与Wolfram公司（Mathematics的开发公司）相比，Mathworks公司一直以矩阵计算和强大的数据处理能力见长，而符号计算非强项。1993年，mathworks公司从加拿大Waterloo Maple公司购买了maple的内核技术，作为MA TLAB符号运算与推导的平台，开发了用以进行符号计算的基本符号运算工具箱和扩展符号运算工具箱，从而解决了MA TLAB在符号计算方面的缺陷。
MA TLAB7.0的符号运算工具箱已上升到3.1.1版本，它几乎可以完成所有的符号运算功能，包括符号函数与符号方程的定义、运算、复合、化简、符号矩阵的计算、符号微分、符号积分、符号代数方程、符号微分方程的求解、符号积分变换和符号特殊函数。
在MA TLAB7.0的符号数学工具箱中，符号表达式含有符号函数和符号方程两种形式，它是表示数字、函数或变量的字符串或字符串组。字符就是符号变量的值。因此在MA TLAB的源程序中符号表达式被表示成字符串和字符串组。符号函数和符号方程的区别是符号函数没有等号，而符号方程必须有等号。
符号变量的定义
MA TLAB有默认的符号自变量，但在各种情况下默认的自变量是不同的。系统默认的自变量主要有x、x1、y、y1、z、v、u、t、theta、alpha。对于这些变量MA TLAB 的默认规则与平时数学习惯大致相同，即：
当这些变量中的某一个与其他变量组成符号数学表达式时，这个变量即为默认的自变量；
当这些变量中的某几个组成符号数学表达式是，默认自变量的顺序是：x>x1>y>y1>z>v>u>t>theta>alpha
例如：
当数学表达式为cos(2*x*a^2)时，默认的自变量为x；
当数学表达式为cos(2*x*v)时，默认的自变量为x；
当数学表达式为cos(2*t*alpha)时，默认的自变量为t；
符号变量可以通过命令syms和sym定义，syms命令一个可以定义一个或多个符号变量。sym一个只能定义一个符号变量。
>> syms x y z t
>> who
Y our variables are:
t x y z
>> syms u
>> who
Y our variables are:
t u x y z
>> x=sym('x');
>> t=sym('t');
>> z=sym('z');
>> y=sym('y');
>> who
Y our variables are:
ans t x y z
符号表达式的定义
MA TLAB7.0当中，符号表达式可以通过基本赋值语句，采用单引号或sym/syms
命令定义。定义好的符号函数可以通过symvar检查其自变量。
实例：>> f='a*x^2+b*x+c=0'
f =
a*x^2+b*x+c=0
>> f='a*D2y+b*Dy+3*y=0'
f =
a*D2y+b*Dy+3*y=0
>> f='asin(x)'
f =
asin(x)
>> sym('x*log(x)-sin(x)')
ans =
x*log(x)-sin(x)
>> symvar('x*log(x)-sin(x)')
ans =
'x'
>> f=sym('a*x^2+b*x+c=0')
f =
a*x^2+b*x+c=0
>> A=sym('[a,b,c,d;f,g,h,k]')
A = [ a, b, c, d]
[ f, g, h, k]
符号表达式的基本运算
符号表达式的基本运算有合并同类项、表达式展开、因式分解、提取符号表达式的分子和分母、符号表达式的化简、确定符号矩阵的维数等等。
1、collect(S) 按默认变量的次数对符号多项式S合并同类项。
2、collect(S,v) 按指定变量的次数对符号多项式S合并同类项。
3、expand(S) 将S展开
4、factor(x) 将符号表达式因式分解。当x是正整数时，分解为质数分解式；
当x为符号表达式，分解为乘积形式；当x为符号整数或符号表达式阵列，
则分解每一个元素为质数分解式或乘积形式
5、[N,D]=numden(A) 求符号表达式的分子A和分母D
6、simple(S) 求各种不同算法下符号表达式的化简形式
7、[r,how]=simple(S) 求S的最短形式和化简方法
8、simplify(S) 对S进行化简，若S为矩阵则化简其每一个元素
9、size(A) 求符号函数A的维数
10、[m,n]=size(A) 求符号函数A的行数和列数
11、size(A,n) n=1时求A的行数；n=2时求A的列数
>> syms x y a b
>> f=(x+a)*(x+b)+(x-a)^2
f =
(x+a)*(x+b)+(x-a)^2
>> f1=collect(f)
f1 =
2*x^2+(-a+b)*x+a*b+a^2
>> f=(x+y)^3-(x+y)^2+y^4;
>> f2=collect(f,y)
f2 =
y^4+y^3+(3*x-1)*y^2+(3*x^2-2*x)*y+x^3-x^2 >> f=(x-2)^2*(x-1)-(x+1)^2
>> expand(f)
ans =
x^3-6*x^2+6*x-5
>> A=[sin(2*x),cos(2*x);(a+b)^2,(a-b)^2];
>> expand(A)
ans =
[ 2*sin(x)*cos(x), 2*cos(x)^2-1]
[ a^2+2*a*b+b^2, a^2-2*a*b+b^2]
>> A1=factor(sym('243'))
A1 =
(3)^5
>> A2=factor(243)
A2 =
3 3 3 3 3
>> A3=factor([a*x-a*b,x^2-b*x;(x-b)^2,x^2-b^2]) A3 =
[ a*(x-b), x*(x-b)]
[ (x-b)^2, (x-b)*(x+b)]
>> f=(x-2)/(x*(x-1));
>> [n1,d1]=numden(f)
n1 =
x-2
d1 =
x*(x-1)
>> A=[1/x,2/y, 1/a^2;1/y,2/b,3/x;2/a,3/x,1/y^2]; >> [n2,d2]=numden(A)
n2 =[ 1, 2, 1]
[ 1, 2, 3]
[ 2, 3, 1]
d2 = [ x, y, a^2]
[ y, b, x]
[ a, x, y^2]
>> f=(x^2-1)/(x^2+2*x-3);
>> [r,how]=simple(f)
r =
(x+1)/(x+3)
how =
simplify
>> A=[a,b,c;x,y,z];
>> d=size(A)
d =
2 3
>> [m,n]=size(A)
m =
2
n =
3
>> d=size(A,1)
d =
2
>> d=size(A,2)
d =
3
符号表达式的转化
12、pretty(S) 求符号表达式或符号矩阵S的常规形式，默认线宽度为79
13、pretty(S，n) 按设定现宽度n求常规形式
14、horner(S) 求嵌套形式
15、latex(S) 求LaTex形式
16、findsym(S) 求S中的符号变量、
17、findsym(S,n) 求最靠近x的n个符号变量
18、subs(S,a) 用a替换S中默认的变量
19、subs(S,new,old) 用new替换S中的old >> f=taylor(cos(x))
f =
1-1/2*x^2+1/24*x^4
>> pretty(f)
2 4
1 - 1/
2 x + 1/24 x >> horner(f)
ans =
1+(-1/2+1/24*x^2)*x^2
>> f=(x-a+y)/(y+b-x);
>> findsym(f)
ans =
a, b, x, y
>> findsym(f,2)
ans =
x,y
>> f1=subs(f,z)
f1 =
(z-a+y)/(y+b-z)
>> f2=subs(f1,z,2)
f2 =
(2-a+y)/(y+b-2)
复合函数的计算(主要指复数、复合函数、反函数计算)
20、B=conj(A) 求复数A的共轭复数
21、R=real(Z) 求复数Z的实部
22、I=imag(Z) 求复数Z的虚部
23、compose(f,g) 求f=f(x),g=g(x)的复合函数f[g(x)]
24、compose(f,g,z) 求f=f(x),g=g(x),x=z的复合函数f[g(z)]
25、compose(f,g,x,z) 求f=f(x),g=g(y),y=z的复合函数f[g(z)]
26、g=finverse(f) 求函数f的反函数g
27、g=finverse(f,v) 求函数f对指定自变量v的反函数g >> syms('a','real');
>> syms('b','real');
>> z=3*a-2*b-(6+b)*i;
>> real(z)
ans =
3*a-2*b
>> imag(z)
ans =
-6-b
>> conj(z)
ans =
3*a-2*b+i*(6+b) >> syms x y z u t >> f=u^3;g=sin(2*x+1); >> compose(f,g) ans = sin(2*x+1)^3
>> compose(f,g,t) (求f,g 的复合函数，再将自变量x 换成t) ans = sin(2*t+1)^3
求22x
e
-，12x
x -+的反函数
>> finverse(exp(2*x)-2) ans = 1/2*log(2+x)
>> finverse((1-x)/(2+x)) ans = -(-1+2*x)/(1+x) 特征多项式运算
1、p=poly(A) 求数值矩阵或符号矩阵A 特征多项式系数向量p
2、p=poly(A,v) 求数值矩阵或符号矩阵A(指定变量v)特征多项式系数向量p
3、r=poly2sym(p) 将数值系数向量p 转化为符号变量多项式r
4、r=poly2sym(p,v) 将数值系数向量p(按指定变量v)转化为符号变量多项式r >> A=[1 2 3;2 3 1;3 1 2];
>> p=poly(A)
p =
1.0000 -6.0000 -3.0000 18.0000
>> q=poly(sym(A))
q =
-6*x^2-3*x+18+x^3
>> r=poly2sym(p)
r =
-6*x^2-3*x+18+x^3
>> syms t
>> t=poly2sym(p,t)
t =
t^3-6*t^2-3*t+18
符号函数的极限运算
28、limit(F,x,a) 计算当x→a时求F的极限值
29、limit(F) 计算默认变量v→0时F的极限值
30、limit(F,a) 计算默认变量v→a时求F的极限值
31、limit(F,x,a,’right’) 计算当x→a时求F的右极限值
32、limit(F,x,a,’left’) 计算当x→a时求F的左极限值>> syms x y t
>> f=1/x;
>> limit(f,a)
1/a
>> limit(f,inf)
ans =
>> limit(f,0)
ans =
NaN
>> g=atan(x)；
>> limit(g,x,inf)
ans =
1/2*pi
>> limit(g,x,-inf)
ans =
-1/2*pi
>> f=tan(x)
f =
tan(x)
>> limit(f,x,pi/2,'right') ans =
-Inf
>> limit(f,x,pi/2,'left')
Inf
例：按系统默认自变量求函数2
2
x t
x y
--的自变量趋近于0和3时的极限值
>> f=(x^2-t^2)/(x-y); >> limit(f) ans = t^2/y >> limit(f,3) ans = (-9+t^2)/(-3+y)
例
3、求符号矩阵()()
()2
sin cos sin 2ln 1ln 2ln 3x x
x
x
e e
e e
x
x x x x x --??- ?
?
?
?
+++ ? ?
?
?当
x →0时的左极限
>> A=[exp(x) exp(-x) (exp(x)-exp(-x))/2;sin(x) cos(x) sin(2*x);log(1+x) log(2+x) log(3+x)]; >> limit(A,x,0,'left') ans =
[ 1, 1, 0] [ 0, 1, 0] [ 0, log(2), log(3)] 1、 符合函数求导
2、 diff(S,’v ’)/ diff(S,sym(’v ’)) 计算S 对指定符号变量v 的一阶导数
3、 diff(S) 计算S 对默认变量的一阶导数
4、 diff(S ，n) 计算S 对默认变量的n 阶导数
5、 diff(S,’v ’,n)/ diff(S,sym(’v ’),n) 计算S 对指定符号变量v 的n 阶导数 例：求)
2
x x
e 的一阶导数
>> f=exp(x)*(sqrt(x)+2^x) f =
exp(x)*(x^(1/2)+2^x) >> diff(f) ans =
exp(x)*(x^(1/2)+2^x)+exp(x)*(1/2/x^(1/2)+2^x*log(2)) >> diff(f,3) ans =
exp(x)*(x^(1/2)+2^x)+3*exp(x)*(1/2/x^(1/2)+2^x*log(2))+3*exp(x)*(-1/4/x^(3/2)+2^x*log(2)^2)+exp(x)*(3/8/x^(5/2)+2^x*log(2)^3) 例：求隐函数22
3x y xy
+
=的一阶导数
>> S=x^2+y^2-3*x*y; >> -diff(S,'x')/diff(S,'y') ans =
(-2*x+3*y)/(2*y-3*x) 例：求二元函数
2
2
2xy x y
+的两个一阶导数和三个二阶导数
>> S=2*x*y/(x^2+y^2); >> dfx=diff(S,'x')
2*y/(x^2+y^2)-4*x^2*y/(x^2+y^2)^2 >> dfy=diff(S,'y') dfy =
2*x/(x^2+y^2)-4*x*y^2/(x^2+y^2)^2 >> d2fx=diff(S,'x',2) d2fx =
-12*y/(x^2+y^2)^2*x+16*x^3*y/(x^2+y^2)^3 >> d2fxy=diff(dfx,'y') d2fxy =
2/(x^2+y^2)-4*y^2/(x^2+y^2)^2-4*x^2/(x^2+y^2)^2+16*x^2*y^2/(x^2+y^2)^3 >> d2fy=diff(dfy,'y') d2fy =
-12*y/(x^2+y^2)^2*x+16*x*y^3/(x^2+y^2)^3 符号函数的积分
1、 int(S) 对S 中默认变量求S 的不定积分
2、 int(S,v) 对S 中指定变量v 求S 的不定积分
3、 int(S,a,b) 对S 中默认变量在区间[a,b]上求S 的不定积分
4、 int(S,v,a,b)对S 中指定变量v 在区间[a,b]上求S 的不定积分 例：计算2
2741225
x dx x x -++?
、2cos 3x e xdx
?
>> S=(2*x-7)/(4*x^2+12*x+25); >> int(S)
1/4*log(4*x^2+12*x+25)-5/4*atan(1/2*x+3/4) >> S=exp(2*x)*cos(3*x); >> int(S) ans =
2/13*exp(2*x)*cos(3*x)+3/13*exp(2*x)*sin(3*x)
例；求12
2
?、2
2
sin x xdx
π
?、2
114dx
x
∞-∞
+?
>> syms x y z a b >> S=x^2/(sqrt(1-x^2)); >> int(S,0,1/2) ans =
-1/8*3^(1/2)+1/12*pi >> S=x*sin(x)^2 ; >> int(S,0,pi/2) ans = 1/4+1/16*pi^2 >> S=1/(1+4*x^2); >> int(S,-inf,inf) ans = 1/2*pi
例：求二重积分sin D
x dxdy x
??
，其中D 是由直线,2
x y x y =
=
及2x =围成的区域
先求解,2
x y x y =
=
可知02x ≤≤，
2
x y x
≤≤，由微积分的知识，我们知道二重积分
是两个定积分的累次积分 >> S=sin(x)/x; >> int(S,y,x/2,x) ans = 1/2*sin(x) >> s1=int(S,y,x/2,x) s1 = 1/2*sin(x) >> int(s1,0,2) ans = 1/2-1/2*cos(2) 2）求()22
ln D
x y
dxdy +
??，其中2
2
:116D x
y ≤+≤
我们知道当被积函数为圆域时，我们一般用极坐标法，因此原式
2ln D
r rdrd θ??
:14,02D r θπ
≤≤≤≤
>> syms r sita >> S=2*r*log(r); >> s2=int(S,r,1,4) s2 =
-15/2+32*log(2) >> int(s2,sita,0,2*pi) ans =
-15*pi+64*pi*log(2)
例：求曲线积分22L xydx x dy +?，其中L 为曲线2cos ,3sin ,04x t y t t π??
==≤≤ ??
?
依参数
增大方向。
根据已知条件曲线积分化为()23024sin cos 12cos t t t dt π
-+? >> syms t
>> S=-24*sin(t)^2*cos(t)+12*cos(t)^3; >> int(S,0,pi/4) ans = 3*2^(1/2)
级数求和和函数的展开
MA TLAB 通过调用函数symsum 对级数求和，通过调用taylor 将一个函数展开成为级数。
1、 symsum(s) 对符号表达式s 中的默认符号变量k 从0到k-1求和 例：求012
n
n ∞
=∑
的前n 项和
>> syms n k
>> r1=symsum(1/2^n,n) r1 = -2*(1/2)^n
2、symsum(s,v) 对符号表达式s 中的指定符号变量v 从0到k-1求和
3、symsum(s,v.a,b) 对s 中指定变量v 从a 到b 求和 例：求2
01n n
∞
=∑
的级数和
>> r2=symsum(1/n^2,n,1,inf) r2 = 1/6*pi^2 求级数()
1
01n n
n x
n
-∞
=-∑
和()0
12
n
n
n x
n ∞
=-+∑
的和函数
>> r3=symsum((-1)^(n-1)*x^n/n,n,1,inf) r3 = log(1+x)
>> r4=symsum(-x^n/(2^n*(n+1)),n,0,inf) r4 =
2/x*log(1-1/2*x)
4、 symsum(s,a,b) 对s 中默认变量k 从a 到b 求和
5、 taylor(f) 将f 展开成默认符号变量x 的n-1阶麦克劳林展开式，并给出前
六项 >> f=exp(x) f = exp(x) >> taylor(f) ans =
1+x+1/2*x^2+1/6*x^3+1/24*x^4+1/120*x^5 f = cos(x) >> taylor(f)
ans =
1-1/2*x^2+1/24*x^4
6、 taylor(f,m,v) 将多元函数f 展开成符号变量v 的m-1阶麦克劳林展开式，
并给出前6项
7、 taylor(f,m,v,a) 将多元函数f 在v=a 处展开成符号变量v 的m-1阶麦克劳
林展开式，并给出前m 项 >>f=exp(x) >> taylor(f,7,x,1) ans =
exp(1)+exp(1)*(x-1)+1/2*exp(1)*(x-1)^2+1/6*exp(1)*(x-1)^3+1/24*exp(1)*(x-1)^4+1/120*exp(1)*(x-1)^5+1/720*exp(1)*(x-1)^6
8、 taylor(f,m) 将多元函数f 展开成默认变量x 的m-1阶麦克劳林展开式，并
给出前m 项（m 为正整数）
9、 *taylor(f,a) 将多元函数f 在x=a 处展开成默认变量x 的n-1阶泰勒展开式，
并给出前6项。a 为实数
10、 taylor(f,m,a) 将多元函数f 在x=a 处展开成默认变量x 的m-1阶泰勒展开
式，并给出前m 项
例：将2ln(12)x x +展开成x-2的幂级数
MA TLAB7.0有泰勒级数运算器，调用格式有两种： （1）>>taylortool
直接打开运算器，显示默认函数f=xcosx 在[]2,2ππ-的麦克劳林级数的图形，并在级数显示框显示该级数的前7项
MATLAB程序设计教程(9)——MATLAB符号计算 by：ysuncn（欢迎转载，请注明原创信息） 第9章MATLAB符号计算 9.1 符号对象 9.2 符号微积分 9.3 级数 9.4 符号方程求解 9.1 符号对象 9.1.1 建立符号对象 1．建立符号变量和符号常量 MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：sym和syms，两个函数的用法不同。 (1) sym函数 sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为： 符号量名=sym('符号字符串') 该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。 应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。
下面的命令用于比较符号常量与数值常量在代数运算时的差别。 (2) syms函数 函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为： syms 符号变量名1 符号变量名2 … 符号变量名n 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符(‘)，变量间用空格而不要用逗号分隔。 2．建立符号表达式 含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下3种方法： (1)利用单引号来生成符号表达式。 (2)用sym函数建立符号表达式。 (3) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。 9.1.2 符号表达式运算 1．符号表达式的四则运算 符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数symadd、symsub、symmul和symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。
六填运算符号 例1 在下面的○例天上不同的运算符号，使等式成立 5○5○5=5 5○5○5=5 5○5○5=5 5○5○5=5 分析：在每道算式中，可以先尝试填写前面的运算符号，根据前面两个5的计算结果，考虑后面的运算符号。 有以下几种情况：⑴前面填“+”，5+5=10,10减5等于5，后面填“-”；⑵前面填“-”，5-5=0,0加5才等于5,后面填“+”； ⑶前面填“×”，5×5=25,25除以5才等于5，后面填“÷”；⑷前面填“÷”，5÷5=1，后面填“×”。 解：5○5○5=5 5○5○5=5 5○5○5=5 5○5○5=5 分析：可以倒过来想，先想最后面的○例可以填什么运算符号，再想前面的三个数通过运算应该得多少，然后填前面的两个运算符号。 ⑴要使最终的运算结果为1，最后一个○里只能填“-”，再想（）-4=1，前面三个数通过运算应该得5，只有1×2+3=5 ⑵要使最终的运算结果为2，最后一个○里只能填“-”，前三个数的运算结果就为6,1+2+3=6,1×2×3=6 解：⑴1×2+3-4=1 ⑵1+2+3-4=2或1×2×3-4=2
例3 把“＋”“－”“×”“÷”四个运算符号填入下面的四个○里，每个符号只能用一次，并在□里填上合适的数，使两个等式成立。 ⑴9○3○7=20 ⑵14○2○5=□ 分析：⑴9、3、7都比20小，它们的和也比20小，所以在两个○里要考虑填一个“×”。9×3=27,27减7正好得20，所以9×3-7=20. ⑵由于第一个等式里已经填了“×”和“－”，只剩下“＋”和“÷”，所以根据第二个算式里的数的情况，依次填上“÷”和“＋”，再算出□里的数。 解：⑴9×3-7=20 ⑵14÷2+5=12 练习 1.在○里填上“＋”“－”或“×”。 2○3○2○4 8○2○3○3 6○5○8 6○6○6 30○13 36○12 1724 2.在○里填上适当的运算符号，使等式成立。 6○4=8○3 14○5=4○5 45○9=35○7 2○5=42○6 12○3=3○3 32○4=4○2 3.在○里填上不同的运算符号，使等式成立。 8○8○8=8 8○8○8=8
一、数学运算符号的英文表达(小数、分数、百分数和运算符号) 1. 小数表示法 (1) 小数的读法 小数点左边的数通常按基数词读，若为三位以上的数，也可按编码式读法读出，即将数字单个读出；小数点右边的数通常按编码式读法单个读出。如： 6.86 six point eight six 14.15 fourteen point one five 345.456 three four five point four five six 或three hundred and forty－five point four five six (2) 小数中“0”的读法 “0”在小数中通常读作nought（英）或zero（美），也可读作字母o。如： 0.08 （nought）point nought eight 或（zero）point zero eight 9.07 nine point o seven 2. 百分数表示法 百分数中的百分号％读作percent。如： 6% 读作six percent 0.6% 读作（nought）point six percent 500% 读作five hundred percent 3. 倍数表示法 倍数表示方法很多，如： This room is four times as big as mine. 这个房间是我房间的四倍。 This room is three times larger than that one. 这个房间比那个房间大两倍。 The output of coal has doubled. 煤的产量增加了一倍。 My aunt is as old again as I am. 我姑姑年龄比我大一倍。 Productivity is increased three fold. 生产效率提高了两倍。 The volume of the Sun is about 1,300,000 times that of the Earth. 太阳的体积约为地球的1300000倍。 4. 加减乘除式的读法 6+5＝11 Six plus five is eleven 或Six and five is eleven. 11-6＝5 Eleven minus six is five. 或Six from eleven is five. 4×5＝20 Four multiplied by five is twenty.或Four times five is twenty. 20÷4＝5 Twenty divided by four is five. 或Four into twenty goes five.
5.1微分方程的符号解法 5.1.1符号解法和数值解法的互补作用5.1.2求微分方程符号解的一般指令5.1.3微分方程符号解示例 【例5.4-1】求d x d t y d y d t x ==- ,的解。 clear all %<1> S=dsolve('Dx=y,Dy=-x') disp(' ') disp(['微分方程的解',blanks(8),'x',blanks(20),'y']) disp([S.x,S.y]) S = y: [1x1 sym] x: [1x1 sym] 微分方程的解 x y [ C2*cos(t) + C1*sin(t), C1*cos(t) - C2*sin(t)] 【例5.4-2】图示微分方程2) (y y x y' -' =的通解和奇解的关系。（1） clear all %<1> y=dsolve('(Dy)^2-x*Dy+y=0','x') %<2> y = x^2/4 C3*x - C3^2 （2） clf,hold on hy1=ezplot(y(1),[-6,6,-4,8],1); %<4> set(hy1,'Color','r','LineWidth',5) for k=-2:0.5:2 %<6> y2=subs(y(2),'C3',k); %<7> ezplot(y2,[-6,6,-4,8],1) end %<9> hold off box on
legend('奇解','通解','Location','Best') ylabel('y') title(['\fontsize{14}微分方程',' (y '')^2 – xy '' + y = 0 ','的解']) -6 -4-2 0246 -4-2 2 4 6 8 x 微分方程 (y ')2 – xy ' + y = 0 的解 y 奇解通解 图 5.4-1 通解和奇解曲线 【例5.4-3】求解两点边值问题：0)5(,0)1(,32==='-''y y x y y x 。 （1） y=dsolve('x*D2y-3*Dy=x^2','y(1)=0,y(5)=0','x') y = (31*x^4)/468 - x^3/3 + 125/468 （2） xn=-1:6; yn=subs(y,'x',xn) ezplot(y,[-1,6]) hold on plot([1,5],[0,0],'.r','MarkerSize',20) text(1,1,'y(1)=0') text(4,1,'y(5)=0') title(['x*D2y - 3*Dy = x^2',', y(1)=0,y(5)=0']) hold off yn = Columns 1 through 7 0.6667 0.2671 0 -1.3397 -3.3675 -4.1090 0.0000
4春—1 巧填运算符号 姓名：分数： 例1：用2，3，4，6 这四个数组成一个算式，可用“+”“－”“×”“÷”和括号，使得到的结果为24。（至少写出3 种答案） 例 2 在下面的数字之间添上运算符号或括号，使得算式成立。你能用不同的方法解决吗？ 4 4 4 4 4=8 练习：在5 个3 之间，填上适当的运算符号，使算式成立。（1）3 3 3 3 3=1； （2）3 3 3 3 3=2； （3）3 3 3 3 3=4。 例3、在下面的算式中添加括号，使得算式成立。 1×7+2×6+3×5+4×4=301 练习：只添加括号，使得下面的算式成立。 （1）5+7×8+12÷4－2=25 （2）5+7×8+12÷4－2=75 例4、在15 个8 之间添上“+”“-”“×”“÷”“（）”，使下面的算式成立。 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 = 2017 练习1、下列问题适合用逆推法解决的是（）。 A、5 5 5 5 5 5 5 5 5 =1256
B.4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 =1024 C. 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 =2017 D. 4 4 4 4 4=5 练习2、在16 个“1”中添上合适的符号，使得算式成立。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =2017 练习3、在下面等式中合适的地方，添上运算符号使得算式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8 9=100 练习4、在10○10○10○10○10 的四个○中填入“＋”“－”“×”“÷”运算符号各一个，所成的算式的最大值是（） A.104 B.109 C.114 D.119 练习5、在下面算式中添上“＋”“－”“×”“÷”和“（”“）”，哪些能使等式成立？ （1）9 9 9 9 9=0 ②9 9 9 9 9=1 ③9 9 9 9 9=2 ④9 9 9 9 9=3 ⑤9 9 9 9 9=4 ⑥9 9 9 9 9=5 ⑦9 9 9 9 9=6 ⑧9 9 9 9 9=7 ⑨9 9 9 9 9=8 ⑩9 9 9 9 9=9 1、逆推法从等式左边最后一个数字开始逐步向前推最终使等式 成立。一般题目中的数字较简单，可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这个结果。 2.凑数法一般题目中的数字多，结果也较大，可以考虑先用几个 数字凑出比较近于等式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。
一、C语言运算符号的种类 编辑 1 算术运算符 用于各类数值运算。包括加(+)、减(-)、乘(*)、除(/)、求余(或称模运算，%)、自增(++)、自减(--)共七种。 2.关系运算符 用于比较运算。包括大于(>)、小于(<)、等于(==)、大于等于(>=) 、小于等于(<=)和不等于(!=)六种。 3.逻辑运算符 用于逻辑运算。包括与(&&)、或(||)、非(!)三种。 4.位操作运算符 参与运算的量，按二进制位进行运算。包括位与(&)、位或(|)、位非(~)、位异或(^)、左移(<<)、右移(>>)六种。 5.赋值运算符 用于赋值运算，分为简单赋值(=)、复合算术赋值(+=,-=,*=,/=,%=)和复合位运算赋值(&=,|=,^=,>>=,<<=)三类共十一种。 6.条件运算符 这是一个三目运算符，用于条件求值(?:)。 7.逗号运算符 用于把若干表达式组合成一个表达式(，)。 8.指针运算符 用于取内容(*)和取地址(&)二种运算。 9.求字节数运算符 用于计算数据类型所占的字节数(sizeof)。 10.特殊运算符 有括号()，下标[]，成员(→，.)等几种。 二、C语言运算符号的优先级 编辑 1、优先级1级 结合方向左结合（自左至右） ( ) 圆括号 [ ] [1] 下标运算符 -> 指向结构体成员运算符 . 结构体成员运算符[1] （请注意它是一个实心圆点） 2、优先级2级 结合方向右结合（自右至左）单目运算符
! 逻辑非运算符 ~ 按位取反运算符 ++ 自增运算符 -- 自减运算符 - 负号运算符 (类型) 类型转换运算符 * 指针运算符 & 地址与运算符 sizeof 长度运算符 3、优先级3级 结合方向左结合双目运算符* 乘法运算符 / 除法运算符 % 取余运算符 4、优先级4级 结合方向左结合双目运算符+ 加法运算符 - 减法运算符 5、优先级5级 结合方向左结合双目运算符<< 左移运算符 >> 右移运算符 6、优先级6级 结合方向左结合双目运算符<、<=、>、>= 关系运算符 7、优先级7级 结合方向左结合双目运算符== 等于运算符（判断） != 不等于运算符（判断） 8、优先级8级 结合方向左结合双目运算符& 按位与运算符 9、优先级9级 结合方向左结合双目运算符^ 按位异或运算符 10、优先级10级
三年级数学提升班 学生姓名： 第九讲：巧填运算符号 知识是从刻苦劳动中得来的，任何成就都是刻苦劳动的结晶。 ——宋庆龄 知识纵横 根据题目给定的条件和要求，填运算符号或括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏，这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。 填运算符号问题，通常采用尝试探索法，主要尝试方法有两种： １.如果题目的数字比较简单，可以从等式的结果入手，推想那些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子。 ２.如果题目中的数字比较多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。 通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。 例题求解 【例１】在下面４个４之间填上＋、－、×、÷或括号，使等式成立４４４４＝８ 【例２】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（），使等式成立。 １２３４５＝１０ 【例３】拿出都是８的四张牌，添上＋、－、×、÷或（），使等式成立，你能试一试吗？ ８８８８＝０８８８８＝１ ８８８８＝２８８８８＝３【例４】在下面算式合适的地方添上＋、－、×，使等式成立。 １２３４５６７８＝１ 【例５】在下面式子适当的地方添上＋、－号，使等式成立。 ９８７６５４３２１＝２１
【例６】在下面１２个５之间添上＋、－、×、÷，使下面等式成立。 ５５５５５５５５５５５５＝１０００ 学力训练 １.你能在下面数中填上＋、－、×、÷，使结果等于已知数吗？ （１）５５５５＝１０（２）９９９９＝１８２.在下面数中填上＋、－、×、÷或（），使等式成立。 （１）３３３３３＝９（２）４４４４４＝８ ３.在下面几个数中填上＋、－、×、÷或（），使等式成立。 （１）２３５６＝６（２）２３５６＝６４.你能在下面各数中添上运算符号，使等式成立吗？ ４１２５＝１０ ５.巧填运算符号，使等式成立。 （１）３３３３＝１ （２）４４４４＝２ （３）５５５５＝３ ６．在下面的各数中添上运算符号，使等式成立。 ３４５６８＝８ 家长签字：
常用数学符号大全、关系代数符号 1、几何符号 ⊥∥∠⌒⊙≡≌△ 2、代数符号 ∝∧∨～∫≠≤≥≈∞∶ 3、运算符号 如加号（＋），减号（－），乘号（×或·），除号（÷或／），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（√），对数（log，lg，ln），比（：），微分（dx），积分（∫），曲线积分（∮）等。 4、集合符号 ∪∩∈ 5、特殊符号 ∑π（圆周率） 6、推理符号 |a| ⊥∽△∠∩∪≠≡±≥≤∈← ↑→↓↖↗↘↙∥∧∨ &; § ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ ΓΔΘΛΞΟΠΣΦΧΨΩ αβγδεζηθικλμν ξοπρστυφχψω ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ ⅰⅱⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹ
∈∏∑∕√∝∞∟∠∣∥∧∨∩∪∫∮ ∴∵∶∷∽≈≌≒≠≡≤≥≦≧≮≯⊕⊙⊥ ⊿⌒℃ 指数0123：o123 7、数量符号 如：i，2+i，a，x，自然对数底e，圆周率π。 8、关系符号 如“＝”是等号，“≈”是近似符号，“≠”是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“≥”是大于或等于符号（也可写作“≮”），“≤”是小于或等于符号（也可写作“≯”），。“→”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“∥”是平行符号，“⊥”是垂直符号，“∝”是成正比符号，（没有成反比符号，但可以用成正比符号配倒数当作成反比）“∈”是属于符号，“??”是“包含”符号等。 9、结合符号 如小括号“（）”中括号“［］”，大括号“｛｝”横线“—” 10、性质符号 如正号“＋”，负号“－”，绝对值符号“| |”正负号“±” 11、省略符号 如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x的函数（f(x)），极限（lim），角（∠）， ∵因为，（一个脚站着的，站不住） ∴所以，（两个脚站着的，能站住）总和（∑），连乘（∏），从n个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数（C(r)(n) ），幂（A，Ac，Aq，x^n）等。
数学符号的种类 数量符号 如：i，2+i，a，x，自然对数 底e，圆周率π。 运算符号 如加号（＋），减号（－）， 乘号（×或·），除号（÷或／），两个集合的并集（?），交集（?），根号（↗），对数（log，lg，ln），比（：），微分（dx），积分（?），曲线积分（?）等。 关系符号 如“＝”是等号，“≈”是近 似符号，“≠”是不等号，“＞” 是大于符号，“＜”是小于符号，“?”是大于或等于符号（也可写 作“≤”），“?”是小于或等于 符号（也可写作“≥”），。“→”表示变量变化的趋势，“∽”是相 似符号，“≌”是全等号，“?” 是平行符号，“≧”是垂直符号，“↘”是成正比符号，（没有成反 比符号，但可以用成正比符号配倒 数当作成反比）“?”是属于符号，“?”是“包含”符号等。 结合符号 如小括号“（）”中括号“［］”，大括号“｛｝”横线“—” 性质符号 如正号“＋”，负号“－”， 绝对值符号“| |”正负号“±” 省略符号 如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x的函数（f(x)），极限（lim），角（?）， ?因为，（一个脚站着的，站不住） ?所以，（两个脚站着的，能站住）总和（↖），连乘（?），从n个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数（C(r)(n) ），幂（A，Ac，Aq，x^n）等。 排列组合符号 C-组合数 A-排列数 N-元素的总个数 R-参与选择的元素个数 !-阶乘，如5！ =5×4×3×2×1=120 C-Combination- 组合 A-Arrangement-排列 离散数学符号（未全） ?全称量词 ?存在量词 ├ 断定符（公式在L中可证） ╞ 满足符（公式在E上有效，公式在E上可满足） ┐ 命题的“非”运算 ? 命题的“合取”（“与”）运算 ? 命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算 → 命题的“条件”运算 ?命题的“双条件”运算的 A<=>B 命题A 与B 等价关系 A=>B 命题 A与 B的蕴涵关系 A* 公式A 的对偶公式 wff 合式公式
符号运算 科学计算包括数值计算和符号计算两种计算，数值计算是近似计算；而符号计算则是绝对精确的计算。 符号变量的生成和使用 1、符号变量、符号表达式和符号方程的生成 （1）、使用sym函数定义符号变量和符号表达式 单个符号变量 sqrt(2) sym(sqrt(2)) %显示精确结果 a=sqrt(sym(2)) %显示精确结果 double(a) sym(2)/sym(3) %显示精确结果 2/5+1/3 sym(2/5+1/3) %显示精确结果 sym(2)/sym(5)+sym(1)/sym(3) %显示精确结果 sym函数定义符号表达式：单个变量定义法，整体定义法 单个变量定义法 a=sym('a') b=sym('b') c=sym('c') x=sym('x') f=a*x^2+b*x+c 整体定义法 f=sym('a*x^2+b*x+c') g=f^2+4*f-2 （2）、使用syms函数定义符号变量和符号表达式 一次可以创建任意多个符号变量syms var1 var2 var3… syms a b c x f=a*x^2+b*x+c g=f^2+4*f-2 （3）、符号方程的生成 函数：数字和变量组陈的代数式 方程：函数和等号组成的等式 用sym函数生成符号方程： equation1=sym('sin(x)+cos(x)=1') 2、符号变量的基本操作 （1）、findsym函数用于寻找符号变量 findsym(f)：找出f表达式中的符号变量 findsym(s,n)：找出表达式s中n个与x接近的变量 syms a alpha b x1 y findsym(alpha+a+b)
与Wolfram公司（Mathematics的开发公司）相比，Mathworks公司一直以矩阵计算和强大的数据处理能力见长，而符号计算非强项。1993年，mathworks公司从加拿大Waterloo Maple公司购买了maple的内核技术，作为MA TLAB符号运算与推导的平台，开发了用以进行符号计算的基本符号运算工具箱和扩展符号运算工具箱，从而解决了MA TLAB在符号计算方面的缺陷。 MA TLAB7.0的符号运算工具箱已上升到3.1.1版本，它几乎可以完成所有的符号运算功能，包括符号函数与符号方程的定义、运算、复合、化简、符号矩阵的计算、符号微分、符号积分、符号代数方程、符号微分方程的求解、符号积分变换和符号特殊函数。 在MA TLAB7.0的符号数学工具箱中，符号表达式含有符号函数和符号方程两种形式，它是表示数字、函数或变量的字符串或字符串组。字符就是符号变量的值。因此在MA TLAB的源程序中符号表达式被表示成字符串和字符串组。符号函数和符号方程的区别是符号函数没有等号，而符号方程必须有等号。 符号变量的定义 MA TLAB有默认的符号自变量，但在各种情况下默认的自变量是不同的。系统默认的自变量主要有x、x1、y、y1、z、v、u、t、theta、alpha。对于这些变量MA TLAB 的默认规则与平时数学习惯大致相同，即： 当这些变量中的某一个与其他变量组成符号数学表达式时，这个变量即为默认的自变量； 当这些变量中的某几个组成符号数学表达式是，默认自变量的顺序是：x>x1>y>y1>z>v>u>t>theta>alpha 例如：
当数学表达式为cos(2*x*a^2)时，默认的自变量为x； 当数学表达式为cos(2*x*v)时，默认的自变量为x； 当数学表达式为cos(2*t*alpha)时，默认的自变量为t； 符号变量可以通过命令syms和sym定义，syms命令一个可以定义一个或多个符号变量。sym一个只能定义一个符号变量。 >> syms x y z t >> who Y our variables are: t x y z >> syms u >> who Y our variables are: t u x y z >> x=sym('x'); >> t=sym('t'); >> z=sym('z'); >> y=sym('y'); >> who Y our variables are: ans t x y z 符号表达式的定义 MA TLAB7.0当中，符号表达式可以通过基本赋值语句，采用单引号或sym/syms
巧填运算符号 （配人教版数学四下第一单元） 我们已经学过了加、减、乘、除四则混合运算，以及四则混合运算的运算顺序，今天我们在此基础上，学习用加减乘除和括号来巧填算式。 例1在四个4中间填入运算符号和括号使算式的得数为2。 4 4 4 4 = 2 解题要点：想一想，哪些数的和、差、积、商等于2？如1＋1=2，1×2=2，4÷2 =2，16÷8=2，4-2=2，… 例题详解：4÷4＋4÷4=2 4×4÷（4＋4）=2 4－（4＋4）÷4=2 冰老师的话：解这类题目的关键是如何通过加、减、乘、除和括号使最后一步的和、差、积、商等于2。 牛刀小试1 1、在五个5中间填入运算符号和括号使算式的得数为6。 5 5 5 5 5 = 6 2、在数字1、2、 3、 4、5中间运算符号和括号使算式的得数为指定得数。 1 2 3 4 5 = 120 1 2 3 4 5 = 100 1 2 3 4 5 = 81 1 2 3 4 5 = 45 例2写出用四个4组成得数是0或1的算式。 解题要点：想一想，怎样的数相减、相乘会等于0？怎样的数相除会等于1？ 例题详解： 44－44=0 44÷44=1 （4-4）×44=0 4÷4×4÷4=1
冰老师的话：同数相减等于0，0与任何数相乘等于0，同数相除等于1。牛刀小试2 1、写出用五个5组成的得数是0-10的算式。 2、写出用五个3组成的得数为两位数的算式。（至少写出5个） 延伸拓展 写出用1、2、3、4、5组成的得数分别为47、135和1080的算式。 答案： 牛刀小试1： 1、5÷5＋5－5＋5=6 5＋5÷5×5÷5=6 5＋5÷5＋5－5=6 5×5÷5＋5÷5=6 2、（1＋2＋3）×4×5=120 （1×2＋3）×4×5=100 （1＋2）×3×（4＋5）=81 （1×2＋3）×（4＋5）=45 牛刀小试2 1、（5÷5＋5）×（5－5）= 0 （5＋5）÷5－5÷5=1 （5-5＋5＋5）÷5=2 5÷5＋（5＋5）÷5=3 5－55÷55=4 5÷5×5×5÷5=5 55÷55＋5=6 5÷5＋5÷5＋5=7 5＋（5＋5＋5）÷5=8 （55－5－5）÷5=9 5×5－（5＋5＋5）=10 答案不唯一。 2、33÷3＋3－3=11 33÷3＋3÷3=12 33÷3＋3＋3=17 33－33÷3=22
第4章符号运算 符号运算的对象是非数值的符号对象，对于像公式推导和因式分解等抽象的运算都可以通过符号运算来解决。 M A T L A B2006b对应的是S y m b o l i c M a t h T o o l b o x3.1.5。 符号工具箱能够实现微积分运算、线性代数、表达式的化简、求解代数方程和微分方程、不同精度转换和积分变换，符号计算的结果可以以图形化显示，M A T L A B 的符号运算功能十分完整和方便。 符号运算的特点： （1）符号运算以推理解析的方式进行，计算的结果不受计算累积误差影响； （2）符号计算可以得出完全正确的封闭解和任意精度的数值解； （3）符号计算命令调用简单； （4）符号计算所需要的时间较长。 4.1符号对象的创建和使用 创建符号对象都可以使用s y m和s y m s函数来实现。 1.s y m函数 S=s y m(s,参数)%由数值创建符号对象 S=s y m(…s?,参数)%由字符串创建符号对象 当被转换的s是数值时，参数可以是'd'、'f'、'e'或'r'四种格式，当被转换的's'是字符串时，参数可以是'r e a l'、'u n r e a l'和'p o s i t i v e'三种格式 2.s y m s函数 s y m s(s1,s2,s3,…,参数) 或s y m s s1,s2,s3,…,参数%创建多个符号变量 s y m s与s y m的关系是：s y m s(s1,s2,s3,…,参数)等同于s1=s y m('s1',参数)，s2=s y m('s2',参数)…… 3.c l a s s函数 s=c l a s s(x)%返回对象x的数据类型 4.1.2符号常量和符号变量 符号常量是不含变量的符号表达式，用s y m函数来创建；符号变量使用s y m和s y m s 函数来创建。 例如： >>a1=s y m(s i n(2))%用数值创建符号常量 >>a2=s y m(s i n(2),'f')%用十六进制浮点表示 >>a1=s y m('a','u n r e a l')%用字符串创建符号变量 4.1.3符号表达式 符号表达式是由符号常量和符号变量等构成的表达式，使用s y m和s y m s函数来创建。 例4-3分别使用s y m和s y m s函数创建符号表达式。 >>s y m s a b c x
第10讲巧填运算符号 姓名 一、知识要点 根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏。这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。 添运算符号问题，通常采用尝试探索法。主要尝试方法有两种：1．如果题目中的数字比较简单，可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子；2．如果题目中的数字多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。 二、精讲精练 【例题1】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（），使等式成立。 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 【思路导航】对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。从结果10想起，最后一个数是5，可以从下面几种情况中想：□＋5=10，□－5=10，□×5=10，□÷5=10。 （1）从□＋5=10考虑，□=5，前4个数必须组成得数是5的算式有： （1＋2）÷3＋4＋5=10 （1＋2）×3－4＋5=10 （2）从□－5=10考虑，□=15，前4个数必须组成得数是15的算式有：1＋2＋3×4－5=10 （3）从□×5=10考虑，□=2，前4个数必须组成得数是2的算式有： （1×2×3－4）×5=10 （1＋2＋3－4）×5=10 （4）从□÷5=10考虑，□=50，前面4个数必须组成得数是50的算式，而前面4个数无法组成得数是50的算式。 练习1： 1．你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？
填运算符号 填运算符号是根据题目给的条件和要求，在一组数中填上适当的运算符号或括号，使算式成立。它是数学问题中比较简单的一类问题。解答这类类问题虽然没有一定的法则，但还是有一定的规律可寻。只要我们能灵活运用基础知识，进行认真的分析、推理，就能很快地填出运算符号。这类问题不但有趣，而且还能促进思维能力的发展，对今后的学习也有很大的帮助。 例题精讲 例1 在合适的地方填上符号“+”或“–”，使算式成立。 （1）1 2 3 4 5 6 =1 （2）1 2 3 4 5 6 =3 分析与解： （1）把1、2、3、4、5、6这6个数分成两组，试着加一加发现1+2+3+5=11，4+6=10，这样在4、6前面填上“–”，其他地方 填上“+”，算式就能成立。 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 =1 （2）把1，2，3，4，5，6也分成两组，试着加一加发现1+2+4+5=12，3+6=9，这样在3、6的前面填上“–”，其他地方填上“+”，算 式就能成立： 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6=3 例2 在合适的地方填上“+”、“–”，使算式成立。 （1）1 2 3 4 5 6 = 2
（2）1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 99 （3）9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 21 分析与解： （1）用上题办法分成两组，你会发现无论如何也得不到2。因此，想到应当有1个两位数，这个两位数不能大，只能是12，再试一试就能成功：12 – 3 + 4 – 5 – 6 =2 （2）把九个数加起来：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，与所需要的99还差54。因此，想到应当有两位数。如果去掉一个加号，经过尝试，6与7之间不填“+”，可以得到1+2+3+4+5+67+8+9=99。 如果去掉两个加号，经过尝试，有两种情况：1+23+45+6+7+8+9=99；12+3+4+56+7+8+9=99。所以，本题有以下三种答案： 1+2+3+4+5+67+8+9=99 1+23+45+6+7+8+9=99 12+3+4+56+7+8+9=99 （3）还是从算式9+8+7+6+5+4+3+2+1=45入手。45 ––21=24，应当想到算式中必有减法。经过尝试，可以得到以下七种答案： 9 –8+7+6+5–4+3+2+1=21 或：9–8+7+6+5+4–3+2–1=21 9+8–7+6–5+4+3+2+1=21 9+8–7+6+5–4+3+2–1=21 9+8–7+6+5+4–3–2+1=21
第四章符号计算 1、选择题 1）运行命令a=sym('pi','d')，则对于变量a的描述 A 是正确的。 A. A是符号变量 B.a显示为10位的数值 C. a显示为32位的数值 D. A不存在 2）运行下列命令，则变量a的类型是 A 。 Syms a a=sin(2) A. sym B. double C. char D. int 3）运行下列命令，则 D 是正确的描述。 Syms a b c a A=[a b;c d] A. A占用的内存小于100B B. 创建了5个符号变量 C. A占用的内存是a、b、c、d之和 D. A不存在 4）运行下列命令后变量C的值是 A 。 A=sym([5 5;6 6]); B=sym([1 2;3 4]); C=A.*B [5,10] [5 10] [5*1,5*2] A.[18,24] B. [18 24] C. [6*3,6*4] D. 出错 5）运行命令“a=double(sym('sin(pi/2)'))”，则变量a是 C 。 A. 符号变量 B. 字符串'1' C. Double型1 D. 出错 6）符号表达式g=sym('sin(a*z)+cos(w*v)')中的自由变量是 C 。A. a B. z C. w D. v 7）将符号表达式化简为嵌套形式，使用 D 函数。 A.collect B.expand C. factor D. hornor 8）积分表达式 2 0cos()x dtdx π ??的实现使用下面的 B 命令。 A. int(int(cos(x)),0,pi/2) B. int(int(cos(x),'t'),0,pi/2) C. int(int(cos(x)),'t',0,pi/2) D. int(int(cos(x),'t',0,pi/2)) 9）运行命令y=dsovle('x*D2y-3Dy=x^2','t')求解微分方程，则 B 。 A. Dy是指dy/dx B. 得出y的通解有一个常数C1 C. D2y是指d2y/dx D. 得出y的通解有两个常数C1和C2 10）运行命令f=solve('x^2+1')，则 B 。 A. f是有两个数值元素的行向量 B. f是有两个数值元素的列向量 C. f是符号对象 D. F只有一个元素 2. 分别使用sym 和syms创建符号表达式“sin(x)+cos(y)”。
实验3 符号运算 一、实验目的 1.掌握符号对象的创建及符号表达式化简的基本方法；符号(symbol)运算的基本功能. 2.掌握符号微积分、符号方程的求解的基本方法。 二、实验内容与要求 1. 字符型变量、符号变量、符号表达式、符号方程的建立 用单引号设定字符串变量 >>a ='u+4'%定义a为字符型变量 a = u+4 用命令sym(‘’)创建单个符号变量、符号表达式、符号方程. >>x= sym('m+n+i') %定义x为符号型变量 x= m+n+i >>y = sym（'d*x^2 + x – 4'）%定义y为符号表达式 y= d*x^2 + x – 4 >>e = sym(' a*x^2+b*x+c=0') %定义e为符号方程 e= a*x^2+b*x+c=0 用命令syms创建多个符号变量、符号表达式. >>syms a b x y %定义a，b，x，y为符号变量，字母间必须用空格 >>s = a*x^4+b*cos(y)-x*y %定义s为符号表达式 s= a*x^4+b*cos(y)-x*y
基于MA TLAB的数学实验 16 注意：sym(‘’)中的单引号不要漏，syms后的符号变量之间不能用逗号，用syms不能建立符号方程. 2. 复合函数计算 格式：compose(f,g,x,y)%返回复合函数f [ g (y)]，f = f (x)，g = g (y). >>syms x y >>f = 1/(1 + x^2*y); g = sin(y); >>C = compose(f,g,x,y) % 结果为1/(1+sin(y)^2*y) 2 合并同类项 格式：collect(S) %是对S中的每一函数，按缺省变量x的次数合并系数. collect(S,v) %是对指定的变量v计算，操作同上. 【例1.18】 >> syms x y %定义x,y为符号变量 >> R1=collect((exp(x)+x)*(x+2)); %结果为x^2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x) >> R2=collect((x+y)*(x^2+y^2+1),y);%结果为y^3+x*y^2+(x^2+1)*y+x*(x^2+1) 4.符号表达式的展开 格式：R=expand(S) %展开符号表达式S中每个因式的乘积。 【例1.20】 >>syms x y t >>E=expand((x-2)*(x-4)*(y-t)) % 结果为x^2*y-x^2*t-6*x*y+6*x*t+8*y-8*t 6. 符号表达式的通分 格式：[N,D]=numden(S) % 将符号表达式S中的每一元素进行通分，其中N为分子的表达式，D为分母的表达式。 【例1.22】 >>syms x y >>[N,D]=numden(x/y+y/x) % 结果为N =x^2+y^2, D =x*y
练习十 符号计算基础与符号微积分 1.已知x=6，y=5，利用符号表达式求y x x z -++=31 。 提示：定义符号常数)'5(')'6('sym y sym x ==，。 x=sym('6'); y=sym('5'); z=(x+1)/(sqrt(3+x)-sqrt(y)) 2.分解因式。 (1)44y x - (2)5135 （1） syms x y ; factor(x^4-y^4) （2）factor(sym('5135')) 3.化简表达式。 (1)2121sin cos cos sin ββββ- (2)1 23842+++x x x （1） syms beta1 beta2 z=sin(beta1)*cos(beta2)-cos(beta1)*sin(beta2); simplify(z)
（2） x=sym('x'); z=(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1); simplify(z) 4.已知 ??????????=??????????=??????????=i h g f e d c b a A P P ，，10101000110000101021 完成下列运算： (1)B=A P P ??21。 (2)B 的逆矩阵并验证结果。 (3)包括B 矩阵主对角线元素的下三角阵 。(4)B 的行列式值。 P1=[0,1,0;1,0,0;0,0,1]; P2=[1,0,0;0,1,0;1,0,1]; A=sym('[a,b,c;d,e,f;g,h,i]'); B=P1*P2*A %(1) inv(B)%(2) tril(B)%(3) det(B)%(4)
加减乘除运算符号的来源 “＋”、“－”出现于中世纪。据说，当时酒商在售出酒后，曾用横线标出酒桶里的存酒，而当桶里的酒又增加时，便用竖线条把原来画的横线划掉。于是就出现用以表示减少的“－”和用来表示增加的“＋”。“＋”（加）号是15世纪德国数学家魏德迈所创造的，在横线上加一竖，是表示增加的意思。“－”（减）号也是魏德迈创造的：从加号中减去—竖，是表示减少的意思。1489年，德国数学家魏德曼（Widman，1460—？）在他的著作中首先使用“＋”、“－” 这两个符号表示剩余和不足，1514年荷兰数学家赫克（Hoecke）把它用作代数运算符号。后来又经过法国数学家韦达（Vieta，1540—1603）的宣传和提倡，才开始普及，直到1630年，才得到大家的公认。 乘号“×”，英国数学家奥屈特于1631年提出用“×”表示相乘。另一乘号“?”是数学家赫锐奥特首创的。乘号是18世纪美国数学家欧德莱最先使用的，表示增加的另一种方法，把加号斜过来写。“×”号是欧德莱最先使用的，它的意思是表示增加的另—种方法，因此把加号斜过来写。据记载，在1631 年，英国著名数学家欧德莱认为乘法是加法的一种特殊形式，于是他便把前人所发明的「+ 」转动45 °角，这样乘号「x 」也就面世了。「x 」既表示了乘法与加法的关系，又表示了相乘的方法。 除号“÷”，最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“：”表示除或比。也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了“÷”。瑞士的数学家拉哈的著作中正式把“÷”作为除号。除号是18世纪瑞士人哈纳创造的，是分解的意思，用一条横线将两个圆点分开。 “? ”（乘）号和“：”（比或除）号是在17世纪末由发明微积分的著名数学家莱布尼兹创造并引入数学运算的。
实验3 MATLAB 符号运算功能 实验目的：掌握MATLAB 符号运算功能的基本使用方法 1．符号矩阵的建立及符号矩阵的运算； 2．符号矩阵的简化； 3．符号矩阵的极限和微积分； 4．代数方程求解； 5．一元函数图象简易画法． 实验内容： 1. 设)1()(--=x e x x g x 1) 将)(x g 写成MATLAB 符号表达式； 2) 求出符号表达式)('x g ； 3) 利用"subs "命令求出)4(g 和)4('g ； 4) 利用"plot "命令画出函数)(x g 在区间[-3，3]上的光滑图象； 5) 利用"ezplot "命令画出函数)(x g 在区间[-3，3]上的图象并与4）所得结果进行比较. 比较. 运行命令： syms x; g=[x*(exp(x)-x-1)] diff(g) G=subs(g,[4]) G1=subs(diff(g),4) x=-3:0.01:3; y=x.*(exp(x)-x-1); plot(x,y) ezplot(g,[-3,3]) 程序运行结果： g = x*(exp(x)-x-1) ans = exp(x)-x-1+x*(exp(x)-1) G = 198.3926 G1 =
263.9908 2. 设)1()(1--=x e x x g x ，1)(22+=x x g 1）利用"ezplot "命令画图估计函数)(1x g 与)(2x g 图象交点的x 值； 2) 利用"solve "命令求出函数)(1x g 与)(2x g 图象交点处x 的精确值. 3. 说明下面程序中每个命令的作用： syms x h f = exp(sin(x)) m = (subs(f, x+h)-f)/h f1 = limit(m, h, 0) subs(f1, pi) X = -10:.05:10; F = subs(f, X); F1 = subs(f1, X); plot(X, F, ’b’, X, F1, ’r’) 解释程序运行的结果. 4. 设)3cos ()(+-=x e x x f x 1) 利用定积分的定义（无限求和）计算?3 0)(dx x f 的近似值（有限求和），改变求和的项数对结果的变化进行比较； 2) 利用符号积分的命令"int "计算?3 0)(dx x f 的值，并与1）所得结果进行比较。