正弦和余弦_2

正弦公式和余弦公式正弦公式和余弦公式是数学中的两个重要的公式，它们是用来研究正弦和余弦的函数关系的重要工具。

它们描述的正弦和余弦的函数关系可以用来解决许多不同种类的数学问题，也可以应用于物理学，化学，机械等许多科目。

正弦公式和余弦公式的概念源自三角学，是一种表达描述三角形内点和某直线之间关系的数学工具。

通常，正弦和余弦函数关系都是从平面坐标中，给定一个点(x,y)，根据这个点可以求出正弦和余弦函数之间的关系。

特别地，如果x=0，那么正弦公式的结果为y=0，而余弦公式的结果为y=1。

而正弦公式和余弦公式的定义则是以直线做为基础形成的，即通过从给定点推导出正弦和余弦函数之间的关系，来求解出给定点和直线之间的距离。

正弦公式和余弦公式都是以弧度为单位进行计算的，而在数学中，弧度是指一个圆心和一条弧之间需要经过的角度，而这个角度也可以用圆周长来表示，即一个圆的周长等于2π倍这个角度，其中π为圆周率，它的值大约为3.14159。

因此，通过求解弧度和弧长之间的关系，可以定义出正弦公式和余弦公式。

正弦公式的定义为：y=sin(x)，其中y代表的是弧上的某个点的纵坐标，而x代表的是这个点在弧上的角度，也就是说，正弦函数的值等于这个角度的正弦值，所以通过这个公式可以得出，给定角度，正弦函数值等于这个角度的正弦值。

余弦公式定义为：y=cos(x)，其中y是某点在弧上的纵坐标，而x则是这个点在弧上的角度，而余弦函数的值等于这个角度的余弦值，所以通过这个公式可以得出，给定角度，余弦函数值等于这个角度的余弦值。

正弦公式和余弦公式都有很多的应用，例如正弦公式可以被用来求解矩形三角形的外接圆的半径，也可以用来求解正弦函数在一段区间内的变化曲线；而余弦公式则可以用来计算直角三角形的内切圆的半径，以及求解余弦函数在一段区间内的变化曲线。

正弦公式和余弦公式在解决数学问题和实际应用中的作用非常重要，因为它们定义了正弦函数和余弦函数之间的关系，而正弦函数和余弦函数则是解决现实生活中许多问题所不可缺少的一种函数，因此研究这两个公式的基础原理和实际应用对于更好地理解以及解决问题都是非常重要的。

正弦余弦转换公式大全正弦余弦转换公式是数学中非常重要的内容，它在三角函数的运算中起着至关重要的作用。

正弦余弦转换公式可以帮助我们在计算中更加方便快捷地进行转换，从而简化计算步骤，提高计算效率。

下面我们将介绍一些常见的正弦余弦转换公式，希望能够帮助大家更好地理解和运用这些公式。

1. 正弦余弦基本关系。

在介绍正弦余弦转换公式之前，我们首先需要了解正弦余弦的基本关系。

在直角三角形中，正弦、余弦和正切分别是三角形的对边、邻边和斜边的比值。

根据勾股定理，我们可以得到正弦余弦的基本关系：sin²θ + cos²θ = 1。

这是正弦余弦的基本关系，我们可以根据这个关系推导出许多正弦余弦转换公式。

2. 正弦余弦的互余关系。

正弦余弦的互余关系是指正弦和余弦在一个周期内互为余弦。

具体来说，如果两个角的和为90°，那么它们的正弦互为余弦，余弦互为正弦。

因此，我们可以得到正弦余弦的互余关系：sin(90°θ) = cosθ。

cos(90°θ) = sinθ。

这个关系可以帮助我们在计算中快速地进行正弦余弦的转换。

3. 正弦余弦的偶奇性。

正弦余弦函数具有一定的奇偶性，这也是正弦余弦转换公式的重要内容之一。

具体来说，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

这意味着当角度取反时，正弦函数的值取负，而余弦函数的值保持不变。

因此，我们可以得到正弦余弦的偶奇性关系：sin(-θ) = -sinθ。

cos(-θ) = cosθ。

这个关系在计算中也经常会用到，特别是在对称性问题上。

4. 正弦余弦的和差化积公式。

正弦余弦的和差化积公式是正弦余弦转换公式中的重要内容之一。

它可以帮助我们将正弦余弦的和差形式转换为乘积形式，从而简化计算。

具体来说，我们可以得到正弦余弦的和差化积公式：sin(α±β) = sinαcosβ± cosαsinβ。

cos(α±β) = cosαcosβ∓ sinαsinβ。

正弦和余弦公式正弦和余弦公式是一种广泛应用于三角函数中的基本运算法则。

正弦函数(sin)和余弦函数(cos)是一对基本的数学公式，广泛应用于各类数学计算中，包括解三角形问题、优化问题、计算复杂数学表达式等。

它们的关系可以通过单位圆来直观地理解：正弦函数表示单位圆上点的纵坐标，余弦函数表示单位圆上点的横坐标。

正弦公式sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ、sin2α = 2sinαcosα、sinαsinβ =1/2[cos(α - β) - cos(α + β)]都是正弦函数的固有运算法则。

余弦公式cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ、cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α、cosαcosβ = 1/2[cos(α + β) + cos(α - β)]都是余弦函数的固有运算规则。

正弦和余弦公式在物理、工程、经济等众多领域都有着广泛的应用。

例如，在物理学中，振动和波动问题常常需要用到正弦和余弦公式进行描述和计算。

在工程学中，许多复杂的力学问题也会通过正弦和余弦公式进行化简和求解。

值得注意的是，正弦和余弦公式在运算过程中，往往需要注意角度的转换问题。

在实际应用中，角度一般有两种表示方式：度数制和弧度制。

当我们在使用正弦和余弦公式时，需要根据具体的情况，清楚地知道角度是以何种形式表示的，否则可能会导致计算错误。

总的来说，正弦和余弦公式是数学的基础知识，良好的掌握和理解能够帮助我们更好的解决各类数学相关问题。

同时，它们作为一种普遍的数学语言，也是我们理解世界的重要工具。

正弦定理、余弦定理及其二级结论一、正弦定理概念和适用情况1、正弦定理（law of sines ）概念在任何一个三角形ABC ∆中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C==。

【注】其中号a 、b 、c 分别为ABC ∆中角A 、B 、C 的对边。

2、正弦定理适用情况（1）已知两角和一边，解三角形。

（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。

【注】ABC ∆的三个角和三个边叫做ABC ∆的元素，已知ABC ∆的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形（solving triangles ）。

二、正弦定理的相关推论和二级结论1、（1）2sin sin sin a b c R A B C===。

（2）sin sin a A b B =，sin sin a A c C =，sin sin b B c C=。

（3）2sin sin sin sin sin sin sin a b a c b c a R A B A C B C A+++====+++。

（4）2sin sin sin a b c R A B C ++=++。

（5）“边化角”公式：2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =。

（6）“角化边”公式：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=。

（7）“边角互化”公式：::sin :sin :sin a b c A B C=【注】其中R 为ABC ∆的外接圆半径。

2、（1）sin sin a B b A =，sin sin a C c A =，sin sin b C c B =。

（2）sin sin b A a B =，sin sin a B b A =，sin sin a C c A=，sin sin c A a C =，sin sin c B b C =，sin sin b C c B=。

（3）sin sin a B A b =，sin sin b C B c =等。

正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用正弦定理和余弦定理是解三角形中非常常用的定理。

它们可以帮助我们在已知一些边长或角度的情况下，求解出其他未知边长或角度。

在本文中，我们将详细介绍正弦定理和余弦定理的概念，并阐述它们在解三角形中的运用。

一、正弦定理正弦定理是解三角形中最为基础和常用的定理之一、它可以用来求解三角形的任意一个角度或边长。

正弦定理的表达形式如下：a / sinA =b / sinB =c / sinC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。

在应用正弦定理求解问题时，需要注意以下几个方面：1.已知两边和它们对应的夹角，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 a = b * sinA / sinB 或 a = c * sinA / sinC。

2.已知两边和它们对应的夹角，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinA = a * sinC / c 或 sinA = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 A 的值。

3.已知两个角度和一个对边，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 b = a * sinB / sinA 或 b = c * sinB / sinC。

4.已知两个角度和一个对边，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinB = b * sinA / a 或 sinB = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 B 的值。

由于正弦定理可以用来求解任意一个角度或边长，因此它非常灵活和实用。

二、余弦定理余弦定理是解三角形中另一个重要的定理。

它可以用来求解三角形的边长或角度。

余弦定理的表达形式如下：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosAb^2 = c^2 + a^2 - 2ac * cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。

直角三角形的正弦与余弦直角三角形的正弦与余弦是三角函数中的重要概念。

在直角三角形中，正弦和余弦可以帮助我们计算角度和边长之间的关系。

本文将详细介绍直角三角形的正弦和余弦的定义、计算方法以及它们的几何和物理应用。

一、正弦和余弦的定义在直角三角形中，正弦和余弦是由角度和边长之间的比例关系定义的。

假设我们有一个直角三角形，其中一个锐角为θ，定义如下：1. 正弦（Sine）：正弦表示一个角的对边与斜边之比，用sinθ表示。

可以用如下公式计算正弦：sinθ = 对边 / 斜边2. 余弦（Cosine）：余弦表示一个角的邻边与斜边之比，用cosθ表示。

可以用如下公式计算余弦：cosθ = 邻边 / 斜边二、正弦和余弦的计算方法在计算正弦和余弦时，我们需要知道两个重要的长度，即对边和邻边。

斜边的长度可以通过勾股定理（a² + b² = c²）来计算，其中c表示斜边的长度。

根据直角三角形的性质，斜边的长度也等于斜边上的任意一边长度。

计算正弦和余弦的步骤如下：1. 确定角度：在直角三角形中，我们需要知道所关注的角度。

2. 确定对边和邻边：根据所关注的角度，确定对应的对边和邻边。

3. 计算斜边长度：使用勾股定理计算斜边的长度。

4. 计算正弦和余弦：根据上述定义的公式，计算正弦和余弦值。

三、正弦和余弦的几何应用正弦和余弦的几何应用主要涉及角度和边长之间的关系。

1. 计算缺失的边长：如果我们已知一个角的正弦或余弦值，以及另外两边的长度，可以使用三角函数的反函数来计算缺失的边长。

2. 测量高度：在实际测量中，我们可以使用三角函数来测量无法直接测量的高度。

例如，在测量房子的高度时，我们可以利用一个三角形和测得的某个角的正弦或余弦值，以及已知的边长，来计算出房子的高度。

3. 角度的计算：如果已知两边的长度，可以利用正弦和余弦的反函数来计算出角度的值。

四、正弦和余弦的物理应用正弦和余弦函数在物理学中也有广泛的应用。

正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b一解两解一解一解解的个数由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•h a（h a表示边a上的高）；2．S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1 C．2 D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B =b sin A，则a=（）A ．B ．C．1 D．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）2=c2+ab，B=30°，a=4，则△ABC的面积为（）A．4 B．3C．4D．6例2.设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A．B．C．或D．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC的最大值．'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。

正弦余弦换算公式正弦和余弦是三角函数中的两个重要概念，它们广泛应用于数学、物理、工程和其他科学领域。

正弦函数和余弦函数之间存在着一定的关系，可以通过一些换算公式进行转换。

本文将介绍正弦余弦换算公式，并讨论它们的应用。

首先，我们来定义一下正弦和余弦函数。

在一个直角三角形中，正弦和余弦分别定义为：正弦θ=对边/斜边余弦θ=邻边/斜边根据这个定义，我们可以得到正弦和余弦的换算公式。

换算公式1：正弦函数与余弦函数关系根据三角恒等式sin²θ + cos²θ = 1，可以得到正弦和余弦之间的换算公式：sinθ = √(1 - cos²θ)cosθ = √(1 - sin²θ)通过这个换算公式，我们可以通过已知的一个三角函数值来求解另一个三角函数值。

这对于解题和计算来说非常有用。

换算公式2：正弦余弦换算为直角三角形除了上面的换算公式，我们还可以通过正弦和余弦的换算来进一步求解直角三角形中的边长和角度。

假设已知一个直角三角形（ABC），其中∠B是直角，边BC是斜边。

假设我们已知∠B的角度和BC的长度。

那么我们可以通过正弦余弦换算公式来求解其他边的长度。

1. 如果已知∠B的角度和BC的长度，我们可以通过余弦来求解∠C 的角度。

根据余弦函数cosθ = 邻边/斜边，我们可以得到∠C的角度：∠C = arccos(邻边/斜边) = arccos(AC/BC)2. 通过∠C的角度我们也可以求解其余边的长度。

根据正弦函数sinθ = 对边/斜边，我们可以得到边AC的长度：AC = sin(∠C) * BC通过这两个公式，我们可以根据已知的角度和边长来求解直角三角形中其他未知量。

换算公式3：反余弦函数和反正弦函数除了正弦和余弦之间的换算公式，我们还可以使用反余弦和反正弦函数来求解角度。

例如，已知一个直角三角形中的两个边的长度，我们可以使用反余弦函数来求解夹角的角度。

假设已知两边的长度分别为AC和BC，我们可以使用反余弦函数解出∠C的角度：∠C = arccos(AC/BC)同样地，如果我们已知一个直角三角形中的一边和一个角度，我们可以使用反正弦函数来求解另一个角度。

常用正弦余弦正切值表常用正弦余弦正切值表在数学学习中，我们经常需要使用三角函数中的正弦、余弦、正切值进行计算。

以下是常用的正弦余弦正切值表，希望对读者有所帮助。

正弦值表：角度正弦值0° 030° 0.545°0.707160° 0.86690° 1120° 0.866135° 0.7071150° 0.5180° 0余弦值表：角度余弦值0° 130° 0.86645°0.707160° 0.590° 0120° -0.5135° -0.7071150° -0.866180° -1正切值表：角度正切值0° 030° 1.73245° 160° 0.577490°无穷大（不存在）120° -0.5774135° -1150° -1.732180° 0上述表格中，为了方便记忆，我们可以把特定角度上的正弦、余弦、正切值（例如0、30、45、60、90）记住，由此可以推知其他角度上的值。

同时，需要注意的是，在计算过程中，若是角度不属于含有特殊值的角度，则需要借助计算器使用三角函数求出在计算的角度上的三角函数值。

除了正弦、余弦、正切函数之外，还有它们的倒数函数、余割函数和正割函数等，它们在数学的应用领域中有着广泛的应用。

对于初学者来说，要把握好三角函数的基础知识，理解其定义和性质，才能更好地应用到实际计算中去。

总之，掌握常用三角函数的正弦、余弦、正切值表对于数学学习和实际应用都非常重要。

我们要不断地巩固和深入理解，以提高自己的数学素养。

7.2 正弦、余弦（2）【教学目标】1．会根据直角三角形的两边求其中一个锐角的正弦、余弦值。

2．会利用正弦、余弦的与有关知识解决一些简单的与直角三角形有关的实际问题。

【教学重点】会利用正弦、余弦的有关知识解决一些简单的与直角三角形有关的实际问题。

【教学难点】从实际问题中抽象出数学模型。

【复习引入】已知如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°,怎样表示∠A 、∠B 的三角函数。

【设计意图】从学生原有的知识出发，为后续知识的学习作铺垫。

【活动一】如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5．sinA ＝_________，cosA ＝_________，tanA ＝_________；sinB ＝_________，cosB ＝_________，tanB ＝_________。

请认真观察上述结果，你有何发现？【设计意图】通过活动，主要让学生认识到，在直角三角形中，知道两条边就能确定其锐角的三角函数值． 【试一试】1.小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1m ，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m ，求风筝此时的高度（精确到1m ）。

（参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002）【设计意图】落实本节内容与生活实际的联系，感受正弦、余弦的相关知识与方法在实际问题中的应用。

2.一把梯子靠在一堵墙上，若梯子与地面的夹角是68°，而梯子底部离墙脚1.5m ，求梯子的长度。

（精确到0.1m ）（参考数据：sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.475）。

【设计意图】落实本节内容与生活实际的联系，感受正弦、余弦的相关知识与方法在实际问题中的应用。

3．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，cosB=54，AC ＝9，求△ABC 的周长。

第一节 正弦定理和余弦定理复习目标学法指导1.会证明正弦定理、余弦定理.2.理解正弦定理、余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用.3.能用正弦定理、余弦定理解斜三角形.4.会用正弦定理、余弦定理讨论三角形解的情形.5.了解正弦定理与三角形外接圆半径的关系.1.正弦定理和余弦定理是解三角形的基础,熟记定理内容及变形公式,在解决问题时注重数形结合.2.在给定方程的化简和变形上要注重“统一”“消元”思想的运用.统一:统一角度或边长.消元:多个角度利用A+B+C=π进行消元.一、正弦定理正弦定理内容:sin a A =sin b B =sin c C=2R(R 为△ABC 外接圆半径). 变形形式:①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. ②sin A=2a R ,sin B=2b R ,sin C=2c R . ③a ∶b ∶c=sin A ∶sin B ∶sin C.④sin a A =sin sin a b A B ++=sin sin sin a b c A B C++++.1.概念理解(1)正弦定理主要解决两类三角形问题:①知两角和一边;②知两边和其中一边所对应的角.在第②类中要注意会出现两组解的特殊情况. (2)正弦定理中边角互化公式:a=2Rsin A 和sin A=2a R 是表达式变形中常用公式,在统一角度或统一长度上发挥作用. 2.与正弦定理有关的结论(1)三角形中:A+B+C=π,sin(A+B)=sin C, cos(A+B)=-cos C.(2)在△ABC 中,已知a,b 和A 时,解的情况如下:A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a=bsin Absin A<a<ba ≥ba>b解的个数 一解两解一解一解二、余弦定理余弦定理内容:a 2=b 2+c 2-2bc ·cos A, b 2=a 2+c 2-2ac ·cos B, c 2=a 2+b 2-2ab ·cos C.变形形式:cos A=2222bc a bc+-,cos B=2222ac b ac+-,cos C=2222a b c ab+-.1.概念理解(1)余弦定理解决两类三角形问题:一是知两边及其夹角的三角形,二是知三边的三角形.(2)利用余弦定理来解决三角形问题时,要注意角的取值范围.通常求解三角形的内角度数时,不是解该角的正弦,而是解该角的余弦. 2.与余弦定理有关的结论 由cos A=2222b c a bc+-(设A 为最大内角)若b 2+c 2>a 2,则该三角形为锐角三角形. b 2+c 2=a 2,则该三角形为直角三角形. b 2+c 2<a 2,则该三角形为钝角三角形.1.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=12b,且a>b,则∠B 等于( A ) (A)π6 (B)π3(C)2π3 (D)5π6 解析:由正弦定理得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=12sin B, 所以sin Bsin(A+C)=12sin B. 因为sin B ≠0, 所以sin(A+C)=12,即sin B=12,所以B=π6或5π6.又因为a>b, 所以A>B, 所以B=π6.故选A.2.在△ABC 中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( C ) (A)有一解 (B)有两解 (C)无解(D)有解但解的个数不确定解析:由正弦定理得sin b B =sin cC,所以sin B=sin b Cc=40220>1.所以角B 不存在,即满足条件的三角形不存在.故选C. 3.在△ABC 中,A=60°则△ABC 的面积等于 .解析:=4sin B, 所以sin B=1, 所以B=90°, 所以AB=2,所以S △ABC =12×2×23=23.答案:234.(2019·临海高三检测)设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C= . 解析:由3sin A=5sin B,得3a=5b.又因为b+c=2a, 所以a=53b,c=73b,所以cos C=2222a b c ab +-=22257()()33523b b b b b +-⨯⨯=-12. 因为C ∈(0,π), 所以C=2π3. 答案:2π3考点一 利用正弦定理解三角形 [例1] (1)在△ABC 中32°,求角A,C 和边c;(2)已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边,若3求角A 的大小.解:(1)由正弦定理sin a A =sin bB , 得sin A=sin a B b3,所以A=60°或120°. ①当A=60°时,C=75°,由sin a A =sin c C ,得c=sin sin a C A⋅=2·sin 75°62+②当A=120°时,C=15°,c=2·sin 15°62-解:(2)由A+C=2B,A+C+B=180°得B=60°.所以由正弦定理得3=1sin A, 所以sin A=12.所以A=30°或150°. 又因为b>a, 所以B>A. 所以A=30°.利用正弦定理解三角形(1)注重条件和图形的结合;(2)知两边及一边对应的角时,要区分三角形解的情况,通常情况下先利用正弦定理求角,再利用“大边对大角”的条件排除; (3)正弦定理的变形公式.1.(2019·浙江卷)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则BD= ,cos ∠ABD= .解析:如图,易知sin C=45, cos C=35.在△BDC 中,由正弦定理可得sin BD C=sin BC BDC∠, 所以BD=sin sin BC C BDC⋅∠4352⨯122.由∠ABC=∠ABD+∠CBD=90°,可得cos ∠ABD=cos(90°-∠CBD)=sin ∠CBD=sin[π-(∠C+∠BDC)] =sin(∠C+∠BDC)=sin C ·cos ∠BDC+cos C ·sin ∠BDC=45×2+35×2=72.答案122722.在△ABC 中,B=60°3则AB+2BC 的最大值为 .解析:在△ABC 中,由正弦定理得sin AB C =sin BCA 3所以AB+2BC=2sin C+4sin A =2sin(120°-A)+4sin A 7ϕ),其中,tan ϕ3,又因为A ∈(0°,120°), 所以最大值为7答案7考点二 利用余弦定理解三角形[例2] 若△ABC 的内角A,B,C 所对的边a,b,c 满足(a+b)2-c 2=4,且C=60°,则ab 的值为( ) (A)433(C)1 (D)23解析:由已知得a 2+b 2-c 2+2ab=4, 由于C=60°,所以cos C=2222a b c ab+-=12, 即a 2+b 2-c 2=ab,因此ab+2ab=4,ab=43,故选A.利用余弦定理解三角形:一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次关系时,考虑使用余弦定理.△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,已知b=c,a 2=2b 2(1-sin A),则A 等于( C )(A)3π4 (B)π3 (C)π4 (D)π6解析:在△ABC 中,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A, 因为b=c,所以a 2=2b 2(1-cos A), 又因为a 2=2b 2(1-sin A), 所以cos A=sin A,所以tan A=1, 因为A ∈(0,π),所以A=π4,故选C. 考点三 正、余弦定理的综合应用[例3] 设△ABC 的内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c, 已知()sin a bA B ++=sin sin a c AB --.(1)求角B; (2)若6,求△ABC 的面积.解:(1)因为()sin a bA B ++=sin sin a c AB --,所以a b c+=a ca b --, 所以a 2-b 2=ac-c 2, 所以cos B=2222a c b ac+-=2ac ac =12, 又因为0<B<π,所以B=π3.解:(2)由cos A=63可得sin A=33,由sin a A =sin b B可得a=2, 而sin C=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B =3326+,所以△ABC 的面积S=12absin C=3322+.(1)利用正、余弦定理解三角形的关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理.(2)对于面积公式S=12absin C=12acsin B=12bcsin A,一般是已知哪一个角就选用哪一个公式.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为23sin a A .(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC 的周长. 解:(1)由题设得12acsin B=23sin a A ,即12csin B=3sin aA . 由正弦定理得12sin Csin B=sin 3sin A A ,故sin Bsin C=23.解:(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即cos(B+C)=- 12.所以B+C=2π3,故A=π3.由题设得12bcsin A=23sinaA,即bc=8,由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故△ABC的周长为3+33.类型一利用正弦定理解三角形1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C等于( A )(A)725 (B)-725(C)±725(D)2425解析:因为8b=5c,所以由正弦定理,得8sin B=5sin C.又因为C=2B,所以8sin B=5sin 2B,所以8sin B=10sin Bcos B.因为sin B≠0,所以cos B=45,所以cos C=cos 2B=2cos2B-1=725.故选A.2.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,向量p=(1,-∥q,且bcos C+ccos B=2asin A,则C等于( A )(A)30°(B)60°(C)120° (D)150°解析:因为p∥q,cos B=sin B,所以即得所以B=120°.又因为bcos C+ccos B=2asin A,所以由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin2A,即sin A=sin(B+C)=2sin2A,,又由sin A≠0,得sin A=12所以A=30°,C=180°-A-B=30°.故选A.类型二利用余弦定理解三角形3.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+ cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于( D )(A)10 (B)9 (C)8 (D)5解析:由23cos2A+cos 2A=0,得25cos2A=1,因为A为锐角,所以cos A=1.5b,又由a2=b2+c2-2bccos A,得49=b2+36-125整理得5b2-12b-65=0,解得b=-135(舍)或b=5.即b=5. 故选D.4.若锐角△ABC 的面积为,且AB=5,AC=8,则BC 等于 .解析:设内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.由已知及12得因为A 为锐角,所以A=60°,cos A=12.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A =64+25-2×40×12 =49,故a=7,即BC=7. 答案:7类型三 正弦定理和余弦定理的综合应用 5.在△ABC 中,∠B=120°∠BAC的平分线则AC 等于( D )(C)2解析:如图,在△ABD 中,由正弦定理,得sin ∠ADB=sin AB BAD .由题意知0°<∠ADB<60°, 所以∠ADB=45°,则∠BAD=180°-∠B-∠ADB=15°, 所以∠BAC=2∠BAD=30°, 所以∠C=180°-∠BAC-∠B=30°, 所以于是由余弦定理,得AC=222cos120AB BC AB BC ︒+-⨯=()()221222222⎛⎫+-⨯⨯- ⎪⎝⎭=6.故选D.。