九年级数学上册第四章图形的相似8图形的位似拓展资源古代文献中的相似三角形问题素材北师大版讲解

[推荐学习]2018-2019学年九年级数学上册-第四章-图形的相似《相似三角形的性质及应用》知识讲相似三角形的性质及应用--知识讲解【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】要点一、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比.∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.【典型例题】类型一、相似三角形的应用1. 在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上。

已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是 1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）A.24mB.22mC.20mD.18m【答案】 A.【解析】过点D做DN⊥CD交光线AE于点N，则1.60.82DN DE ==,DN=14.4，又∵AM:MN=1.6:1，∴AM=1.6MN=1.6BD=1.6×6=9.6(m).∴塔高AB=AM+DN=14.4+9.6=24(m)，所以选A.【总结升华】解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡上两部分；关键是利用平地和斜坡上的物高与影长的比得到相应的部分塔高的长度． 举一反三：【变式】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m 宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m ，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC.【答案】作EF⊥DC交AD于F.∵AD∥BE，∴又∵，∴，∴.∵AB∥EF，AD∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EF=AB=1.8m.∴m.2. 如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．【答案与解析】解：过E 作EH⊥CD 交CD 于H 点，交AB 于点G ，如下图所示：由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴四边形EFDH 为矩形，∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米， ∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴AG∥CH， ∴△AEG∽△CEH，∴EHEG CH AG， 解得：CH=3.78米，∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米． 答：故树高DC 为5.2米．【总结升华】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．类型二、相似三角形的性质3.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）.A. 2：5B．14:25C．16:25 D. 4:21【思路点拨】相似三角形的面积比等于相似比的平方，但是一定要注意两个三角形是否相似. 【答案】B.【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x,在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=,由△ADE∽△ACB得，S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.【总结升华】关键是要确定哪两个是相似三角形.举一反三【变式】在锐角△ABC 中，AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别等于18和2，DE=2,求AC 边上的高.【答案】过点B 做BF⊥AC,垂足为点F ，∵AD,CE 分别为BC,AB 边上的高， ∴∠ADB=∠CEB=90°， 又∵∠B=∠B， ∴Rt△ADB∽Rt△CEB, ∴,BD AB BD BEBE CB AB CB==即,且∠B=∠B， ∴△EBD∽△CBA,∴221189BED BCADE AC S S⎛⎫=== ⎪⎝⎭△△,∴13DE AC =,又∵DE=2， ∴AC=6， ∴11862ABC AC BF S =⋅=∴△，BF=.4. 如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2014A2015= ．【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，根据已知条件得到A1B1=3，AA1=2，同理：A2A3=2（3）2，A3A4=2（3）3，从而找出规律答案即可求出．【答案与解析】2（3）2014解：∵四边形ABCB1是正方形，∴AB=AB1，AB∥CB1，∴AB∥A1C，∴∠CA1A=30°，∴A1B1=3，AA1=2，∴A1B2=A1B1=3，∴A1A2=23，同理：A2A3=2（3）2，A3A4=2（3）3，…∴An An+1=2（3）n，∴A2014A2015=2（3）2014，故答案为：2（3）2014．【总结升华】本题是相似性质的运用与找规律相结合的一道题，要注意从特殊到一般形式的变换规律.举一反三：【变式】如图，已知中，，，，，点在上， (与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.【答案】(1)∵，.,∽....(2)∵的周长与四边形的周长相等.,=6.,∽..,, .。

北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
一．比例线段：
1两条线段的比是 的比。

将“形”的问题转化为“数”的问题。

2.成比例线段：四条线段a,b,c,d 中，如果 ，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段。

比例线段是有顺序的，即a,b,c,d 是成比例线段，则是a:b=c:d
3.如果c
b b
a ，那么
b 叫做a 和
c 的比例中项； 4.比例的性质：
（1）基本性质：如果 ，那么 。

（）等比性质：如果 ，那么 5.平行线分线段成比例定理：
如图，321////l l l ，则可得比例式： DE//AB,则所得比例式：
6．黄金分割： 黄金比 二．相似三角形：
1.相似三角形的判定方法：
（1）两角对应 的两个三角形相似。

（2）两边对应 且 相等的两个三角形相似。

（3）三边 的两个三角形相似
2.相似三角形的性质：
3.位似图形：
4.位似图形有同向和 两种。

在坐标系中，图形上点的坐标都乘以k 时，得到的图形与原图形关于原点位似，且位似比是|k|.
5.判定两个三角形相似的常用步骤：
先通过已知，平行、对顶角、公共角等，看能否找到两对相等的角； 若只能找到一对相等的角，再分析夹这个角的两边是否成比例； 若找不到相等的角，就分析三边是否成比例。

5.常见的基本模型有 ：
D E F
1l 3
l 2
l m n
B A C。

......九年级（上）第四章图形的相似(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(1)相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比．一．成比例线段（1）线段的比如果选用同一单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n，那么就说这两条线段的比是a mb n，或写成a:b m:n．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）成比例线段在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a,b,c,da c 成比例，那么应得比例式为：=．b d②在比例式a c(a：b c：d)中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项,如果b=c，即b da：b b：d那么b叫做a、d的比例中项，此时有b2ad。

③判断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）基本性质：①a:b=c:d则有ad=bc（两外项之积等于两内向之积）；②②a:b b:c b2ac．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如a d bc，除了可化为a:b c:d，还可化为a:c b:d，c:d a:b，b:d a:c，b:a d:c，c:a d:b，d:c b:a，d:b c:a．a b，(交换内项)c da c d c（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：，(交换外项)b d b ad b．(同时交换内外项)c a（3）合、分比性质：（4）等比性质：如果a c a b c d．b d b da c e m(b d f n 0)b d f n，那么a c e m ab d f n b．注：......①此性质的证明运用了“设k法”（即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：a c e a 2c3e a 2c 3e a；其中b 2d 3f 0b d f b 2d3f b 2d 3f b．（4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD∥BE∥CF,A DB E可得AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA或或或或BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB等.C F注意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不可能有AD,BE,CF的比例关系（2）黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,BC(AC BC)，且使AC是AB和B C的比例中项，即AC2AB BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC 512AB≈0.618AB．即AC BC5 1AB AC2简记为：长短51＝＝全长2注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。

位似小知识1定义每组图形的对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形。

如图，两个圆形的对应点o和o’和其半径所在的直线都经过S和S'，所以两个圆形是位似图形2性质位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于位似比。

3中心落点位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。

根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。

注意1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心有一个或两个（偶数边正多边形时，比如两个正方形如果位似，则有两个位似中心。

）；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。

4作图步骤位似比，即位似图形的相似比，指的是要求画的新图形与参照的原图形的相似比①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择（除非题目指明）；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形，最好做两个。

（不推荐考试的时候这么做，时间或许不够）5位似变换把一个几何图形变换成与之位似的图形,叫做位似变换。

物理中的透镜成像就是一种位似变换,位似中心为光心. 位似变换应用极为广泛，特别是可以证明三点共线等问题.2。

古代文献中的相似三角形问题古塔测高有一座古塔，不知有多高,测得影长为11。

3米。

现将一长为0.8米的竹竿直立，使其影子的末端与塔影的末端重合，测得竹竿的影长为0.2米。

求塔高.(图2）这个例子源于古希腊哲学家泰勒斯测量金字塔高度的传说以及欧几里得《光学》中对物体高度的测量。

隔河测距在A和B之间有一条河.在BA延长线上取一点C，作BC的垂线AD和CE，点D位于BE上。

测得AC=5米，CE=3.3米，AD=3米。

求AB之间的距离。

这个问题源于古希腊海伦《Dioptra》中的间接测量问题。

推求邑方今有邑方不知大小，各开中门。

出北门三十步有木.出西门七百五十步见木。

问：邑方几何？尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

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