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现代控制理论 09(第5章状态反馈控制器设计)

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现代控制理论第五章答案

现代控制理论第五章答案


比较 f () 和 f * ( ) 求出反馈矩阵 G[3r 2r2]T
观测器方程为：
xˆ (AGC)xˆGybu
3r 2r2
10xˆ23rr2y10u
【习题5－11】已知系统状态空间表达式为
x 0 2 1 1 x 1 0 u
0 1
1 0 01 0
c2A1B0 1 10 2 30 11 0
1 0 10 1
d2 1
计算几个矩阵
Dc c2 1A Ad d1 2cc 21 A1 1
0 2
0 2
1 0
EDB 11
第五章主要内容：
§5—1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 主要知识点:
1、状态反馈、输出反馈的基本概念； 2、三种反馈控制系统的基本结构和特点； 3、闭环系统的能控性和能观性。
§ 5—2 极点配置问题
主要知识点: 1、极点配置的基本概念； 2、极点任意配置的条件； 3、极点配置的设计方法。
§5—3 系统镇定问题 主要知识点:
s 1


0
0

1

(s 1)(s 2)
1


s 1 1
(s 1)2

(s

s
1)( s
s

2)

(s 1)2
0

1

(s 1)(s 2)
【习题5－8】已知系统
1 0 0 1 0 x0 2 3x0 1u
期望的闭环特征多项式
f* () ( 2 )2 ( 3 )3 7 2 1 6 12
比较 f () 和 f * ( ) 求出反馈矩阵
现代控制理论---状态反馈和状态观测器

现代控制理论---状态反馈和状态观测器

第五章 系统的状态反馈及观测器
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第五章 系统的状态反馈及观测器
在第二章， 在第二章，研究的是在己知系统的结构和参数情况下系统的 运动，从而了解系统的运动形态。 运动，从而了解系统的运动形态。第三章介绍了系统的能控性和 能观测性。第四章是系统稳定性问题。 能观测性。第四章是系统稳定性问题。如果将上述研究的内容概 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下， 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下，研究系统的性 能或特性，即所谓系统分析问题。 能或特性，即所谓系统分析问题。 本章将研究线性定常系统的综合。 本章将研究线性定常系统的综合。这是一个与系统分析相反 的命题，是在给定被控对象的情况下， 的命题，是在给定被控对象的情况下，通过设计控制器的结构和 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。采用的方法是先测 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人， 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人，从 而构成状态反馈系统。 而构成状态反馈系统。
第五章 系统的状态反馈及观测器
采用状态反馈， 采用状态反馈，对系统能控性和能观测性有 无影响呢?这是本章讨论的重要内容之一 这是本章讨论的重要内容之一。 无影响呢 这是本章讨论的重要内容之一。同时 研究一个能控的系统， 研究一个能控的系统，引入状态反馈可以任意配 置状态反馈系统的极点， 置状态反馈系统的极点，保证系统具有所希望的 瞬态性能和稳态性； 瞬态性能和稳态性；对于系统的状态变量无法测 量但又要用它来实现反馈的情况， 量但又要用它来实现反馈的情况，通过状态重构 方法。设计状态观测器。 方法。设计状态观测器。
现代控制理论_第5章_状态反馈与状态观测器

现代控制理论_第5章_状态反馈与状态观测器


y 10 0 0 x
状态反馈阵
k k k k 1 2 0
状态反馈系统特征方程：

2 1 j 1 j 3 4 2 6 4 0
、x 、x 根据两特征方程同次项系数相等的条件，可求出由x1 2 3 引出的反馈系数为：
x x 0 1 0 10 1 1 0 0 －2 x 10 u x 2 2 0 1 3 0 x x 3 3
二、用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条 件是：受控对象能控 证明： 若式(5-1)所示对象可控，定可通过变换化为能 控标准形，有
0 0 A 0 a 0
1 0 0
0 0 0

a a 1 2
0 1 a n1
G C sI A 1
1 b


10

11 q1


1,n1
1 sn a sn1 a s a n1 1 0 q0

q,n1

I A bk n a

k n1 a k 2 a k 1 n1 2 1 1 n 2 1 a k 0 0 0 (5-9)

， k ，可使特征方程的 显见，任意选择k 阵的 n 个元素 k0， n1 个系数满足规定要求，能保证特征值（即闭环极点）任意配 置。
课件-现代控制理论-刘豹第三版-第5章

课件-现代控制理论-刘豹第三版-第5章


能控性与能观性的判别方法
能观性判别方法
能控性判别方法
表示系统是否可以通过输入控制实现任意状态转移。若系统完全能控，则可以通过设计合适的控制器实现任意状态轨迹的跟踪或镇定；若部分能控或不能控，则存在状态无法被有效控制的风险。
能控性的物理意义
表示系统状态是否可以通过输出完全反映出来。若系统完全能观，则可以通过观测输出信号来准确估计系统状态；若部分能观或不能观，则存在状态无法被准确观测的风险，进而影响控制性能的实现。
控制系统稳定性分析是控制理论的核心内容之一，对于确保控制系统的正常运行具有重要意义。
章节内容结构
稳定性概念及定义
介绍稳定性的基本概念和定义，包括Lyapunov稳定性和BIBO稳定性等。
线性系统稳定性判据
详细阐述线性系统稳定性的判据，如Routh-Hurwitz判据、Nyquist判据和Bode图等。
图解法
状态转移矩阵的计算方法
1
2
3
状态转移矩阵反映了系统在时间间隔内从初始状态到最终状态的动态变化过程。
描述系统状态的动态变化过程
若系统稳定，则状态转移矩阵将逐渐趋于零，表示系统状态将逐渐趋于稳定。
反映系统稳定性
状态转移矩阵是进行系统分析和设计的重要工具，可用于研究系统的稳定性、能控性、能观性等性质。
非线性系统稳定性分析
介绍非线性系统稳定性分析方法，如相平面法、Lyapunov直接法等。
熟练掌握线性系统稳定性的判据和分析方法，能够应用所学知识分析和设计线性控制系统。
了解非线性系统稳定性分析方法的基本原理和应用范围，能够运用所学知识分析和设计简单的非线性控制系统。
掌握稳定性的基本概念和定义，理解不同稳定性定义之间的联系与区别。
第5章 线性反馈控制系统的综合 现代控制理论课件

第5章 线性反馈控制系统的综合 现代控制理论课件

406724184 66 14
a 1 a 2 1 1007 21 81 7 21 81 （ 5 ） P bA bA 2 b a 2 10 01 6 1 810 1 210
1 00 001 1 00 1 00
72 18 11
（6）k=kP1 4 66 1412 1 0
被控对象
x& AxBu
（或开环系统）： y Cx
x ~ n维 u~ p维 y ~ q维
取 系 统 的 控 制 作 用 为 ： u K x v
其 中 ： K为 pn矩 阵 ，
为 p维 列 向 量 ：调 节 问 题 ＝ 0 跟 踪 问 题 为 确 定 性 的 时 间 向 量 函 数 恒 值 控 制 为 常 值 向 量
（4）由 (s) *(s) ，解n个联立的代数方程，得到 k0,k1,L ,kn1
0 0 0 1 例5－1 x&1 6 0 x0u，
0 1 12 0
期望极 点为1* － 2，2*,3 1j，求状态 反馈向量 k。
解：首先由能控性矩阵判断系统的能控性：
1 0 0 Qcb Ab A2b0 1 6
0 0 1
五、关于极点配置的几点说明：
（1）实现多输入系统极点配置的状态反馈矩阵K不是唯一的，满足闭 环极点期望值的K都是极点配置的正确值，但是其元素取值较小的矩 阵K更具工程意义。 （2）在安排闭环极点位置时，既要考虑具有较大负实部的闭环极点， 使过渡过程加快，也要考虑这将使所需的控制量幅值增大，导致系统 响应的幅值增大。
(A ,b ) x P x (A ,b )能控标准型
极点配置
k
k=k P1kkPk0 k1 L kn1
a0a0 a1a1 L an1an1
0 0 0 1
现代控制理论第五章线性系统的设计与综合

现代控制理论第五章线性系统的设计与综合


第五章 线性系统的设计与综合
熟练掌握状态反馈与输出反馈，极点配置 熟练掌握状态观测器设计方法 掌握分离原理
教学要求：
状态反馈与输出反馈的基本结构、性质和有关定理 单输入、多输出系统的极点配置 全维观测器的设计 状态反馈与观测器的工程应用
重点内容：
5.1 状态反馈与输出反馈
CONTENTS
则：
令： 式中 标量 这说明 的列 是 列的线性组合。
01
列的线性组合。
同理： 的列 是
列的线性组合。
的列 是
输出反馈实现极点配置
01
输出反馈 状态微分 设多输入／单输出系统：
02
B
A
I/s
C
h
u
y
-
+
x
定理：由输出至 的反馈任意配置极点的充要条件是被控系统能观。
证明：运用对偶原理：
若(A,B,C)能观，则
能控，可由状态反馈实现极点配置：
可求出h 。
03
04
05
设
令
闭环系统状态空间表达式:
1/s
01
1/s
02
1/s
03
2
04
3
05
3
06
+
07
+
08
y
09
v
10
11
状态反馈
12
闭环系统的传递函数：
A
设单输入-单输出系统：
B
已知(A,b,c,d)能控，则经过 将(A,b,c,d)化为能控型
5.4 状态反馈对系统零极点的影响
引入状态反馈：
设：
01
02
Ｂ
Ｖ
现代控制理论课程设计用现代控制理论中状态反馈设计三阶线性控制系统

现代控制理论课程设计用现代控制理论中状态反馈设计三阶线性控制系统

现代控制理论课程报告用现代控制理论中状态反馈设计三阶线性控制系统一、目的要求目的：1、通过课程设计,加深理解现代控制理论中的一些基本概念；2、掌握用状态方程描述的线性系统的稳定性、能控性、能观性的分析计算方法；3、掌握对线性系统能进行任意极点配置来表达动态质量要求的条件，并运用状态反馈设计方法来计算反馈增益矩阵和用模拟电路来实现。

达到理论联系实际，提高动手能力。

要求：1、 在思想上重视课程设计，集中精力，全身心投入，按时完成各阶段设计任务。

2、重视理论计算和MATLAB 编程计算，提高计算机编程计算能力。

3、认真写课程设计报告，总结经验教训。

二、技术指标技术指标：1、 已知线性控制系统开环传递函数为：0G 012K (s)=s(Ts+1)(T s+1)，其中T1= 1 秒，T2=1.2秒 结构图如图所示：2、质量指标要求：% = 16% ，p t = 1.5 秒，ss e =0，ssv e = 0.5 .三、设计内容第1章 线性系统状态空间表达式建立1-1由开环系统的传递函数结构图建立系统的状态结构图将原结构图结构变换后，得：1-2由状态结构图写出状态空间表达式由变换后的结构图可得： ()()()1212121320332323230.830.831.2u1x x x xT 11x x x x x x T y k x x x x x ==-=-=-=-=-==即可得出系统的状态空间方程和输出方程：x A xB yC xD =+⎧⎨=+⎩其中，[]0001110,0,001,000.830.830A B C D ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦第2章 理论分析计算系统的性能2-1稳定性分析方法与结论判别方法一：线性系统用李雅普诺夫稳定性判据分析稳定性时，系统矩阵A 必须是非奇异常数矩阵，且系统仅存在唯一的平衡状态0=e x 。

而所给的系统矩阵00011000.830.83A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦为奇异常数矩阵，所以系统不稳定。

现代控制理论课后答案(俞立)第五章

现代控制理论课后答案(俞立)第五章

《现代控制理论》第5章习题解答5.1 已知系统的状态空间模型为Cx y Bu Ax x =+=, ，画出加入状态反馈后的系统结构图，写出其状态空间表达式。

答：具有状态反馈的闭环系统状态空间模型为：u Kx =−+v ()xA BK x Bv y Cx=−+=相应的闭环系统结构图为闭环系统结构图5.2画出状态反馈和输出反馈的结构图，并写出状态反馈和输出反馈的闭环系统状态空间模型。

答：具有状态反馈的闭环系统状态空间模型为u Kx =−+v ()xA BK x Bv y Cx=−+=相应的反馈控制系统结构图为具有输出反馈的闭环系统状态空间模型为u Fy =−+v ()x A BFC x Bv y Cx=−+=相应的反馈控制系统结构图为后案网 ww w.kh d5.3 状态反馈对系统的能控性和能观性有什么影响？输出反馈对系统能控性和能观性的影响如何？答：状态反馈不改变系统的能控性，但不一定能保持系统的能观性。

输出反馈不改变系统的能控性和能观性。

5.4 通过检验能控性矩阵是否满秩的方法证明定理5.1.1。

答：加入状态反馈后得到闭环系统K S ，其状态空间模型为()x A BK x Bv y Cx=−+=开环系统的能控性矩阵为0S 1[,][]n c A B BAB A B −Γ="闭环系统K S 的能控性矩阵为 1[(),][()()]n cK A BK B B A BK B A BK B −Γ−=−−"由于222()()()()(A BK B AB BKBA BKB A ABK BKA BKBK B)A B AB KB B KAB KBKB −=−−=−−+=−−−#以此类推，总可以写成的线性组合。

因此，存在一个适当非奇异的矩阵U ，使得()m A BK B −1,,,m m A B A B AB B −[(),][,]cK c A BK B A B U Γ−=Γ由此可得：若rank([,])c A B n Γ=，即有个线性无关的列向量，则n [(),]cK A BK B Γ−也有个线性无关的列向量，故n rank([(),])cK A BK B n Γ−=5.5 状态反馈和输出反馈各有什么优缺点。

现代控制理论状态反馈控制器设计

现代控制理论状态反馈控制器设计


取k=1，则
⎡0 − 1⎤ ⎡ p1 ⎢ 1 0⎥ ⎢ p ⎦⎣ 2 ⎣ p 2 ⎤ ⎡ p1 +⎢ ⎥ p3 ⎦ ⎣ p 2 p 2 ⎤ ⎡ 0 1⎤ ⎡ p1 − 2 ⎢p ⎥ ⎢ p3 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣− 1 0⎦ p 2 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ p1 [ 0 1 ] ⎢p ⎢ ⎥ p3 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣1⎦ p 2 ⎤ ⎡1 0⎤ =0 +⎢ ⎥ ⎥ p 3 ⎦ ⎣0 1 ⎦
AT P + PA − 2kPBB T P + I = 0
（黎卡提矩阵方程）
优点：若对给定的常数 k 0 ，以上矩阵方程有解，则对
u = − kB T Px 都是系统的稳定化控制律。 任意的 k ≥ k 0 ，
结论：正无穷大的稳定增益裕度！ 例 设计系统的一个稳定化状态反馈控制律
&1 ⎤ ⎡ 0 1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡x =⎢ + ⎢ ⎥u ⎢x ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ & 2 ⎦ ⎣− 1 0⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣1⎦
现代控制理论
Modern Control Theory
状态反馈控制器设计
状态反馈控制器设计
9 建立了状态空间模型 9 提出了基于状态空间模型的运动分析 9 探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性 认识世界 ⇒ 如何来改变世界？！ 设计控制系统！ 开环控制、闭环控制 经典控制中，用系统输出作为反馈控制器的输入； 根据用于控制的系统信息：状态反馈、输出反馈
dV ( x ) dt = x T ( AT P + PA) x − 2kx T PBB T Px = x T ( AT P + PA − 2kPBB T P ) x
若矩阵P满足
AT P + PA − 2kPBB T P = − I
现代控制理论 5-1 状态反馈和输出反馈

现代控制理论 5-1 状态反馈和输出反馈


e 输出—状态微分 ⎧x& = (A − HC)x + Bv
反馈闭环系统 ⎩⎨y = Cx
ca u(t) B
x& (t )
x(t )
y(t )
∫
C
y A
输出
tc H
输入
定理9-3：输出至参考输入反馈的引入不改变 系统的可控性与可观测性。
ae 输出至参考输入反馈系统可控（可观测）
的充分必要件是被控系统可控（可观测）。
12
输出—状态微分反馈 x& = (A − HC)x + Bu
u(t )
e B
x& (t )
x(t )
y(t )
∫
C
aA
cH
三种反馈的共同点
前页
y 不增加新的状态变量，系统开环、闭环同维； tc 反馈增益阵都是常数矩阵，反馈为线性变换。
二、反馈结构对系统性能的影响
1，可控可观性
e状态反馈 定理 9-1 a输出—状态微分反馈 定理 9-2 c 输出—参考输入反馈 定理 9-3
ap×1 参考输入 c控制量： u = v − Fy
q ×1 输出
p ×1
p × q 实反馈增益矩阵
y 输出—参考输入 ⎧x& = (A − BFC)x + Bv
tc 反馈闭环系统 ⎩⎨y = Cx
例题
9
控制量： u = v − Fy
e 输出—参考输入 ⎧x& = (A − BFC)x + Bv
反馈闭环系统 ⎩⎨y = Cx
c⎡ 0 1 0 ⎤
A
=
⎢ ⎢
0
0
1
⎥ ⎥
y ⎢⎣− 20 − 29 −10⎥⎦
现代控制理论习题之状态反馈与状态观测

现代控制理论习题之状态反馈与状态观测

⎢⎣1 0 0⎥⎦ （2）因为状态反馈不能改变不能控部分的极点，而不能控部分的极点为-1，所以不 能通过状态反馈将极点配置在{-2，-2，-3}。
7
的极点在-2， −1± j 。
【解】：
依据系统传递函数写出能控标准型
Y(s) =
10
=
10
U (s) s(s +1)(s + 2) s 3 + 3s 2 + 2s
⎡0 1 0 ⎤ ⎡0⎤
x = ⎢⎢0 0
1
⎥ ⎥
x
+
⎢⎢0⎥⎥u
⎢⎣0 − 2 − 3⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
y = [10 0 0]x
求系统希望特征多项式：
G(s) = (s −1)(s + 2) = s2 + s − 2 (s − 2)(s + 1)(s + 3) s3 + 2s 2 − 5s − 6
受控对象状态空间表达式的能控标准型：
⎡0 1 0 ⎤ ⎡0⎤
x = ⎢⎢0 0
1
⎥ ⎥
x
+
⎢⎢0⎥⎥u
⎢⎣6 5 − 2⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
y = [− 2 1 1]x
系统不能控. 按能控性分解： 取
⎡0 0 1⎤
⎡0 −1 1⎤
Rc = ⎢⎢0 1 0⎥⎥, Rc −1 = ⎢⎢0 1 0⎥⎥
⎢⎣1 1 0⎥⎦
⎢⎣1 0 0⎥⎦
⎡ xc
⎢ ⎣
xc
⎤ ⎥ ⎦
=
(Rc −1 ARc
⎡ )⎢ ⎣
xc xc
⎤ ⎥ ⎦
+
(Rc −1b)u
=
⎡0 ⎢⎢1 ⎢⎣0
−3 1 0

5.状态反馈控制器的设计

Chapter5状态反馈控制器设计控制方式有“开环控制”和“闭环控制”。

“开环控制”就是把一个确定的信号（时间的函数）加到系统输入端，使系统具有某种期望的性能。

然而，由于建模中的不确定性或误差、系统运行过程中的扰动等因素使系统产生一些意想不到的情况，这就要求对这些偏差进行及时修正，这就是“反馈控制”。

在经典控制理论中，我们依据描述控制对象输入输出行为的传递函数模型来设计控制器，因此只能用系统输出作为反馈信号，而在现代控制理论中，则主要通过更为广泛的状态反馈对系统进行综合。

通过状态反馈来改变和控制系统的极点位置可使闭环系统具有所期望的动态特性。

利用状态反馈构成的调节器，可以实现各种目的，使闭环系统满足设计要求。

参见R38例5.3.3,通过状态反馈的极点配置，使闭环系统的超调量匚p乞5%，峰值时间（超调时间）t p乞0.5s，阻尼振荡频率壮乞10。

5.1线性反馈控制系统的结构与性质设系统S=（A, B,C）为x 二Ax Bu y 二Cx （5-1）图5-1 经典控制-输岀反馈闭环系统经典控制中采用输出（和输出导数）反馈（图5-1 ）:其控制规律为：u二-Fy v F为标量，v为参考输入（5-2）x 二Ax Bu 二Ax B （- Fy V （A-BFC）x Bv可见，在经典控制中，通过适当选择F ,可以利用输出反馈改善系统的动态性能现代控制中采用状态反馈（图5-2 ）:其控制规律为：u - -Kx v，K〜m n （5-3）（K的行=u的行，K的列=x的行）称为状态反馈增益矩阵。

状态反馈后的闭环系统S K =（A K，B,C）的状态空间表达式为x =（A-BK）x Bv = A K X Bv y = Cx （5-4）式中：|A K三A-BK若K -FC ，“状态反馈”退化成“输出反馈”，表明“输出反馈”只是“状态反馈”的一种特例，因此，在经典控制理论中的输出反馈”(比例控制P )和 输出导数反馈”(微分控制D )能实现的任务，状态反馈必能实现，反之则未必。

现代控制理论5状态反馈控制器的设计2

应速度等等 • 系统稳定性的决定因素：系统极点 • 影响动态性能的因素：二阶系统（极点位置），
高阶系统（一对主导极点） • 结论：极点影响系统的稳定性和动态性能。
• 线性系统：
x& Ax Bu
状态反馈：u Kx
闭环系统的状态方程为：
x& (A BK)x
• 需要回答两个问题：
➢在什么条件下，或者说对什么样的系统， 极点配置问题可解，即使得闭环系统具 有给定极点的状态反馈控制器存在性。
• 状态空间模型的线性系统：
状态反馈控制： 闭环系统：
• 输出反馈控制：
x& (A BFC)x Bv
y
Cx
5.1.2 反馈控制的性质
• 在静态反馈下，闭环系统矩阵分别变为：
• 结论：反馈可以改变系统的动态特性。
• 定理5.1.1 状态反馈不改变被控系统的能 控性。
证明方法一；
证明方法二。
K=-[0.3125 0.9375]x
5.3 极点配置
• 5.3.1 问题的提出 • 5.3.2 极点配置可解的条件和方法 • 5.3.3 极点配置状态反馈控制器的设计算
法
5.3.1 问题的提出
• 系统性能：稳态性能和动态性能 • 稳态性能：稳定性、静态误差 • 动态性能：调节时间、超调量、上升时间、响
解；
✓导出了极点配置状态反馈控制律； ✓极点配置状态反馈控制律是唯一的。
• 例： 考虑系统
设计一个状态反馈控制器，使得闭环系统 的极点分别是－2和－3。
• 例：已知被控系统的传递函数为
设计一个状态反馈控制器，使得闭环系统
的极点为
。
• 例：已知被控系统为：
0 0 0 1
x& 1 6

现代控制理论第五章

148第五章 线性定常系统的综合控制系统的综合任务是设计控制器，寻求改善系统性能的各种控制规律，，以保证系统的各项性能指标都得到满足。

§5－1线性反馈控制系统的基本结构及其特性 控制系统是由受控对象和反馈控制器两部分构成闭环系统。

现代控制理论采用状态反馈，状态反馈能提供更丰富的状态信息和可供选择的自由度，因而使用系统容易获得更为优异的性能。

一、状态反馈状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入。

如图所示，其表达式：Du CX y Bu AX X+=+= （5-1）149多输入多输出系统式中：nR X ∈，TR u ∈，mRy ∈，n n A ⨯，r n B ⨯，n m C ⨯，r m D ⨯若0=D ，则受控系统X AX Buy C X ∙⎧⎪=+⎨=⎪⎩简记为：）＝（C B A ,,0∑状态反馈控制规律：u kX v =+ （5-3） 其中：v －1⨯r 维参考输入；k－n r ⨯维状态反馈系数或状态反馈增益阵。

把式（5－3）代入式（5－1）得到状态反馈闭环系统表达式()()()()X AX Bu AX B kX v AX BkX Bv A Bk X Bv y C X D u C X D kX v C X D kX D v C D k X D v∙=+=++=++=++=+=++=++=++ 若=D ，()X A Bk X Bv y CX ∙⎧⎪=++⎨=⎪⎩简记为：])[(C B Bk A k ，，+=∑闭环系统的传递函数矩阵BBk A sI C s W k 1)]([)(-+-=状态反馈阵k 的引入，并不增加系统的维数，通过k 的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而改变系统获得所要求的性能。

二、输出反馈150输出反馈是采用输出矢量y 构成线性反馈律，如图所示，受控系统）＝（D C B A ,,,0∑为：X AX Bu y C X D u∙=+=+ （5-7）=D 时为X AX Bu y C X∙=+=输出线性反馈控制律为： v Hy u += （5-9）式中：H —m r ⨯维输出反馈增益阵，对单输出系统H 为1⨯r 维列矢量。

现代控制-状态反馈控制系统的设计与实现

控制工程学院课程实验报告：现代控制原理课程实验报告实验题目：状态反馈控制系统的设计与实现一、实验目的及内容实验目的：1.掌握极点配置定理及状态反馈控制系统的设计方法；2.比较输出反馈与状态反馈的优缺点3.训练Matlab程序设计能力实验内容：1.针对一个二阶系统，分别设计输出反馈和状态反馈控制器；2.分别测出两种情况下系统的阶跃响应；3.对实验结果进行对比分析。

二、实验设备装有Matlab7.1版本的PC机一台三、实验原理1．闭环系统的动态性能与系统的特征根密切相关，在状态空间的分析中可利用状态反馈来配置系统的闭环极点。

这种校正手段能提供更多的校正信息，在形成最优控制率、抑制或消除扰动影响、实现系统解耦等方面获得广泛应用。

2．为了实现状态反馈，需要状态变量的测量值，而在工程中，并不是状态变量都能测量到，而一般只有输出可测，因此希望利用系统的输入输出量构成对系统状态变量的估计。

解决的方法是用计算机构成一个与实际系统具有同样动态方程的模拟系统，用模拟系统的状态向量作为系统状态向量的估值。

状态观测器的状态和原系统的状态之间存在着误差，而引起误差的原因之一是无法使状态观测器的初态等于原系统的初态。

引进输出误差的反馈是为了使状态估计误差尽可能快地衰减到零。

3．若系统是可控可观的，则可按极点配置的需要选择反馈增益阵k，然后按观测器的动态要求选择H，H 的选择并不影响配置好的闭环传递函数的极点。

因此系统的极点配置和观测器的设计可分开进行，这个原理称为分离定理。

4．由于引入反馈，系统状态的系数矩阵发生了变化，对系统的可控性、可观测性、稳定性、响应特性等均有影响。

状态反馈的引入不改变系统的可控性，但可能改变系统的可观测性。

输出至状态微分反馈的引入不改变系统的可观测性，但可能改变系统的可控性。

状态反馈和输出反馈都能影响系统的稳定性。

加入反馈，使得通过反馈构成的闭环系统成为稳定系统，并且都能够改变闭环系统的极点位置。

现代控制理论第五章


特征多项式：
sI ( Ac b1 K c ) ( A12 b1K c ) sI ( A bK ) 0 sI Ac sI ( Ac b1 K c ) sI Ac
由此可见，利用状态反馈只能改变系统 能控部分的极点，而不能改变不能控部分的极 点，也就是说，在此种情况下，不可能任意配 置系统的全部极点，这与假设相矛盾，于是系 统是完全能控的。
* a1 kn a1 * an 1 k2 a2
* an k1 an
可得状态反馈矩阵：
K k1 k2 * a n an kn
* an 1 an 1 * a1 a1
以上得到了可以对能控标准型进行任意极点配 置的状态反馈矩阵。这个矩阵同样能够使原系统 配置到所希望的极点。对比：
u r Kx r KP 1 x u r Kx
可得原系统的状态反馈K的表达式为：
K KP
又：
P 1 PA P 1 n 1 P 1A
P 0 0 1 1 0 b
Ab
A b
n 1
1
* K a n an
已知系统的状态空间表达式为：
2 1 1 x' x u 1 1 2 y 1 0 x
试求使状态反馈系统具有极点-1和-2的状态反馈 矩阵K。
（1）求原系统的特征多项式
a1 , a2 , , an
（2）求希望系统的特征多项式
a1*, a2 *, , an *
证明： （1）充分性 若系统完全能控，则系统可转化为能控标准型
x ' Ax bu y Cx
0 A PAP 1 0 an

现代控制理论（第五章）


+ −
u = −Hy = −HCx
x+= y=
+Ax Cx
+
Bu
−
Hy
=
(
A
-
HC
)
x
+ Bu
反馈至参 考输入
常用输出反 4 馈
反馈控制的性质
对于任意的 F，一定有 K = FC ，但反之不成立
x = A x + B u y = Cx
状态反馈
x = Ax + B(r - Kx) = ( A - BK )x + Br y = Cx x = Ax + B(r - Fy) = ( A - BFC)x + Br y = Cx
7
例：考虑系统在状态反馈u=-[1 0]x下的闭环系统能 控能观性
能控
不能观
8
【例】系统
S ： X
=
⎡1 ⎢⎣3
2⎤ 1 ⎥⎦ X
+
⎡0⎤ ⎢⎣1 ⎥⎦U ,
y
= [1
2 ]X
此时系统可控可观。
若 加 上 状 态 反 馈 U = V − [3 1] X
则 S· : X
=
⎡1 ⎢⎣ 0
2⎤ 0 ⎥⎦
பைடு நூலகம்−BFC −BFC
10
定理5.3 输出至状态微分反馈，不改变系统能观性， 但可能改变系统的能控性
如何记忆
状态反馈：不改变可控性
x = Ax + B(r - Kx) = ( A - BK )x + Br
输出至状态微分反馈：不改变可观性
x = Ax + Bu − Hy = ( A - HC)x + Bu
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9 如何设计具有给定闭环极点的控制器？
解决问题的思路：首先对特殊的系统讨论； 对一般的系统，设法化成特殊系统
分析算法的可行性。
从能控系统入手，以3阶能控标准型为例：
⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡0⎤
x
=
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦[0
⎡ 1]⎢
⎣
p1 p2
p2 p3
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ 1⎥⎦
=
0
展开矩阵方程，得到
−
2 p2
−
2
p
2 2
+1=
0
2 p2
−
2
p
2 3
+1= 0
p1 − p3 − 2 p2 p3 = 0
求取一个正定的解矩阵
p1 = 3 3 2, p2 = (−1 + 3) 2 ,
对任意的 k ≥ 1 ，稳定化控制律：
⎡s 1]⎢⎣0
−1⎤−1 ⎡0⎤
s
⎥ ⎦
⎢⎣1⎥⎦
=
s s2
=
1 s
定理5.1.2 输出反馈不改变系统的能控能观性。
定理5.1.3 状态反馈不能改变单输入单输出系统的零点
反馈形式的讨论：
¾ 静态反馈不增加系统动态特性；
¾ 状态和输出反馈均可保持闭环系统的能控性；
¾ 输出反馈保持闭环系统的能观性，但状态反馈不 能；
u
B
_
∫
x
A K
y
y C
静态线性输出反馈控制：u = −Fy + v
x = Ax + Bu y = Cx
⇒
x = ( A − BK ) x + Bv y = Cx
v
u
B
_
∫
x
A F
y C
若v表示系统的参考输入，用 v = Fyr 代替之，可得
u = −F ( y − yr )
用输出误差来校正系统。 当 K = FC 时，状态反馈变为输出反馈。一类特殊输出
反馈。
5.1.2 反馈控制的性质 在静态反馈下，闭环系统矩阵变为
A − BK 和 A − BFC
结论：反馈可以改变系统的动态特性。
定理5.1.1 状态反馈不改变系统的能控性。
例 考虑系统在状态反馈 u = −[1 0]x 下的闭环系统
x
=
⎡0 ⎢⎣1
1⎤ 0⎥⎦
x
+
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦u,
y = [0 1]x
¾ 利用系统的信息多，所能达到的性能好。
5.2 稳定化状态反馈控制器设计
基于李雅普诺夫稳定性理论设计稳定化控制器 系统模型： x = Ax + Bu 控制律： u = −Kx 闭环系统： x = (A − BK )x 闭环系统渐近稳定的充分必要条件是：V (x) = xTPx 关键的问题：如何确定以上的矩阵K 和 P。 介绍两种方法。
AT P + PA − 2kPBBT P = −I ⇒ dV ( x) dt = − xT x < 0
控制器设计问题转化为以下矩阵方程的求解问题：
AT P + PA − 2kPBBT P + I = 0 （黎卡提矩阵方程） 优点：若对给定的常数 k0 ，以上矩阵方程有解，则对 任意的 k ≥ k0 ，u = −kBT Px 都是系统的稳定化控制律。 结论：正无穷大的稳定增益裕度！ 例 设计系统的一个稳定化状态反馈控制律
高阶系统（一对主导极点）
结论：极点影响系统的稳定性和动态性能 闭环系统：x = ( A − BK ) x 问题：根据系统性能要求确定闭环极点 λ1, λ2 , ", λn ，求 矩阵K，使得 σ ( A − BK ) = {λ1, λ2 , ", λn }
回答两个问题：
9 在什么条件下，极点配置问题可解？即存在使得闭 环系统具有给定极点的控制器。
矩阵P是对称的， xT PBu = uTBT Px
dV ( x) dt = xT ( AT P + PA) x + 2xT PBu
若选取 u = −kBT Px, k > 0
dV ( x) dt = xT ( AT P + PA) x − 2kxT PBBT Px = xT ( AT P + PA − 2kPBBT P) x
能控能观性。
结论：能控，不能观。
A−
BK
=
⎡0 ⎢⎣1
1⎤ 0⎥⎦
−
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦[1
0]
=
⎡0 ⎢⎣01⎤ 0⎥⎦[B Nhomakorabea(
A
−
BK
)B]
=
⎡0 ⎢⎣1
1⎤ 0⎥⎦
⎡C ⎢⎣C ( A −
BK
⎤ )⎥⎦
=
⎡0 ⎢⎣0
1⎤ 0⎥⎦
状态反馈使得闭环系统产生了零极点的对消。
C[sI − ( A − BK )]−1 B = [0
5.2.1 黎卡提方程处理方法 如何使得V (x) = xTPx 是闭环系统的李雅普诺夫方程？
dV ( x) dt = x T Px + xT Px = ( Ax + Bu)T Px + xT P( Ax + Bu) = xT AT Px + (Bu)T Px + xT PAx + xT PBu = xT ( AT P + PA) x + uT BT Px + xT PBu
取k=1，则
⎡ ⎢ ⎣
x1 x 2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡0 ⎢⎣− 1
1⎤ 0⎥⎦
⎡ x1
⎢ ⎣
x
2
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦u
⎡0 − 1⎤⎡ p1
⎢ ⎣
1
0⎥⎦
⎢ ⎣
p
2
p2 p3
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎣
p1 p2
p2 ⎤⎡ 0
p3
⎥ ⎦
⎢⎣−
1
1⎤ 0⎥⎦
−
⎡ 2⎢
⎣
p1 p2
p2 p3
⎤ ⎥ ⎦
5.1 线性反馈控制系统 系统模型 x = Ax + Bu
y = Cx
反馈控制系统结构。
v为外部输入；
v+ _
被控对象 控制器
控制器：动态补偿器、静态反馈控制器。
状态反馈控制器：u = −Kx + v K 称为是状态反馈增益矩阵。
闭环系统：
v
x = ( A − BK ) x + Bv y = Cx
现代控制理论
Modern Control Theory (9)
俞立
浙江工业大学 信息与控制研究所
第5章 状态反馈控制器设计
9 建立了状态空间模型 9 提出了基于状态空间模型的运动分析 9 探讨了系统的定性分析：稳定性、能控性、能观性 认识世界 ⇒ 如何来改变世界？！ 设计控制系统！ 开环控制、闭环控制 经典控制中，用系统输出作为反馈控制器的输入； 根据系统信息：状态反馈、输出反馈
p3 = 3 2
u = −kB T Px = −k[ p2 p3 ]x
[ ] = − k − 1 + 3 31 4 x 2
线性矩阵不等式处理方法。
5.3 极点配置
系统性能：稳态性能和动态性能 稳态性能：稳定性、静态误差 动态性能：调节时间、振荡、超调、上升时间... 系统稳定性的决定因素：系统极点 影响动态性能的因素：二阶系统（极点位置）