正弦余弦曲线图

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象一、正弦函数、余弦函数图象的画法1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法． 2．几何法：利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到x y sin =和cos y x =的图象．3．五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．在确定正弦函数x y sin =在]2,0[π上的图象时，关键的五点是：)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ-【注意】（1）若x R ∈，可先作出正弦函数、余弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到x y sin =和cos y x =的图象．（2）由诱导公式cos sin()2y x x π==+，故cos y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左平移2π个单位长度得到． 二、正（余）弦函数的图象 函数y ＝sin xy ＝cos x图象图象画法五点法五点法关键五点 (0,0),π(,1)2,(,0)π,3π(,1)2-,(2,0)π (0,1),π(,0)2,(,1)π-,3π(,0)2,(2,1)π正（余）弦曲线正（余）弦函数的图象叫做正（余）弦曲线三、用三角函数图象解三角不等式的方法1、作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；2、写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；3、根据公式一写出不等式的解集．题型一 五点法作三角函数的图象【例1】用“五点法”作y ＝2sin2x 的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A ．30,,,,222ππππ B ． 30,,,,424ππππ C ．0,,2,3,4ππππD ．20,,,,6323ππππ【答案】B【解析】由“五点法”作图知：令2x ＝0，2π，π，32π，2π，解得x ＝0，4π，2π，34π，π，即为五个关键点的横坐标，故选：B.【变式1-1】用“五点法”作函数cos 1y x =-，[]0,2x π∈的大致图像，所取的五点是______．【答案】(0,0)，,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,2)π-，3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,0)π【解析】由“五点法”作函数cos 1y x =-，[0x ∈，2]π的图象时的五个点分别是(0,0)，,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,2)π-，3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,0)π．【变式1-2】用“五点法”画出下列函数的简图：（1）cos 1y x =-，[],x ππ∈-； （2）sin y x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； （3）sin y x =-，[]0,2x π∈．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】（1）按五个关键点列表xπ-2π-2ππcos x1-0 11cos 1x -2- 1- 01- 2-（2）按五个关键点列表x2π-0 2ππ32πsin x1- 011-描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图（3）按五个关键点列表x0 2ππ32π2πsin x11-sin x -0 1-0 1 0【变式1-3】用“五点法”作下列函数的简图. （1）2sin ([0,2])y x x π=∈；（2）5sin()([,])222y x x πππ=-∈. （3）2sin(2)3y x π=-(x ∈R ).【答案】（1）图象答案见解析；（2）图象答案见解析；（3）图象答案见解析. 【解析】（1）列表如下：x2ππ 32π2π 2sin x 02 0 -2 0描点连线如图：（2）列表如下：x2ππ 32π2π 52πsin()2x π-0 1 0 -1 0（3）函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长为一个周期π的区间上的图象，列表如下：x6π512π23π1112π76π23x π-0 2ππ32π2πy 02 0 -2 0再向左右两边扩展，其图象如下：题型二 含绝对值的三角函数【例2】函数y ＝|cos x |的一个单调增区间是（ ）A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0，π]C ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2π2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】将y ＝cos x 的图像位于x 轴下方的图像关于x 轴对称翻折到x 轴上方，x 轴上方(或x 轴上)的图像不变，即得y ＝|cos x |的图像根据各选项判断只有D 选项正确. 故选：D.【变式2-1】作出函数2sin sin y x x =+，[],x ππ∈-的大致图像． 【答案】图见解析【解析】函数[][]3sin ,0,2sin sin sin ,,0x x y x x x x ππ⎧∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩， 其图如下所示：【变式2-2】作出函数sin ||,[2,2]=∈-y x x ππ的大致图像. 【答案】图象见解析 【解析】列表x0 2ππ32π2πsin ||y x =1 0 -1 0作图：先作出(]0,2π的图像，又原函数是偶函数,图像关于y 轴对称， 即可作出[)2,0π-的图像.【变式2-3】作函数3sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.【答案】图象见解析.【解析】3sin cos 2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ cos 22,Z 223cos 22,Z 22x k x k k x k x k k ππππππππ⎧⎛⎫-+≤≤+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+<<+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩故|cos |y x =的图象是cos y x =的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方后得到的图象，如图题型三 三角函数识图问题【例3】函数1sin =+y x x的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数1sin =+y x x是定义域(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数∴其图象关于原点对称，排除选项D ；当(0,)x π∈时，sin 0x >，此时1sin 0x x+>，∴当(0,)x π∈时，()f x 的图象在x 轴上方，排除选项B ； 当32x π=时，322sin 10233πππ+=-+<，()f x 的图象在x 轴下方，排除选项C ；综上所述，函数1sin =+y x x的大致图象为选项A .故选：A .【变式3-1】函数2sin 2xy x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令0x =，则02sin 01y =-=，排除C 、D ；令1x =-，则()112sin 2sin 202y -=--=+>，排除B.故选：A【变式3-2】已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（ ）A ．()sin ln ||f x x x =⋅B ．()sin ln ||f x x x =-⋅C ．()sin ln f x x x =⋅D ．()|sin ln |f x x x =⋅ 【答案】A【解析】图象关于原点对称，为奇函数，CD 中定义域是0x >，不合，排除，AB 都是奇函数，当(0,1)x ∈时，A 中函数值为负，B 中函数值为正，排除B ．故选：A ．【变式3-3】已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()sin πf x x x =B ．()(1)sin πf x x x =-C ．[]()cos π(1)f x x x =+D ．()(1)cos πf x x x =- 【答案】B【解析】对于A ，()()sin πsin π()f x x x x x f x -=--==，所以函数()sin πf x x x =为偶函数，故排除A ； 对于D ，()010f =-≠，故排除D ；对于C ，[]()cos π(1)cos πf x x x x x =+=-，则()()cos πf x x x f x -==-， 所以函数[]()cos π(1)f x x x =+为奇函数，故排除C.故选：B.题型四 利用图象解三角不等式【例4】不等式2sin ,(0,2)2xx π∈的解集为（ ） A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】2sin ,(0,2)2xx π∈ sin y x =函数图象如下所示：∴344ππ≤≤x ，∴不等式的解集为：3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：B ．【变式4-1】在()0,2x π∈上，满足cos sin x x >的x 的取值范围（ ）A ．5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．50,,244πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．5,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】作出sin y x =和cos y x =在()0,2x π∈的函数图象，根据函数图象可得满足cos sin x x >的x 的取值范围为50,,244πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【变式4-2】在[]0,2π内，不等式3sin x < ） A ．(0，π) B ．3,34ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．45,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】画出y ＝sin x ，[]0,2x π∈的草图如下．[]0,2x π∈内，令3sin x =43x π=或53x π=，结合图象可知不等式3sin x <的解集为45,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：C ．【变式4-3】若函数()2sin13f x x π=- ）A ．56,622k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．156,622k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）C ．56,644k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．156,644k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 【答案】B【解析】要使函数有意义，则2sin103x π-≥，即1sin32x π≥， 即522636k x k πππππ+≤≤+，k ∈Z ，得156622k x k +≤≤+，k ∈Z ， 即函数的定义域为156,622k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）.故选：B【变式4-4】已知()f x 的定义域是3⎡-⎢⎣⎦，则(sin 2)f x 的定义域为（ ） A ．2,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B ．,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈C ．22,236k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D ．2,263k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【答案】A 【解析】()f x 的定义域是3⎡-⎢⎣⎦，故由31sin 2x -≤≤解得()422233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ()236k x k k Z ππππ∴-+≤≤+∈ 因此，函数(sin 2)f x 的定义域为()22,236k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.故选：A.【变式4-5】函数y 12log sin x________． 【答案】{}22,x k x k k Z πππ<<+∈ 【解析】由1122log sin 0log 1x ≥=知，0sin 1x <≤，由正弦函数图象特征知，22,k x k k Z πππ<<+∈． 故定义域为{}22,x k x k k Z πππ<<+∈. 故答案为：{}22,x k x k k Z πππ<<+∈.题型五 与正余弦函数有关的零点【例5】函数sin y x =，[]0,2πx ∈的图像与直线23y =-的交点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】在同一平面直角坐标系内，先画函数sin y x =，[]0,2πx ∈的图像，再画直线23y =-，可知所求交点的个数为2．故选：C ．【变式5-1】已知函数f (x )=12x⎛⎫⎪⎝⎭-sin x ，则f (x )在区间[0，2π]上的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】令sin 01()2xf x x ⎛⎫-=⎪⎝⎭= ，则1()sin 2x x =， 在同一坐标系中，作出1(),sin 2xy y x ==，如下图所示：由图知，f (x )在区间[0，2π]上的零点个数为2个.故选：B.【变式5-2】()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()11f x f x -=+，[]1,0x ∈-时，()sin 2f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()()e x g x f x -=-在区间[]2021,2022-上零点的个数为（ ）A ．2021B ．4043C ．2020D ．4044 【答案】B 【解析】(1)(1)f x f x -=+，()(2)f x f x ∴=+，即函数()f x 的周期为2，当[]1,0x ∈-时，()sin()sin()22f x x x πππ=+=-，则当[]0,1x ∈时，()()sin()sin()22f x f x x x ππ=-=--=， 由此可作出函数()f x 与函数e -=xy 的大致图象如下，由图象可知，每个周期内有两个交点， 所以函数((e))xg x f x -=-在区间[]2021,2022-上零点的个数为2021214043⨯+=个．故选：B ．【变式5-3】函数()sin 3|sin |,[0,2]f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．(1,0)(0,3)-C ．(2,4)D ．(1,4) 【答案】C【解析】当[0,]x π∈时，()sin 3sin 4sin f x x x x =+=，当(],2x ππ∈时，()sin 3sin 2sin f x x x x =+=-， 所以函数()f x 的图像如图所示，所以函数()f x 的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点时，(2,4)k ∈.故选：C【变式5-4】已知函数()1sin ,0,21cos ,0,2x x f x x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩若()f x 在区间3,2a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少有5个零点，()f x 在区间[],a π-上至多有5个零点，则正数a 的取值范围是（ ）A ．138,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1310,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1910,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．819,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】因为方程1sin 2x =-在[),0π-上的解为56π-，6π-， 所以当()f x 在区间[],a π-上至多有5个零点时，100.3a π<<因为方程1cos 2x =-在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解为23π，43π， 所以当()f x 在区间3,2a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少有5个零点时，136a π-≤-，即136a π≥综上，正数a 的取值范围是1310,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B。

常见三角函数图像及其性质三角函数介绍正弦函数主词条：正弦函数格式：sin（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-余弦函数主词条：余弦函数格式：cos（θ）作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-正切函数主词条：正切函数格式：tan（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。

函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：()∞-∞，+余切函数主词条：余切函数格式：cot（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数值域：()∞-∞，+正割函数主词条：正割函数格式：sec（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：(][)∞-1-，1∞，+余割函数主词条：余割函数格式：csc（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数值域：(][)∞-1-∞，+，1。

4-1.4.1正弦、余弦函数的图象（1）函数y=sinx 的图象 （2）余弦函数y=cosx 的图象正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是 (0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 讲解范例：例1 作下列函数的简图(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， (2) y=|sinx |， （3）y=sin |x |例2 用五点法作函数2cos(),[0,2]3y x x ππ=+∈的简图.例3 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x 的集合：1(1)sin ;2x ≥ 15(2)cos ,(0).22x x π≤<<课后作业：作业：补充：1．分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx 的图象 2．分别在[-4π,4π]内作出y=sinx 和y=cosx 的图象 3．用五点法作出y=cosx,x ∈[0,2π]的图象“五点（画图）法”-----描点、连线，画出简图。

例1． 画出下列函数的简图：（1） y ＝1＋sinx ，ｘ∈〔0，２π〕 （2） ｙ＝－cosx ，ｘ∈〔0，２π〕 一、 合作学习 ●探究1如何利用y=sinx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x- π/3)的图象？小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。

●探究2如何利用y=cos x ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y ＝-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？小结：这两个图像关于X 轴对称。