,523sin cos =-x x ， 那么______)4cos(2sin 15=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+πx x f6、ΔABC 的三个内角C B A 、、所对边的长分不为c b a 、、，向量()a b c a m -+=,，),(b c a n -=，假设n m ⊥，那么∠C 等于7、Z k ∈,AB =()1,k ,AC =()4,2，假设|AB |假设△ABC 是直角三角形，那么=k 8、一个正方体外表展开图中，五个正方形位置如图阴影所示第六个正方形在编号1到5的位置，那么所有可能位置的编号是________9、抛物线24y x =上的点P 到抛物线的准线距离为1d ，到直线3490x y -+=的距离为2d ，那么12d d +的最小值是________10、如图，将网格中的三条线段沿网格线上下或左右平移，组成一个首尾相连的三角形，那么三条线段一共至少需要移动 格11、定义在R 上的函数)(x f 满足3()()02f x f x ++=，且函数3()4y f x =-为奇函数，给出以下命题：〔1〕函数)(x f 的周期为23，〔2〕函数)(x f 关于点3(,0)4-对称，〔3〕函数)(x f 关于y 轴对称。

上海市交大附中高三9月份开学考试一、填空题.1.方程组的增广矩阵是______．【答案】【解析】试题分析：根据增广矩阵的定义可知为.考点：本小题主要考查增广矩阵的定义和应用.点评：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。

2.若直线的参数方程为，则直线的倾斜角是_______．【答案】【解析】【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程为y+2（x﹣3），求出其斜率，结合直线的斜率与倾斜角的关系可得tanθ，结合θ的范围，分析可得答案．【详解】根据题意，直线l的参数方程为，则其普通方程为y+2（x﹣3），其斜率k，则有tanθ，且0°≤θ＜180°，则θ＝120°；故答案为：120°．【点睛】本题考查直线的参数方程，关键是将直线的参数方程变形为普通方程,熟记斜率与倾斜角的关系是关键，是基础题3._______．【答案】【解析】【分析】利用二项式定理系数的性质，求解分子，然后利用数列极限的运算法则求解即可．【详解】由二项式定理系数的性质可得，．故答案为：．【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力，是基础题4.已知数列的前项的和，则当为正偶数时，______．【答案】【解析】【分析】由已知求得，当n≥2且n为正偶数时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣[2（n﹣1）﹣1]＝2n﹣2n+3，验证a2＝3适合，由此可得当n为正偶数时的a n．【详解】由，得＝1，；当n≥2且n为正偶数时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣[2（n﹣1）﹣1]＝2n﹣2n+3．验证＝3适合上式，∴当n为正偶数时，．故答案为：2n﹣2n+3．【点睛】本题考查数列通项公式，考查利用数列的前n项和求数列的通项公式，是中档题．5.函数是奇函数，那么______．【答案】【解析】【分析】求f（﹣x）＝，再根据f（x）为奇函数，可得出＝-整理化简即可求出a的值．【详解】由题f（﹣x）＝函数是奇函数，∴-f（﹣x）＝，即-解得2,∴故答案为-1【点睛】本题考查奇函数的定义，多项式的运算，多项式相等的充要条件，准确利用定义计算是关键，是基础题6.若函数无最值，则的取值范围是______．【答案】a或a【解析】【分析】由题意函数f（x）＝lg（x2﹣ax+2）无最值，即f（x）的值域为R，那么（0，+∞）是y＝x2﹣ax+2的值域的子集，即△≥0，可得a的取值范围．【详解】由题意，函数f（x）＝lg（x2﹣ax+2）无最值，即f（x）的值域为R，那么（0，+∞）是y＝x2﹣ax+2的值域的子集，即△≥0，∴a2﹣8≥0，则a或a；故答案为：a或a．【点睛】本题考查对数型复合函数的值域，考查对数函数的性质，明确真数无最值是突破点，准确利用二次函数的△≥0解决问题是关键，是中档题7.△的内角，，的对边分别为，，，已知△的面积为，，则______．【答案】【解析】【分析】直接利用三角形的面积公式和正弦定理求出sinBsinC的值，进一步利用三角函数关系式的变换即可求出A的值．【详解】已知△ABC的面积为，则：S△ABC acsinB，整理得：3csinBsinA＝2a，由正弦定理得：3sinCsinBsinA＝2sinA，由于sinA≠0，故：sinBsinC，由于：6cosBcosC＝1，所以：cosBcosC，所以：cosBcosC﹣sinBsinC，所以：cos（B+C），故：cosA，A所以：A．故答案为：．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.设，是虚数单位，已知集合，，若，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B表示圆的圆心移动到了（1，1+b）；两圆面有交点即可求解b的取值范围．【详解】由题意，集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B表示点的轨迹为（1，1+b），半径为2的圆及内部∵A∩B≠∅，说明，两圆面有交点；∴．可得：，故答案：，【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B集合的意义是关键，是中档题9.从双曲线（，）的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若是线段的中点，为坐标原点，则的值是____．【答案】【解析】试题分析：如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，，，则，在中，，，所以，又是线段的中点，为中点，所以，所以即，故应填入.考点：1.双曲线的定义；2.直线与圆相切；3.数形结合的应用.10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为______（结果用最简分数表示）．【答案】【解析】【分析】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况，①一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；②一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；∴由古典概型得所求的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.关于的方程恰有3个实数根，，，则__________．【答案】2【解析】【分析】令f（x）＝x2+arcsin（cosx）+a，判断f（x）的奇偶性，由题意可得f（0）＝0，求得a，再由反三角函数的定义和性质，化简函数，求得f（x）＝0的解，即可得到所求和．【详解】令f（x）＝x2+arcsin（cosx）+a，可得f（﹣x）＝（﹣x）2+arcsin（cos（﹣x））+a＝f（x），则f（x）为偶函数，∵f（x）＝0有三个实数根，∴f（0）＝0，即0a＝0，故有a，关于x的方程即x2+arcsin（cosx）0，可设＝0，且2+arcsin（cos）0，2+arcsin（cos）0，＝﹣，由y＝x2和y arcsin（cosx），当x＞0，且0＜x＜π时，y arcsin（cosx）arcsin（sin（x））（x））＝x，则﹣π＜x＜0时，y arcsin（cosx）＝﹣x，由y＝x2和y arcsin（cosx）的图象可得：它们有三个交点，且为（0，0），（﹣1，1），（1，1），则2+2+2＝0+1+1＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查函数与方程，函数的奇偶性，反三角函数的定义和性质，函数方程的转化思想，以及化简整理的运算能力，属于中档题．12.由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是____．①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素；③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素.【答案】①②④【解析】【分析】由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．【详解】若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故①可能成立；若M＝{x∈Q|x}，N＝{x∈Q|x}；则M没有最大元素，N也没有最小元素，故②可能成立；若M＝{x∈Q|x≤0}，N＝{x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故④可能成立；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数不存在M和N两个集合中，与M 和N的并集是所有的有理数矛盾，故③不可能成立．故答案为：①②④【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查列举法和推理能力，对每个选项举出反例说明是关键，属于基础题．二、选择题。

上海交通大学附属中学2014-2015学年高三上学期数学摸底考试卷（满分150分，120分钟完成，答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）1．函数的反函数________________．答案：解：∵，∴，由得，故2. 函数的最小值_________答案：3. 若，则的取值范围是___________答案：4．若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为．答案：-1解：因为对任意正实数，不等式恒成立，所以，因此5．同时满足（1）答案：156．集合，．若“a＝1”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是．答案：解：“a＝1”是“”的充分条件的意思是说当时，，现在，，由得或，即或，所以的范围是. 7．已知，则．答案：解：由可得，所以8．方程有解，则________答案：9. 如果答案：10．函数图像的对称中心是．答案：解：因为函数为奇函数，对称中心是，因此函数图像的对称中心是.11.答案：12.答案：13. 关于函数必定是的整数倍；（2）的表达式可改写为；（4）____________答案：（2），（3）14.已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为．答案:45解：由题意有，对于和，我们首先把中的元素按从小到大顺序排列，当时，，对于中的任一元素，比它大的有个，这个元素组成的集合的所有子集有个，把加进这些子集形成新的集合，每个都是以为最小元素的的子集，而最小元素为的的子集也只有这些，故在中出现次，所以，时，适合上式，时，．当，不成立，当时，，，由于，，，所以，最小的为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15．下列说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题是“若，则”B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“若，则”的逆否命题是真命题D．“”是“”的充分不必要条件答案：C解：中，否命题应该是“若，则”，错；中时，有，故至少是充分的，错；中“若，则”是真命题，因此其逆否命题也是真命题，选，而应该是必要不充分条件．16. 若是的最小值，则的取值范围为（）.(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)答案：D解：由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D．17.如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（）A ．和都是锐角三角形B ．和都是钝角三角形C ．是钝角三角形，是锐角三角形D ．是锐角三角形，是钝角三角形答案：D解： 是锐角三角形如果是锐角三角形，则，，，不可能成立；如果是直角三角形，不妨设，则，A 1=0不合题意；所以是钝角三角形。

上海市交大附中高三 9月份开学考试、填空题.1方程组#笃定七的增广矩阵是 _____________________ .【答案】「 【解析】试题分析：根据增广矩阵的定义可知为 I . ■.:.考点：本小题主要考查增广矩阵的定义和应用点评：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。

2•若直线 的参数方程为:二一则直线 的倾斜角是 _____________________________________.【答案】:■ 【解析】 【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程为丫+2 = ■岛(x - 3),求出其斜率，结合直线的斜率与倾斜角的关系可得tan 0，结合B 的范围，分析可得答案.则其普通方程为 y+2二.■■■ (x - 3), 其斜率k =:,则有 tan 0 二•::,且 0°w 0 v 180°, 则 0 = 120°; 故答案为：120°【点睛】本题考查直线的参数方程，关键是将直线的参数方程变形为普通方程 【答案】' 【解析】 【分析】【详解】根据题意，直线I 的参数方程为,熟记斜率与倾斜角的关系是关键，是基础题利用二项式定理系数的性质，求解分子，然后利用数列极限的运算法则求解即可. 【详解】由二项式定理系数的性质可得：： ■ ："7……X ■-C 2n +2 X 4Um ------------------------- — nm2 一 4"— 4n【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力，是基础题4•已知数列■的前 项的和.，则当••为正偶数时，'■-【答案】 厶亠；【解析】 【分析】 由已知求得，当n 》2且n 为正偶数时，a n = S n - S-1= 2 - [2 ( n - 1) - 1] = 2 - 2n+3,验证a 2 = 3适合， 由此可得当n 为正偶数时的a n . 【详解】由当n 》2且n 为正偶数时，a n = S n - S n -1 = 2 - [2 ( n - 1) - 1] = 2 - 2n+3.验证「= 3适合上式， •••当n 为正偶数时故答案为：2n - 2n+3.【答案】 I【解析】2 2x - axX + ax，再根据f (X )为奇函数，可得出3-4n 【点睛】本题考查数列通项公式，考查利用数列的前n 项和求数列的通项公式，是中档题.是奇函数，那么【分析】 求 f (— X )(一工+ 1)。

上海交通大学附属中学2016-2017学年度高三第一学期数学摸底试卷本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、设全集U={1, 3, 5, 7}，集合M={1,| a-5 |} ，，{5, 7} ，则实数a的值是____________.2或8；2、若复数z满足其中i为虚数单位，则z=__________.12i3、若双曲线中心在坐标原点，一个焦点为F（10,0），两条渐近线的方程为，则该双曲线的标准方程为____________.4、行列式的第2行第3列元素的代数余子式的值为.45、若变量满足约束条件，则的最小值为_________.-76、五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有_______种.24a}为等差数列，为其前项和.若，则.64 7、已知{n8、设（x2+1）(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+ a11(x+2)11，则a0+a1+a2+…+ a11=_________.-29、一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为________.10、函数为奇函数，则实数a的值为__________.1或-111、关于x的方程|x|=ax+1有且仅有一个负根，则实数a的取值范围是_________.=sgnxB、sgn=-sgnxC、sgn=sgnD、sgn=-sgn三、解答题（本大题满分74分）19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（I）求C；（II）若的面积为，求△ABC的周长．20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．如图，在四棱锥P–ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；（II ）若二面角P –CD –A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 已知，函数F （x ）=min{2|x −1|，x 2−2ax +4a −2}，其中min{p ，q }=（I ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax +4a −2成立的x 的取值范围； （II ）求F （x ）在区间上的最大值M （a ）. 【答案】（I ）；（II ）．22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有2(1)n n n S b b =+． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2016项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个*(1)()i i b i -∈N 后，得到一个新的数列{}n c ．求数列{}n c 中所有项的和；（3）是否存在实数，使得存在，使不等式成立，若存在，求实数的范围，若不存在，请说明理由．23、（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题3分，第2小题6分，第3小题9分．如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．2016-2017学年上海交大附中高三（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a ﹣5|}，C U M={5，7}，则a 的值为 2或8 ． 【考点】补集及其运算． 【专题】计算题．【分析】题目给出了全集U={1，3，5，7}，给出了全集的子集M 及M 的补集，由M∪（C U M ）=U 可求a 的值．【解答】解：由U={1，3，5，7}，且C U M={5，7}，所以，M={1，3}， 又集合M={1，|a ﹣5|}，所以|a ﹣5|=3． 所以，实数a 的值为2或8． 故答案为：2或8【点评】本题考查了补集及其运算，解答此题的关键是一个集合与其补集的并集等于全集，此题是基础题．2．（4分）（2016秋•杨浦区校级月考）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z= 1﹣2i ．【考点】复数代数形式的加减运算．【专题】计算题；整体思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】设复数z=a+bi，（a、b是实数），则=a﹣bi，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a、b的值，从而得到复数z的值．【解答】解：设z=a+bi，（a、b是实数），则=a﹣bi，∵2z+=3﹣2i，∴2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i，∴3a=3，b=﹣2，解得a=1，b=﹣2，则z=1﹣2i故答案为：1﹣2i．【点评】本题给出一个复数乘以虚数单位后得到的复数，求这个复数的值，着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题．3．（4分）（2011•福建模拟）已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点为F（10，0），两条渐近线的方程为y=±，则该双曲线的标准方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由题意得，c=10，=，100=a2+b2，解出a和b的值，即得所求的双曲线的标准方程．【解答】解：由题意得，c=10，=，100=a2+b2，∴a=6，b=8，故该双曲线的标准方程为，故答案为．【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．4．（4分）（2016秋•杨浦区校级月考）行列式的第2行第3列元素的代数余子式的值为 4 ．【考点】三阶矩阵．【专题】选作题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第3列后所余下的2阶行列式为第3行第3列元素的代数余子式，求出值即可．【解答】解：由题意得第2行第3列元素的代数余子式M23=﹣=8﹣4=4故答案为：4．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．5．（4分）（2016春•黔西南州校级期末）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为﹣7 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：x，y满足约束条件对应的平面区域如图：当直线y=3x﹣z经过C时使得z最小，解得，所以C （﹣2，1），所以z=3x﹣y的最小值为﹣2×3﹣1=﹣7；故答案为：﹣7．【点评】本题考查了简单的线性规划，关键是正确画出平面区域，利用z的几何意义求最值；考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（4分）（2016秋•杨浦区校级月考）五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有24 种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】应用题；方程思想；综合法；排列组合．【分析】根据题意，先使用捆绑法，将甲乙看成一个“元素”，再将丙、丁单独排列，进而将若甲、乙与第5个元素分类讨论，分析丙丁之间的不同情况，由乘法原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法，将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有2×C21=4种情况，若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法，则不同的排法共有2×2×（2+4）=24种情况；故答案为：24．【点评】本题考查排列、组合的综合运用，涉及相邻与不能相邻的特殊要求，注意处理这几种情况的特殊方法．7．（4分已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S8= 64 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质可得：a1+a9=18=2a5，解得a5．可得S8==4（a4+a5）．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a9=18=2a5，解得a5=9．又a4=7，则S8==4（a4+a5）=4×（9+7）=64．故答案为：7=64．【点评】本题考查了等差数列的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（4分）（2014•余杭区校级模拟）若（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，则a0+a1+…+a11的值为﹣2 ．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】本题通过赋值法进行求解，在题干所给的式子中令x=﹣1，即可得到所求的结果．【解答】解：∵（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11∴在上式中，令x=﹣1：（（﹣1）2+1）（2（﹣1）+1）2=a0+a1+…+a11即a0+a1+…+a11=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题通过赋值法进行求解，另外此种方法在函数的求值问题也常用到，属于基础题．9．（4分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．【解答】解：由三视图可知，上面是半径为的半球，体积为V==，下面是底面积为1，高为1的四棱锥，体积，所以该几何体的体积为．故答案为．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（4分）函数f（x）=为奇函数，则实数a的值为1或﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】函数f（x）=为奇函数，可得=﹣，化简即可得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=为奇函数，∴=﹣，∴=﹣，∴a=1或﹣1．故答案为1或﹣1．【点评】本题考查了奇函数的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（4分）（已知关于x的方程|x|=ax+1有一个负根，但没有正根，则实数a的取值范围是a≥1 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合．【分析】构造函数y=|x|，y=ax+1，在坐标系内作出函数图象，通过数形结合求出a的范围．【解答】解：令y=|x|，y=ax+1，在坐标系内作出函数图象，方程|x|=ax+1有一个负根，但没有正根，由图象可知a≥1故答案为：a≥1【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合思想，计算能力，是基础题．12．（4分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据体积，建立方程组，求出M的坐标，可得直线OM的斜率，利用基本不等式可得结论．【解答】解：设P（2pt，2pt），M（x，y），则，∴x=，y=，∴k OM==≤=，当且仅当t=时取等号，∴直线OM的斜率的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，考查基本不等式，考查运算能力，属于中档题．13．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为9 ．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】先跟据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断ω为奇数，由f（x）在（，）单调，可得ω•+φ≥2kπ﹣，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z，由此求得ω的范围，检验可得它的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，且ω•+φ=n′π+，n′∈Z，∴相减可得ω•=（n′﹣n）π+=kπ+，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数．∵f（x）在（，）单调，∴ω•+φ≥2kπ﹣，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z，即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ+①，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z ②，把①②可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣．此时f（x）=sin（11x﹣）在（，）上不单调，不满足题意．当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）=sin（9x+）在（，）上单调递减，满足题意；故ω的最大值为9，故答案为：9．【点评】本题主要考查正弦函数的零点以及它的图象的对称性，正弦函数的单调性的应用，属于中档题．14．（4分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是②③（写出所有真命题的序列）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】利用新定义，对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），则点A′（，）的“伴随点”是点（﹣x，﹣y），故不正确；②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），“伴随点”是点A′（﹣，），则其“伴随曲线”C′关于y轴对称，故正确；④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），∴，∴x=﹣，y=∵m=，∴代入整理可得n﹣1=0表示圆，故不正确．故答案为：②③．【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义是解题的关键．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件 B．必要条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】压轴题；规律型．【分析】“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可，【解答】解：若p⇒q为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论．故“好货”是“不便宜”的充分条件．故选A【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．16．（5分）若D′是平面α外一点，则下列命题正确的是（）A．过D′只能作一条直线与平面α相交B．过D′可作无数条直线与平面α垂直C．过D′只能作一条直线与平面α平行D．过D′可作无数条直线与平面α平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】存在型．【分析】将点和线放置在正方体中，视平面α为正方体中的平面ABCD，结合正方体中的线面关系对选支进行判定，取出反例说明不正确的，正确的证明一下即可．【解答】解：观察正方体，A、过D′可以能作不止一条直线与平面α相交，故A错；B、过D′只可作一数条直线与平面α垂直，故B错；C、过D′能作不止一条直线与平面α平行，故C错；D、过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行，故D对．故选D．【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．17．（5分）（2016秋•杨浦区校级月考）已知函数f（x）=sinϖx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（）A．g（x）是奇函数B．g（x）关于直线x=﹣对称C．g（x）在[，]上是增函数D．当x∈[，]时，g（x）的值域是【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；综合法．【分析】将函数化简，图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为的等差数列，可知周期为π，由周期求出ω，向左平移个单位可得g（x）的解析式，再利用三角函数图象及性质，可得结论．【解答】解：f（x）=sinϖx+cosωx（ω＞0），化简得：f（x）=2sin（ϖx+），∵图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为的等差数列，可知周期为π∴T=π=，解得ω=2．那么：f（x）=2sin（2x+），图象沿x轴向左平移个单位，得：2sin=2cos2x．∴g（x）=2cos2x，故g（x）是偶函数，在区间单调减函数．所以A，C不对．对称轴方程为x=（k=Z），检验B不对．当x∈[，]时，那么2x∈[，]，g（x）的最大值为1，最小值为﹣2，故值域为．D正确．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的辅助角公式的化简和图象的平移，三角函数的性质的运用能力．属于中档题．18．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn=sgnx B．sgn=﹣sgnx C．sgn=sgn D．sgn=﹣sgn【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn=sgn（x+1）=；sgn=sgn（﹣x）=，﹣sgn=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（本大题满分74分）19．（12分）（2016春•寿县校级期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC （acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】解三角形．【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．（2016秋•杨浦区校级月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，（14分）BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，【分析】可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．21．（14分）（2016•浙江）已知a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min （p，q）=（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）（ii）求F（x）在上的最大值M（a）【考点】函数最值的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】新定义；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由a≥3，讨论x≤1时，x＞1，去掉绝对值，化简x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|，判断符号，即可得到F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围；（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，求得f（x）和g（x）的最小值，再由新定义，可得F（x）的最小值；（ii）分别对当0≤x≤2时，当2＜x≤6时，讨论F（x）的最大值，即可得到F（x）在上的最大值M（a）．【解答】解：（Ⅰ）由a≥3，故x≤1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2+2（a﹣1）（2﹣x）＞0；当x＞1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2﹣（2+2a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a），则等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围是；（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，则f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=﹣a2+4a﹣2．由﹣a2+4a﹣2=0，解得a=2+（负的舍去），由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，即m（a）=；（ii）当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）；当2＜x≤6时，F（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}=max{2，34﹣8a}=max{F（2），F（6）}．则M（a）=．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．（16分）（2015•闵行区二模）各项均为正数的数列{b n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有2S n=b n（b n+1）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）如果等比数列{a n}共有2015项，其首项与公比均为2，在数列{a n}的每相邻两项a k与a k+1之间插入k个（﹣1）k b k（k∈N*）后，得到一个新的数列{c n}．求数列{c n}中所有项的和；（3）如果存在n∈N*，使不等式成立，求实数λ的范围．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）运用数列的通项和前n项和的关系，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到；（2）运用等比数列的求和公式和数列求和方法：分组求和，即可得到所求；（3）运用参数分离可得，运用基本不等式和单调性，分别求出不等式左右两边的最值，即可得到所求范围．【解答】解：（1）当n=1时，由2S1=b1（b1+1）得b1=1，当n≥2时，由2S n=b n（b n+1），2S n﹣1=b n﹣1（b n﹣1+1）得（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1）=b n+b n﹣1因数列{b n}的各项均为正数，所以b n﹣b n﹣1=1，所以数列{b n}是首项与公差均为1的等差数列，所以数列{b n}的通项公式为b n=n．（2）数列{a n}的通项公式为，数列{c n}共有2015+1+2+…+2014=1008×2015项，其所有项的和为S1008×2015=（2+22+…+22015）+（﹣1+22﹣32+42﹣…20132+20142）=2（22015﹣1）+=22016﹣2+×1007=22016+2015×1007﹣2=22016+2029103；（3）由，得，记因为，当取等号，所以取不到，当n=3时，的最小值为（n ∈N*）递减，的最大值为B1=6，所以如果存在n∈N*，使不等式成立实数λ应满足A3≤λ≤B1，即实数λ的范围应为．【点评】本题考查数列的通项和前n项和的关系，主要考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查不等式存在性问题转化为求最值问题，具有一定的难度和综合性．23．（18分）（2013•上海）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”【考点】直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．【专题】压轴题；新定义；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．【解答】（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．。

2019届上海市交大附中高三上9月开学摸底考试数学试题一、单选题1．已知集合，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可知B正确. 2．在空间直角坐标系中，若点在第Ⅵ卦限，则与点关于轴对称的点在（）A．第Ⅰ卦限B．第Ⅲ卦限C．第Ⅴ卦限D．第Ⅶ卦限【答案】A【解析】根据点P的卦限得坐标x，y，z的符号，再得对称点的坐标的符号，从而可得对称点的卦限．【详解】因为点P（x，y，z）在第Ⅵ卦限，所以x＜0，y＞0，z＜0，点P关于y轴的对称点为（﹣x，y，﹣z），在第Ⅰ卦限．故选：A．【点睛】本题考查了空间向量运算的坐标表示，熟记每个卦限的坐标符号是解决问题的关键，属基础题．3．设，，为实数，则实数“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【答案】D【解析】首先求出方程Ax2+By2＝C表示的曲线为双曲线的充要条件，然后根据充分条件，必要条件的定义来判断．【详解】∵方程Ax2+By2＝C表示的曲线为双曲线，∴，∴AB＜0且C≠0；∵ABC＜0推不出AB＜0且C≠0，AB＜0且C≠0推不出ABC＜0；∴实数“ABC＜0”是“方程Ax2+By2＝C表示的曲线为双曲线”的非充分非必要条件．故选：D．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，熟记双曲线的方程的特点，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，是基础题4．已知、、、是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数、、，使得，则三个角、、（）A．都是钝角B．至少有两个钝角C．恰有两个钝角D．至多有两个钝角【答案】B【解析】根据，移项得，两边同时点乘，得•0，再根据正实数，和向量数量积的定义即可确定∠BOC、∠COA至少有一个为钝角，同理可证明∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角，∠AOB、∠COA至少有一个为钝角，从而得到结论．【详解】∵λ1λ2λ3，∴，两边同时点乘，得•，即||•||cos∠COA+cos∠BOC＝﹣0，∴∠BOC、∠COA至少有一个为钝角，同理∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角，∠AOB、∠COA至少有一个为钝角，因此∠AOB、∠BOC、∠COA至少有两个钝角．故选：D．【点睛】本题考查数量积，考查向量的夹角，以及数量积的定义式，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力,是中档题二、解答题5．如图所示，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合的一个点.（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点是弧的中点时，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比.【答案】（1）（2）【解析】（1）连接，则，直线与的所成角等于直线与所成角，在△中，利用余弦定理求，即可求解（2）分别求和，再求比值即可【详解】（1）连接，则，直线与的所成角等于直线与所成角，设圆柱的底面半径为，即，，在△中，，又所以直线与所成角的大小等于.（2）设圆柱的底面半径为，母线长度为，当点是弧的中点时，，且平面，，，∴.【点睛】本题主要考查异面直线所成角，圆柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．6．（1）已知是定义在上的奇函数，求实数、的值；（2）已知是定义在上的函数，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝lg lgb＝0，解可得b，又由f（x）+f（﹣x）＝0，可得a的值，即可得答案．（2）根据题意，分析可得不等式ax＞0在R上恒成立；即ax恒成立，转化为两个函数y=和y=ax，先求相切的临界情况，再由不等关系，即可得答案．【详解】（1）是定义在R上的奇函数，则有f（0）＝lg lgb＝0，则b，且f（x）+f（﹣x）＝lg（ax）+lg（ax）﹣2lg lg[（x2+2）﹣a2x2]﹣lg2＝lg[（1﹣a2）x2+2）]﹣lg2＝0，即（1﹣a2）x2＝0恒成立；可得：a＝±1；故a＝±1，b；（2）若f（x）＝lg（ax）﹣lgb为定义在R上的函数，则ax＞0在R上恒成立；即ax恒成立，令y=此函数为焦点在y轴上的双曲线的上支，令y=ax,当y=ax与y=相切时，两式联立消去y,得,，故ax恒成立时，﹣1<a<1即a的取值范围为（-1，1）．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，对数函数的运算性质，函数值域，不等式恒成立，数形结合思想，第（2）转化为两个函数交点问题是关键，属于中档题．7．某工厂在生产产品时需要用到长度为的型和长度为的型两种钢管.工厂利用长度为的钢管原材料，裁剪成若干型和型钢管，假设裁剪时损耗忽略不计，裁剪后所剩废料与原材料的百分比称为废料率.（1）要使裁剪的废料率小于，共有几种方案剪裁？请写出每种方案中分别被裁剪型钢管和型钢管的根数；（2）假设一根型钢管和一根型钢管能成为一套毛胚，假定只能按（1）中的那些方案裁剪，若工厂需要生产套毛胚，则至少需要采购多少根长度为的钢管原材料？最终的废料率为多少？【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）设每根原材料可裁剪a根A型和b根B型钢管，则，再由废料率小于得故即可设计方案，（2）设用方案一裁剪x根原材料，用方案二裁剪y根原材料，共裁剪得z套毛胚，则z＝2x+4y，由得即可求出答案．【详解】（1）设每根原料可裁剪成根型钢管和型钢管，则即根据题意，废料率为故满足条件的a与b的值为方案一：废料率为；则可裁剪成2根A 型钢管和5根B型钢管.方案二：废料率为.则可裁剪成4根A型钢管和2根B型钢管.（2）设用方案一裁剪根原材料，用方案二裁剪根原材料，共裁剪得套毛坯，则,即，故由题，所以所以至少采购100根长度为4000mm的钢管原材料，其中方案一裁剪40根，方案二裁剪60根，废料率为.【点睛】本题考查了函数在实际生活中的应用，考查了分析问题，解决问题的能力，准确计算不等式组的解是关键，属于中档题．8．在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义.（1）若，，求；（2）若，证明：若位置向量的终点在直线上，则位置向量的终点也在一条直线上；（3）已知存在单位向量，当位置向量的终点在抛物线：上时，位置向量终点总在抛物线：上，曲线和关于直线对称，问直线与向量满足什么关系？【答案】（1）（2）见证明（3）直线与向量垂直【解析】（1）根据题意，算出7，10，代入的表达式并化简整理，即可得到（，）；（2）设（x'，y'），终点在直线Ax+By+C＝0上，由题中的表达式解出（x，y）满足的关系式，从而得到点（，）在直线Ax+By+C＝0上，化简整理得到直线（3A+4B）x+（4A﹣3B）y﹣5C＝0，说明向量的终点也在一条直线上；（3）设，则，取，解出关于和t的坐标形式，结合的终点在抛物线x2＝y上且终点在抛物线y2＝x上，建立关于和t的方程，化简整理得到±（，）．再由曲线C和C′关于直线l：y ＝x对称，算出l的方向向量满足•0，从而得到直线l与向量垂直．【详解】（1）根据题意，7，10，∴.（2）设，，则，∴于是故，从而w，由于、不全为零，所以，也不全为零.于是的终点在直线上.（3）设，则，对任意实数，取，则，∵的终点在曲线上，∴.①由于为任意实数，比较①式两边的系数得，，，从而，，∴.对曲线中任意点，可知落在曲线上，反之亦然，故曲线：与曲线：关于直线：对称，的方向向量，∵，∴，即直线与向量垂直.【点睛】本题考查向量的坐标运算，相关点法求轨迹，着重考查了向量的数量积运算、向量的坐标运算和曲线与方程的讨论等知识，属于中档题．9．设函数，，，若对任意成立，且数列满足：，.（1）求函数的解析式；（2）求证：；（3）求证：.【答案】（1）；（2）（证明略）；（3）（证明略）【解析】（1）由题令，解x=-1,所以-4≤f(-1)≤-4,则f(-1)=-4，得a=b-4，进而得对任意成立，由判别式整理解得b=2,即可得a=-2,则f(x)可求；（2）由得，进而，累乘得（3）由（2）得，累加得，再由证明数列递增，得则证得；欲证，即证,则需证，由，放缩归纳得，再证明即可【详解】（1）由题对任意成立，令，解x=-1,所以-4≤f(-1)≤-4,则f(-1)=-4又，则f(-1)=a-b=-4，即a=b-4所以对任意成立，即,则整理得∴b=2,则a=-2所以（2）由（1）知，，∴, ∴,所以又（3）由（2）知所以所以又,又,为递增数列，所以所以由（2）可知，欲证，即证,则需证∵,∴所以=所以=2因为2018<所以,则>所以证得，即证得所以【点睛】本题主要考查数列综合，不等关系与不等式以及数列求和，放缩法证明不等式，转化化归能力，是难题三、填空题10．方程组的增广矩阵是______．【答案】【解析】试题分析：根据增广矩阵的定义可知为.【考点】本小题主要考查增广矩阵的定义和应用.点评：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。