河南省信阳市2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年下期期末考试高一数学试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的值为（）A. B. C. D.2. 已知向量(),(),则与（）A. 垂直B. 不垂直也不平行C. 平行且同向D. 平行且反向3. 下列各式中，值为的是（）A. B. C. D.4. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如下图所示的茎叶图表示，则运动员甲得分的中位数，乙得分的平均数分别为（）学_科_网...学_科_网...A. 19，13B. 13，19C. 19，18D. 18，195. 从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（）A. B. C. D.6. 函数在一个周期内的图像是（）A. B. C. D.7. 设单位向量，的夹角为60°，则向量与向量的夹角的余弦值是（）A. B. C. D.8. 如果下面程序框图运行的结果，那么判断框中应填入（）A. B. C. D.9. 甲、乙两人各自在400米长的直线型跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是（）A. B. C. D.10. 已知函数的图像关于直线对称，则可能取值是（）A. B. C. D.11. 如图所示，点，，是圆上的三点，线段与线段交于圈内一点，若，，则（）A. B. C. D.12. 已知平面上的两个向量和满足，，，，若向量，且，则的最大值是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，，则__________．14. 已知样本7，8，9，，的平均数是8，标准差是，则__________．15. 已知的三边长，，，为边上的任意一点，则的最小值为__________．16. 将函数的图像向左平移个单位，再向下平移2个单位，得到的图像，若，且，，则的最大值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量，.（I）求向量与向量夹角的余弦值（II）若，求实数的值.18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（I）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式（II）将的图像上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图像，求的图像离轴最近的对称中心.19. 某商场经营某种商品，在某周内获纯利（元）与该周每天销售这种商品数之间的一组数据关系如表：（I）画出散点图；（II）求纯利与每天销售件数之间的回归直线方程；（III）估计当每天销售的件数为12件时，每周内获得的纯利为多少？附注：，，，，，.20. 在矩形中，点是边上的中点，点在边上.（I）若点是上靠近的四等分点，设，求的值；（II）若，，当时，求的长.21. 某中学举行了数学测试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示.（I）若该所中学共有3000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数；（II）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人，试求恰好抽中1名优秀生的概率.22. 已知函数（），的图象与直线相交，且两相邻交点之间的距离为.（I）求函数的解析式；（II）已知，求函数的值域；（III）求函数的单调区间并判断其单调性.。

河南省信阳市第一高级中学2017—2018学年度下学期期中考试高二数学理试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）1. 复数z＝在复平面上对应的点的坐标为()A．(1，－3) B．(，－) C．(3，－3) D．(，－)2. 函数f(x)＝＋2x在x＝1处切线的倾斜角为()A．B．C．D．3．下面四个推理不是合情推理的是( )A. 由圆的性质类比推出球的有关性质B. 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C. 某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D. 蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的4．已知32()(6)1f x x ax a x=++++有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A．B．C．D．5. 观察下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1；9×1＋2＝11；9×2＋3＝21；9×3＋4＝31…，猜想第n个等式应为()A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10C．9n＋(n－1)＝10n－1D．9(n－1)＋n＝10n－96. 设集合A＝{a，b，c，d，e}，B⊆A，已知a∈B，且B中含有3个元素，则集合B 有()A．个B．个C．个 D. 个7．由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为()A. B. C. D.8．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①-2是函数的极值点；②1是函数的极值点；③的图象在处切线的斜率小于零；④函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增.则正确命题的序号是（）A. ①③B. ②④C. ②③D. ①④9．已知f(x)=f(1)+xlnx，则f(e)=（）A. B. C. D. 310.已知函数f (x)＝12x4－2x3＋3m，x∈R，若f (x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥32B．m＞32C．m≤32D．m＜3211．函数f(x) = lnx + 在区间[2,+∞）上单调递增，则a的取值范围为（）A. B. C. D.12．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a<b，则必有()A．bf(b)≤f(a) B．bf(a)≤af(b)C．af(a)≤f(b) D．af(b)≤bf(a)第II卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13. 定积分的值为______________ ．14．函数在处的切线方程为__________________．15. 已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，f n＋1(x)＝f(f n(x))，n∈N*，则f2014(x)的表达式为________________．16. 若函数f(x)=mlnx+(m-1)x存在最大值M，且M>0，则实数m的取值范围是。

2016-2017学年河南省信阳高中高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知角α的终边在射线y=﹣3x（x≥0）上，则sinαcosα等于（）A．﹣B．C．D．﹣2．（5分）已知向量，，则在方向上的投影为（）A． B．8 C．D．3．（5分）如果θ角的终边经过点（﹣，），那么sin（+θ）+cos（π﹣θ）+tan（2π﹣θ）=（）A．﹣ B．C．D．﹣4．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A．2017 B．2016 C．1009 D．10085．（5分）观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，…，则32016的末位数字为（）A．1 B．3 C．7 D．96．（5分）某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中抽取若干人组成调查小组，相关数据见下表：则调查小组的总人数为（）A．84 B．12 C．81 D．147．（5分）已知sinx•cosx=﹣，且＜x＜π，则sinx+cosx的值（）A．B．C．D．8．（5分）有如下四个游戏盘，撒一粒黄豆，若落在阴影部分，就可以中奖，若希望中奖的机会最大，则应该选择的游戏是（）A．B．C．D．9．（5分）平行四边形ABCD中，AB=AD=2，•=﹣2，+=，则•的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．210．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列，若a1=1，则S10=（）A．512 B．511 C．1024 D．102311．（5分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数字，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积=（弦×矢+矢×矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弧）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于6米，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则cos∠AOB=（）A．B．C．D．12．（5分）已知，其中ω＞0，若函数在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A． B． C．D．二、填空题13．（5分）等比数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n，满足S7﹣4S6+3S5=0，则S4=．14．（5分）为了解高中生上学使用手机情况，调查者进行了如下的随机调查：调查者向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）你上学时是否经常带手机？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．结果被调查的800人（学号从1至800）中有260人回答了“是”．由此可以估计这800人中经常带手机上学的人数是．15．（5分）已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为α，b，c，且C=，c=2．当取得最大值时，的值为．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2﹣b2=ac，b=，则2a+c的取值范围是．三、解答题17．（10分）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩．（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的理由；（2）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？（已知88×94+83×91+117×108+92×96+108×104+100×101+112×106=70497，882+832+1172+922+1082+1002+1122=70994）（参考公式：==，=﹣）18．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调增区间；（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x），求方程g（x）=2在区间上的所有根之和．19．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．20．（12分）某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？21．（12分）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B﹣cos2C﹣sin2A=﹣sinAsinB，sin（A﹣B）=cos（A+B）．（1）求角A、B、C；（2）若a=，求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=S n+•a n（n∈N*），且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．2016-2017学年河南省信阳高中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知角α的终边在射线y=﹣3x（x≥0）上，则sinαcosα等于（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：∵在角α的终边所在的射线y=﹣3x（x≥0）上任意取一点M（1，﹣3），则x=1，y=﹣3，r=|OM|=，cosα==，sinα==，则sinαcosα=•=，故选：A．2．（5分）已知向量，，则在方向上的投影为（）A． B．8 C．D．【解答】解：，，则•=1×2+2×3=8，||==，则在方向上的投影为==，故选：D．3．（5分）如果θ角的终边经过点（﹣，），那么sin（+θ）+cos（π﹣θ）+tan（2π﹣θ）=（）A．﹣ B．C．D．﹣【解答】解：由θ角的终边经过点P（﹣，），可得x=﹣，y=，r=|OP|=1，∴cosθ==﹣，tanθ==﹣，∴sin（+θ）+cos（π﹣θ）+tan（2π﹣θ）=cosθ﹣cosθ﹣tanθ=﹣tanθ=，故选：B．4．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A．2017 B．2016 C．1009 D．1008【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S的值，由框图可得：S=0﹣1+2﹣3+4+…﹣2015+2016=1008．故选：D．5．（5分）观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，…，则32016的末位数字为（）A．1 B．3 C．7 D．9【解答】解：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，观察这组数据的末尾数字是3、9、7、1，以4为周期的循环，且2016÷4=504，所以32016的末位数字为1．故选：A．6．（5分）某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中抽取若干人组成调查小组，相关数据见下表：则调查小组的总人数为（）A．84 B．12 C．81 D．14【解答】解：由分层抽样的性质可知：，解得a=21，b=5．调查小组的总人数：3+4+5=12．故选：B．7．（5分）已知sinx•cosx=﹣，且＜x＜π，则sinx+cosx的值（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinx•cosx=﹣，且＜x＜π，∴sinx＞0，cosx＜0，|sinx|＜|cosx|，∴sinx+cosx＜0．∵（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1﹣=，∴sinx+cosx=﹣，故选：C．8．（5分）有如下四个游戏盘，撒一粒黄豆，若落在阴影部分，就可以中奖，若希望中奖的机会最大，则应该选择的游戏是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，分析可得中奖的概率为图形中阴影部分的面积与总面积的比值；对于A、设正方形边长为1，其面积为1，则阴影部分三角形的面积为3×（）2=；故A游戏盘的中奖概率为，对于B、分析可得圆被6等分，阴影部分占其中2份，则B游戏盘的中奖概率为=，对于C、设图中圆的半径为r，则圆的面积为π•r2，正方形边长为2r，其面积为（2r）2，故C游戏盘的中奖概率为，对于D、设图中圆的半径为r，则圆的面积为π•r2，等腰直角三角形的面积为2××r2=r2，故D游戏盘的中奖概率为，比较可得，A游戏盘的中奖概率最大；故选：A．9．（5分）平行四边形ABCD中，AB=AD=2，•=﹣2，+=，则•的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【解答】解：如图：平行四边形ABCD中，∵AB=AD=2，•=﹣2，+=，∴M为CD的中点，∴=•（+）=•（﹣）=﹣=﹣2﹣=﹣4，故选：A．10．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列，若a1=1，则S10=（）A．512 B．511 C．1024 D．1023【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，4a1，2a2，a3成等差数列，可得4a2=4a1+a3，可得4a1q=4a1+a1q2，即为q2﹣4q+4=0，解得q=2，a1=1，则S10===1023．故选：D．11．（5分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数字，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积=（弦×矢+矢×矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弧）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于6米，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则cos∠AOB=（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由题意可得：AB=6，弧田面积S=（弦×矢+矢2）=（6×矢+矢2）=平方米．解得矢=1，或矢=﹣7（舍），设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，则，解得d=4，r=5，∴cos∠AOD==，∴cos∠AOB=2cos2∠AOD﹣1=﹣1=．故选：D．12．（5分）已知，其中ω＞0，若函数在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A． B． C．D．【解答】解：，其中ω＞0，则函数=sin2（x）+sinωx﹣=﹣cosωx+sinωx﹣=sin （ωx﹣），可得T=≥π，0＜ω≤2，f（x）在区间（π，2π）内没有零点，结合三角函数可得，或，解得≤ω≤或0＜ω≤，故选：D．二、填空题13．（5分）等比数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n，满足S7﹣4S6+3S5=0，则S4= 40．【解答】解：由S7﹣4S6+3S5=0，可得S7﹣S6﹣3（S6﹣S5）=0⇒a7﹣3a6=0，∴q=3．∴，故答案为：40．14．（5分）为了解高中生上学使用手机情况，调查者进行了如下的随机调查：调查者向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）你上学时是否经常带手机？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．结果被调查的800人（学号从1至800）中有260人回答了“是”．由此可以估计这800人中经常带手机上学的人数是120．【解答】解：结果被调查的800人（学号从1至800）中有400人的学号是奇数，400抛掷一枚硬币，出现正面的概率是，∴回答第一个问题的人数有400人，其中有200人的学号是奇数，∴这200人都回答了“是”，回答第二个问题的人数为400人，其中人回答了是，由此可以估计这800人中经常带手机上学的人数是：n=800×=120．故答案为：120．15．（5分）已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为α，b，c，且C=，c=2．当取得最大值时，的值为2+．【解答】解：∵C=，∴B=﹣A，由正弦定理得=，∴b=sin（﹣A）=2cosA+sinA，∴=bccosA=2bcosA=4cos2A+sin2A=2+2cos2A+sin2A=（sin2A+cos2A）+2=sin（2A+）+2，∵A+B=，∴0＜A＜，∴当2A+=即A=时，取得最大值，此时，B=﹣=∴sinA=sin=sin（）=﹣=，sinB=sin（）==．∴==2+．故答案为2+．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2﹣b2=ac，b=，则2a+c的取值范围是（，2] ．【解答】解：△ABC中，∵a2+c2﹣b2=ac，∴cosB==，∴B=，A+C=．∵b=，∴由正弦定理可得，∴2a+c=4sinA+2sinC=4sinA+2sin（﹣A）=5sinA+cosA=2sin（A+φ），其中，tanφ=，∵0＜A＜，∴2a+c，又∵2a+c，∴2a+c的取值范围是：（，2]．故答案为：（，2]．三、解答题17．（10分）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩．（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的理由；（2）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？（已知88×94+83×91+117×108+92×96+108×104+100×101+112×106=70497，882+832+1172+922+1082+1002+1122=70994）（参考公式：==，=﹣）【解答】解：（1）=100+=100；=100+=100；∴==142，=，从而＞，所以物理成绩更稳定．（2）由于x与y之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到：==0.5，=100﹣0.5×100=50，∴线性回归方程为：y=0.5x+50，当y=115时，x=130．18．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调增区间；（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x），求方程g（x）=2在区间上的所有根之和．【解答】解：（1）f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a=cos2x+1+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）min=a+2=2，故a=0，∴f（x）=2sin（2x+）+1，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z），解得：kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），故f（x）的单调增区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），（2）g（x）=2sin[4（x﹣）+]+1=2sin（4x﹣）+1，由g（x）=2得sin（4x﹣）=，则4x﹣=2kπ+或2kπ+（k∈Z），解得x=+或+，（k∈Z）；∵x∈[0，]，∴x=或，故方程所有根之和为+=．19．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故数列{a n}的通项式为a n=．（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，所以数列{}的前n项和为﹣．20．（12分）某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？【解答】解：（1）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，第3组的频率为=0.300，频率分布直方图如图所示；（2）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：×6=3人；第4组：×6=2人；第5组：×6=1人．所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．（3）设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C，则从六位同学中抽两位同学有15种可能，具体如下：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2B1，A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，B1B2，B1C，B2C；其中第4组的2位同学B1，B2至少有一位同学入选的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，B1C，B2C共9种可能；所以其中第4组的2位同学B1、B2至少有一位同学入选的概率为P==．21．（12分）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B﹣cos2C﹣sin2A=﹣sinAsinB，sin（A﹣B）=cos（A+B）．（1）求角A、B、C；（2）若a=，求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积．（1）∵△ABC的三个内角为A，B，C，且cos2B﹣cos2C﹣sin2A=﹣sinAsinB．【解答】解：可得：sin2C+sinAsinB=sin2A+sin2B，∴由正弦定理化简得：c2+ab=a2+b2，∴cosC===，∵0＜C＜π，∴C=．∵sin（A﹣B）=cos（A+B）．即sinAcosB﹣cosAsinB=cosAcosB﹣sinAsinB，∴sinA（sinB+cosB）=cosA（sinB+cosB），∴sinA=cosA，∴由A为锐角，可得A=，B=π﹣A﹣C=．（2）∵a=，A=，B=，∴由正弦定理可得：b==，∴三角形ABC的面积S=absinC=×=．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=S n+•a n（n∈N*），且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意可得，S n﹣S n=•a n，+1=•a n，∴a n+1∴=•，∵a1=1，∴数列{}是以1为首项，以为公比的等比数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得=（）n﹣1，∴a n=n•（）n﹣1，∴S n=1×（）0+2×（）1+3×（）2+…+n•（）n﹣1，∴S n=1×（）1+2×（）2+3×（）3+…+n•（）n，∴S n=1+（）1+（）2+（）3+…+（）n﹣1﹣n•（）n=﹣n•（）n=﹣（+n）•（）n，∴S n=﹣（+）•（）n．。

2020届高一寒假开学考试数学试题第I 卷（选择题）一、单选题1．设集合{|01}M x x =≤≤， 2{|1}N x x =≥，则()R M C N ⋃=（）A. []0,1B. ()1,1-C. (]1,1-D. ()0,12．若直线:3l y kx =-及直线30x y +-=相11交，且交点在第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A. ()000,60B. ()0030,60C. ()0030,90D. ()0060,903．若()()0.2422,log 3.2,log 0.5a b c ===，则( )A. b c a >>B. b a c >>C. c a b >>D. a b c >>4．下列函数中,既是偶函数又在区间()0,∞+上递增的函数为A. 3y x =B. 2log y x =C. y x =D. 2y x =-5．方程21x -＝x ＋k 有惟一解，则实数k 的范围是 ( )A. k ＝－2B. k ∈(－2， 2)C. k ∈[－1,1)D. k ＝或－1≤k <16．网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是最某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 843+B. 823+C. 443+D. 423+7．函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（ ）A. B. C. ()2,e D. (),e +∞8．设m n 、是不同的直线， αβγ、、是不同的平面，有以下四个命题：①若//,//αβαγ，则//βγ②若,//m αβα⊥，则m β⊥③若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ ④若//,m n n α⊂，则//m α其中正确命题的序号是（ ）A. ②③B. ①④C. ①③D. ②④9．圆221:2880C x y x y +++-=及圆222:4410C x y x y +---=的位置关系是（ ）A. 内含B. 外离C. 外切D. 相交10．函数()()23ln f x x x =-⋅的大致图象为A. B. C. D.11．.如图，在三棱锥V-ABC 中，VO ⊥平面ABC ，O ∈CD ，VA=VB ，AD=BD ，则下列结论中不一定成立的是 ( )A. AC=BCB. VC ⊥VDC. AB ⊥VCD. S △VCD ·AB=S △ABC ·VO12．已知函数()21,21{ 14,15x x f x x x x+-≤≤=+-<≤，若关于x 的方程()0f x ax -=有两个解，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. {}56,,0,2225⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞⋃- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D. 第II 卷（非选择题）二、填空题13．若幂函数()()223m m f x x m Z --=∈为偶函数，且在区间(),0-∞上递增，则的值是______.14．已知直线1l 及直线2:4310l x y -+=垂直，且及圆22:230C x y y ++-=相切，则直线1l 的一般方程为__________．15．,,,A B C D 是同一球面上的四个点， ABC ∆中， ， AB AC =， AD ⊥平面ABC ， 6AD =，AB =__________．16．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]3, 1.082π=-=-，定义函数{}[]x x x =-.给出下列四个结论：①函数{}x 的定义域是R ，值域为[]0,1；②方程{}0x x +=有2个解；③函数{}x 是增函数；④函数{}x 对于定义域内任意x ，都有{}{}1x x =+，其中正确结论的序号有_________．三、解答题17．（本小题共10分）求值.（1）3log 169log log 273+；（2）10328110.25lg162lg52722--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+--+.18．（本小题共12分）设全集U R =，集合{}|1 3 A x x =-<<， (]{}|2,,2 x B y y x ==∈-∞， {}| 1 C x a x a =+＜＜（1）求()()U U C A C B ⋂；（2）若()C A B ⊆⋂，求实数a 的取值范围.19．（本小题共12分）已知直线l 经过点()6,4P ，斜率为k（Ⅰ）若l的纵截距是横截距的两倍，求直线l的方程；（Ⅱ）若1k=-，一条光线从点()M出发，遇到直线l反射，反射6,0光线遇到y轴再次反射回点M，求光线所经过的路程。

2017-2018学年河南省信阳市固始县高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（）A．﹣B．﹣C．D．2．（5分）设向量，满足|+|＝，|﹣|＝，则•＝（）A．1B．2C．3D．53．（5分）log2sin15°+log2cos15°的值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣24．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石5．（5分）电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I＝A sin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象如右图所示，则当t＝秒时，电流强度是（）A．﹣5安B．5安C．安D．10安6．（5分）若θ∈（）化简：+的结果为（）A．2sin θB．2cos θC．﹣2sin θD．﹣2cosθ7．（5分）设＝（﹣1，2），＝（1，﹣1），＝（3，﹣2），且＝p+q，则实数p、q 的值分别为（）A．p＝4，q＝1B．p＝1，q＝﹣4C．p＝0，q＝1D．p＝1，q＝4 8．（5分）函数的图象经过下列平移，所得图象对应的函数为偶函数的是（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位9．（5分）如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5B．5，5C．5，8D．8，810．（5分）已知非零向量与满足且＝．则△ABC为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形11．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．0B．C．D．12．（5分）已知曲线C：y＝sin（2x+φ）（|φ|＜）的一条对称轴方程为x＝，曲线C 向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到的曲线E的一个对称中心为（，0），则|φ﹣θ|的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知向量＝（k，12），＝（4，5），＝（﹣k，10），且A、B、C三点共线，则k＝．14．（5分）若直线x＝（|k|≤1）与函数y＝tan（2x+）的图象不相交，则k＝．15．（5分）在边长为2的正三角形ABC中，以A为圆心，为半径画一弧，分别交AB，AC于D，E．若在△ABC这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是．16．（5分）下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程＝3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程＝x+必过点（）；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；其中错误的命题是．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知tanα＝2，计算①②．18．（12分）已知向量，，0＜β＜α＜π．（1）若，求证：；（2）设，若，求α，β的值．19．（12分）“累积净化量（CCM）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T18801﹣2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累积净化量（CCM）有如下等级划分：为了了解一批空气净化器（共2000台）的质量，随机抽取n台机器作为样本进行估计，已知这n台机器的累积净化量都分布在区间（4，14]中，按照（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，均匀分组，其中累积净化量在（4，6]的所有数据有：4.5，4.6，5.2，5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图．（Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中的x值；（Ⅱ）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台？（Ⅲ）从累积净化量在（4，6]的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率．20．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）求函数y＝f（x）的单调增区间；（3）求方程f（x）＝0的解集．21．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程＝bx+a已知回归直线方程是：＝bx+a，其中b＝，a＝﹣b；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？22．（12分）已知向量＝（m，cos2x），＝（sin2x，n），设函数f（x）＝•，且y＝f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y＝f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y＝g（x）的图象．若y＝g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y＝g（x）的单调增区间．2017-2018学年河南省信阳市固始县高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ＝＝＝，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝2×﹣1＝﹣．故选：B．2．（5分）设向量，满足|+|＝，|﹣|＝，则•＝（）A．1B．2C．3D．5【解答】解：∵|+|＝，|﹣|＝，∴分别平方得+2•+＝10，﹣2•+＝6，两式相减得4•＝10﹣6＝4，即•＝1，故选：A．3．（5分）log2sin15°+log2cos15°的值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：log2sin15°+log2cos15°＝log2（sin15°cos15°）＝log2（sin30°）＝log2＝﹣2，故选：D．4．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．5．（5分）电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I＝A sin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象如右图所示，则当t＝秒时，电流强度是（）A．﹣5安B．5安C．安D．10安【解答】解：由图象可知A＝10，∴ω＝∴函数I＝10sin（100πt+φ）．（）为五点中的第二个点，∴100π×+φ＝∵0＜φ＜∴φ＝，I＝10sin（100πt+）．当t＝秒时，I＝﹣5安故选：A．6．（5分）若θ∈（）化简：+的结果为（）A．2sin θB．2cos θC．﹣2sin θD．﹣2cosθ【解答】解：∵θ∈（），0＞cosθ＞sinθ，∴+＝|cosθ+sinθ|+|cosθ﹣sinθ|＝﹣（cosθ+sinθ）+cosθ﹣sinθ＝﹣2sinθ，故选：C．7．（5分）设＝（﹣1，2），＝（1，﹣1），＝（3，﹣2），且＝p+q，则实数p、q 的值分别为（）A．p＝4，q＝1B．p＝1，q＝﹣4C．p＝0，q＝1D．p＝1，q＝4【解答】解：∵＝（﹣p+q，2p﹣q），且＝p+q，．∴，解得．故选：D．8．（5分）函数的图象经过下列平移，所得图象对应的函数为偶函数的是（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：函数，设平移φ个单位后，函数为偶函数，即sin[2（x+φ）]为偶函数，那么：2φ﹣＝，k∈Z．解得：φ＝kπ．当k＝0时，可得φ＝．∴向左平移个单位．故选：C．9．（5分）如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5B．5，5C．5，8D．8，8【解答】解：甲组数据分别为：9，12，10+x，24，27；乙组数据分别为：9，15，10+y，18，24．因为甲组的中位数为15，所以10+x＝15，所以x＝5；因为乙组的平均数为16.8，所以＝16.8，所以y＝8，故选：C．10．（5分）已知非零向量与满足且＝．则△ABC为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形【解答】解：因为，所以∠BAC的平分线与BC垂直，三角形是等腰三角形．又因为，所以∠BAC＝60°，所以三角形是正三角形．故选：A．11．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．0B．C．D．【解答】解：第1次循环s＝sin，n＝2；第2次循环s＝sin+sin，n＝3；第3次循环s＝sin+sin+sin，n＝4；第4次循环s＝sin+sin+sin+sin，n＝5；循环的规律是n增加“1”，s增加角为等差数列公差为的正弦函数值，循环11次结束，所以s＝sin+sin+sin+sin+…+sin＝sin+sin+sin+＝1+．故选：B．12．（5分）已知曲线C：y＝sin（2x+φ）（|φ|＜）的一条对称轴方程为x＝，曲线C 向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到的曲线E的一个对称中心为（，0），则|φ﹣θ|的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：：y＝sin（2x+φ）（|φ|＜）的一条对称轴方程为x＝，∴sin（+φ）＝±1，则+φ＝，k∈Z．∵|φ|＜，∴φ＝．可得y＝sin（2x+）⇒向左平移θ个单位长度，得：sin（2x+2θ+），对称中心为（，0），则：2×+2θ+＝kπ，k∈Z．∴θ＝．则|φ﹣θ|＝θ＝|﹣|的最小值为：．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知向量＝（k，12），＝（4，5），＝（﹣k，10），且A、B、C三点共线，则k＝．【解答】解：向量，∴又A、B、C三点共线故（4﹣k，﹣7）＝λ（﹣2k，﹣2）∴k＝故答案为14．（5分）若直线x＝（|k|≤1）与函数y＝tan（2x+）的图象不相交，则k＝或﹣．【解答】解：直线x＝（|k|≤1）与函数y＝tan（2x+）的图象不相交，x＝时，函数y＝tan（2x+）无意义，即2×+＝+mπ，m∈Z，∴4k＝4m+1．当m＝0时，k＝，满足条件．当m＝﹣1时，k＝，满足条件．当m＝1时，k＝不满足条件．故满足条件的k＝或﹣，故答案为：或﹣．15．（5分）在边长为2的正三角形ABC中，以A为圆心，为半径画一弧，分别交AB，AC于D，E．若在△ABC这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是．【解答】解：已知如下图示：S△ABC＝＝，阴影部分的扇形面积，＝，则豆子落在扇形ADE内的概率P＝＝，故答案为：．16．（5分）下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程＝3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程＝x+必过点（）；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；其中错误的命题是②④．【解答】解：对于①，方差是表示数据波动大小的量，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，①正确；对于②，回归方程＝3﹣5x中，变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，②错误；对于③，线性回归方程＝x+必过点样本中心点（），③正确；对于④，曲线上的点与该点的坐标之间具有一一对应的关系，④错误；综上，其中错误的命题序号是②④．故答案为：②④．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知tanα＝2，计算①②．【解答】解：①∵tanα＝2，∴原式＝＝＝﹣；②∵tanα＝2，∴原式＝＝＝．18．（12分）已知向量，，0＜β＜α＜π．（1）若，求证：；（2）设，若，求α，β的值．【解答】证明：（1）∵||＝，∴﹣2+＝2，又＝1，＝1，∴＝0，∴．解：（2）∵＝（cosα+cosβ，sinα+sinβ）＝（0，1），∴，又∵0＜β＜α＜π．∴α+β＝π，sinα＝sinβ＝，∴α＝，β＝．19．（12分）“累积净化量（CCM）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T18801﹣2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累积净化量（CCM）有如下等级划分：为了了解一批空气净化器（共2000台）的质量，随机抽取n台机器作为样本进行估计，已知这n台机器的累积净化量都分布在区间（4，14]中，按照（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，均匀分组，其中累积净化量在（4，6]的所有数据有：4.5，4.6，5.2，5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图．（Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中的x值；（Ⅱ）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台？（Ⅲ）从累积净化量在（4，6]的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵在（4，6]之间的数据一共有6个，再由频布直方图得：落在（4，6]之间的频率为0.03×2＝0.06，∴n＝＝100，由频率分布直方图的性质得：（0.03+x+0.12+0.14+0.15）×2＝1，解得x＝0.06．（Ⅱ）由频率分布直方图可知：落在（6，8]之间共：0.12×2×100＝24台，又∵在（5，6]之间共4台，∴落在（5，8]之间共28台，∴估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有560台．（Ⅲ）设“恰好有1台等级为P2”为事件B，依题意落在（4，6]之间共6台，属于国标P2级的有4台，则从（4，6]中随机抽取2台，基本事件总数n＝，事件B包含的基本事件个数m＝＝8，∴恰好有1台等级为P2的概率P（B）＝．20．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）求函数y＝f（x）的单调增区间；（3）求方程f（x）＝0的解集．【解答】解：（1）由图知，A＝1，∵周期T＝4（﹣）＝π，∴ω＝＝2，∴f（x）＝sin（2x+φ），又f（）＝﹣1，∴sin（+φ）＝﹣1，∴+φ＝2kπ+（k∈Z），∴φ＝2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）；（2）﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z．∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．∴函数y＝f（x）的单调增区间为：[﹣+kπ，+kπ]k∈Z．（3）∵f（x）＝0，∴2x+＝kπ，k∈Z．∴x＝﹣+kπ，k∈Z．∴方程f（x）＝0的解集为{x|x＝﹣+kπ，k∈Z}．21．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程＝bx+a已知回归直线方程是：＝bx+a，其中b＝，a＝﹣b；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？【解答】解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以P（A）＝1﹣＝；﹣﹣﹣（4分）（2）由数据，得＝（10+11+13+12+8）＝10.8，＝（23+25+30+26+16）＝24，由公式，得b＝≈2.6，a＝﹣b＝24﹣2.6×10.8≈﹣4；所以y关于x的线性回归方程为＝2.6x﹣4；﹣﹣﹣（8分）（3）当x＝10时，＝2.6×10﹣4＝22，|22﹣23|＜2；同样，当x＝11时，＝2.6×11﹣4＝24.6，|24.6﹣25|＜2；当x＝12时，＝2.6×12﹣4＝27.2，|27.2﹣26|＜2；当x＝13时，＝2.6×13﹣4＝29.8，|29.8﹣30|＜2；当x＝8时，＝2.6×8﹣4＝16.8，|16.8﹣16|＜2；所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．﹣﹣﹣（12分）22．（12分）已知向量＝（m，cos2x），＝（sin2x，n），设函数f（x）＝•，且y＝f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y＝f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y＝g（x）的图象．若y＝g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y＝g（x）的单调增区间．【解答】解：（Ⅰ）已知：，，则：＝m sin2x+n cos2x，y＝f（x）的图象过点y＝f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．则：解得：，即：m＝，n＝1（Ⅱ）由（Ⅰ）得：＝，f（x）向左平移φ个单位得到：g（x）＝2sin（2x+2Φ+），设g（x）的对称轴x＝x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：，则：g（0）＝2，解得：Φ＝，所以：g（x）＝2sin（2x+）＝2cos2x．令：﹣π+2kπ≤2x≤2kπ（k∈Z）则：单调递增区间为：[]（k∈Z）故答案为：（Ⅰ）m＝，n＝1（Ⅱ）单调递增区间为：[]（k∈Z）。

河南省信阳市高一下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·郑州期中) 已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是（）A . ad＞bcB . ac＞bdC . a﹣c＞b﹣dD . a+c＞b+d2. （2分） (2019高二上·沈阳月考) 如图所示，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则（）A . 220B . 216C . 212D . 2083. （2分）下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（）A . ①③B . ①④C . ②③D . ②④4. （2分）(2018·曲靖模拟) 在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则面积的最大值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一下·长春期末) 在等比数列中,则（）A .B .C .D .6. （2分）在平面直角坐标系中，点A,B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点，则的最小值是（）A . 10B . 11C . 12D . 137. （2分）(2018·榆林模拟) 设，若，则（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·绵阳期中) 动圆M与圆O：x2+y2=1外切，与圆C：（x﹣3）2+y2=1内切，那么动圆的圆心M的轨迹是（）A . 双曲线B . 双曲线的一支C . 椭圆D . 抛物线9. （2分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·蚌埠期末) 把数列{2n+1}（n∈N*）依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…循环，分别：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），…，则第120个括号内各数之和为（）A . 2312B . 2392C . 2472D . 254411. （2分） (2016高二上·大名期中) 已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A . 8B . 11C . 9D . 1212. （2分） (2016高二下·松原开学考) 已知空间四个点A（1，1，1），B（﹣4，0，2），C（﹣3，﹣1，0），D（﹣1，0，4），则直线AD与平面ABC所成的角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°二、填空题 (共4题；共8分)13. （1分）关于x的不等式（2﹣a）x2﹣2（a﹣2）x+4＞0对一切实数x都成立，则a的范围是________．14. （1分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=________15. （1分） (2016高二上·宝安期中) △ABC中，a，b是它的两边，S是△ABC的面积，若S= （a2+b2），则△ABC的形状为________．16. （5分）铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：a b（万吨）c（百万元）A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO2的排放量不超过2（万吨），求购买铁矿石的最少费用．三、解答题 (共6题；共60分)17. （15分）已知△ABC三个顶点是A（4，4），B（﹣4，2），C（2，0）．（1）求AB边中线CD所在直线方程；（2）求AB边上的高线所在方程；（3）求△ABC的重心G的坐标．18. （10分） (2015高三上·丰台期末) 如图，在△ABC中，AB=12，，点D在边BC上，且∠ADC=60°．（1）求cosC；（2）求线段AD的长．19. （10分）已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．（1）求BC边上的高所在直线的一般式方程；（2）求△ABC的面积．20. （5分）(2017·福州模拟) 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．21. （5分） (2016高一上·普宁期中) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v （x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．22. （15分）(2019·扬州模拟) 记无穷数列的前n项中最大值为，最小值为，令，数列的前n项和为，数列的前n项和为．（1）若数列是首项为2，公比为2的等比数列，求；（2）若数列是等差数列，试问数列是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；（3）若，求．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1、答案：略2、答案：略3-1、4-1、5、答案：略6、答案：略7、答案：略8、答案：略9-1、10、答案：略11、答案：略12-1、二、填空题 (共4题；共8分)13、答案：略14、答案：略15、答案：略16、答案：略三、解答题 (共6题；共60分)17、答案：略18-1、18-2、19、答案：略20、答案：略21、答案：略22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。

2017-2018学年河南省信阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．sin（﹣）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣2．若a，b，c为实数，则下列正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则C．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2D．若a＜b＜0，则3．在等差数列{a n}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是（）A．13 B．26 C．52 D．564．在△ABC中，若∠C=90°，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则的取值范围是（）A．（0，]B．[]C．（）D．（1，]5．已知扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的面积S为（）A．3πB．4πC．6πD．2π6．已知向量的最小值为（）A．B．6 C．12 D．7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，满足a n＞0，q＞1，且a3+a5=20，a2a6=64，则S6=（）A．63 B．48 C．42 D．368．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的图象关于点对称C．若方程f（x）=m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是D．将函数的图象向左平移个单位得到函数f（x）的图象9．在△ABC中，若（+）•=||2，则（）A．△ABC是锐角三角形B．△ABC是直角三角形C．△ABC是钝角三角形D．△ABC的形状不能确定10．设S n为等差数列{a n}的前n项的和，a1=﹣2014，，则S2014的值为（）A．﹣2013 B．﹣2014 C．2013 D．2014 11．设变量x，y满足约束条件，则s=的取值范围是（）A．[1，]B．[，1]C．[1，2]D．[，2] 12．定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n=，则=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在题中的横线上）13．已知向量，，．若λ为实数，（），则λ=．14．不等式≥2的解集是．15．已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则在上的投影为．16．已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=x2+2x+a（1）当时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若对于任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．18．已知cos（+x）=，．（Ⅰ）求sin2x的值．（Ⅱ）求tanx的值．19．已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数y=f（x）在[﹣，]上的值域．20．在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12．q=（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=，求的{c n}的前n项和T n．21．已知向量=（2sinx，﹣1），=（sinx﹣cosx，﹣2），函数f（x）=（﹣）•．（Ⅰ）求f（x）在区间上的零点；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=4，f（A）=2，△ABC的面积S=，求b+c的值．22．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）（1）求证：{}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）•，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．2014-2015学年河南省信阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．sin（﹣）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：直接利用诱导公式化简求值即可．解答：解：sin（﹣）=﹣sin（2π+）=﹣sin=﹣．故选：D．点评：本题考查三角函数的化简求值，特殊角的三角函数以及诱导公式的应用，考查计算能力．2．若a，b，c为实数，则下列正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则C．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2D．若a＜b＜0，则考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：根据不等式的基本性质，逐一分析四个答案中的不等式是否一定成立，可得答案．解答：解：当c=0时，若a＞b，则ac2=bc2，故A错误；若a＜b＜0，ab＞0，则，即，故B错误；若a＜b＜0，则a2＞ab且ab＞b2，即a2＞ab＞b2，故C正确；若a＜b＜0，则，，故，故D错误；故选：C．点评：本题考查的知识点是不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质，是解答的关键．3．在等差数列{a n}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是（）A．13 B．26 C．52 D．56考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：可得a3+a5=2a4，a7+a13=2a10，代入已知可得a4+a10=4，而S13==，代入计算可得．解答：解：由等差数列的性质可得：a3+a5=2a4，a7+a13=2a10，代入已知可得3×2a4+2×3a10=24，即a4+a10=4，故数列的前13项之和S13====26故选B点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及整体代入的思想，属中档题．4．在△ABC中，若∠C=90°，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则的取值范围是（）A．（0，]B．[]C．（）D．（1，]考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦定理进行化简，结合两角和差的正弦公式进行化简即可．解答：解：由正弦定理得a=csinA，b=ccosA，则=sinA+cosA=sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴1＜sin（A+≤，即的取值范围是（1，]，故选：D．点评：本题主要考查正弦定理的应用，利用两角和差的正弦公式以及三角函数的性质是解决本题的关键．5．已知扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的面积S为（）A．3πB．4πC．6πD．2π考点：扇形面积公式．专题：三角函数的求值．分析：利用S=S==，即可求得结论．解答：解：∵扇形的圆心角为，半径为4，∴S====6π．故选：C．点评：本题考查扇形面积的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．6．已知向量的最小值为（）A．B．6 C．12 D．考点：基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：利用向量垂直的充要条件列出方程求出x，y满足的方程；利用基本不等式得到函数的最值，检验等号何时取得．解答：解：由已知⊥⇒=0⇒（x﹣1，2）•（4，y）=0⇒2x+y=2则9x+3y=，当且仅当32x=3y，即时取得等号．故选B．点评：本题考查向量垂直的充要条件：坐标交叉相乘相等、考查利用基本不等式求函数的最值需满足的条件：一正、二定、三相等．7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，满足a n＞0，q＞1，且a3+a5=20，a2a6=64，则S6=（）A．63 B．48 C．42 D．36考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知结合等比数列的性质求得首项和公比，代入等比数列的前n项和得答案．解答：解：在等比数列{a n}中，∵a2a6=64，∴a3a5=a2a6=64，又a3+a5=20，∴a3和a5为方程x2﹣20x+64=0的两根，∵a n＞0，q＞1，∴a3＜a5，∴a5=16，a3=4，∴q=，∴a1=，∴S6==63．故选：A．点评：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的图象关于点对称C．若方程f（x）=m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是D．将函数的图象向左平移个单位得到函数f（x）的图象考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x）的解析式，结合图象，可得结论．解答：解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象可得A=2，==﹣，求得ω=2，再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+），在上，2x+∈[﹣，]，当实数m的取值范围是时，函数f（x）的图象和直线y=m有2个交点，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．9．在△ABC中，若（+）•=||2，则（）A．△ABC是锐角三角形B．△ABC是直角三角形C．△ABC是钝角三角形D．△ABC的形状不能确定考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由（+）•=||2，可得（+）•=||2，进而得到，利用勾股定理的逆定理即可判断出．解答：解：∵（+）•=||2，∴（+）•=||2，∴，即，∴∠A=90°．∴△ABC是直角三角形．故选：B．点评：本题考查了向量的三角形法则和数量积运算法则、勾股定理的逆定理，属于基础题．10．设S n为等差数列{a n}的前n项的和，a1=﹣2014，，则S2014的值为（）A．﹣2013 B．﹣2014 C．2013 D．2014考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：写出等差数列的前n项和，代入求得公差，然后再代入等差数列的前n项和得答案．解答：解：∵数列{a n}为等差数列，且a1=﹣2014，则，∴=﹣2014+1003d+2014﹣1002d=2，即d=2．∴=﹣2014．故选：B．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．11．设变量x，y满足约束条件，则s=的取值范围是（）A．[1，]B．[，1]C．[1，2]D．[，2]考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先根据已知中，变量x，y满足约束条件，画出满足约束条件的可行域，进而分析s=的几何意义，我们结合图象，利用角点法，即可求出答案．解答：解：满足约束条件的可行域如下图所示：根据题意，s=可以看作是可行域中的一点与点（﹣1，﹣1）连线的斜率，由图分析易得：当x=1，y=O时，其斜率最小，即s=取最小值当x=0，y=1时，其斜率最大，即s=取最大值2故s=的取值范围是[，2]故选D点评：本题考查的知识点是简单线性规划，其中解答的关键是画出满足约束条件的可行域，“角点法”是解答此类问题的常用方法．12．定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n=，则=（）A．B．C．D．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：首先根据信息建立等量关系，进一步求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出结果．解答：解：定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．所以：已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，即：=所以：S n=n（2n+1）则：a n=S n﹣S n﹣1=4n﹣1，当n=1时，也成立．则：a n=4n﹣1．由于：b n==n，所以：则：=（1﹣）+（）+…+（）=1﹣故选：B点评：本题考查的知识要点：信息题型的应用，数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在题中的横线上）13．已知向量，，．若λ为实数，（），则λ=．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得的坐标，由向量平行的充要条件可得关于λ的方程，解之即可．解答：解：由题意可得=（1，2）+λ（1，0）=（1+λ，2），因为（），所以4（1+λ）﹣3×2=0，解得λ=故答案为：点评：本题是对于向量平行的考查，正确利用向量平行的充要条件是解决问题的关键，属基础题．14．不等式≥2的解集是[，1）∪（1，3]．考点：其他不等式的解法．分析：注意到分母恒大于或等于0，直接转化为整式不等式求解，注意x≠1解答：解：⇔x+5≥2（x﹣1）2且x≠1⇔2x2﹣5x﹣3≤0且x≠1⇔[，1）∪（1，3]故答案为：[，1）∪（1，3]点评：本题考查解分式不等式，在解题过程中，注意等价转化．15．已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则在上的投影为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求出•=1，从而得到在上的投影为，代入求出即可．解答：解：∵向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，∴+•﹣2=1+•﹣8=﹣6，∴•=1，∴在上的投影为=，故答案为：．点评：本题考查了平面向量的运算性质，是一道基础题．16．已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为．考点：等比数列的性质；基本不等式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知中正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，我们易求出数列的公比，再结合存在两项a m、a n使得，我们可以求出正整数m，n的和，再结合基本不等式中“1”的活用，即可得到答案．解答：解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，∵a7=a6+2a5，则a1•q6=a1•q5+2a1•q4即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去）若，则m+n=6则6（）=（m+n）（）=5+（）≥5+4=9则故答案为点评：本题考查的知识点是等比数列的性质，基本不等式，其中根据已知中正项等比数列{a n}满足：a 7=a6+2a5若存在两项a m、a n使得，将问题转化为用基本不等式求最值是解答本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=x2+2x+a（1）当时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若对于任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；一元二次不等式的解法．专题：综合题；不等式的解法及应用．分析：（1）a=时，化简不等式，根据二次不等式的求解方法可得结果；（2）f（x）＞0即x2+2x+a＞0对∀x∈[1，+∞）恒成立，分离出参数a后转化为二次函数的最值问题可求；解答：解：（1）当a=时，f（x）＞1即，化简得2x2+4x﹣1＞0，解得x＞﹣1+或x＜﹣1﹣，∴不等式f（x）＞1的解集为：；（2）f（x）＞0即x2+2x+a＞0对∀x∈[1，+∞）恒成立，可化为a＞﹣x2﹣2x对∀x∈[1，+∞）恒成立，令g（x）=﹣x2﹣2x，可知g（x）在[1，+∞）上单调递减，∴当x=1时，g max（x）=﹣3，∴a＞﹣3．点评：本题考查一元二次不等式的求解、函数恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题常转化为函数最值问题解决．18．已知cos（+x）=，．（Ⅰ）求sin2x的值．（Ⅱ）求tanx的值．考点：二倍角的正弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由诱导公式可求cos2（+x）=﹣sin2x，又利用二倍角公式可得cos2（+x）=2cos2（+x）﹣1=﹣，即可解得sin2x的值．（Ⅱ）由已知可求范围，利用同角三角函数关系式可求sin（+x），可得tan（+x）===﹣，即可得解．解答：解：（Ⅰ）∵cos2（+x）=cos（+2x）=﹣sin2x，又cos2（+x）=2cos2（+x）﹣1=2×=﹣．∴sin2x=．（Ⅱ）∵．∴，∴sin（+x）=﹣=﹣，∴tan（+x）===﹣，∴tanx=7．点评：本题主要考查了诱导公式，二倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．19．已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数y=f（x）在[﹣，]上的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+）﹣1，由三角函数的周期性及其求法即可求得函数f（x）的最小正周期．（2）由x∈[﹣，]，可求2x+的范围，根据正弦函数的图象和性质可得sin（2x+）的范围，从而可求函数y=f（x）在[﹣，]上的值域．解答：解：（1）∵f（x）=sin2x﹣2sin2x=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin（2x+）﹣1，∴由三角函数的周期性及其求法可得函数f（x）的最小正周期T=．（2）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，π]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴y=f（x）=sin（2x+）﹣1∈[﹣2，]，∴函数y=f（x）在[﹣，]上的值域是：[﹣2，]．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．20．在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12．q=（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=，求的{c n}的前n项和T n．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据条件列出关于公差和公比的方程组，解方程即可求出公差和公比，进而求出通项；（Ⅱ）对通项化简，利用裂项法求和，即可得到数列的前n项和．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，因为所以b2+b2q=12，即q+q2=12，∴q=3或q=﹣4（舍），b2=3，s2=9，a2=6，d=3．故a n=3+3（n﹣1）=3n，．（Ⅱ）因为=，所以：c n=，故T n=．点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列与等比数列的综合，考查裂项法求数列的和，属于中档题．21．已知向量=（2sinx，﹣1），=（sinx﹣cosx，﹣2），函数f（x）=（﹣）•．（Ⅰ）求f（x）在区间上的零点；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=4，f（A）=2，△ABC的面积S=，求b+c的值．考点：平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据向量的数量积得出f（x）=．再运用三角函数性质求解在区间上的零点；（Ⅱ）由f（A）=2，得出．根据面积公式得出，化简得出bc=4，根据余弦定理，再运用配方求解即可．解答：解：（Ⅰ）f（x）=（m﹣n）•m====．由f（x）=0，得（k∈Z），则（k∈Z），因为，所以f（x）在区间上的零点是，．（Ⅱ）由f（A）=2，得，所以（k∈Z），因为0＜A＜π，所以．因为根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得16=b2+c2﹣bc，所以（b+c）2=16+3bc=28，所以．点评：本题考查了平面向量数量积的运用及应用，正弦定理在三角形中的应用，综合性较大，关键是结合三角函数的图象性质求解．22．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）（1）求证：{}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）•，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．考点：数列与不等式的综合；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*），可得=1+．变形为，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可知：b n，利用“错位相减法”即可得出T n，利用不等式（﹣1），通过对n分为偶数与奇数讨论即可．解答：解：（1）由数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*），可得=1+．∴，∴{}是首项为，公比为3的等比数列，∴，化为．（2）由（1）可知：=，T n=+…+．…++，两式相减得﹣==．∴．∴（﹣1）n•λ＜+=4﹣．若n为偶数，则，∴λ＜3．若n为奇数，则，∴﹣λ＜2，解得λ＞﹣2．综上可得﹣2＜λ＜3．点评：熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式、“错位相减法”、分类讨论的思想方法等是解题的关键．。

2017-2018学年下期教学质量调研测试高一数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若，且是第四象限角，则( )A. B. C. D.2. 进制数，则可能是( )A. 2B. 4C. 6D. 83. 已知向量，，若，则( )A. B. C. D.4. 中，若，，则等于( )A. B. C. D.5. 某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是( )A. “至少有1名女生”与“都是女生”B. “至少有1名女生”与“至多有1名女生”C. “恰有1名女生”与“恰有2名女生”D. “至少有1名男生”与“都是女生”6. 用秦九韶算法求多项式当的函数值时，先算的是( )A. B. C. D.7. 已知，又，，则等于( )A. B. C. D. 或08. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为( )A. B. C. D. 49. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取( )名学生.A. 60B. 75C. 90D. 4510. 已知函数的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是( )①函数的最小正周期是；②函数在区间上是增函数；③函数的图象关于直线对称；④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到A. 3B. 2C. 1D. 011. 若向量，，满足，，若，则与的夹角为( )A. B. C. D.12. 已知函数，若对恒成立，则的单调递减区间是( )A. B.C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约__________石．14. 在上任取两数和组成有序数对，记事件为“”，则__________．15. 设的内角，已知，若向量与向量共线，则的内角__________．16. 下列4个命题：①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40；②四边形为长方形，，，为中点，在长方形内随机取一点，取得的点到的距离大于1的概率为；③把函数的图象向右平移个单位，可得到的图象；④已知回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为. 其中正确的命题有__________．(填上所有正确命题的编号)三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知平面内三个向量，，.(1)若，求实数的值；(2)设，且满足，，求.18. 某中学团委组织了“文明礼仪伴我行”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段，，…，后画出如下部分频率分布直方图，观察图形给出的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.19. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边分别与单位圆交于两点.(1)如果点的纵坐标为，点的横坐标为，求；(2)已知点，，求.20. 长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解、两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时间作为样本，绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字).(1)分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长；(2)从班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为，从班的样本中随机抽取一个不超过21的数据记为，求的概率.21. 已知函数的部分图象如图，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为原点，且点坐标为，.(1)求函数的解析式；(2)将函数图象向右平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的最大值.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若，且是第四象限角，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】∵sin a=,且a为第四象限角,∴，则，故选：D.2. 进制数，则可能是( )A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】因为k进制数3651(k)中出现的最大数字为6，可得：k>6，故选：D.3. 已知向量，，若，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】向量，,.故选A.4. 中，若，，则等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴)，∴3，∴，∴λ=故选C.5. 某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是( )A. “至少有1名女生”与“都是女生”B. “至少有1名女生”与“至多有1名女生”C. “恰有1名女生”与“恰有2名女生”D. “至少有1名男生”与“都是女生”【答案】C【解析】试题分析：“至少有1名女生”包含“都是女生”，所以A错误；“至少有1名女生”包含“（男，女）”这种情况，所以与“至多有1名女生”不互斥，所以B错误；“恰有1名女生”与“恰有2名女生”互斥，但不对立，C正确；“至少有1名男生”与“都是女生”既互斥又对立，所以D错误。

2018-2019学年河南省信阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题只有一个选项符合题意）1．y=tanx的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．﹣π2．若A，B事件互斥，且有P（A）=0.1，P（B）=0.3，那么P（A∪B）=（）A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.033．某中学有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[241，480]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．144．cos12°cos18°﹣sin12°sin18°=（）A． B．C．﹣D．﹣5．如图程序运行的结果是（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知向量=（a，﹣2），=（1，1﹣a），=（a，0），且⊥（﹣），则实数a=（）A．1 B．0或1 C．3 D．0或37．甲、乙两位“准笑星”在“信阳笑星”选拔赛中，5位评委给出的评分情况如图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为、，记甲、乙两人得分的标准差分别为s1、s2，则下列判断正确的是（）A．＜，s1＜s2B．＜，s1＞s2C．＞，s1＜s2D．＞，s1＞s28．如图是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式f（x）=an x n+an﹣1x n﹣1+…+a1x+a的求值问题的算法．现按照这个程序执行函数f （x）=3x4﹣2x3﹣6x﹣17的计算，若输入的值x=2，则输出的v的值是（）A．0 B．2 C．3 D．﹣39．先把正弦函数y=sinx图象上所有的点向左平移个长度单位，再把所得函数图象上所有的点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），再将所得函数图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），则所得函数图象的解析式是（）A．y=2sin（x+）B．y=sin（2x﹣） C．y=2sin（x﹣） D．y=sin（2x+）10．函数y=sin2x﹣1+cosx的值域为（）A．[0，2] B．[﹣2，] C．[﹣1，1] D．[﹣2，0]11．若三个单位向量，，满足⊥，则|3+4﹣|的最大值为（）A．5+B．3+2C．8 D．612．函数f（x）=Asin（ωx+φ）满足：f（+x）=﹣f（﹣x），且f（+x）=f（﹣x），则ω的一个可能取值是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．把二进制1010化为十进制的数为：．14．已知半径为2的扇形面积为4，则扇形的角度大小为弧度．15．某同学在求解某回归方程中，已知x，y的取值结果（y与x呈线性相关）如表：x 2 3 4y 6 4 m并且求得了线性回归方程为=﹣x+，则m等于．16．如图，当∠xOy=α，且α∈（0，）∪（，π）时，定义平面坐标系xOy为α﹣仿射坐标系．在α﹣仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：、分别为与x轴、y轴正向相同的单位向量，若=x+y，则记为=（x，y）．现给出以下说法：①在α﹣仿射坐标系中，已知=（1，2），=（3，t），若∥，则t=6；②在α﹣仿射坐标系中，若=（，），若=（，﹣），则•=0；③在60°﹣仿射坐标系中，若P（2，﹣1），则||=；其中说法正确的有．（填出所有说法正确的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100〕后画出如图所示的频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．18．已知角α终边经过点P（3，2）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（2α+）的值．19． =（sinx，cosx），=（sinx，sinx），=（﹣1，0）（1）若x=，求与的夹角θ；（2）若x∈[﹣，]，f（x）=λ•的最大值为，求λ．20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+1（0≤φ≤）的图象相邻两对称轴之间的距离为π，且在x=时取得最大值2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当f（α）=，且＜α＜，求sinα的值．21．某市政府为了实施政府绩效管理、创新政府公共服务模式、提高公共服务效率．实施了“政府承诺，等你打分”民意调查活动，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，统计结果表不幸被污损，如表：学生在职人员退休人员满意78不满意 5 12若在所调查人员中随机抽取1人，恰好抽到学生的概率为0.32．（Ⅰ）求满意学生的人数；（Ⅱ）现用分层抽样的方法在所调查的人员中抽取25人，则在职人员应抽取多少人？（Ⅲ）若满意的在职人员为77，则从问卷调查中填写不满意的“学生和在职人员”中选出2人进行访谈，求这2人中包含了两类人员的概率．22．如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，∠POB=θ．（Ⅰ）将y表示成θ的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）求矩形PNMQ的面积取得最大值时•的值；（Ⅲ）求矩形PNMQ的面积y≥的概率．2018-2019学年河南省信阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题只有一个选项符合题意）1．y=tanx的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．﹣π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据三角函数的图象与性质，结合题中数据加以计算，即可得到所求函数的最小正周期．【解答】解：∵函数f（x）=tanx中，ω=1∴函数f（x）=tanx的最小正周期T==π故选：B．2．若A，B事件互斥，且有P（A）=0.1，P（B）=0.3，那么P（A∪B）=（）A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.03【考点】概率的基本性质．【分析】由条件根据互斥事件的概率加法公式，求得即可．【解答】解：∵事件A、B是互斥事件，且P（A）=0.1，P（B）=0.3，∴P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.4，故选：B．3．某中学有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[241，480]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义确定抽样的间距即可求出结论．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～240的人中，恰好抽取=12，接着从编号241～480共240人中抽取=12人．故选：B．4．cos12°cos18°﹣sin12°sin18°=（）A． B．C．﹣D．﹣【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】直接利用两角和与差的余弦函数化简求解即可．【解答】解：cos12°cos18°﹣sin12°sin18°=cos（12°+18°）=．故选：A．5．如图程序运行的结果是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】赋值语句．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能，顺序赋值即可得解．【解答】解：由顺序结构的程序框图及赋值语句的功能知：M=1M=1+1=2M=2+2=4输出M的值为4．故选：D．6．已知向量=（a，﹣2），=（1，1﹣a），=（a，0），且⊥（﹣），则实数a=（）A．1 B．0或1 C．3 D．0或3【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的坐标运算和向量的垂直计算即可．【解答】解：∵向量=（a，﹣2），=（1，1﹣a），∴﹣=（a﹣1，a﹣3），∵=（a，0），且⊥（﹣），∴•（﹣）=a（a﹣1）=0，解得a=0或a=1故选：B．7．甲、乙两位“准笑星”在“信阳笑星”选拔赛中，5位评委给出的评分情况如图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为、，记甲、乙两人得分的标准差分别为s1、s2，则下列判断正确的是（）A．＜，s1＜s2B．＜，s1＞s2C．＞，s1＜s2D．＞，s1＞s2【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图的数据，利用平均数和方差的定义即可进行判断．【解答】解：由茎叶图知，甲的得分情况为77，76，88，90，94；乙的得分情况为75，88，86，88，93，因此可知甲的平均分为=×（77+76+88+90+94）=85，乙的平均分为=×（75+88+86+88+93）=86，故可知＜，排除C、D，再根据茎叶图中数据的分布情况可知，乙的数据主要集中在86左右，甲的数据比较分散，乙比甲更为集中，故乙比甲成绩稳定，s1＞s2．故选：B．8．如图是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式f（x）=an x n+an﹣1x n﹣1+…+a1x+a的求值问题的算法．现按照这个程序执行函数f （x）=3x4﹣2x3﹣6x﹣17的计算，若输入的值x=2，则输出的v的值是（）A．0 B．2 C．3 D．﹣3 【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是根据算法把多项式改写为（（（an x+an﹣1）x+an﹣2）x+…+a1）x+a的形式，当x=2时，再由内到外计算多项式，即可得解．【解答】解：∵模拟执行程序，可得程序框图的功能是根据算法an x n+an﹣1x n﹣1+…+a1x+a=（（（anx+an﹣1）x+an﹣2）x+…+a1）x+a求值．∵3x4﹣2x3﹣6x﹣17=（（（3x﹣2）x）x﹣6）x﹣17，∴x=2时，由内向外计算，可得多项式3x4﹣2x3﹣6x﹣17的值为：（（（3×2﹣2）×2）×2﹣6）×2﹣17=3，故选：C．9．先把正弦函数y=sinx图象上所有的点向左平移个长度单位，再把所得函数图象上所有的点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），再将所得函数图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），则所得函数图象的解析式是（）A．y=2sin（x+）B．y=sin（2x﹣） C．y=2sin（x﹣） D．y=sin（2x+）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位，可得函数y=sin（x+）的图象，再把所得函数图象上所有的点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到的图象的函数解析式y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象的函数解析式y=sin（2x+），故选：D．10．函数y=sin2x﹣1+cosx的值域为（）A．[0，2] B．[﹣2，] C．[﹣1，1] D．[﹣2，0]【考点】三角函数的最值．【分析】化简函数y，利用余弦函数cosx的有界性求出函数y的最大、最小值，即可得出函数y的值域．【解答】解：函数y=sin2x﹣1+cosx=﹣cos2x+cosx=﹣+，当cosx=时，函数y取得最大值，当cosx=﹣1时，函数y取得最小值﹣2，所以函数y的值域是[﹣2，]．故选：B．11．若三个单位向量，，满足⊥，则|3+4﹣|的最大值为（）A．5+B．3+2C．8 D．6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件便可分别以OA，OB为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，并可得出点A，B 的坐标，设C（cosα，sinα），从而可以得出向量的坐标，并可得出，这样即可求出的最大值．【解答】解：∵；∴作，则；∴分别以OA，OB所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：A（1，0），B（0，1），设C（cosα，sinα）；∴=（3﹣cosα，4﹣sinα）；∴+16﹣8sinα+sin2a=﹣6cosα﹣8sinα+26=﹣10sin（α+θ）+26，其中；∴sin（α+θ）=﹣1时，取最大值36；∴的最大值为6．故选D．12．函数f（x）=Asin（ωx+φ）满足：f（+x）=﹣f（﹣x），且f（+x）=f（﹣x），则ω的一个可能取值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，得出函数f（x）的图象关于（，0）对称，也关于x=对称；由此求出函数的周期T的可能取值，从而得出ω的可能取值．【解答】解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）满足：f（+x）=﹣f（﹣x），所以函数f（x）的图象关于（，0）对称，又f（+x）=f（﹣x），所以函数f（x）的图象关于x=对称；所以=﹣=所以T=即=，所以ω的一个可能取值是3．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．把二进制1010化为十进制的数为：10 ．【考点】整除的基本性质．【分析】将二进制数转化为十进制数，可以用每个数位上的数字乘以对应的权重，累加后，即可得到答案．【解答】解：根据二进制的数转化为十进制的方法可得：1010=1×23+1×21=10（2）故答案为：1014．已知半径为2的扇形面积为4，则扇形的角度大小为 2 弧度．【考点】扇形面积公式．【分析】根据扇形的面积根据进行计算即可．【解答】解：∵r=2，S=4，扇形=•α•r2，∴S扇形即•α•22=4，解得α=2；∴这个扇形的圆心角为2弧度．故答案为：2．15．某同学在求解某回归方程中，已知x，y的取值结果（y与x呈线性相关）如表：x 2 3 4y 6 4 m并且求得了线性回归方程为=﹣x+，则m等于 3 ．【考点】线性回归方程．【分析】先求得，将代入回归方程求得，即可求得m的值．【解答】解：由==3，线性回归方程为=﹣x+必经过样本中心点（，），将代入，求得=5，由=，求得m=5，故答案为：5．16．如图，当∠xOy=α，且α∈（0，）∪（，π）时，定义平面坐标系xOy为α﹣仿射坐标系．在α﹣仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：、分别为与x轴、y轴正向相同的单位向量，若=x+y，则记为=（x，y）．现给出以下说法：①在α﹣仿射坐标系中，已知=（1，2），=（3，t），若∥，则t=6；②在α﹣仿射坐标系中，若=（，），若=（，﹣），则•=0；③在60°﹣仿射坐标系中，若P（2，﹣1），则||=；其中说法正确的有①③．（填出所有说法正确的序号）【考点】坐标系的作用．【分析】把新定义回归到向量的数量积的运算对每个结论进行验证，即可得出结论．【解答】解：①在α﹣仿射坐标系中，已知=（1，2），=（3，t），若∥，则1×t=2×3，∴t=6，正确；②在α﹣仿射坐标系中，若=（，），若=（，﹣），则•=（+）•（﹣）=﹣﹣≠0，故不正确；③在60°﹣仿射坐标系中，若P（2，﹣1），则||==，正确；故答案为：①③．三、解答题（共6小题，满分70分）17．某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100〕后画出如图所示的频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出第四小组的频率，从而能作出频率分布直方图．（Ⅱ）由频率分布直方图能估计这次考试的及格率和平均分．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得第四小组的频率为：1﹣（0.01+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3．频率分布直方图如右图．（Ⅱ）估计这次考试的及格率及以上为及格）为：1﹣0.01×10﹣0.015×10=75%，平均分：45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．18．已知角α终边经过点P（3，2）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（2α+）的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）由角α的终边经过点P（1，﹣2），利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可求出值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α，进而利用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值即可求得tan（2α+）的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵角α的终边经过点P（3，2），∴sinα=，cosα=，∴===﹣；（Ⅱ）∵tanα==，tan2α==，∴tan（2α+）==﹣．19． =（sinx，cosx），=（sinx，sinx），=（﹣1，0）（1）若x=，求与的夹角θ；（2）若x∈[﹣，]，f（x）=λ•的最大值为，求λ．【考点】两角和与差的正弦函数；数量积表示两个向量的夹角；三角函数的最值．【分析】（1）当x=时可得=（，），=（﹣1，0），由夹角公式可得；（2）可得f（x）=λ•=λsin（2x﹣）+λ，由x的范围易得sin（2x﹣）∈[﹣1，]，分类讨论可得．【解答】解：（1）当x=时， =（，），=（﹣1，0），∴与的夹角θ满足cosθ==，∴与的夹角θ=；（2）f（x）=λ•=λ（sin2x+sinxcosx）=λ（+sin2x）=λsin（2x﹣）+λ，∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣π，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，当λ＞0时，可得λ•+λ=，解得λ=；当λ＜0时，可得λ•（﹣1）+λ=，解得λ=﹣﹣120．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+1（0≤φ≤）的图象相邻两对称轴之间的距离为π，且在x=时取得最大值2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当f（α）=，且＜α＜，求sinα的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据三角函数的图象和性质，分别求出周期，利用正弦函数的单调性即可得到结论．（Ⅱ）令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）由f（α）=，可得sin（α+）的值，可求范围＜＜π，利用同角三角函数基本关系式可求cos（α+）的值，由于α=（α+）﹣，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵若f（x）图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，∴三角函数的周期T=2π，即T==2π，即ω=1，则f（x）=sin（x+φ），当x=时，f（x）取得最大值，即：sin（+φ）=1，即： +φ=+2kπ，k∈Z，即：φ=+2kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，则函数f（x）的解析式为：f（x）=sin（x+）+1．（Ⅱ）令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．（Ⅲ）∵f（α）=sin（α+）+1=，可得：sin（α+）=，∵＜α＜，可得：＜＜π，∴cos（α+）=﹣=﹣．∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=﹣（﹣）×=．21．某市政府为了实施政府绩效管理、创新政府公共服务模式、提高公共服务效率．实施了“政府承诺，等你打分”民意调查活动，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，统计结果表不幸被污损，如表：学生在职人员退休人员满意78不满意 5 12若在所调查人员中随机抽取1人，恰好抽到学生的概率为0.32．（Ⅰ）求满意学生的人数；（Ⅱ）现用分层抽样的方法在所调查的人员中抽取25人，则在职人员应抽取多少人？（Ⅲ）若满意的在职人员为77，则从问卷调查中填写不满意的“学生和在职人员”中选出2人进行访谈，求这2人中包含了两类人员的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）设满意学生的人数为x，依题意得=0.32，由此能求出满意学生的人数．（Ⅱ）由学生人数为80，退休人员人数为90，得在职人员人数为80，由此能求出用分层抽样的方法在所调查的人员中抽取25人，在职人员应抽取的人数．（Ⅱ）由满意的在职人员为77，得不满意的在职人员为3人，由此能求出从问卷调查中填写不满意的“学生和在职人员”中选出2人进行访谈，这2人中包含了两类人员的概率．【解答】解：（Ⅰ）设满意学生的人数为x，依题意得=0.32，解得x=75．（Ⅱ）∵学生人数为75+5=80，退休人员人数为78+12=90，∴在职人员人数为250﹣80﹣90=80，∴用分层抽样的方法在所调查的人员中抽取25人，则在职人员应抽取：80×=8人．（Ⅱ）∵满意的在职人员为77，∴不满意的在职人员为80﹣77=3人，从问卷调查中填写不满意的“学生和在职人员”中选出2人进行访谈，基本事件总数n==28，这2人中包含了两类人员包含的基本事件个数m==15，∴这2人中包含了两类人员的概率p=．22．如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，∠POB=θ．（Ⅰ）将y表示成θ的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）求矩形PNMQ的面积取得最大值时•的值；（Ⅲ）求矩形PNMQ的面积y≥的概率．【考点】根据实际问题选择函数类型；平面向量数量积的运算；几何概型．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的关系，求出矩形的邻边，求出面积的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，根据θ的范围确定函数的定义域．（Ⅱ）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的最值性质求出矩形面积的最大值．以及利用向量数量积的定义进行求解即可．（Ⅲ）根据几何概型的概率公式求出矩形PNMQ的面积y≥时，对应的角θ的取值范围，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）在Rt△PON中，∠PNO=90°，∠POB=θ，，所以，，在Rt△QMO中，∠QMO=90°，∠QON=60°，QM=PN=所以OM=所以：MN=ON﹣OM=所以y=即：y=3sinθcosθ﹣sin2θ，（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=3sinθcosθ﹣sin2θ=﹣=）﹣=∵θ∈（0，）∴∴sin（）∈∴，即时，y的最大值为．此时ON=cos==，则•=||•||cos=×=．（Ⅲ）若矩形PNMQ的面积y≥，则≥，即sin（）≥，... 则sin（）≥，∵∴≤≤，即≤θ≤，则对应的概率P==。

2017-2018学年河南省信阳高中高一（下）开学数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数的定义域为（）A．B．（1，+∞）C．D．2．已知A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M 点坐标为（）A．（﹣3，0，0） B．（0，﹣3，0） C．（0，0，﹣3） D．（0，0，3）3．直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，且与直线﹣=1平行，则直线l的方程是（）A．2x﹣y﹣4=0 B．x+2y﹣3=0 C．2x﹣y=0 D．x﹣2y+3=04．设a=log3，b=log，c=（）0.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c5．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8π C．16+16πD．8+16π7．若实数x，y满足|x﹣1|﹣ln=0，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A． B．C．D．8．将进货单价为40元的商品按60元一个售出时，能卖出400个．已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得最大利润，售价应定为（）A．每个70元B．每个85元C．每个80元D．每个75元9．过M（1，3）引圆x2+y2=2的切线，切点分别为A、B，则△AMB的面积为（）A．B．4 C．D．10．直线l：y=kx﹣1与曲线C：（x2+y2﹣4x+3）y=0有且仅有2个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A． B． C．D．11．已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O 所得截面的面积为4π，则球O的表面积为（）A． B． C．9πD．18π12．已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）二、填空题（每题5分，满分20分）13．log28+lg0.01+ln=．14．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4=0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1=0互相垂直，则a 的值等于．15．已知y=f（x）是定义在[﹣6，6]上的奇函数，它在[0，3]上是一次函数，在[3，6]上是二次函数，当x∈[3，6]时，f（x）≤f（5）=3，又f（6）=2，则f（x）=．16．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；以上中真的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．记函数f（x）=的定义域为A，g（x）=lg[（x﹣a﹣1）（2a﹣x）]（a＜1）的定义域为B．（1）求A；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．18．已知如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC，且AB⊥AC，M是面CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上．（Ⅰ）若P为A1B1中点，求证：NP∥平面ACC1A1；（Ⅱ）证明：PN⊥AM．19．已知△ABC的三个顶点A（m，n），B（2，1），C（﹣2，3）．（Ⅰ）求BC边所在直线方程；=7，求m，n的值．（Ⅱ）BC边上中线AD的方程为2x﹣3y+6=0，且S△ABC20．如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，若CB=CD=CF=a．（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面AED；（Ⅱ）求三棱锥A﹣CDF的体积．21．已知圆O的直径AB=4，定直线l到圆心的距离为6，且直线l⊥直线AB．点P是圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交l于M、N点．如图，以AB为x轴，圆心O 为原点建立平面直角坐标系xOy．（1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆的方程；（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．22．设函数f（x）=（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求t的值；（Ⅱ）若函数f（x）的图象过点（1，），是否存在正数m（m≠1），使函数g（x）=log m[a2x+a﹣2x﹣mf（x）]在[1，log23]上的最大值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年河南省信阳高中高一（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数的定义域为（）A．B．（1，+∞）C．D．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即，即x＞且x≠1，则函数的定义域为，故选：C．2．已知A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M 点坐标为（）A．（﹣3，0，0） B．（0，﹣3，0） C．（0，0，﹣3） D．（0，0，3）【考点】两点间的距离公式．【分析】点M（0，0，z），利用A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M到A、B两点的距离相等，建立方程，即可求出M点坐标【解答】解：设点M（0，0，z），则∵A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M到A、B两点的距离相等，∴∴z=﹣3∴M点坐标为（0，0，﹣3）故选C．3．直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，且与直线﹣=1平行，则直线l的方程是（）A．2x﹣y﹣4=0 B．x+2y﹣3=0 C．2x﹣y=0 D．x﹣2y+3=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心为（1，2），设直线方程为﹣=b，利用直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，求出b，即可求出直线l的方程．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心为（1，2）设直线方程为﹣=b，∵直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，∴b=﹣=0，∴直线l的方程是2x﹣y=0，故选：C．4．设a=log3，b=log，c=（）0.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较．【分析】直接利用指数函数与对数函数的性质比较三个数与0和1的大小得答案．【解答】解：∵a=log3＜0，b=log＞，0＜c=（）0.3＜，∴a＜c＜b．故选：B．5．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β【考点】平面与平面垂直的性质．【分析】对于A、由面面平行的判定定理，得A是假对于B、由m⊥α，n⊥β且α⊥β，可知m与n不平行，借助于直线平移先得到一个与m或n都平行的平面，则所得平面与α、β都相交，根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论．对于C、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，判断正误即可；对于D、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可．【解答】解：对于A，若m∥α，n∥β且α∥β，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故B正确．对于C，根据面面垂直的性质，可知m⊥α，n⊂β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也可能α⊥β，故C不正确；对于D，若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β”，则“α∥β”也可能α∩β=l，所以D不成立．故选B．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8π C．16+16πD．8+16π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选A．7．若实数x，y满足|x﹣1|﹣ln=0，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案．【解答】解：∵|x﹣1|﹣ln=0，∴f（x）=（）|x﹣1|其定义域为R，当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，因为0＜＜1，故为减函数，又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，对照选项，只有B正确．故选：B．8．将进货单价为40元的商品按60元一个售出时，能卖出400个．已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得最大利润，售价应定为（）A．每个70元B．每个85元C．每个80元D．每个75元【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】设销售价为x元，由题意可得销售量就减少10（x﹣60）个，销售量为1000﹣10x 个，可得利润y=（x﹣40），运用配方即可得到所求最大值及对应的x的值．【解答】解：设销售价为x元，由题意可得销售量就减少10（x﹣60）个，销售量为400﹣10（x﹣60）=1000﹣10x个，可得利润y=（x﹣40）=10（﹣x2+140x﹣4000）=10[﹣（x﹣70）2+900]，当x=70时，y取得最大值9000．即有为了赚得最大利润，售价应定为70元．故选：A．9．过M（1，3）引圆x2+y2=2的切线，切点分别为A、B，则△AMB的面积为（）A．B．4 C．D．【考点】圆的切线方程．【分析】作出图象易得sin∠OMB，进而可得cos∠AMB和sin∠AMB=，代入三角形的面积公式计算可得．【解答】解：如图，由题意可得|OM|==，由勾股定理可得|MA|=|MB|==2，故sin∠OMB===，∴cos∠AMB=cos2∠OMB=2cos2∠OMB﹣1=﹣，故sin∠AMB=，三角形面积S=×|MA|×|MB|×sin∠AMB=，故选：C．10．直线l：y=kx﹣1与曲线C：（x2+y2﹣4x+3）y=0有且仅有2个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A． B． C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出直线l：y=kx﹣1与曲线C相切时k的值，即可求得实数k的取值范围．【解答】解：如图所示，直线y=kx﹣1过定点A（0，﹣1），直线y=0和圆（x﹣2）2+y2=1相交于B，C两点，圆（x﹣2）2+y2=1的圆心O（2，0），半径r=1，k AB==，k AC==1，过A（0，﹣1）作圆O的切线AE、AD，切点分别为E，D，连结AO，由题意E（2，﹣1），设∠OAE=α，则∠DAE=2α，k AO=tanα==，∴k AD=tan2α===，∵直线l：y=kx﹣1与曲线C：x2+y2﹣4x+3=0有且仅有2个公共点，∴结合图形得k=，或k=1，或k=，∴实数k的取值范围是{}．故选：C．11．已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O 所得截面的面积为4π，则球O的表面积为（）A． B． C．9πD．18π【考点】球的体积和表面积．【分析】设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为R，∵α截球O所得截面的面积为4π，∴d=R时，r=2，故由R2=r2+d2得R2=22+（R）2，∴R2=∴球的表面积S=4πR2=18π．故选：D．12．已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】作函数f（x）=的图象如下，由图象可得x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；从而化简x3（x1+x2）+，利用函数的单调性求取值范围．【解答】解：作函数f（x）=，的图象如下，由图可知，x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；故x3（x1+x2）+=﹣+x4，其在1＜x4≤2上是增函数，故﹣2+1＜﹣+x4≤﹣1+2；即﹣1＜﹣+x4≤1；故选B．二、填空题（每题5分，满分20分）13．log28+lg0.01+ln=2．【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的性质、运算法则、换底公式直接求解．【解答】解：log28+lg0.01+ln=3﹣2+++1﹣2=2．故答案为：2．14．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4=0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1=0互相垂直，则a 的值等于a=2或a=﹣2．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用两条直线互相垂直的充要条件，得到关于a的方程可求．【解答】解：设直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4=0为直线M；直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1=0为直线N①当直线M斜率不存在时，即直线M的倾斜角为90°，即a﹣2=0，a=2时，直线N的斜率为0，即直线M的倾斜角为0°，故：直线M与直线N互相垂直，所以a=2时两直线互相垂直．②当直线M和N的斜率都存在时，k M=（，k N=要使两直线互相垂直，即让两直线的斜率相乘为﹣1，故：a=﹣2．③当直线N斜率不存在时，显然两直线不垂直．综上所述：a=2或a=﹣2故答案为：a=2或a=﹣215．已知y=f（x）是定义在[﹣6，6]上的奇函数，它在[0，3]上是一次函数，在[3，6]上是二次函数，当x∈[3，6]时，f（x）≤f（5）=3，又f（6）=2，则f（x）=．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】根据题意，分析可得（5，3）是[3，6]这段二次函数图象的顶点，则设其解析式为f（x）=a（x﹣5）2+3，代入数据可得a=﹣1，即f（x）=﹣（x﹣5）2+3，进而由特殊值可得f（x）在[0，3]x的一次函数的解析式，再根据函数是奇函数，由奇函数的性质，分析可得f（x）的解析式．【解答】解：∵f（x）在[3，6]上是x的二次函数，且当3≤x≤6时，f（x）≤f（5）=3；∴（5，3）是此二次函数图象的顶点，设这个二次函数为f（x）=a（x﹣5）2+3．∵f（6）=2；∴a=﹣1．∴f（x）=﹣（x﹣5）2+3（x∈[3，6]），∴f（3）=﹣1．又函数f（x）是定义在[﹣6，6]上的奇函数；∴f（0）=0．∵f（x）在[0，3]上是x的一次函数，且f（0）=0，f（3）=﹣1；∴f（x）=﹣x．又∵函数f（x）是定义在[﹣6，6]上的奇函数，∴x∈[﹣3，0]时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x；x∈[﹣6，﹣3]时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣（﹣x﹣5）2+3}=（x+5）2﹣3．综上f（x）=．故答案为：．16．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；以上中真的序号为①②④．【考点】的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD′B′．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③判断周长的变化情况．④求出四棱锥的体积，进行判断．【解答】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．记函数f（x）=的定义域为A，g（x）=lg[（x﹣a﹣1）（2a﹣x）]（a＜1）的定义域为B．（1）求A；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．【考点】函数的定义域及其求法；集合的包含关系判断及应用；对数函数的定义域．【分析】（1）令被开方数大于等于零，列出不等式进行求解，最后需要用集合或区间的形式表示出来；（2）先根据真数大于零，求出函数g（x）的定义域，再由B⊆A和a＜1求出a的范围．【解答】解：（1）由2﹣≥0，得≥0，解得，x＜﹣1或x≥1，即A=（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞），（2）由（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0，得（x﹣a﹣1）（x﹣2a）＜0，∵a＜1，∴a+1＞2a．∴B=（2a，a+1），∵B⊆A，∴2a≥1或a+1≤﹣1，即a≥或a≤﹣2，∵a＜1，∴≤a＜1或a≤﹣2，故当B⊆A时，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[，1）．18．已知如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC，且AB⊥AC，M是面CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上．（Ⅰ）若P为A1B1中点，求证：NP∥平面ACC1A1；（Ⅱ）证明：PN⊥AM．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出NP∥平面ACC1A1．（2）求出=（0，2，1），=（0，1，﹣2），利用向量法能证明PN⊥AM．【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA1=AC=2，AB=2a，则B（2a，0，0），C（0，2，0），N（a，1，0），P（a，0，2），=（0，﹣1，2），平面ACC1A1的法向量=（1，0，0），=0，∵NP⊄平面ACC1A1，∴NP∥平面ACC1A1．（2）M（0，2，1），=（0，2，1），又=（0，1，﹣2），∴=0+2﹣2=0，∴⊥，∴PN⊥AM．19．已知△ABC的三个顶点A（m，n），B（2，1），C（﹣2，3）．（Ⅰ）求BC边所在直线方程；=7，求m，n的值．（Ⅱ）BC边上中线AD的方程为2x﹣3y+6=0，且S△ABC【考点】直线的一般式方程；三角形的面积公式．【分析】（I）由两点的斜率公式，算出BC的斜率k=﹣，再由直线方程的点斜式列式，化简即得BC边所在直线方程；=7得到点A到BC的距离等于，（II）由两点的距离公式，算出，结合S△ABC由此建立关于m、n的方程组，解之即可得到m，n的值．【解答】解：（Ⅰ）∵B（2，1），C（﹣2，3）．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣可得直线BC方程为化简，得BC边所在直线方程为x+2y﹣4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由题意，得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，解之得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由点到直线的距离公式，得，化简得m +2n=11或m +2n=﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得m=3，n=4或m=﹣3，n=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB=60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，若CB=CD=CF=a ． （Ⅰ）求证：平面BDE ⊥平面AED ； （Ⅱ）求三棱锥A ﹣CDF 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定． 【分析】（I ）根据等腰三角形和等腰梯形性质可得∠ADB=90°，又BD ⊥AE ，得出BD ⊥平面ADE ，故而平面BDE ⊥平面AED ； （II ）V A ﹣CDF =V F ﹣ACD ． 【解答】证明：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中， ∵∠DAB=60°，∴∠CDA=∠DCB=120° 又∵CB=CD ， ∴∠CDB=30°，∴∠ADB=90°，即BD ⊥AD ．又∵AE ⊥BD ，AE ⊂平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，AD ∩AE=A ， ∴BD ⊥平面AED ， 又∵BD ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面AED ．（Ⅱ）∵CB=CD=AD=a ，∠ADC=120°，∴S △ADC ==，∵FC ⊥平面ABCD ，且CF=a ，∴，∴三棱锥A ﹣CDF 的体积为．21．已知圆O的直径AB=4，定直线l到圆心的距离为6，且直线l⊥直线AB．点P是圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交l于M、N点．如图，以AB为x轴，圆心O 为原点建立平面直角坐标系xOy．（1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆的方程；（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）⊙O的方程为x2+y2=4，直线l的方程为x=6，点P的坐标为（1，），由此能求出以MN为直径的圆的方程．（2）设点P的坐标为（x0，y0），则，求出MN的中点坐标和以MN为直径的圆C截x轴的线段长度，由此能证明以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．【解答】解：（1）∵圆O的直径AB=4，定直线l到圆心的距离为6，且直线l⊥直线AB．如图，以AB为x轴，圆心O为原点建立平面直角坐标系xOy，∴⊙O的方程为x2+y2=4，直线l的方程为x=6，∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为（1，），∴，，将x=6代入，得M（6，），N（6，﹣4），∴MN的中点坐标为（6，﹣），MN=，∴以MN为直径的圆的方程为（x﹣6）2+（y+）2=．同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是（x﹣6）2+（y+）2=，∴所求圆的方程为（x﹣6）2+（y+）2=．证明：（2）设点P的坐标为（x0，y0），则，（y0≠0）∴，∵，，将x=6代入，得，，∴M（6，），N（6，），MN=||=，MN的中点坐标为（6，﹣），以MN为直径的圆C截x轴的线段长度为：2====8．（为定值）∴以MN为直径的圆必过圆O内的一定点（6﹣4，0）．22．设函数f（x）=（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求t的值；（Ⅱ）若函数f（x）的图象过点（1，），是否存在正数m（m≠1），使函数g（x）=log m[a2x+a﹣2x﹣mf（x）]在[1，log23]上的最大值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）由奇函数的性质可知f（0）=0，得出t=2；（Ⅱ）根据f（x）的图象过点（1，），求出a，从而得到g（x）的解析式，令t=2x﹣2﹣x，则t∈[，]，记h（t）=t2﹣mt+2，对底数m进行分类讨论，当0＜m＜1时，根据对数函数的单调性，将g（x）的最大值转化为h（t）的最小值，利用二次函数的性质，列出关于m的方程，求出m，当m＞1时，根据对数函数的单调性，将g（x）的最大值转化为h （t）的最小值，再根据对称轴与区间的位置关系，分别求解h（t）的最大值和最小值，根据题意进行求解m的值，最后判断所求m的值是否符合题意，从而得到答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）是定义域为R的奇函数∴f（0）=0，∴t=2；（Ⅱ）假设存在正数m（m≠1）符合题意，由a=2得，=，=，设t=2x﹣2﹣x，则（2x﹣2﹣x）2﹣m（2x﹣2﹣x）+2=t2﹣mt+2，∵x∈[1，log23]，∴，记h（t）=t2﹣mt+2，∵函数在[1，log23]上的最大值为0，∴（ⅰ）若0＜m＜1，则函数h（t）=t2﹣mt+2在有最小值为1，∵对称轴，∴，不合题意；（ⅱ）若m＞1，则函数h（t）=t2﹣mt+2＞0在上恒成立，且最大值为1，最小值大于0，①，又此时，，故g（x）无意义所以；②无解，综上所述：故不存在正数m（m≠1），使函数在[1，log23]上的最大值为0．2016年10月17日。