解题方法与技巧之逆推法_

反向解决问题的方法，又称反向工程方法，是解决复杂问题和应用的有力工具。

在这个方法中，目标是从已知的结果中倒退出来，以确定导致这些结果的根本因素或变量。

这种方法广泛用于工程，科学，金融，技术等各个领域。

反向解决问题的过程涉及几个步骤。

需要明确定义问题和已知的结果或数据。

这可能是一组观测、测量或实验结果。

你需要确定可能影响到结果的相关变量或因素。

这可能需要建立一个数学模型或概念框架，以代表变量之间的关系。

使用反向问题解决的一个例子是医学成像领域。

当患者接受医疗成像程序，如核磁共振或CT扫描时，产生的图像会提供身体内部结构和组成的详细信息。

然而，创建这些图像的过程涉及复杂的算法和数学转换。

在某些情况下，可能需要从图像中向后工作，以确定体内组织或器官的原始分布。

为了在这种背景下解决反向问题，研究人员使用数学建模，计算算法，以及实验数据的组合。

通过将观测到的图像与一系列可能的内部分布进行对比，它们可以迭代完善模型，直到它准确地复制观测到的结果。

这需要深入了解成像过程的物理原理，以及先进的计算和数学技能。

在环境监测领域可以找到反向解决问题的另一种应用。

如果某一特定地区的污染水平突然上升，科学家可能需要确定污染的原始来源。

利用反向建模技术，它们可以分析污染物的散射规律，向后工作，以确定最可能的来源。

这有助于采取有针对性的行动，减轻污染并防止今后发生事故。

在金融方面，反向问题的解决可用来确定驱动市场趋势或资产价格的基本因素。

通过分析历史市场数据并使用先进的数学模型，研究人员可以向后工作，找出导致观察到的波动的关键变量。

这可以为作出投资决定或制定风险管理战略提供宝贵的见解。

反向解决问题的方法是解决复杂问题和应用的多功能和有力方法。

通过从已知结果中倒退来决定根本因素，这种方法可以在广泛的领域提供宝贵的见解和解决方案。

无论是在医学成像，环境监测，财务，还是其他领域，逆向工程师复杂系统的能力都可以导致新的发现和实际的解决办法。

第二十一讲逆推问题要点全景小朋友们，你们知道吗？有些数学问题如果顺着题目意思去思考，就比较繁琐，而且不容易找到解题途径，例如：已知一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数。

这种问题叫做逆推问题。

解答逆推问题，我们可以根据题意，从结果出发，按它的变化的相反方向一步步倒着推想。

学完这一讲你能学会：1.运用倒推法解决一些逆推问题（计算上的逆推与叙事上的逆推）。

2.具有一定的分析、推理能力和解决实际问题的能力。

名题巧解例1：一次数学考试后，淘气问笑笑数学考试得多少分。

笑笑说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得52。

”小朋友，你知道笑笑得多少分吗？分析：这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来。

如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题。

如果把笑笑的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是52。

求这个数是多少？也可以这样理解为：把一个数用□来表示，可得到这样的等式：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝52。

如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去。

因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是52÷4＝13；13是除以7后得到的，除以7之前是13×7＝91；91是加10后得到的，加10以前是91-10＝81；81是减8以后得到的，减8以前是81＋8＝89。

这样倒推使问题得解。

解答：52÷4＝13 13×7＝91 91-10＝81 81＋8＝89答：笑笑得89分技巧点评：从结果出发，倒着一步一步地推算出原始数据。

计算上的还原：你加我减，你减我加，你乘我除，你除我乘；即时演练1.小聪问小明：“你今年几岁？”小明回答说：“用我的年龄数减去8，乘以7，加上6，除以5，正好等于4。

请你算一算，我今年几岁？例2：马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111。

逆推法同学们在玩“迷宫”游戏时，在纵横交错的道路中常常找不到出口。

有些聪明的小朋友，反其道而行之，从出口倒回去找入口，然后再沿着自己走过的路返回来。

由于从出口返回时，途径单一，很快就会找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宫”自然就不难了。

解应用题也是这样，有些数学问题顺向思考很难解答，这时如果能从反向进行思考，有时能化难为易，很快找到解题途径。

其思考的方法是从问题或结果出发，一步一步倒着推理，逐步靠拢已知条件，这样，问题就很容易得到解决了。

这种从条件或问题反过去想而寻求解题途径的方法，叫做逆推法。

用逆推法解应用题列算式时，经常要根据加减互逆，乘除互逆的关系，把原题中的加用减算，减用加算；把原题中的乘用除算，除用乘算。

例1. 一种细菌，1小时增长1倍，现在有一批这样的细菌，10小时可增长到400万个，问增长到100万个需要多少小时？思路分析：因为细菌每小时增长1倍。

10小时增长到400万个，那么9小时就增长到400万个的一半，即9小时增长到200万个，8小时增长到100万个。

算式：100118-+=()（小时）答：增长到100万个时需要8小时。

例2. 四个小朋友共有课外读物120本，甲给了乙3本，乙给了丙4本，丙给了丁5本，丁给了甲6本，这时他们四个人课外读物的本数相等。

他们原来各有课外书多少本？思路分析：四个人互相给，总本数仍然是120本，那么每人应有120430÷=（本），然后各自把给别人的本数拿回来，再把别人给自己的本数退回去，就得到原有的本数。

算式：120430÷=（本）丁原有的本数：306531+-=（本）丙原有的本数：305431+-=（本）乙原有的本数：304331+-=（本）甲原有的本数：303627+-=（本）答：甲、乙、丙、丁四人原来各有书27本、31本、31本、31本。

例3. 粮仓里存大米若干袋，第一天卖出的比存米的一半少8袋，第二天又卖出剩余米的一半，这时粮仓里还存米32袋，这个粮仓原存大米多少袋？思路分析：根据粮仓里最后还有32袋，一步一步地求出粮仓原存大米多少袋。

用逆推法解题【知识要点】1.逆推法：是用还原思想解题的方法。

就是从题目的问题或结果出发，根据已知条件一步一步进行逆向推理，逐步靠拢原始的条件2.用逆推法解答某些题目时，比用顺推法解答更清晰容易3.解题关键：在从后往前推算的过程中，每一步都是同原来相反的运算、原来加的，运算时用减；原来减的，运算时用加；原来乘的，运算时用除；原来除的，运算时用乘【典型题解】例1.某数加上10，减去7，乘以3，除以5，等于12。

这个数是多少？分析：用逆推法思考：这个数没除以5时是多少？这个数没乘以3时是多少？这个数没减去7时是多少？这个数没加上10时是多少？也可以顺序画表如下：()()()()1073512+-⨯÷−−→−−→−−→−−→③②① 从12入手逆推依次计算出①②③三个数，最后求出这个数是多少解：12560 60320 20727 271017⨯=÷=+=-= 答：这个数是17例2.在求几个数之和时，把其中的一个加数的十位数字少写了5，个位数字上本应该是零而写成了6，千位数应该是7而写成了1，这时得到的和是3212。

那么，原来要求的几个数的和应该是多少？分析：加数的十位上少写5，和就少了50；个位是0写成6，和就多了6；千位是7写成1，和就少了6000；这题可以看成是正确的和先减少了50，又增加了6，再减少了6000后是3212，用逆推法即可求解解：()32127110009212+-⨯= 921269206-= 92065109256+⨯=答：原来要求的几个数的和应该是9256例3.小明的三层书架中共放着48本书。

有一次他清书，先从上层拿8本放入中层；又从中层拿6本放入下层，这时三层书的本数相等。

原来每层放多少本书？分析：以三层书的本数相等入手分析，可得现在每层书的本数48316÷=。

再分析各层书是怎样变化得到16本书的，即上层原有书的本数－8本＝16本；下层原有书的本数＋6本＝16本；中层原有书的本数＋8本－6本＝16本，最后用逆运算使问题得解解：48316÷=（本） 16824+=（本） 16610-=（本） 166814+-=（本）答：原来上层放24本，下层放10本，中层放14本书例4.在一只篮子里，有若干枚李子。

2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义专题04 逆推法解题有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。

所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。

【典例分析01】一本文艺书，小明第一天看了全书的13 ，第二天看了余下的35 ，还剩下48页，这本书共有多少页？ 【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推，它占余下的1－35 ＝25。

第一天看后还剩下48÷25 ＝120页，这120页占全书的1－13 ＝23，这本书共有120÷23＝180页。

即 48÷（1－35 ）÷（1－13）＝180（页） 答：这本书共有180页。

【典例分析02】 筑路队修一段路，第一天修了全长的15又100米，第二天修了余下的27，还剩500米，这段公路全长多少米？ 【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下的1－27 ＝57，第一天修后还剩500÷57 ＝700米，如果第一天正好修全长的15，还余下700+100＝800米，这800米占全长的1－15 ＝45 ，这段路全长800÷45＝1000米。

列式为：【500÷（1－27 ）+100】÷（1－15）＝1000米 答：这段公路全长1000米。

【典例分析03】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出13 给乙桶后，又从乙桶中倒出15给甲知识精讲典例分析桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？【思路导航】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（24×2）＝48千克，当乙桶没有倒出15 给甲桶时，乙桶内有油24÷（1－15）＝30千克，这时甲桶内只有48－30＝18千克，而甲桶已倒出13给了乙桶，可见甲桶原有的油为18÷（1－13）＝27千克，乙桶原有的油为48－27＝21千克。

怎样解题数学思维的新方法
数学思维新方法是指通过运用新的方法和技巧来解决数学问题
的思维方式。

以下是几种解题数学思维新方法:
1. 逆推法:逆推法是指从问题的表面出发,逐步推导出它的深刻
内在联系的一种方法。

这种方法可以帮助我们发现解题过程中可能出现的问题,并找到解决问题的最佳途径。

2. 类比法:类比法是指从一个问题中找到与之相似的另一个问题,并运用已知的知识来解决那个问题的一种方法。

这种方法可以帮
助我们将复杂的问题转化为更容易理解的形式,从而更好地解决问题。

3. 抽象法:抽象法是指从具体的数字或图形中抽象出概念,并将
它们联系起来的一种方法。

这种方法可以帮助我们将问题抽象成更简单的形式,从而更好地解决问题。

4. 模型法:模型法是指通过建立数学模型来解决数学问题的一
种方法。

这种方法可以帮助我们将问题简化为模型,并通过模型来分
析问题。

用逆推法解题【知识要点】1.逆推法：是用还原思想解题的方法。

就是从题目的问题或结果出发，根据已知条件一步一步进行逆向推理，逐步靠拢原始的条件2.用逆推法解答某些题目时，比用顺推法解答更清晰容易3.解题关键：在从后往前推算的过程中，每一步都是同原来相反的运算、原来加的，运算时用减；原来减的，运算时用加；原来乘的，运算时用除；原来除的，运算时用乘【典型题解】例1.某数加上10，减去7，乘以3，除以5，等于12。

这个数是多少？分析：用逆推法思考：这个数没除以5时是多少？这个数没乘以3时是多少？这个数没减去7时是多少？这个数没加上10时是多少？也可以顺序画表如下：()()()()10735?12+-⨯÷−−→−−→−−→−−→③②① 从12入手逆推依次计算出①②③三个数，最后求出这个数是多少 解：12560 60320 20727 271017⨯=÷=+=-=答：这个数是17例2.在求几个数之和时，把其中的一个加数的十位数字少写了5，个位数字上本应该是零而写成了6，千位数应该是7而写成了1，这时得到的和是3212。

那么，原来要求的几个数的和应该是多少？分析：加数的十位上少写5，和就少了50；个位是0写成6，和就多了6；千位是7写成1，和就少了6000；这题可以看成是正确的和先减少了50，又增加了6，再减少了6000后是3212，用逆推法即可求解解：()32127110009212+-⨯= 921269206-= 92065109256+⨯= 答：原来要求的几个数的和应该是9256例3.小明的三层书架中共放着48本书。

有一次他清书，先从上层拿8本放入中层；又从中层拿6本放入下层，这时三层书的本数相等。

原来每层放多少本书？ 分析：以三层书的本数相等入手分析，可得现在每层书的本数48316÷=。

再分析各层书是怎样变化得到16本书的，即上层原有书的本数－8本＝16本；下层原有书的本数＋6本＝16本；中层原有书的本数＋8本－6本＝16本，最后用逆运算使问题得解解：48316-=（本）166814+-=（本）+=（本）16610÷=（本）16824答：原来上层放24本，下层放10本，中层放14本书例4.在一只篮子里，有若干枚李子。

逆推法解决还原应用题及解题方法
逆推法通常用于解决还原应用题，主要是通过反向推导或逆向推理的方法来还原出问题中所涉及的信息或过程。

以下是使用逆推法解决还原应用题的一般解题方法：
1. 理解题意：首先要充分理解题目要求和提供的信息，明确需要还原的对象、过程或关系。

2. 确定目标状态：确定需要还原到的目标状态或信息，对于涉及多个步骤的过程，需要逐步确定每个阶段的目标状态。

3. 反向推导：从目标状态开始，逆向推导出前一步的状态或信息。

这通常需要依据已知条件、规则或逻辑进行逆向推理，找出导致目标状态的可能路径或方法。

4. 考虑多种可能性：在逆推导的过程中，需要考虑不同的可能性和选择，有时可能需要分支推导，观察每条路径的合理性和可行性。

5. 迭代推导：如果还原的过程比较复杂或包含多个阶段，可能需要进行多次迭代推导，层层递进地还原出整个过程或关系。

6. 验证与检查：在完成逆推导后，需要对还原的结果进行验证和检查，确保得出的还原信息符合题目要求，并且与已知的条件、规则相符。

7. 总结归纳：对于复杂的还原过程，可以根据逆推导的结果进行总结和归纳，梳理清楚各个阶段的推导逻辑和关键步骤。

逆推法在解决还原应用题时，能够帮助理清问题脉络，逐步还原出隐藏或缺失的信息或关系，为最终的问题求解提供有效的方法和思路。