北师大版-数学-八年级上册--例题与讲解-第二章 7 二次根式

7 二次根式1．二次根式的定义一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数．【例1－1】 下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？2，33，1x ，x 2＋1，0，42，－2，1x ＋y，x ＋y .解：二次根式有：2，x 2＋1，0，－2；不是二次根式的有：33，1x ，42，1x ＋y，x ＋y .析规律 二次根式的条件二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0. 【例1－2】 当x 是多少时，3x －1在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x －1≥0时，3x －1才有意义．解：由3x －1≥0，得x ≥13.因此当x ≥13时，3x －1在实数范围内有意义．点技巧 二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是，被开方数是非负数，即被开方数一定要大于或等于0. 2．积的算术平方根用“＞，＜或＝”填空．4×9______4×9，16×25______16×25，100×36______100×36. 根据上面的计算我们可得出：ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)即：积的算术平方根，等于各算术平方根的积． 【例2】 化简：(1)9×16；(2)16×81；(3)81×100；(4)54. 分析：利用ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)直接化简即可． 解：(1)9×16＝9×16＝3×4＝12. (2)16×81＝16×81＝4×9＝36. (3)81×100＝81×100＝9×10＝90.(4)54＝9×6＝32×6＝3 6.点评：利用积的算术平方根的性质可对二次根式进行化简，使其不含能开得尽方的因数或因式．3．商的算术平方根 填空：(1)916＝__________，916＝__________； (2)1636＝__________，1636＝__________； (3)416＝__________，416＝__________； (4)3681＝__________，3681＝__________.规律：916______916；1636______1636；416______416；3681______3681. 通过计算容易得出上面的式子都是相等的．因此， a b ＝ab(a ≥0，b >0) 即：商的算术平方根等于各算术平方根的商． 【例3】 化简： (1)364；(2)64b29a2；(3)9x64y 2；(4)5x 169y2. 分析：直接利用a b ＝ab(a ≥0，b ＞0)就可以达到化简之目的． 解：(1)364＝364＝38. (2)64b 29a 2＝64b 29a 2＝8|b |3|a |. (3)9x 64y 2＝9x 64y 2＝3x8|y |. (4)5x 169y 2＝5x 169y 2＝5x13|y |. 4．最简二次根式最简二次根式应满足以下两个条件： (1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．所以，化简二次根式时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式．【例4】 把下列根式化成最简二次根式：(1)12，(2)40，(3) 1.5，(4)43. 解：(1)12＝4×3＝2 3. (2)40＝4×10＝210. (3) 1.5＝32＝32＝3×22×2＝62. (4)43＝23＝233. 点评：化简二次根式时，要求最终结果中分母不含有根号，应利用二次根式的有关性质化掉分母中的根号．5．二次根式的乘除二次根式的乘法：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0) 二次根式的除法：a b＝ab(a ≥0，b >0) 即：二次根式相乘除，只把被开方数相乘除，结果仍然作为被开方数． 【例5】 计算： (1)5×7；(2)13×9；(3)14÷116；(4)648. 分析：直接利用a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)和ab＝ab(a ≥0，b ＞0)计算即可．解：(1)5×7＝35. (2)13×9＝13×9＝ 3. (3)14÷116＝14÷116＝14×16＝4＝2. (4)648＝648＝8＝2 2.6．二次根式的加减 计算下列各式：(1)2x ＋3x ；(2)2x 2－3x 2＋5x 2；(3)x ＋2x ＋3y ；(4)3a 2－2a 2＋a 3.上面的题目，实际上为同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减． 计算下列各式：(1)22＋32；(2)28－38＋58； (3)7＋27＋9×7；(4)33－23＋ 2.分析：(1)如果我们把2当成x ，不就转化为上面的问题了吗？ 22＋32＝(2＋3)2＝5 2. (2)把8当成y ；28－38＋58＝(2－3＋5)8＝48＝8 2. (3)把7当成z ； 7＋27＋9·7＝7＋27＋37＝(1＋2＋3)7＝67. (4)把3看为x ，2看为y .33－23＋2＝(3－2)3＋2＝3＋ 2.因此，二次根式的被开方数相同的话是可以合并的．二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【例6】 计算：(1)8＋18；(2)16x ＋64x ；(3)348－913＋312；(4)(48＋20)＋(12－5)．分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：(1)8＋18＝22＋32＝(2＋3)2＝5 2. (2)16x ＋64x ＝4x ＋8x ＝(4＋8)x ＝12x . (3)348－913＋312＝123－33＋63＝(12－3＋6)3＝15 3. (4)(48＋20)＋(12－5)＝48＋20＋12－ 5 ＝43＋25＋23－ 5 ＝63＋ 5.7．化简a 2(1)计算：42＝4，0.22＝0.2，⎝⎛⎭⎫452＝45，202＝20，观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a ＞0时，a 2＝a .(2)计算：(－4)2＝4，(－0.2)2＝0.2，⎝⎛⎭⎫－452＝45，(－20)2＝20，观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a ＜0时，a 2＝－a .(3)计算：02＝0，当a ＝0时，a 2＝0.(4)将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >0，0，a ＝0，－a ，a <0.【例7－1】 化简：(1)9；(2)(－4)2； (3)25； (4)(－3)2.分析：因为(1)9＝32，(2)(－4)2＝42，(3)25＝52，(4)(－3)2＝32，所以都可运用a 2＝a (a ≥0)去化简．解：(1)9＝32＝3. (2)(－4)2＝42＝4. (3)25＝52＝5. (4)(－3)2＝32＝3.【例7－2】 先化简再求值：当a ＝9时，求a ＋1－2a ＋a 2的值，甲、乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式＝a ＋(1－a )2＝a ＋(1－a )＝1；乙的解答为：原式＝a ＋(1－a )2＝a ＋(a －1)＝2a －1＝17.两种解答中，__________的解答是错误的，错误的原因是__________． 答案：甲 甲没有先判定1－a 是正数还是负数8．二次根式的混合运算 计算：(1)6x ·3y ；(2)(2x ＋y )·zx ；(3)(2x 2y ＋3xy 2)÷xy . (4)(2x ＋3y )(2x －3y )；(5)(2x ＋1)2＋(2x －1)2.如果把上面的x ，y ，z 改写成二次根式，以上的运算规律是否仍成立？仍成立．整式运算中的x ，y ，z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．【例8】 计算：(1)(6＋8)×3； (2)(46－32)÷22； (3)(5＋6)(3－5)；(4)(10＋7)(10－7)．分析：因为二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律． 解：(1)(6＋8)×3＝6×3＋8×3＝18＋24＝32＋2 6.(2)(46－32)÷22＝46÷22－32÷22＝23－32.(3)(5＋6)(3－5)＝35－(5)2＋18－65＝13－3 5. (4)(10＋7)(10－7)＝(10)2－(7)2＝10－7＝3.。