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文献综述图像分割就是把图像分成各具特色的区域提取感兴趣目标的技术和过程。
它是由图像处理到图像分析的关键步骤，是一种基本的计算机视觉技术。
图像分割起源于电影行业。
伴随着近代科技的发展，图像分割在实际中得3到了广泛应用，如在工业自动化、在线产品检验、生产过程控制、文档图像处理、遥感和生物医学图像分析、以及军事、体育、农业工程等方面。
总之，只要是涉及对对象目标进行特征提取和测量，几乎都离不开图像分割。
所以，对图像分割的研究一直是图像工程中的重点和热点。
自图像分割的提出至今，已经提出了上千种各种类型的分割算法。
由于分割算法非常多，所以对它们的分类方法也不尽相同。
我们依据使用知识的特点与层次，将其分为基于数据和基于模型两大类。
前者是直接对当前图像的数据进行操作，虽然可以利用相关的先验信息，但是不依赖于知识；后者则是直接建立在先验知识的基础上，这类分割更符合当前图像分割的技术要点，也是当今图像分割的主流。
基于数据的图像分割算法多数为传统算法，常见的包括，基于边缘检测，基于区域以及边缘与区域相结合的分割方法等等。
这类分割方法具有以下缺点，○1易受噪声和伪边缘影响导致得到的边界不连续，需要用特定的方法进行连接；○2只能提取图像局部特征，缺乏有效约束机制，难以获得图像的全局信息；○3只利用图像的底层视觉特征，难以将图像的先验信息融合到高层的理解机制中。
这是因为传统的图像处理算法都是基于MIT人工智能实验室Marr提出的各层相互独立、严格由低到高的分层视觉框架下进行的。
由于各层之间不存在反馈，数据自底向上单向流动，高层的信息无法指导底层特征的提取，从而导致底层的误差不断积累，且无法修正。
基于模型的分割方法则可以克服以上缺陷。
基于模型的分割方法可以将分割目标的先验知识等有用信息融合到高层的理解机制之中，并通过对图像中的特定目标对象建模来完成分割任务。
这是一种自上而下的处理过程，可以将图像的底层视觉特征与高层信息有机结合起来，因此更接近人类的视觉处理。
摘要图像分割是把图像划分为有意义的若干区域的图像处理技术，分割技术在辅助医学诊断及运动分析、结构分析等领域都有着重要的研究价值和广泛的应用发展前景。
在阅读大量文献的基础上，本文对图像分割技术的理论基础、发展历程及图像分割方法的热点、难点问题进行了分类综述，对不同分割算法优缺点进行了总结和归纳，并对图像分割的发展趋势进行了初步的展望和预测。
在此基础上，为了对图像分割理论有更直观的认识，本文选取并行边界算法和分水岭算法这两种方法，用MATLAB软件进行了基础的仿真，并对结果进行了分析和总结，本文重点对一些近年来新兴的算法，比如水平集（Level-set）算法、马尔科夫随机场算法（Markov）、模糊算法、遗传算法、数学形态学算法等进行了概略性的探讨，对这些新兴算法的特点、原理、研究动态进行了分析和总结。
关键词：图像分割；边界；区域；水平集；马尔科夫AbstractImage segmentation is an image processing technology that divides the image into a number of regions. Image segmentation has very important significance in supporting medical diagnosis, motion analysis, structural analysis and other fields.Based on recent research, a survey on the theory and development of image segmentation, hot and difficult issues in image segmentation is given in this article. And describes the characteristics of each method as well as their respective advantages and disadvantages in image segmentation .This article introduces and analyzes some basic imaging and image segmentation methods in theory and describes the development trends of medical image segmentation. To have a better understanding of image segmentation, I use MATLAB software to stimulate on images about the parallel edge algorithms and watershed algorithm. And the analysis of the segmentation results is given in the article.This article introduces and analyzes the new algorithms in recent years such as Level-set algorithm, Markov algorithm, Fuzzy algorithm, Genetic algorithm and Morphological algorithm. In this paper, the features, theory and research trends of these algorithms are analyzed and summarized.Keywords: Image segmentation; Border; Area；Level-set；Markov第1章引言1.1 图像分割的背景和重要作用图像是传达信息的一种方式，图像中含有大量的有用信息，理解图像并从图像中抽取信息以用来完成其他工作是数字图像技术中一个重要的应用领域，而理解图像的第一步就是图像的分割。
图像分割方法综述【摘要】本文简要介绍了几种典型的图像分割方法，主要有阈值分割算法、边缘检测算法、区域分割算法。
它们均是基于不同的理论，十分具有代表性，且在计算机上易于实现，实验效果比较好。
【关键词】图像分割；算法图像分割是一种基本的计算机视觉技术，是图像分割的需要解决的首要和基础问题，是图像处理到图像分析的关键步骤。
图像分割及目标表达和参数测量为图像分析和理解提供基本的信息。
1.图像分割的定义图像分割就是把图像分成若干个特定的、具有独特性质的区域并提出感兴趣目标的技术和过程。
它是由图像处理到图像分析的关键步骤。
图像分割可以用数学描述如下：令集合R代表整幅图像，对R的划分可以看成满足五个条件的非空子集R1,R2,…，Rn。
（1）Ri=R;（2）对于所有的i和j，i≠j，RiRj=?；（3）对i=1,2，…，n，有P(Ri)=TRUE;（4）对i≠j，有P(RiRj)=TRUE；（5）对i=1,2，…，n，Ri是连通的区域。
上述的五个条件：（1）指出分割应将图像中的每个像素都分进某个子区域，也就是说分割结果中得到的全部子区域的总和要包括图像中的所有的像素点。
（2）指出分割结果得到的各个子区域之间是互不相交的。
（3）指出分割结果中每个子区域都有各自的特性。
（4）指出同一个区域的像素应该具有一些不同的特性。
（5）是指同一个子区域的任两个像素是连通的。
2.阈值分割算法灰度阈值分割法是一种最常用的并行区域技术，它是图像分割中应用数量最多的一类。
阈值分割方法实际上是输入图像到输出图像的如下变换：g（i，j）=1，f（i,j）≥T0，f（i,j）≥T其中，T为阈值，对于物体的图像元素g（i，j），对于背景的图像元素g（i，j）=0。
由此可见，阈值分割算法的关键是确定阈值，如果能确定一个合适的阈值就可准确地将图像分割开来。
阈值确定后，将阈值与像素点的灰度值比较和像素分割可对各像素并行地进行，分割的结果直接给出图像区域。
图像分割综述摘要：现在数字图像处理越来越多地被运用在相关领域中，图像分割是数字图像处理过程中一种非常重要的技术手段，其发展至今没有一个通用的方法和标准。
本文对数字图像处理中的图像分割作了简要介绍，并运用Matlab实现几种图像分割处理方法，如双峰法、迭代法、K均值聚类法、边缘检测,讨论他们了的不同技术要点.关键字：数字图像处理;图像分割;双峰法;迭代法;K均值聚类;边缘检测Overview of image segmentationAbstract: Now the digital image processing is applied in more and more fields, image segmentation is a very important process of digital image processing technology, and there doesn’t exsist a unified method and standard. The image segmentation are introduced in this paper and several methods of image segmentation are realized by Matlab, such as bimodal method, iterative method, k-means clustering and edge detection. We also discuss the main points of different technology.key word: Digital image processing; Image segmentation; Bimodal method; Iteration method; K-means clustering;Edge detection1 引言在数字图像处理的研究和应用中，有时往往对图像的某些部分或者目标感兴趣，此时需要用利用图像分割技术将感兴趣的目标同背景区分开来，以便进一步的研究和分析，这就是数字图像处理中的图像分割技术，其目的是将图像分为若干有意义的区域，这些区域对应图像中不同的目标，然后对感兴趣的区域进行描述和研究[1]。
图像分割方法综述
图像分割是图像处理的一个重要研究课题，它的目的是将图像分
割成若干个不重叠的区域，每一个区域对应着图像中的一个物体，分
割结果有助于进一步提取它们的相关信息。
近年来，已有许多图像分割方法被提出，其中包括基于标签传播、模板与聚类、基于特征聚类、图割等。
基于标签传播的图像分割是一种非监督学习方法，它的基本思想
是通过将图像的局部结构和对象的先验信息投影到相应的标签空间上，通过传播把他们之间的关系扩展到整个图像，从而实现分割的目的。
模板与聚类法是一种经典的图像分割方法，它的基本思想是基于
模板匹配机制，将图像区域进行分类，再利用聚类算法对区域进行聚类，从而实现图像分割。
基于特征聚类是一种基于计算机视觉的图像分割方法，它是基于
目标特征空间应用聚类的方法，通过分析图像的纹理、色彩、颜色变
化等，以实现图像分割的目的。
图割作为图像分割中的一个重要方法，它将图像分割问题转化为
求解图形分割问题，将图像分割问题转化为在相关能量函数中寻求使
能量函数最小值的最小割集。
以上是近年来几种图像分割方法的大致介绍，每种方法都有自己
的特点和优势，根据不同的图像情况选择合适的分割方法可以获得较
好的处理结果。
图像分割技术研究综述随着科技的快速发展，图像分割技术作为计算机视觉领域的重要分支，已经在众多应用领域中发挥着越来越重要的作用。
本文将对图像分割技术的研究进行综述，包括其发展历程、应用领域、研究成果以及未来研究方向。
图像分割技术是指将图像按照像素或区域进行划分，从而提取出感兴趣的目标或背景的过程。
图像分割技术在信号处理、计算机视觉、机器学习等领域具有重要的应用价值。
例如，在智能交通中，图像分割技术可以用于车辆检测和跟踪；在医学图像分析中，图像分割技术可以用于病灶区域提取和诊断。
根据图像分割技术所采用的方法，可以将其大致分为以下几类：基于阈值的分割、基于区域的分割、基于边缘的分割、基于模型的分割以及基于深度学习的分割。
1、基于阈值的分割是一种简单而又常用的图像分割方法，其基本原理是通过设定一个阈值，将图像的像素值进行分类，从而将图像分割为不同的区域。
基于阈值的分割方法实现简单、运算效率高，但在处理复杂图像时，往往难以选择合适的阈值，导致分割效果不理想。
2、基于区域的分割方法是根据图像像素的灰度或颜色特征，将图像分割为不同的区域。
这类方法通常适用于均匀背景和简单目标的图像，但对于复杂背景和遮挡情况的处理效果较差。
3、基于边缘的分割方法是通过检测图像中的边缘信息，将不同区域之间的边界提取出来，从而实现图像分割。
这类方法对噪声和光照变化较为敏感，需要结合其他方法进行优化。
4、基于模型的分割方法通常是利用数学模型对图像进行拟合，从而将图像中的目标或背景分离出来。
常用的模型包括参数化模型和非参数化模型两类。
这类方法能够处理复杂的图像特征，但对模型的选择和参数调整要求较高。
5、基于深度学习的分割方法是通过训练深度神经网络，实现对图像的自动分割。
这类方法具有强大的特征学习和自适应能力，能够处理各种复杂的图像特征，但在计算复杂度和训练成本方面较高。
近年来，随着人工智能和机器学习技术的快速发展，基于深度学习的图像分割技术在学术研究和实际应用中取得了显著的成果。
医疗影像诊断中的图像分割技术综述医疗影像诊断是现代医学领域中非常重要的一部分，对于各种疾病的准确诊断和治疗起着至关重要的作用。
而其中的图像分割技术则是医疗影像诊断过程中的关键环节，它能够将医学图像中的不同组织结构或病变区域分割出来，并提供了有助于医生判断和分析的可视化信息。
本文将对医疗影像诊断中的图像分割技术进行综述，并介绍其应用于不同医学图像领域的研究进展和挑战。
首先，我们来了解一下医疗影像图像分割的基本概念。
图像分割是指将图像中的像素根据其灰度、颜色、纹理等特征进行分类和分组，从而得到每个组织结构或病变区域的边缘轮廓。
而医疗影像图像分割的目标是帮助医生提取出感兴趣的解剖结构、器官或病变区域，使医学影像的诊断和治疗更加准确和可靠。
在医疗影像图像分割的研究领域中，常用的分割方法可以分为基于阈值的方法、基于区域的方法和基于边缘的方法。
基于阈值的方法是最简单和最常用的方法，它根据像素的灰度值与事先设定的阈值进行比较，将符合条件的像素标记为目标或非目标。
基于区域的方法则根据像素之间的相似性进行分组，将相似性较高的像素划分为同一区域。
而基于边缘的方法则通过检测图像中的边缘或轮廓来进行分割。
近年来，随着深度学习技术的快速发展和广泛应用，深度学习在医疗影像图像分割中也取得了显著的进展。
深度学习方法能够通过学习大量的医学影像数据，自动提取特征并进行图像分割，大大提高了分割的准确性和可靠性。
其中，卷积神经网络（CNN）是最常用的深度学习模型之一，在医疗影像图像分割中得到了广泛应用。
通过设计合适的网络结构和优化算法，CNN在医疗影像图像分割中能够达到较高的准确率和良好的鲁棒性。
除了深度学习方法外，还有一些其他常用的医疗影像图像分割技术，如基于聚类的方法、基于形状模型的方法和基于图论的方法等。
这些方法根据不同的图像特征和分割任务选择合适的算法和模型，能够有效地完成医疗影像图像分割任务。
例如，基于聚类的方法通过将像素分组为不同的聚类，来实现图像分割。
计算机视觉技术中的图像分割方法综述计算机视觉技术已经成为了现代科学和工程领域中的重要研究方向之一。
在计算机视觉领域中，图像分割是一项关键技术，用于将图像分割成多个区域，以便进一步分析和理解图像的内容。
在本文中，我们将综述计算机视觉技术中的图像分割方法。
图像分割在许多应用中具有重要的作用，例如医学图像分析、目标检测和识别、图像编辑和增强等。
根据分割的目标和应用需求，可以将图像分割方法分为基于区域的方法、基于边缘的方法和基于深度学习的方法。
基于区域的方法是根据图像中的颜色、纹理、亮度等特征将图像分割成不同的区域。
其中，基于阈值分割是最简单和常用的方法。
它根据像素的灰度值和预定的阈值将图像分为前景和背景区域。
另外，基于区域增长的方法根据相似像素的邻域关系将图像分割成具有相似特征的区域。
这些方法在处理简单的图像场景时表现良好，但在复杂的场景下效果可能不理想。
基于边缘的方法主要关注图像中物体的边界。
这些方法首先检测出图像中的边缘，然后根据边缘将图像分割为不同的区域。
其中，基于边缘检测算子（如Canny 算子）的方法是最常用的。
它通过检测图像中的强边缘来实现分割。
此外，还有基于水平分割和基于边缘的分水岭算法等方法。
这些方法在处理具有复杂边缘结构的图像时表现较好。
基于深度学习的图像分割方法在最近的研究中取得了显著的进展。
深度学习模型，特别是卷积神经网络（CNN），可以学习到图像的高层特征和语义信息，从而实现准确的图像分割。
其中，全卷积网络（FCN）是最著名的方法之一，它使用卷积和反卷积操作来预测每个像素的类别。
另外，U-Net、DeepLab和Mask R-CNN等方法也被广泛应用于图像分割领域。
这些深度学习方法在处理复杂的图像场景时具有很强的鲁棒性和准确性。
除了上述方法，还有一些其他的图像分割方法值得关注。
例如，基于图割的方法可以将图像分割问题转化为图论中的最小割问题，并使用最小割算法求解。
此外，基于形状的方法将图像分割问题转化为形状匹配或曲线演化问题，并通过优化方法求解。
图像分割技术图像分割就是将一副数字图像分割成不同的区域，在同一区域内具有在一定的准则下可认为是相同的性质，如灰度、颜色、纹理等，而任何相邻区域之间器性质具有明显的区别。
主要包括：边缘分割技术、阈值分割技术和区域分割技术。
1.边缘分割技术边缘检测是检测图像特性发生变化的位置，是利用物体和背景在某种图像特性上的差异来实现的。
不同的图像灰度不同，边界处会有明显的边缘，利用此特征可以分割图像。
边缘检测分割法是通过检测出不同区域边界来进行分割的。
常见的边缘检测方法：微分算子、Canny算子和LOG算子等，常用的微分算子有Sobel算子、Roberts算子和Prewit算子等。
（1）图像中的线段对于图像的间断点，常用检测模板：-1 -1 -1 -1 8 -1 -1 -1 -1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对于图像中的线段，常用的检测模板：检测图像中的线段：close all;clear all;clc;I=imread('gantrycrane.png');I=rgb2gray(I);h1=[-1,-1,-1;2 2 2;-1 -1 -1];%模板h2=[-1 -1 2;-1 2 -1;2 -1 -1];h3=[-1 2 -1;-1 2 -1;-1 2 -1];h4=[2 -1 -1;-1 2 -1;-1 -1 2];J1=imfilter(I,h1);%线段检测J2=imfilter(I,h2);J3=imfilter(I,h3);J4=imfilter(I,h4);J=J1+J2+J3+J4;%4种线段相加figure,subplot(121),imshow(I);subplot(122),imshow(J);（2）微分算子○1Roberts算子的计算公式：采用edge()函数进行图像的边缘检测。
Roberts算子进行图像的边缘检测：close all; clear all;clc;I=imread('rice.png');I=im2double(I);%Roberts算法进行边缘检测[J,thresh]=edge(I,'roberts',35/255);figure,subplot(121),imshow(I);subplot(122),imshow(J);○2Prewitt算子对于复杂的图像，Roberts算子不能较好的得到图像的边缘，而需要采用更加复杂的3*3的算子，Prewittd算子如下，这两个分别表示图像的水平梯度和垂直梯度。
文献综述电子信息工程图像分割方法综述摘要：图像分割是图像理解的基础，图像分割的算法研究越来越受到关注，早期的图像分割算法在之后的研究中得到完善。
活动轮廓模型是图像分割和边界提取的重要工具之一，主要包括了参数形式活动轮廓模型和几何形式活动轮廓模型两大类，本文对这两类模型进行了大概的说明，简单叙述了相对的优点，如几何活动轮廓模型在变形的过程中能处理曲线拓扑变化。
鉴于活动轮廓模型所存在的缺点，提出了水平集算法，使得计算的范围和简易程度有了很大的发展。
最后指出了图像分割的算法还有一些进一步优化的研究发展方向。
关键词：图像分割，参数活动轮廓模型，几何活动轮廓模型，水平集1.引言对图像进行处理，通过图像分割、目标分离、特征提取、参数测量等技术，将原始的图象转化为更抽象更紧凑的形式，使得更高层的图像分析和理解成为可能。
其中图像分割已经越来越受到人们的关注，作为一种图像处理与计算机视觉操作的预处理手段，已经应用到了很多的领域，图像分割可以定义为：根据图像特征对图像进行区域划分[1]过程，图像分割的效果好坏会直接影响到后续的处理结果，所以图像分割是一个基本而又关键的技术，为此人们提出了很多有效的、具有鲁棒性的分割算法。
图像分割方法有很多，按知识的特点和层次可分为数据驱动和模型驱动两大类[2]，前者有Roberts算子、Sobel算子和Canny算子、阈值分割、分水岭算法和模糊聚类分割算法等；后者是直接建立在先验知识的基础上的，如基于活动轮廓模型的图像分割。
水平集的应用领域是隐含曲线（曲面）的运动[3]，现在水平集已经广泛应用于图像恢复、图像增强、图像分割、物体跟踪、形状检测与识别、曲面重建、最小曲面、最优化以及流体力学中的一些方面。
一个好的图像分割算法应具有以下特点：1、有效性，能将图像中感兴趣的区域或目标分割出来的有效规则。
2、整体性。
能得到图像中感兴趣区域或目标的无断点和离散点的封闭边界。
3、精确性，分割所得到的感兴趣区域或目标边界与实际情况贴近。
综述：PDE图像分割技术沈民奋汕头大学工学院，广东省图像处理重点实验室，汕头 515063摘要：偏微分方程（PDE's）图像处理在图像处理的各个方面已经得到了广泛的应用，该方法通常与水平集方法配合使用。
在图像分割方面提出了许多基于偏微分方程（PDE's）的方法，比如，M-S分片光滑法，C-V无需边缘的活动围线法，P-D测地活动区域组等等。
本文追踪偏微分方程（PDE's）图像分割的发展，回顾偏微分方程（PDE's）图像分割领域的重要文献，也简述了偏微分方程（PDE's）图像分割中的数值技巧。
从本文的综述可以看出，当前偏微分方程（PDE's）图像分割的主要发展趋势有三个方面：将图像分割的边界特征和区域特征相结合；建立新的水平集方法来实现偏微分方程（PDE's）图像分割；将偏微分方程（PDE's）图像分割技术与传统技术如贝叶斯方法相结合。
关键词：偏微分方程，图像分割，水平集，活动围线，综述中图分类号：TP391.4 文献标识码：A 文章编号：0 引言图像分割是图像分析和计算机视觉中一个基本处理环节。
这方面的文献很多。
本文主要关注偏微分方程（PDE）图像分割的最新进展。
方程的建模通常是根据变分法寻找一个使能量泛函最小化的函数，并辅之以水平集技术。
尽管本文主要综述关于二维灰度图像的分割方法，由于偏微分方程图象处理的固有优势，这些方法往往很容易推广到彩色图像分割或序列图像的运动追踪问题[1,5,29,30,33,35,41]。
传统的图像分割方法，无论是基于时域还是频域的分割，总是利用图像中的灰度边界信息或灰度同质区域进行分割图像。
偏微分方程图像分割也是基本如此。
从根本上说，偏微分方程图像处理是基于对图像的确定性描述，近年来，许多研究人员试图把概率性描述的一些手段与偏微分方程图像处理相结合。
最早的偏微分方程图像分割借助于各向异性的灰度扩散技术，扩散的结果是使得原输入图象变换成为由一些分片光滑的灰度同质区域所组成的近似图像，从而更容易分割出图像中的不同区域。
后来，随着水平集方法的提出，曲线演化和传统的参数型曲线演化相比，变得更加方便和有效。
因此，曲线演化或称活动围线模型成为图像分割的主流。
此后，偏微分方程活动围线的发展主要在于两个方面：多相活动围线和边界无关的活动围线模型。
最近，活动围线和先验形状信息相结合的方法也相继被提出。
另一方面，偏微分方程图像分割的技术改进也来自于新的数值技巧，比如改进传统的水平集方法；多尺度水平集技术；甚至完全抛开水平集方法而寻找方程的直接数值求解。
偏微分方程图象处理的一般方法是这样的：给定一个问题，在特定准则下最小化一个能量泛函，使得最小化函数即为问题的解。
以图像分割为例，这些准则通常是图像中的灰度边缘信息或灰度同质区域信息；其次，根据这些准则确立一个能量泛函，使得仅在我们所期望达到的分割边界上该能量泛函达到最小；然后，从最小化问题中推导出相应的欧拉-拉格朗日方程（组），方程的解的存在性往往需要专门给出证明；最后，使用适当的数值技术求解这个方程（组）。
偏微分方程图象处理确实能够提供与传统图象处理手段所不同的处理方法和效果，尤其对于复杂的图像分割问题显得灵活和有效。
最近偏微分方程图象处理的繁荣就是由于它所能够提供灵活多样的，而且往往是传统处理方法所不能企及的处理性能。
过去二十年来，有很多偏微分方程图像分割的文章相继发表，有基于边缘或测地边缘的活动围线模型，分片光滑的灰度同质区域分割模型，和结合其它方法（如贝叶斯方法）的偏微分方程图像分割模型。
读者也可以参考近年来发表的关于偏微分方程图象处理或偏微分方程图像分割的综述[3,7,16,18,43,46]。
本文结构如下：第1-3节回顾一些典型的偏微分方程图像分割模型，其中，第1节是关于借助于各向异性的灰度扩散模型；第2节回顾活动围线模型的发展历程和发展趋势；第3节介绍几个多相水平集方法，包括将偏微分方程图象处理技术与图像先验信息相结合的具体算法；最后第4节是对本综述的总结。
1 各向异性灰度扩散模型热传导方程是第一个和图像处理联系起来的偏微分方程。
简单地说，热传导方程起到像素平滑的作用；逆向热传导方程起到边缘增强的作用；利用偏微分方程实现各向异性灰度扩散，很容易将原始图象变换成几个灰度同质区域，我们把这一思想引入到图像分割中来，就是先通过各向异性灰度扩散将原输入图象变换成一个分片光滑的近似图像，然后对这一近似图像进行分割。
根据Gabor 的研究结果[51]，平滑之后的图像与原始图像的差值基本上与输入图像的拉普拉斯成比例。
即)()()()(000x u hx u x u x K h ∆→-* (1) 其中，0u 为初始图像，)(x K h 是平滑窗函数，h 是平滑窗的大小，x 是图像中像素的坐标向量。
因此，随着h 逐渐减小，这一方程就演变为一个热传导方程。
u tu ∆=∂∂， 0)0(u u = (2) 沿着这一思路逆推，当我们把热传导方程沿着时间轴逆推回去，其作用应该相当于对图像进行去模糊处理(deblurring)，也就是边缘增强。
这一“逆向热传导方程”可以表示为，u tu ∆-=∂∂， observed u u =)0( (3) 但是由于逆向热传导方程的病态超定问题，重复进行上述过程将导致发散。
具有实用价值的模型是由此改进的各种非线性的偏微分方程模型。
Perona 和Malik 提出的非线性的偏微分方程模型是一个优秀的代表[51]，他们建立方程的思想是平滑均匀区域的像素值，同时增强边界信息。
该方程的形式如下：))((2Du g div tu =∂∂ (4) 其中灰度边缘检测函数211)(s s g λ+=，g 随着s 的增加而减小。
将上述方程作如下变形可以容易看出它的物理意义。
考虑图像某点处的灰度梯度方向Du 上关于像素值的二阶导数),(2DuDu Du Du u D u =ηη (5) 以及与灰度梯度方向相垂直的灰度保持方向⊥Du 上关于像素值的二阶导数： ),(2Du Du Du Du u D u ⊥⊥=ξξ (6) 其中Du =),(y x u u ，⊥Du =),(x y u u -，两个方向相正交，图像的拉普拉斯可以由上述两个方向上的二阶变量表出：ηηξξu u u +=∆。
于是Peroma-Malik 方程可以变形为：2222222)1()1(1Du u Du Du u t u λλληηξξ+-++=∂∂ (7) 其中的第一项受灰度梯度影响，总是一个沿着灰度变化的垂直方向（即灰度保持方向）扩散的一维热传导方程；而根据第二项，在灰度梯度方向上，当Du ≤λ时相当于热传导方程，当Du >λ时相当于逆向热传导方程。
所以该模型的好处就是在于它同时统一地表达了热传导方程和逆向热传导方程，从而实现了非各向同性的灰度值扩散，即可以保持轮廓信息的平滑处理。
也就是说，当Du 比较小的时候，方程相当于热传导方程，起到像素平滑的作用；而当Du 比较大的时候，方程相当于逆向热传导方程，起到边缘增强的作用。
这一处理使得图像的表达既精减又精确，称为保边界的各向异性热传导方程。
类似的模型还有[31,32,37,41,42]。
这类模型的主要优点是对图像信息的表达做精简，即所谓稀疏化(sparse)。
图像表达稀疏化的结果，是使得图像中的噪声以及非常不易觉察的细节信息被滤除，而主要地保留较大尺度上的轮廓信息，从而有利于正确分割。
2 活动围线模型通常利用能量最小化方法建立一个活动围线模型。
约束能量泛函最小化的因素主要有两个方面：一方面曲线的内在约束保持曲线演化过程中曲线的光滑性；另一方面来自图像特征（整体的或局部的）约束引导着曲线从初始位置（任意的或特定的）向着期望的边界位置演化。
本文讨论的活动围线模型都是借助于水平集方法实现的，这与传统的参数化活动围线模型相比，更好地解决了对曲线演化过程中拓扑结构的变化，以及对初始围线位置的敏感性。
在水平集方法中，曲线C 由一个里布齐兹连续的零水平集函数ℜ→ℜ2:φ表示。
}0)(:{)(""}0)(:{)(""}0)(:{222<ℜ∈=>ℜ∈==ℜ∈=x x C outside x x C inside x x C φφφ (8)2.1 基于边缘信息的活动围线模型活动围线模型的发展，最初是利用参数描述的曲线演化；后来发展起了利用水平集的无参数活动围线模型；当Chan-Vese 提出了基于水平集的边缘无关活动围线模型，以及后来的Vese-Chan 边缘无关活动围线组模型，研究者们通常把这些依赖于灰度边缘信息的活动围线模型成为“传统”活动围线模型。
这些模型中，活动围线的最终位置依赖于该物体边界上的灰度变化程度。
活动围线模型[50] 可以表示为：)(inf 1C J C ，其中 ⎰⎰∇+=1010202'1)))((()()(ds s C u g ds s C C J λ (9)其中，λ是正的任意常数，0u 表示一个给定的图像，)(s C : [0,1]2ℜ→表示一个分片一阶可导的曲线，)(0u g ∇是上节提到的一个正的单调递减函数作为边界检测函数, 使得 )(lim t g t ∞→=0。
上式中的第一项表示曲线的内部能量，它制约着曲线在演化过程中始终保持适度光滑；第二项表示曲线的外部能量，它使得曲线逐渐向着图像0u 待分割物体的边界位置移动。
从上述能量最小化泛函推倒出相应的欧拉-拉格朗日方程，我们就可以通过求解方程使得曲线最终演化到我们期望的边界位置上。
移动的速率大小通常有三种来源，曲率速度，常量速度和对流速度。
在图像分割中比较常用的是前两种演化速率。
借助于水平集方法实现的无参数活动围线模型都是通过对零水平集函数0φ的演化而实现曲线演化，演化速度通常是沿着与零水平集相正交的方向（法线方向）。
第一个平均曲率演化模型是由Osher-Shah 提出的[49]，几何活动围线模型可以看作是对平均曲率演化模型的改进。
我们以Caselles 等提出的几何活动围线模型为例[46]。
))(()(0v div u g t +∇∇∇∇=∂∂φφφφ in 2],0[ℜ⨯∞ (10.1))(),0(0x x φφ= in 2ℜ (10.2)其中 )(0u g ∇是我们前面已经提到的边界检测函数，v 是一个正的常数，0φ是初始水平集函数。
零水平集曲线（活动围线）沿着法线方向以速率)))(()((0νφκ+∇x u g 移动，最终理想地停止在所期望的边界上（g =0处）。
常量v 使得演化速度恒为正值，而仅在g =0处活动围线停止移动，这对于处理个别点的曲率函数为零（或为负值）而又不属于我们所期望的边界处的情况特别有效；而且，在曲线需要演化的位置上，常量v 的引入有效地加快了活动围线的演化进程。
