第二讲 三角形的角及倒角模型
1、 如图1，求证：AB ＋AE ＞BC ＋CD ＋DE
2、 如图2，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，且AC 、BD 相交于点O ，求证：AC ＋BD ＞2
1（AB ＋BC ＋CD ＋AD ）。
3、 如图3，⊿ADE 和⊿ABC 中，∠EAD ＝∠AED ＝∠BAC ＝∠BCA ＝45°又有∠BAD ＝∠BCF ，
（1） 求∠ECF ＋∠DAC ＋∠ECA 的度数；
（2） 判断ED 与FC 的位置关系，并对你的结论加以证明。
4、 求∠a 的度数。
5、如图5，∠A ＝30°，求∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数。
6、将图6-1中线段AD 上一点E （点A 、D 除外）向下拖动，依次可得图6-2、图6-3、图6-4，分别探究图6-2、图6-3、图6-4中∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E （∠AED ）之间有什么关系？
7、如图7，在⊿ABC 中D 是BC 上任意一点，E 是AD 上任意一点，试说明：AB ＋AC ＞BE ＋EC 。
8、如图8，已知DM 平分∠ADC ，BM 平分∠ABC ，且∠A ＝27°，∠M ＝33°，则∠C ＝ 。
9、如图9所示，点E 和点D 分别在⊿ABC 的边BA 和CA 的延长线上，CF 、EF 分别平分∠ACB 和∠AED ，试探索∠F 与∠B ，∠D 的关系： 。
10、如图10，⊿ABC 的一条外角平分线是CE ，F 是CA 延长线上一点，FG ∥EC 交AB 于点G ，已知∠DCE ＝50°，∠ABC ＝40°，求∠FGA 的度数。
11、如图11，在⊿ABC 中，∠B ＝∠C ，FD ⊥BC ，ED ⊥AB ，∠AFD ＝158°，则∠EDF
＝。
12、如图12-1，BP、CP是任意⊿ABC的∠B、∠C的角平分线。
（1）探求∠BPC与∠A的数量关系。
（2）∠BPC能等于90度吗？说明理由。
（3）当∠A为多少度时，∠BPC＝2∠A？
（4）把图12-1中的⊿ABC变成图12-2中的四边形ABCD，BP、CP仍然是∠B、∠C 的角平分线，猜想∠BPC与∠A，∠D有何数量关系？（只写出猜想结果，不写说理过程）。
13、如图13，在⊿ABC中，∠ABC的两个外角平分线交于点F，探索∠F和∠A的关系。
14、如图14，在⊿ABC中，∠ABC的平分线与∠ABC的外角平分线交于点A
1
，若∠A
＝40°，则∠A
1为度；同样的方法作出∠A
2
，则∠A
2
的度数是度；
依次下去，当作出∠A
n
时，它的度数是度。
15、如图15，由图15-1的⊿ABC沿DE折叠得到图15-2；图3；图4。
（1）如图2，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由；
（2）如图3，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由；
（3）如图4，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由；
16、如图16，已知⊿ABC，将点A向下拖动，依次可得到图1、图2、图3。分别探究图中
∠A、∠B、∠C、∠D、∠E有什么关系？
17、（1）小明有两根5㎝、8㎝的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选用一根（）长的木棒。
A、5㎝
B、8㎝
C、5㎝或8㎝
D、大于3㎝且小于13㎝的任意长
（2）⊿ABC中，有两边长分别为6和7，则周长l的取值范围是（）
A、1＜l＜13
B、13＜l＜25
C、14＜l＜26
D、无法确定（3）已知⊿ABC的边长分别为2x＋1，3x，5，则⊿ABC的周长L的取值范围是（）A、6＜L＜36 B、10＜L≤11 C、11≤L＜36 D、10＜L ＜36
（4）设a，b，c是⊿ABC的三边长，则：|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c －b－a|＝。
18、（1）已知四根长度分别为3、6、8、10的木棒，任意选取三根木棒组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
（2）长为9、6、5、3的四根木条，选其中三根组成三角形，共有（）种选法。
A、4
B、3
C、2
D、1
19、⑴盒中装有四根长度分别为1、3、4、5的细木棒，小明手中有一根长度为3的细木棒，现从盒中取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起组成三角形，则不同的取法有（）
A、3种
B、4种
C、5种
D、6种
⑵设a，b，c均为自然数，且a≤b≤c，a＋b＋c＝11，试问以a，b，c不边长的三角形有多少个？
20、如图，⊿ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点在，点E是AB上的一个动点，若CD＝4，则DE的最小值为。
21、如图，在⊿ABC中，点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且S⊿ABC＝6平方厘米，则S阴影＝。
22、给出下列命题：
①三角形的一个外角大于它的任何一个内角；
②若一个三角形的三个内角之比为1：3：4，它肯定是直角三角形；
③三角形的最小内角不能大于60°；
④三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
其中真命题有（）个
23、在⊿ABC中，2∠A＝3∠B，且∠C－30°＝∠A＋∠B，则⊿ABC是（）
A、锐角三角形
B、钝角三角形
C、有一个角是30度的直角三角形
D、等腰直角三角形
24、如图，在⊿ABC中，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2＝。
25、如图，⊿ABC的三条角平分线交于I点（∠ACB＞∠ABC），AI交BC于D，作IE ⊥BC于E，下列结论：①∠CID＋∠ABI＝90°；②∠BID＝∠CIE；③∠IBD＝∠DIE；
④∠DIE＝∠ACI－∠ABI。其中正确的结论是（）（填序号）
26、⑴如图，∠ACD是⊿ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，……，∠An-1BC的平分线与∠An-1CD 的平分线交于点An，同样操作，作⊿ABC的两个外角的平分线BP1，CP1交于点P1，⊿A1BC中两个外角的平分线BP2，CP2交于点P2，……，⊿An-1BC两个外角的平分线BPn，CPn，交于点Pn，设∠A＝a，则∠BPnC＝。
⑵如图，在⊿ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2012BC和∠A2012CD的平分线
交于点A2013，则∠A2013＝度。
⑶已知∠ACE是⊿ABC的外角，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∠BAC＝50°，则∠BDC的度数为，∠CAD的度数为。
⑷如右图所示，在⊿ABC中，CD、BE是外角平分线，BD、CE是内角平分线，BE、CE 交于E，BD、CD交于D，试探索∠D与∠E的关系：。
27、阅读下面的材料，并解决问题：已知在⊿ABC中，∠A＝60°，
如图1∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则可求得∠BOC＝120°；
如图2，∠ABC、∠ACB的三等分点交于点O1、O2，则∠BO1C＝。
如图3，∠ABC、∠ACB的n等分线交于点O1、O2、……On，则∠BO1C ＝。
∠BOn-1C＝。（用含n的代数式表示）
三角形的角及倒角模 型 Revised on November 25, 2020
第二讲三角形的角及倒角模型 1、如图1，求证：AB＋AE＞BC＋CD＋DE 1 2、如图2，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O，求证：AC＋BD＞ 2（AB＋BC＋CD＋AD）。 3、如图3，⊿ADE和⊿ABC中，∠EAD＝∠AED＝∠BAC＝∠BCA＝45°又有∠BAD＝∠BCF， （1）求∠ECF＋∠DAC＋∠ECA的度数； （2）判断ED与FC的位置关系，并对你的结论加以证明。 4、求∠a的度数。 5、如图5，∠A＝30°，求∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数。 6、将图6-1中线段AD上一点E（点A、D除外）向下拖动，依次可得图6-2、图6-3、图6-4，分别探究图6-2、图6-3、图6-4中∠A、∠B、∠C、∠D、∠E（∠AED）之间有什么关系 7、如图7，在⊿ABC中D是BC上任意一点，E是AD上任意一点，试说明：AB＋AC＞BE＋EC。 8、如图8，已知DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，则∠C ＝。 9、如图9所示，点E和点D分别在⊿ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF分别平分∠ACB和∠AED，试探索∠F与∠B，∠D的关系：。
10、如图10，⊿ABC的一条外角平分线是CE，F是CA延长线上一点，FG∥EC交AB于点G，已知∠DCE＝50°，∠ABC＝40°，求∠FGA的度数。 11、如图11，在⊿ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，ED⊥AB，∠AFD＝158°，则∠EDF ＝。 12、如图12-1，BP、CP是任意⊿ABC的∠B、∠C的角平分线。 （1）探求∠BPC与∠A的数量关系。 （2）∠BPC能等于90度吗说明理由。 （3）当∠A为多少度时，∠BPC＝2∠A （4）把图12-1中的⊿ABC变成图12-2中的四边形ABCD，BP、CP仍然是∠B、∠C的角平分线，猜想∠BPC与∠A，∠D有何数量关系（只写出猜想结果，不写说理过程）。 13、如图13，在⊿ABC中，∠ABC的两个外角平分线交于点F，探索∠F和∠A的关系。 14、如图14，在⊿ABC中，∠ABC的平分线与∠ABC的外角平分线交于点A 1 ，若∠A＝ 40°，则∠A 1为度；同样的方法作出∠A 2 ，则∠A 2 的度数是度；依次下 去，当作出∠A n 时，它的度数是度。 15、如图15，由图15-1的⊿ABC沿DE折叠得到图15-2；图3；图4。（1）如图2，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由； （2）如图3，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由； （3）如图4，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由；
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 1：相似三角形模型 一：相似三角形判定的基本模型 （一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行）（不平行） （二）8字型、反8字型 B C B C（蝴蝶型） （平行）（不平行） （三）母子型 （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角 形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示： （五）一线三直角型： 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似， 这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 （六）双垂型： 二：相似三角形判定的变化模型 一线三等角的变形
. 一线三直角的变形 2：相似三角形典型例题 （1）母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2； （2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2 =NC·NB 3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。 求证：EB·DF=AE·DB 4.在?ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。 求证：∠=?GBM 90 5 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积． （2）双垂型 A C D E B D E
第二讲 三角形的角及倒角模型 1、 如图1，求证：AB ＋AE ＞BC ＋CD ＋DE 2、 如图2，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，且AC 、BD 相交于点O ，求证：AC ＋BD ＞2 1（AB ＋BC ＋CD ＋AD ）。 3、 如图3，⊿ADE 和⊿ABC 中，∠EAD ＝∠AED ＝∠BAC ＝∠BCA ＝45°又有∠BAD ＝∠BCF ， （1） 求∠ECF ＋∠DAC ＋∠ECA 的度数； （2） 判断ED 与FC 的位置关系，并对你的结论加以证明。 4、 求∠a 的度数。 5、如图5，∠A ＝30°，求∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数。 6、将图6-1中线段AD 上一点E （点A 、D 除外）向下拖动，依次可得图6-2、图6-3、图6-4，分别探究图6-2、图6-3、图6-4中∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E （∠AED ）之间有什么关系？ 7、如图7，在⊿ABC 中D 是BC 上任意一点，E 是AD 上任意一点，试说明：AB ＋AC ＞BE ＋EC 。 8、如图8，已知DM 平分∠ADC ，BM 平分∠ABC ，且∠A ＝27°，∠M ＝33°，则∠C ＝ 。 9、如图9所示，点E 和点D 分别在⊿ABC 的边BA 和CA 的延长线上，CF 、EF 分别平分∠ACB 和∠AED ，试探索∠F 与∠B ，∠D 的关系： 。 10、如图10，⊿ABC 的一条外角平分线是CE ，F 是CA 延长线上一点，FG ∥EC 交AB 于点G ，已知∠DCE ＝50°，∠ABC ＝40°，求∠FGA 的度数。 11、如图11，在⊿ABC 中，∠B ＝∠C ，FD ⊥BC ，ED ⊥AB ，∠AFD ＝158°，则∠EDF
三角形的四大模型 令狐采学 一、三角形的重要概念和性质 1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180° 2、三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 3、三角形角平分线（角分线）中线（分面积等）高（直角三角形两锐角互余） 二、八字模型： 证明结论：∠A＋∠B＝∠C＋∠D 三、飞镖模型： 证明结论：1．∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C 四、角分线模型： 如图，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD、CD相交于点D， 试探索∠A与∠D之间的数量关系，并证明你的结论． 如图，△ABC两个外角（∠CAD、∠ACE）的平分线相交于点P． 探索∠P与∠B有怎样的数量关系，并证明你的结论． 题型一、三角形性质等应用
1．如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了米数是（） A．120 B．150 C．240 D．360 2．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF． 如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为cm2． 3．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点， 且S△ABC=4cm2，则S阴影=cm2． 4．A、B、C是线段A1B，B1C，C1A的中点，S△ABC的面积是1，则S△A1B1C1的面积． 5．一个四边形截去一个角后，剩下的部分可能是什么图形？画出所有可能的图形，并分别说出内角和和外角和变化情况．6．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角） （1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
第二节与三角形有关的角一、课标导航 二、核心纲要 1.三角形内角和定理及其应用 180 (1)三角形内角和定理：三角形三个内角的和是. (2)三角形内角和定理的应用 ①在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角； ②证明角之间的关系． 2．三角形的外角 (1)定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． (2)性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和， 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角． 360 (3)三角形外角和定理：三角形外角和是. (4)三角形外角的性质的应用 ①已知外角和与它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”； ②可证一个角等于另两个角的和； ③利用它作为中间关系式证明两个角相等； ④利用它证明角的不等关系． 3．几何模型
4．思想方法 (1)分类讨论． (2)方程思想， 本节重点讲解：一个性质（外角的性质），两大定理（三角形内、外角和定理），两个思想，四个模型（“小旗”模型，“飞镖”模型，“8”字模型和角平分线相关模型）． 三、全能突破 基 础 演 练 1．-副三角板，按图11-2—1所示方式叠放在一起，则图中α∠的度数是( )． 75.A o B 60. 65.C o D 55. 2．如图11-2 -2所示，在△ABC 中，,,ABD A BDC C ABC ∠=∠∠=∠=∠则A ∠的度数为( )． 36.A 72.B 108.C 144.D 3．我们知道：等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形的一个内角为,40 则这个等腰三角形的顶角 为( )． 40.A 100.B o C 10040.或 005070.或D
第二讲三角形的角及倒角模型 1、如图1，求证：AB＋AE＞BC＋CD＋DE 2、如图2，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O，求证：AC＋BD1。AD）BC＋CD＋＞（AB＋2＝∠BADBCA＝45°又有∠中，∠EAD＝∠AED＝∠BAC＝∠ 3、如图3，⊿ADE和⊿ABC ，BCF 的度数；DAC ＋∠ECA求∠（1） ECF＋∠的位置关系，并对你的结论加以证明。ED与FC（2）判断的度D＋∠EB＝30°，求∠＋∠C＋∠ 4、求∠a的度数。 5、如图5，∠A 数。、、图6-3D除外）向下拖动，依次可得图6-2上一点 6、将图6-1中线段ADE（点A、）之（∠AEDC、∠D、∠E6-2、图6-3、图6-4中∠A、∠B、∠，分别探究图图6-4 间有什么关系？AC＋是EAD上任意一点，试说明：AB、如图7，在⊿ABC中D是BC上任意一点，7 。＞BE ＋ECC°，则∠M＝33平分∠ABC，且∠A＝27°，∠DM8、如图8，已知平分∠ADC，BM ＝。分别、EFBA的边和CA的延长线上，CF99、如图所示，点E和点D分别在⊿ABC 。∠D的关系： B平分∠ACB和∠AED，试探索∠F与∠， AB∥EC交，CEF是CA延长线上一点，FG，⊿10、如图10ABC的一条外角平分线是的度数。＝40°，求∠FGA°，∠，已知∠于点GDCE＝50ABCEDF°，则∠158＝AFD，∠AB⊥ED，BC⊥FD，C＝∠B中，∠ABC，在⊿11、如图11．＝。 12、如图12-1，BP、CP是任意⊿ABC的∠B、∠C的角平分线。 （1）探求∠BPC与∠A的数量关系。
（2）∠BPC能等于90度吗？说明理由。 （3）当∠A为多少度时，∠BPC＝2∠A？ （4）把图12-1中的⊿ABC变成图12-2中的四边形ABCD，BP、CP仍然是 ∠B、∠C的角平分线，猜想∠BPC与∠A，∠D有何数量关系？（只写出猜想结果，不写说理过程）。 13、如图13，在⊿ABC中，∠ABC的两个外角平分线交于点F，探索∠F和∠A的关系。 14、如图14，在⊿ABC中，∠ABC的平分线与∠ABC的外角平分线交于点A，若∠A1＝40°，则∠A为度；同样的方法作出∠A，则∠A的度数是度；221依次下去，当作出∠A时，它的度数是度。 、如图15，由图15-1的⊿ABC沿DE折叠得到图15-2；图3； n15 图4。 （1）如图2，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由； （2）如图3，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由； （3）如图4，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由； 16、如图16，已知⊿ABC，将点A向下拖动，依次可得到图1、图2、图3。分别探究图中 ∠A、∠B、∠C、∠D、∠E有什么关系？ 17、（1）小明有两根5㎝、8㎝的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等 腰三角形，）长的木棒。还需再选用一根（． A、5㎝ B、8㎝ C、5㎝或8㎝ D、大于3㎝且小于13㎝的任意长
三角形五大模型 【专题知识点概述】 本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。 重点模型重温 一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等( 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、等分点结论（“鸟头定理”） D C B A b a s 2 s 1
如图，三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=1 6 三、任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”） ① S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ② ②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3） 梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”） ① S 1︰S 3=a 2︰b 2 ②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2 模型四：相似三角形性质 如何判断相似 (1)相似的基本概念： 两个三角形对应边城比例，对应角相等。 (2)判断相似的方法： ①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似； ②两个三角形若有两条边对应成比例， 且这两组对应边所夹的角相等则两个 S 4 S 3 s 2 s 1O D C B A S 4 S 3s 2 s 1 b a
三角形的四大模型 、三角形的重要概念和性质 1、 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 180° 2、三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 3、三角形角平分线 （角分线） 中线 （分面积等） 高（直角三角形两锐角互余） 、八字模型： 三、飞镖模型： 证明结论： 1．∠BOC ＝∠ A ＋∠B ＋∠ C 四、角分线模型： 如图， BD 、CD 分别是∠ ABC 和∠ ACB 的角平分线， BD 、CD 相交于点 D ， 试探索∠ A 与∠D 之间的数量关系，并证明你的结论．
如图，△ ABC 两个外角（∠ CAD 、∠ ACE ）的平分线相交于点 P ． 探索∠ P 与∠B 有怎样的数量关系，并证明你的结论． 题型一、三角形性质等应用 5．一个四边形截去一个角后，剩下的部分可能是什么图形？画出所有可能的图形，并分别 说出 内角和和外角和变化情况． 6．如图，直线 AC ∥ BD ，连接 AB ，直线 AC ，BD 及线段 AB 把平面分成①、②、③、④ 四 个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点 P 落在某个部分时，连接 PA ，PB ， 构成∠ PAC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角 是 0°角） （ 1）当动点 P 落在第①部分时，求证：∠ APB= ∠PAC+∠ PBD ； （ 2）当动点 P 落在第②部分时，∠ APB= ∠ PAC+∠PBD 是否成立？（直接回答） （ 3）当动点 P 在第③部分时，全面探究∠ PAC ，∠ APB ，∠ PBD 之间的关系，并写出 动点 P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明． 1．如图，小亮从 A 点出发前进 下去，他第一次回到出发点 A ．120 B ． 150 2．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿 如果 AB=8cm ， BE=4cm ， DH=3cm ， 10m ， A 时， C ． 向右转 15°，再前进10m ，又向右转 15°，这样一直 走 一共走了米数是（ ） 240 D ．360 则图中阴影部分面积为 BC 方向平移得到 △ DEF ． 2 3． 如图，在 △ ABC 中，已知点 D ， 且 S △ABC =4cm 2，则 S 阴影= 4． A 、B 、C 是线段 A 1B ，B 1C ，C 1A 的中点， E ， F 分别为边 BC ，AD ， 2 cm ． S △ABC 的面积是 1，则 S △ A 1B 1C 1 的面积 CE 的中点，
【例1】 (北京市竞赛题)在ABC ?中，三个内角的度数均为整数，且A B C ∠<∠<∠，47C A ∠=∠，则B ∠的 度数为 ． 【解析】 设C x ∠=?，则4()7A x ∠=?，11 1801807 B A C x ∠=?-∠-∠=?-?， 则411 18077x x x <-<，解得7084x <<， 又4 7 x 是整数，得77x =，故44A ∠=?，59B ∠=?． 【例2】ABC ?中，A ∠是最小角，B ∠是最大角，且25B A ∠=∠，若B ∠的最大值是m ?，最小值是n ?．则m n += ． 【解析】 25A B ∠=∠，依题意得27 18055 B B B ∠?-∠∠≤≤，解得75100B ?∠?≤≤，故175m n +=． 【例3】 ⑴(河南竞赛题)若三角形的三个外角的比是234∶∶，则这个三角形的最大内角的度数是 ． ⑵ ABC ?的内角A ∠、B ∠、C ∠满足35A B ∠>∠，32C B ∠∠≤，则这个三角形是( )． A ． 锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 ⑴ 三角形内角和360?，故最小的外角为2 360809 ??=?，它对应的内角为最大内角为100?． ⑵ C ．∵35B A ∠<∠，∴22 35 C B A ∠∠<∠≤， ∴B C A ∠+∠<∠，180A A ?-∠<∠，90A ∠>?． 【例5】在ABC ?中，若2AB BC =，2B A ∠=∠，判断ABC ?的形状(锐角三角形、直角三角形或钝角三角形)，并写出理由． D A C B ． AB C ?是直角三角形． 理由：如上图，∵2AB BC =，∴AB BC >， 根据大边对大角：ACB A ∠>∠，作ACD A ∠=∠，CD 与AB 交于点D ， 根据等角对等边：AD CD =， 由外角定理：2BDC A ACD A ∠=∠+∠=∠， 又∵2B A ∠=∠，∴B BDC ∠=∠， 由等角对等边：CD BC =， 又∵2AB BC =， ∴1 2 AD BD CD BC AB ==== ， ∴60B BCD BDC ∠=∠=∠=?， ∴1 302 ACD BDC ∠=∠=?， ∴90ACB ACD BCD ∠=∠+∠=?． 【例6】 如下图所示，在ABC ?中，90ACB ∠=?，D 、E 为AB 上两点，若AE AC =，45DCE ∠=?，求证： BC BD =．
2016年01月07日liwei的初中数学组卷 一．选择题（共5小题） 1．（2015春?扬中市校级期末）如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，∠A=30°， ∠C=45°△COD固定不动，△AOB绕着O点逆时针旋转α°（0°＜α＜180°） （1）若△AOB绕着O点旋转图2的位置，若∠BOD=60°，则∠AOC=； （2）若0°＜α＜90°，在旋转的过程中∠BOD+∠AOC的值会发生变化吗若不变化，请求出这个定值； （3）若90°＜α＜180°，问题（2）中的结论还成立吗说明理由； （4）将△AOB绕点O逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），问当α为多少度时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直（请直接写出所有答案）． 》 2．（2014?赤峰）如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED． （1）探究猜想： ①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度 ②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度 ③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）． 、 3．（2013秋?微山县期中）如图，若∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，∠ABC=50°，则∠BCD的大小为（）
A．50°B．100°C．130°D．150° 4．（2013春?连云区校级月考）如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了米数是（） A．120 B．150 C．240 D．360 5．如图，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D，E，则∠BDC 的度数是（） / A．67°B．84°C．88°D．110° 二．填空题（共3小题） 6．（2007?遵义）如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为cm2． 7．（2013秋?和县期末）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠A n﹣1BC的平分线与∠A n﹣1CD的平分线交于点A n．设∠A=θ．则： （1）∠A1=； （2）∠A2=； ！ （3）∠A n=．
全等的相关模型总结 一、角平分线模型应用 1.角平分性质模型： 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC （1）.例题应用： ①如图1，在中ABC ?，,cm 4,6,900 ==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的距离是 cm. ②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：. 图1 图2 ①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ） ②21∠=∠Θ，PN PM =∴，43∠=∠Θ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,. (2).模型巩固： 练习一：如图3，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分BAC ∠. .求证：?=∠+∠180C A 图3 练习二：已知如图4，四边形ABCD 中， 图4 练习三：如图5，,,900 CAB AF D AB CD ACB ABC Rt ∠⊥=∠?平分，垂足为，中，交CD 于点E ，交CB 于点F. (1)求证：CE=CF. (2)将图5中的△ADE 沿AB 向右平移到' ' ' E D A ?的位置，使点' E 落在BC 边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：' BE 于CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论. 图5 图6 练习四：如图7，90A AD BC =?，∠∥，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC． 求证：CP 平分∠DCB． 图7 A D E C B P 2 1 4 3
练习五：如图8，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF ． 图8 练习六：如图9所示，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于点D ，F 为垂足，DE ⊥AB 于E ，并且AB>AC 。求证：BE －AC=AE 。 练习七： 如图10，D 、E 、F 分别是△ABC 的三边上的点，CE=BF ，且△DCE 的面积与△DBF 的面积相等，求证：AD 平分∠BAC 。 2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现 辅助线：延长ED 交射线OB 于F 辅助线：过点E 作EF ∥射线OB （1）.例题应用： ①．如图1所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证：1 ()2 BE AC AB = - 证明：延长BE 交AC 于点F 。 ②．已知：如图2，在中ABC ?， ,,AD AB D BC AD BAC =∠且于交的角平分线 分析：此题很多同学可能想到延长线段CM ，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于AB=AD ，由此我们可以猜想过C 点作平行线来构造等腰三角形. 证明：过点C 作CE ∥AB 交AM 的延长线于点E. 例题变形:如图，21∠=∠，的中点为AC B ，.,N FB AN M FB CM 于于⊥⊥ 求证：①;2BM EF = ② ).(21 FN FM FB += (3).模型巩固： 练习一、 如图3，ΔABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ， CE 垂直于BD ，交BD 的延长线于点E 。求证：BD=2CE 。 图3 F E D C B A 图9
方法技巧训练(一) 与角平分线有关的基本模型 方法指导1三角形中角平分线的夹角的计算 类型1 两个内角平分线的夹角 如图1，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线BE ，CF 相交于点G ，则∠BGC ＝90°＋1 2 ∠A. 图1 图2图3 解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和． 类型2 一个内角平分线和一个外角平分线的夹角 如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB 的外角，BP 与CP 相交于点P ，则∠P ＝1 2∠A. 解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半． 类型3 两外角平分线的夹角 如图3，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线，则∠O ＝90°－1 2 ∠A. 解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差．Ｋ 1．如图，在△ABC 中，∠A ＝40°，点D 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，则∠BDC ＝110°． 【变式1】如图，若点D 是∠ABC 的平分线与∠ACB 外角平分线的交点，则∠D ＝20°． 【变式2】如图，若点D 是∠ABC 外角平分线与∠ACB 外角平分线的交点，则∠D ＝70°． 【变式3】如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是∠A 1BD 的平分线，CA 2是∠A 1CD 的平分线，BA 3是∠A 2BD 的平分线，CA 3是∠A 2CD 的平分线．若∠A 1＝α，则∠A 2 019＝α 2 2 018． 方法指导2与角平分线有关的图形与辅助线
三角形中与角度计算相关的模型 两个定理： 一、平面内，三角形的三个内角和为180°。 二、平面内，三角形的一个外角等于其不相邻的两个外角和。 由上述两个定理可导出本文如下说要讲述的相关模型：8字模型、飞镖模型、两内角角平分线模型、两外角角平分线模型、内外角角平分线模型、共顶点的角平分线与高线夹角模型。下面一一推导证明。
条件：AD、BC相交于点O。 结论：∠A+∠B=∠C+∠D。(上面两角之和等于下面两角之和) 证明：在∠ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180° 在∠CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°， ∠∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD， 由对顶角相等：∠BOA=∠COD 故有∠A+∠B=∠C+∠D 应用：如下左图所示，五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
条件：四边形ABDC如上左图所示。 结论：∠D=∠A+∠B+∠C。(凹四边形凹外角等于三个内角和) 证明：如上右图，连接AD并延长到E，则： ∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C。本质为两个三角形外角和定理证明。 应用：如下左图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°(下右图中两个飞镖)。
条件：△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。 结论：A I ∠+ ?=∠2 1 90 证明： ∵BI 是∠ABC 平分线，∴ABC ∠= ∠2 1 2 ∵CI 是∠ACB 平分线，∴ACB ∠=∠2 1 3 由A →B →I →C →A 的飞镖模型可知： ∠I =∠A +∠2+∠3=∠A + ABC ∠21+ACB ∠21=∠A +)180(21A ∠-?=A ∠+?2 1 90. 应用：如上图，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。 (1) 若∠A =60° ，则∠I =120° (2) 若∠I =110°，则∠A =40° (3) 若∠A =α，则∠I =α2 1 90+ ?。
三角形的倒角题型一：三角形的倒角模型 “飞镖模型” “8字模型” 注意：飞镖和8字模型不可以直接使用，需要证明后再 用． 【例1】（1）如下左图，∠B=45°，∠A=30°，∠C=25°，试求∠ADC的角度．（2）如下右图，∠A=30°，∠B=45°，∠D=50°，试求∠C的角度．
【例2】如图：在∠M的两边上分别取点P、点Q，在∠M内部取一点N，连接PN、QN，探索∠PNQ、∠M、∠MPN与∠MQN之间的数量关系，并证明你的结论． 【例3】（1）如图1，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=__________． （2）如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________． 图1 图2
题型二：三角形中常见倒角构图 图1 I为∠A、∠B平分线的交点 图2 E为△ABC两外角平分线的交点 图3 P为∠B的平分线和△ABC外角平分线的交点
图4 AD为∠BAC的平分线，AE为BC上的高 图5 E为∠ABC，∠ADC平分线的交点 图6 BE，DE为∠AB C和∠ADC的平分线
【例4】已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题： 图1 图2 图3（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系，并说明理由； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：______个； （3）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．利用（1）的结论，试求∠P的度数； （4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可） （5）如图3所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_________． 【例5】如图1，∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上，（1）∠MAB和∠NBA的平分线相交于点P，点A和点B在运动过程中，∠P的大小是否发生变化？（2）如图2，若延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交OM于点C，若∠ABC、∠CAE和∠ACF的角平分线交于点G，过点G作GH⊥BE于H，判断∠AGH与∠BGC的大小关系，并说明理由． 图1 图2
类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型 模型1：求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数 1．如图，AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线． (1)已知∠B ＝40°，∠C ＝60°，求∠DAE 的度数； (2)设∠B ＝α，∠C ＝β(α＜β)，请用含α，β的代数式表示∠DAE ，并证明． 模型2：求两内角平分线的夹角的度数 2．如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O .若∠BOC ＝120°，则∠A ＝ _____. 3．如图，△ABC 中，点P 是∠ABC ，∠ACB 的平分线的交点． (1)若∠A ＝80°，求∠BPC 的度数． (2)有位同学在解答(1)后得出∠BPC ＝ 90°＋12∠A 的规律，你认为正确吗？请给出 理由． 模型3：求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数 4．如图，在△ABC 中，BA 1平分∠ABC ，CA 1平分∠ACD ，BA 1，CA 1相交于点A 1. (1)求证：∠A 1＝1 2 ∠A ； (2)如图，继续作∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；作∠A 2BC 和∠A 2CD 的平分线交于点A 3，得∠A 3……依此得到∠A 2017，若∠A ＝α，则∠A 2017＝ _____________.
模型4：求两外角平分线的夹角的度数 【方法5】 5．(1)如图，BO平分△ABC的外角 ∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，则 ∠BOC与∠A的关系为____________； (2)请就(1)中的结论进行证明． 参考答案与解析 1．解：(1)∵∠B＝40°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－
专题训练(一)与三角形的角有关的四种几何模型 模型一角的“8”字模型 如图1-ZT-1所示,AC,BD相交于点O,连接AD,BC. 结论:∠A+∠D=∠B+∠C. 图1-ZT-1 模型结论的推导: ∵∠A+∠D+∠AOD=180°(), ∠B+∠C+∠BOC=180°(), 又∠AOD=∠BOC(), ∴∠A+∠D=∠B+∠C. 模型的应用: 1.如图1-ZT-2,∠A=43°,∠D=57°,∠C=37°,则∠B的度数为. 图1-ZT-2 2.如图1-ZT-3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= . 图1-ZT-3 3.(1)如图1-ZT-4①,求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E; (2)如图②,求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E. 图1-ZT-4 4.如图1-ZT-5,已知∠1=∠2,∠3=∠4,判断∠A,∠C与∠E之间的数量关系,并证明你的结论.
图1-ZT-5 模型二角的燕尾模型 如图1-ZT-6所示,有结论:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C. 图1-ZT-6 模型结论的推导: 如图1-ZT-6,连接AD并延长到点E. ∵∠BDE=∠B+∠BAD(), ∠CDE=∠C+∠CAD(), ∴∠BDE+∠CDE=∠B+∠C+∠BAD+∠CAD. 又∵∠BDC=∠BDE+∠CDE,∠BAC=∠BAD+∠CAD,∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C. 模型的应用: 5.如图1-ZT-7,已知∠A=60°,∠BDC=120°,∠C=37°,则∠B= °. 图1-ZT-7 6.如图1-ZT-8,在四边形ABCD中,AM,CM分别平分∠DAB和∠DCB,AM与CM交于点M.探究∠AMC与∠B,∠D之间的数量关系. 图1-ZT-8 7.如图1-ZT-9,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F.
相似三角形模型分析大全 一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A 字型、反A 字型（斜A 字型） A B C D E （平行） C B D E （不平行） （二）8字型、反8字型 J O A D B C A B C D （蝴蝶型） （平行）（不平行） （三）母子型 （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 （五）一线三直角型： （六）双垂型： 二、相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A 字型旋转得到。8字型拓展
C B E D A 共享性 G A B C E F 一线三等角的变形 一线三直角的变形 第二部分相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上,ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2 ；（2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD =2． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线 交于一点N 。 求证：(1)△AME ∽△NMD;(2)ND 2 =NC ·NB 3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。 求证：EB ·DF=AE ·DB 4.在?ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。 求证：∠=?GBM 90 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分） A C D E B
三角形的四大模型 一、三角形的重要概念和性质 1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180° 2、三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 3、三角形角平分线（角分线）中线（分面积等）高（直角三角形两锐角互余） 二、八字模型： 证明结论：/ A+Z B=Z C+Z D 三、飞镖模型： 证明结论：1. Z BO GZ A+Z B+Z C 四、角分线模型： 如图，BD CD分别是Z ABC和Z ACB的角平分线，BD CD相交于点D, 试探索Z A与Z D之间的数量关系，并证明你的结论. 如图，△ ABC两个外角（Z CAD Z ACE的平分线相交于点P. 探索Z P与Z B有怎样的数量关系，并证明你的结论. 题型一、三角形性质等应用
1. 如图，小亮从A点出发前进10m向右转15°,再前进10m又向右转15°,这样一直 走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了米数是( ) A. 120 B . 150 C . 240 D. 360 2. 如图所示是重叠的两个直角三角形.将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△ DEF 如果AB=8cm BE=4cm DH=3cm则图中阴影部分面积为cm 2. 3. 如图，在△ ABC中，已知点D, E, F分别为边BC, AD CE的中点, 2 且S\ABC=4cm，贝U S 阴影= cm 4. A、B、C是线段AB, BC, GA的中点，S^BC的面积是1,则S SB?的面积_____________ 5. 一个四边形截去一个角后，剩下的部分可能是什么图形？画出所有可能的图形，并分别说 出内角和和外角和变化情况. 6. 如图，直线AC// BD连接AB,直线AC BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个 部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连接PA PB构 成/PAC / APB / PBD三个角.(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角) (1) 当动点P落在第①部分时，求证：/ APB2 PAC# PBD (2) 当动点P落在第②部分时，/ APB# PAC# PBD是否成立？(直接回答) (3) 当动点P在第③部分时，全面探究# PAC # APB / PBD之间的关系，并写出
与三角形有关的角 知识回顾 一、什么是三角形内角 三角形相邻两边组成的角叫做它的内角． 二、什么是三角形的外角 三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等．每个顶点处的两个外角是相等的． 《 知识讲解 三角形内角和定理： 三角形三个内角和等于180?． 三角形的外角： 三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等．每个顶点处的两个外角是相等的． 三角形的外角和： 每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和(并非6个外角之和)．三角形的外角和等于360?． 三角形内角和定理的三个推论： 推论1：直角三角形的两个锐角互余． 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． : 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
三角形内角和180?的几种证明方法： ①添加平行线法： ②帕斯卡(法国数学家)折纸法： ③更具动手可行性的剪角法：(不严密)把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角． 三角形外角和360?的证明法： 三角形按最大角的大小来分类： ？ ?? ???锐角三角形：最大的内角为锐角的三角形直角三角形：最大的内角为直角的三角形钝角三角形：最大的内角为钝角的三角形 三角形的角与不等式： ⒈若ABC ?为锐角三角形，则090A ?<∠?，则090B ?<∠