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2021届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第一次适应性考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共70.0分）1.设函数，则等于（）A. B. C. 3 D. 62.已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则C B A=（）A. B.B.C. D.3.已知条件p：|x+1|＞2，条件q：x＞a，且￢p是￢q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A. B. C. D.4.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x-1）＜f（）的x取值范围是（）A. B. C. D.5.定义在R上的奇函数满足，且在上，则A. B. C. D.6.函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A. B. C. D.7.将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A. B.B.C. D.8.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cos A=，则b=（）A. B. C. 2 D. 39.若cos（-α）=，则sin2α=（）A. B. C. D.10.若函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.11.在△ABC中，已知D是BC延长线上一点，点E为线段AD的中点，若=2，且=λ+，则λ=（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+xf′（x）＞0（f′（x）是f（x）的导函数），则不等式（x-1）f（x2-1）＜f（x+1）的解集为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=ln（4+3x-x2）的单调递减区间是______．14.已知数列{a n}的前n项和为，则此数列的通项公式为______．15.在△ABC所在的平面上有一点P，满足++=，则△PBC与△ABC的面积之比是______．16.设命题p：函数f（x）=x2+（a-1）x+5在（-∞，1]上是减函数；命题q：∀x∈R，lg（x2+2ax+3）＞0；若p∨￢q是真命题，p∧￢q是假命题，则实数a 的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量||=2，=（-，），且与夹角为，（1）求|+2|；（2）若（+k）⊥（2-），求实数k的值．18.已知函数（，且）.（1）若函数在上的最大值为2，求的值；（2）若，求使得成立的的取值范围.19. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a10=21，S10=120．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+1，求数列{b n}的前n项和T n．20.已知函数Ⅰ求函数的单调增区间；Ⅱ将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域．21.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知b＋c＝2a cos B．(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．22.已知函数ⅠⅠ求函数的极值；Ⅱ若，且对任意的都成立，求整数k的最大值．2021届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第一次适应性考试数学（理）试题参考答案1.C2.A3.4.A5.C6.D7.D8.D9.D10.B11.A12.D13.14.15.16.-1，或17.解：（1）因为，所以|b|=1，又||=2，与的夹角为120°∴．…（3分）===2（2）由（a+kb）⊥（2b-a），得（+k）•（2-）=0，即2k-4+（2-k）×2×1cos120°=0，解得k=2…（10分）18.解:(1)当a>1时,f(x)在[-2,1]上单调递增,所以，即；当时，在上单调递减，因此，，即,综上，或;(2)不等式即,又，则，即，所以,所以使得成立的的取值范围是.19.20解：f（x）=sin2x+2sin2x==．（Ⅰ）由，解得．∴函数f（x）的单调增区间为[]，k∈Z；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，得y=2sin[2（x）-]+1=2sin2x+1．再向下平移1个单位后得到函数g（x）=2sin2x．由x∈[-，]，得2x∈[]，∴sin2x∈[-]，则函数g（x）的值域为[-]．21.（Ⅰ）证明：∵b+c=2a cos B，∴sin B+sin C=2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）=2sin A cos B∴sin B+sin A cos B+cos A sin B=2sin A cos B ∴sin B=sin A cos B-cos A sin B=sin（A-B）∵A，B是三角形中的角，∴B=A-B，∴A=2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=，∴bc sin A=，∴2bc sin A=a2，∴2sin B sin C=sin A=sin2B，∴sin C=cos B，∴B+C=90°，或C=B+90°，∴A=90°或A=45°．。
2020-2021学年石嘴山三中补习班高三上学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列式子：①3∈{x|x<5}；②{3}⊆{x|x<5}；③⌀⊆{x|x<5}；其中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.设z是复数，a(z)表示z n=1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)=()A. 8B. 6C. 4D. 23.某多面体的三视图如图所示，正视图中大直角三角形的斜边长为√5，左视图为边长是1的正方形，俯视图为有一个内角为45°的直角梯形，则该多面体的体积为()A. 1B. 12C. 23D. 24.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量大约是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放能量的少倍？(参考数值：√10≈3.162，√103≈2.154)()A. 31.6B. 15.8C. 4.6D. 1.55.已知直线ax+by=0与双曲线x2a2−y2b2=1(0<a<b)交于A，B两点，若A(x1,y1)，B(x2,y2)满足|x1−x2|=3√3，且|AB|=6，则双曲线的离心率为()A. √3B. 3C. √2D. 26.若三点A(−1,0)，B(2,3)，C(0,m)共线，则m的值为()A. 1B. −1C. ±1D. 27.直线x+my−5=0与双曲线x2−y24=1的一条渐近线垂直，则正实数m=()A. 4B. 2C. 12D. 148.已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体表面积为()A.B. C. D. 52 9. 已知向量a ⃗ =(1,3)，b ⃗ =(2,0)，若a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +λb ⃗ 垂直，则λ的值等于( )A. −6B. −2C. 6D. 210. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1+a 3+a 8=9，a 6=9，则S 9的值是( )A. 64B. 72C. 54D. 以上都不对11. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若，则λ等于( ) A. B. C. D.12. 已知AC 、BD 为圆O ：x 2+y 2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1,1)，则四边形ABCD 的面积的最大值为( )A. 6B. 4√2C. 5D. 5√2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在数列{a n }中，若a 1=3，a n+1=a n +4，则a 5=______．14. 如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且PA =6，AC =8，BC =9，则AB =________．15. 已知a >0，b >0，且2a +b =1，则√2a +√b 的最大值为______ ．16. 在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，E 为BC 边的中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ .(注意：手写向量，小写字母上面要加箭头)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列{a n}的前项和为Sn，已知a1=1，2S n=(n+1)a n,n∈N∗(1)求数列{a n}的通项公式(2)令b n=n+1(n+2)2a n2，数列{b n}的前n项和为T n，试比较Tn与516的大小18. 若a，b，c为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且sin2B+sin2C−sin2(B+C)=sinBsinC．(1)求角A；(2)若b=2，求△ABC面积的取值范围．19. 如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求异面直线PM与BD所成的角20. 已知抛物线C：y2=4x与椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)有一个公共焦点F.设抛物线C与椭圆E在第一象限的交点为M.满足|MF|=53．(1)求椭图E的标准方程；(2)过点P(1,32)的直线交抛物线C于A、B两点，直线PO交椭圆E于另一点Q.若P为AB的中点，求△QAB的面积．21. 已知函数f(x)=(a−b)x2−x−xlnx．(1)若函数f(x)在x=1处的极值为−b，求a，b的值；(2)若a=1，f(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立，求b的取值范围．22. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若椭圆上一点与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形．(Ⅰ)求椭圆E的离心率；(Ⅱ)如图，若直线l与椭圆相交于AB且AB是圆(x−1)2+(y+1)2= 5的一条直径，求椭圆E的标准方程．23. 已知函数f(x)=|kx−1|+|kx−2k|，g(x)=x+1．(1)当k=1时，求不等式f(x)>g(x)的解集；(2)若存在x0∈R，使得不等式f(x0)≤2成立，求实数k的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了集合与集合的关系及元素与集合的关系判断，属于基础题．由集合与集合的关系及元素与集合的关系判断即可．解：①3∈{x|x<5}正确；②{3}⊆{x|x<5}正确；③⌀⊆{x|x<5}正确；④√3为无理数，故错误．故选C．2.答案：C解析：解：a(i)=i n=1，则最小正整数n为4．故选C．复数z n=1，要使i n=1，显然n是4的倍数，则a(i)=4．本题实际考查，复数i的n次幂的运算，是基础题目．3.答案：C解析：根据三视图可得该几何体是由一个三棱柱ABC−A1B1C1和一个三棱锥B−DB1C1组成，该多面体的体积为V=S△ABC⋅AA1+13S△DB1C1⋅AA1=12×1+13×12×1=23，故选：C．根据三视图可得该几何体是由一个三棱柱ABC−A1B1C1和一个三棱锥B−DB1C1组成，该多面体的体积为V=S△ABC⋅AA1+13S△DB1C1⋅AA1=12×1+13×12×1=23本题考查了根据三视图求组合体的体积，属于中档题．4.答案：A解析：解：设日本地震释放的能量为E1，汶川地震释放的能量为E2，则由已知可得lgE1=4.8+1.5×9=18.3，lgE2=4.8+1.5×8=16.8，。
石嘴山三中2021届高三年级第三次模拟考试数学（理科）试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,2,3,4}A =，{}2,B x x n n A ==∈，则A B =（ ）A. {1,2}B. {1,4}C. {1,2,3,4}D. {2,3}【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合B ，由此能求出A B ．【详解】集合{1A =，2，3，4}，2{|B x x n ==，}{1n A ∈=，4，9，16}， {1AB ∴=，4}．故选：B ．点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.91i 1i+=- （ ） A. 1- B. i -C. 1D. i【答案】D 【解析】 【分析】按照复数的运算规则进行运算即可.【详解】921i 1(1)1i 12i i i i +++===--.故选：D【点睛】本题考查复数的基本运算，属于基础题. 3.已知,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 410πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan θ=（ ） A. 2 B.43C. 3D.125【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系计算可得cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、tan 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭，再根据两角差的正切公式计算可得.【详解】解：因为,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以3,424πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos 410πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 34πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以tan tan3144tan tan 244131tan tan44ππθππθθππθ⎛⎫+- ⎪--⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪-⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭. 故选：A【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于基础题.4.在直角梯形ABCD 中，已知//BC AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4=AD ，若P 为CD 的中点，则PA PB ⋅的值为（ ） A. 5- B. 4-C. 4D. 5【答案】D 【解析】 分析】由题意可知5cos PDA ∠=，由()()2PA PB PD BC PD CB ⋅=-⋅-+，再利用两个向量的数量积的定义，运算求解即可.【详解】解：由题意可知，2DA CB =，PD PC =-，2214252PD PC ==+=. ∴tan 2PDA ∠=，5cos 5PDA ∠=. //BC AD ，∴BCD PDA π∠=-∠，∴()()()()2PA PB PD DA PC CB PD CB PD CB ⋅=+⋅+=+⋅-+()222525cos 24PD PD CB CB PDA π=--⋅+=--⨯⨯-∠+⨯5525855⎛⎫=--⨯⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查两个向量的加减法法则，以及几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题. 5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A.227B.15750C.289D.337115【答案】C 【解析】 【分析】将圆锥的体积用两种方式表达，即213V r h π==23(2)112r h π，解出π即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，则213V r h π=，又2233(2)112112V L h r h π≈=， 故23(2)112r h π213r h π≈，所以，11228369π≈=. 故选：C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.6.已知等差数列{}n a 的公差为3，前n 项和为n S ，且1a ，2a ，6a 成等比数列，则6S =（ ） A. 51 B. 54 C. 68 D. 96【答案】A 【解析】 【分析】根据1a ，2a ，6a 成等比数列，列出方程解出1a ，再利用等差数列求和公式，即求出6S ． 【详解】因为1a ，2a ，6a 成等比数列，所以2216a a a =，即2111(3)(53)a a a +=+⨯，解得11a =所以665613512S ⨯=⨯+⨯=． 故选：A.【点睛】本题主要考查等比中项及等差数列前n 项和公式，属于基础题． 7.下列说法正确的是（ ）A. 命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >”B. 若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥则//αβC. 随机变量ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>= D. 设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题的否定是全称命题可判断选项A ；,αβ可能相交，可判断B 选项；利用正态分布的性质可判断选项C ；11x<⇒0x <或1x >，利用集合间的包含关系可判断选项D. 【详解】命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀≤，2sin x x >”，故A 错误；αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能相交，故B 错误；若(01)0.4P ξ<<=，则(12)0.4P ξ<<=，所以10.40.4(0)0.12P ξ--<==，故(0)0.9P ξ>=，所以C 错误；由11x <，得0x <或1x >，故“0x <”是“11x <”的充分不必要条件，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.8.甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D 【解析】 【分析】根据演绎推理进行判断．【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁． 故选：D ．【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．9.已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωω=+ϕ>><ϕ<π的部分图像如图所示，给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 的最小值为4-； ③(),0π是()f x 的一个对称中心；④函数()f x 在区间25,312⎛⎫-π-π ⎪⎝⎭上单调递增.其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】通过图像可得函数的周期，过点,12A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,2列方程可得解析式为()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的图像和性质逐一判断.【详解】由图象知函数()f x 的最小正周期为23122T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，则4ω=， 即()()sin 4f x A x =+ϕ，又由12f A π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由0ϕπ<<可知6π=ϕ，从而()sin 46f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又(0)2f =，可得sin 26A π=， 所以4A =，从而()4sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，易判断①②正确， 而()0f π≠，所以③错误， 又由242,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈， 得()f x 的增区间为,,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 可知当1k =-时，25,312⎛⎫-π- ⎪π⎝⎭是()f x 的一个增区间，④正确. 故选：B.【点睛】本题主要考查利用三角函数部分图象求解析式和三角函数的基本性质，考查运算求解能力，是基础题.10.函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果. 【详解】当1x >时，()1ln()f x x x=-，由1,y y x x =-=在()1,+∞递增， 所以1t x x=-在()1,+∞递增又ln y t =是增函数，所以()1ln()f x x x=-在()1,+∞递增，故排除B 、C 当1x ≤时()cos xf x eπ=，若()0,1x ∈，则()0,x ππ∈所以cos t x π=在()0,1递减，而t y e =是增函数 所以()cos xf x e π=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误故选：A【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.11.已知P 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）左支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，M 为虚轴的一个端点，若2||MP PF +的最小值为12F F ，则C 的离心率为（ ）B. 2 D. 4+【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可得21||||2MP PF MP PF a +=++，又11||MP PF MF +≥ 即可得到关于e 的方程，解得.【详解】解：21||||2MP PF MP PF a +=++1222MF a a c +==，22a c +=，化简得222850c ac a -+=，即22850e e -+=，解得e =e =，所以e =故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想. 12.已知函数()ln(f x x =满足对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. ln 2[8,)2-+∞ B. ln 25[8,2ln 2]24--- C. ln 2(,8]2-∞- D. 5(,2ln 2]4-∞--【答案】C 【解析】 【分析】由函数()ln(f x x =+在定义域单调递增，原不等式成立可转化为()2211max2maxln 2x xx a x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，通过研究函数的最值建立不等式求解即可得a 的取值范围.【详解】由函数()ln(f x x =+在定义域单调递增，对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立， 即任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln 2x x x a x ++≤成立， 即满足()2211max2maxln 2x x x a x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，令2111()2g x x x a =++，对称轴方程为11x =-，在11[,2]2x ∈可得1max ()(2)=8g x g a =+ 令222ln ()x h x x =， 求导可得22221ln ()x h x x -'=， 2()0h x '=，可得2x e =，在()20,x e ∈，2()0h x '>，2()h x 单调递增，所以在21[,2]2x ∈，2max ln 2()(2)2h x h ==， 即ln 282a +≤，解得ln 282a ≤-， 故选C .【点睛】本题为函数与导数的综合应用题，考查函数的单调性、导数的应用等知识点，解题的关键是将含有量词的不等式转化为求函数最值问题，再借助导数和函数的性质求解最值建立不等式即可，属于中等题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.已知(2x -1)7=a o +a 1x + a 2x 2+…+a 7x 7，则a 2=____. 【答案】84- 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式即可得结果.【详解】解：(2x -1)7的展开式通式为：()()71721rrrr T C x -+=-当=5r 时，()()2552672184T C x x =-=-，则284a =-. 故答案为：84-【点睛】本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题. 14.已知f (x )是R 上最小正周期为2周期函数，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为________．【答案】7 【解析】当02x ≤<时，3()00,1f x x x x =-=⇒=，所以函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x轴的交点横坐标为0,1,2,3,4,5,6 共7个 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．15.已知椭圆C ：22162x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则2ABF 的内切圆半径是________.【答案】23【解析】 【分析】设2ABF 内切圆的半径为r ，由椭圆方程分析可得a ，b ，c 的值，由勾股定理分析可得222116AF AF -=，12226AF AF a +==解可得1AF 和2AF 的值，计算可得2ABF 的面积与周长，由内切圆的性质计算可得内切圆半径.【详解】解：设2ABF 内切圆的半径为r ，由椭圆的方程22162x y +=，其中6a =2b =222c a b =-，1224F F c ==.因为AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则有222116AF AF -=，12226AF AF a +== 解得163AF =，263AF =. 2ABF 的周长22106264633l AF BF AB =++=+=.面积12112646422S AB F F =⨯⨯==，由内切圆的性质可知，有12r ⨯=，解得23r =. 故2ABF 内切圆的半径为23. 故答案为：23. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，利用三角形面积公式进行转化是解题关键，属于中档题. 16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知acosB ＝bcosA ，6A π∠=，边BC 上的中线长为4．则c ＝_____；AB BC ⋅=_____．【答案】 (1). 7(2). 967-【解析】 【分析】由正弦定理得sinAcosB ＝sinBcosA ，计算可得B ＝A 6π=，由正弦定理可得c =，再结合余弦定理，可求解c ,a ,从而可求解.AB BC ⋅【详解】由acosB ＝bcosA ，及正弦定理得sinAcosB ＝sinBcosA ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A 6π=，所以由正弦定理可得c =， 由余弦定理得16＝c 2+（2a ）2﹣2c •2a •cos 6π，解得c =；可得a =，可得AB BC ⋅=-accosB 967727=-⨯=-．故答案为：7，967-．【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题:(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知等比数列{}n a （其中n *∈N ），前n 项和记为n S ，满足：3716S =，且212log 1log n n a a +=-+()1求数列{}n a 的通项公式；()2求数列{}log n n a a ⋅，n *∈N 的前n 项和nT.【答案】()1112n n a +=；()213322n n n T ++=-. 【解析】 【分析】()1设等比数列{}n a 的公比为q ，然后根据对数的运算可得q 的值，再根据等比数列求和公式可得首项1a 的值，即可得到数列{}n a 的通项公式；()2设2log n n n b a a =⋅，然后根据()1题的结果可得{}n b 的通项公式，然后根据通项公式的特点可用错位相减法求出前n 项和n T .【详解】解：()1由题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，212log 1log n n a a +=-+，∴12122log log log 1n n n na a a a ++-==-，∴112n n a q a +==．由3716S =，得31127116121a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣=-⎦，解得114a =． ∴数列{}n a 的通项公式为112n n a +=． ()2由题意，设2log n n n b a a =⋅，则112n n n b ++=-． ∴ 12231231222n n n n b b T b ++⎛⎫++=-+++⎪⎝+⎭＝， 故231231222n n n T ++-=+++，312212222n n n T n n +++-=+++.两式相减，可得31221111332222242n n n n T n n +++++-=+++-=-． ∴13322n n n T ++=-． 【点睛】本题考查等比数列的性质应用，错位相减法求和的方法，考查转化思想，数学运算能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2310【解析】 【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥；（2）设(,,)F a b c ，由BF AC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪ ⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值.【详解】证明：（1）∵在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，B （1，0，0），P （0，0，2），C （2，2，0），E （1，1，1），D （0，2，0），(0,1,1)BE =，(2,0,0)DC =，0BE DC ∴⋅=，∴BE DC ⊥；（2）∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥， ∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈，则(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-， (21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=， ∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=， 解得1113,,,4222F λ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭， 113(1,0,0),,,222AB AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =，则0113222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1z =，得(0,3,1)n =-，平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m =， 设二面角F AB P --的平面角为θ， 则||cos 10||||10m n m n θ⋅===⋅，∴二面角F AB P --. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19.十八大以来，党中央提出要在2021年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下： 表1：新农合门诊报销比例根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下： 表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次． （Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？ （Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）X 的分布列与期望． 【答案】（Ⅰ）316495； （Ⅱ）X 的发分布列为：期望61EX =． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由表2可得去各个门诊的人次比例可得2000人中各个门诊的人数，即可知道去三甲医院的总人数，又有60岁所占的百分比可得60岁以上的人数，进而求出任选2人60岁以上的概率；（Ⅱ）由去各门诊结算的平均费用及表1所报的百分比可得随机变量的可能取值，再由概率可得X 的分布列，进而求出概率．【详解】解：（Ⅰ）由表2可得李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次，分别去村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院人数为200070%1400⨯=，200010%200⨯=，200015%300⨯=，20005%100⨯=，而三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，所以去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人数为：10080%80⨯=人，设从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的事件记为A ，则()2802100316495C P A C ==；（Ⅱ）由题意可得随机变量X 的可能取值为：50500.620-⨯=，1001000.460-⨯=，2002000.3140-⨯=，5005000.2400-⨯=，(20)0.7p X ==，(60)0.1P X ==，(140)0.15P X ==，(400)0.05P X ==，所以X 的发分布列为：所以可得期望200.7600.11400.154000.0561EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题主要考查互斥事件、随机事件的概率计算公式、分布列及其数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.在直角坐标系xOy 中，已知点()1,0P 、Q (x ，y )，若以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切. （1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）若C 上存在两动点A B ，（A ，B 在x 轴异侧）满足32⋅=OA OB ，且PAB △的周长为22AB +，求AB 的值.【答案】（1）24y x =；（2）48AB =【解析】 【分析】（1）设(),Q x y 122+=⨯x ，化简后可得轨迹C 的方程. （2）设直线:AB x my n =+，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简32⋅=OA OB 并求得8n =，结合焦半径公式及弦长公式可求m 的值及AB 的长. 【详解】（1）设(),Q x y ，则圆心的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭， 因为以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切，122+=⨯x ， 化简得C 的方程为24y x =.(2)由题意0AB k ≠，设直线:AB x my n =+， 联立24y x =得2440y my n --=， 设()()1122,,A B x y x y ， （其中120y y <） 所以124y y m +=，124y y n ⋅=-，且0n >，因为32⋅=OA OB ，所以22121212123216⋅=+=+=y y OA OB x x y y y y ，2432n n -=，所以()()840n n -+=，故8n =或4n =- （舍）， 直线:8AB x my =+， 因为PAB ∆的周长为22AB + 所以22PA PB AB AB ++=+ 即2PA PB AB +=+，因为()21212218418PA PB x x m y y m +=++=++=+.又12AB y =-==所以24182m +=，解得m =±所以48AB ===.【点睛】本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题. 21.已知函数2()cos 2a f x x x =+（a ∈R ），()f x '是()f x 的导数. （1）当1a =时，令()()ln h x f x x x '=-+，()h x '为()h x 的导数.证明：()h x '在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一的极小值点； （2）已知函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）1a ≤ 【解析】 【分析】（1）设1()()cos g x h x x x '==-，'21()sin g x x x -=+，注意到'()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单增，再利用零点存在性定理即可解决； （2）函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则'0y ≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即342sin 203ax x x --≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数34()2sin 23m x ax x x =--，求导讨论()m x 的最值即可.【详解】（1）由已知，'()sin f x x x =-，所以()ln sin h x x x =-， 设'1()()cos g x h x x x ==-，'21()sin g x x x-=+， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()g x 单调递增，而(1)0g '<，'02g π⎛⎫>⎪⎝⎭，且'()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上图象连续不断.所以'()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点α，当(0,)x α∈时，'()0g x <；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0g x >； ∴()g x 在(0,)α单调递减，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故()g x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的极小值点，即()h x '在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的极小值点； （2）设()sin k x x x =-，[)0,x ∈+∞，()1cos 0k x x '=-≥， ∴()k x 在[)0,+∞单调递增，()(0)0k x k ≥=， 即sin x x ≥，从而sin 22x x ≤，因为函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴34()2sin 203m x ax x x =--≤0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 令'2()22cos24()m x a x x p x =--=， ∵sin 22x x ≤，∴'()4sin 280p x x x =-≤，'()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，''max ()(0)22m x m a ==-，当1a ≤时，'()0m x ≤，则()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()(0)0m x m ≤=，符合题意. 当1a >时，'()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，'(0)220m a =->所以一定存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当00x x ≤<时，()0m x '>，()m x 在[)00,x 上单调递增，()0(0)0m x m >=与题意不符，舍去. 综上，a 的取值范围是1a ≤【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，本题是一道较难的题.请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是: 2x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）. ()1若直线l 与曲线C 相交于A 、B两点，且AB =m 值.()2设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.【答案】()11m =或3m =；()22⎡-+⎣.【解析】【分析】()1把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离求出m 值； ()2把曲线C 的普通方程化为参数方程，利用三角恒等变换求出x y +的取值范围.【详解】解：()1曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：2240x y x +-=，直线l 的直角坐标方程为：y x m =-.∴圆心到直线l的距离（弦心距）2d ==, 圆心()2,0到直线y x m =-的距离为2=, ∴21m -=∴1m =或3m =.()2曲线C 的方程可化为()2224x y -+=，其参数方程为： 22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数） (),M x y 为曲线C 上任意一点，24x y πθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭x y ∴+的取值范围是2⎡-+⎣. 【点睛】本题考查参数方程与极坐标的应用，属于中档题.选修4—5；不等式选讲.23.已知函数()2121f x x x =-++，记不等式()4f x <的解集为M .（1）求M ；（2）设,a b M ∈，证明：10ab a b --+>.【答案】（1）{}|11x x -<<；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集M .（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立.【详解】（1）解：()14,2112,2214,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， 由()4f x <，解得11x -<<，故{}|11M x x =-<<.（2）证明：因为,a b M ∈，所以1a <，1b <， 所以()()()1110ab a b a b -++=-->， 所以10ab a b --+>.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.。
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期第三次月考（期末)试题文（补习班）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合,，则A. B. C. D.2.在等比数列中，若,，则A。
B. C。
D。
3.函数的定义域为A。
B。
C。
D。
4.若,，，则A. B.C. D。
5.已知x，y满足约束条件，则的最小值为A。
B. C。
D.6.已知，则“”是“为函数的周期"的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D。
既不充分也不必要条件7.在九章算术中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢A. 5 B。
6 C. 7 D。
88．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A。
B。
3C。
63D。
339.函数的图象可能是A。
B.C。
D.10。
已知正数a，b满足，则的最小值为( ）．A. 8 B. 10 C. 9 D. 611。
若曲线在点处的切线过点,则函数的单调递减区间为A。
B。
，（-1,0）C。
D. ，12. 已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围为A. B C D.二．填空题(本大题共4小题，共20.0分）13。
已知向量，若，则______．14。
在前n 项和为的等差数列中，若,则______．15.若等边ABC ∆的边长为1，平面内一点M 满足,2131CA CB CM += 则=•MB MA ______________16。
在三棱锥中,底面ABC ，，，,则此三棱锥的外接球的表面积为______．三．解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17．（本小题满分12分)在ABC△中,360,7A c a ∠=︒=.(1)求sin C 的值；(2)若7a =，求ABC △的面积.18.（本小题12分）如图,在三棱柱中，底面，，,,点E，F分别为与AB的中点．证明：平面．求三棱锥的体积．19．（本小题满分12分）设数列{}na 、{}nb 的前n 项和分别为n S 、nT ，且)73(212n n S n +=，)1(2-=nn b T )(*N n ∈， （1）求数列{}na 、{}nb 的通项公式；(2)令n nn bac⋅=,求{}n c的前n项和n U.20. (本小题满分12分)已知函数．Ⅰ当时,求函数在点（e，f（e））处的切线方程Ⅱ若在上是单调增函数,求实数a的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数()ax x x a x f 21ln )-2++=（,（1）当2=a 时，求函数()x f 的极值； （2）当0<a 时，讨论函数()x f 的单调性; （3）若对∈∀a （-3，—2），∈21,x x [1，3］恒 |)()(|3ln 2)3ln (21x f x f a m ->-+成立，求实数m 的取值范围.22。
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期期中试题 理（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|4,R x x x A =≤∈，{}|4,x x B =≤∈Z ，则A⋂B =（ ）A. ()0,2B. []0,2C. {}0,1,2D. {}0,2【答案】C 【解析】试题分析：{}2|4,R [2,2]x x x A =≤∈=-,{}{}4,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16x x B =≤∈Z =,所以{}0,1,2A B ⋂=，故选C ．考点：集合的运算．2.若,a b 是异面直线，且a //平面α，那么b 与平面α的位置关系是（ ） A. //b α B. b 与α相交C. b α⊂D. 以上三种情况都有可能 【答案】D 【解析】若a 、b 是异面直线，且a ∥平面α，则根据空间中线面的位置关系可得：b ∥a 或者b ⊂α或者b 与α相交． 故选：D ．点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中线面之间的相互平行、相互垂直的判定定理与性质定理，熟记相关的结论3.命题“20(0,1),0x x x ∀∈-<”的否定是（ ）A. 2000(0,1),0x x x ∃∉-≥B. 2000(0,1),0x x x ∃∈-≥C. 2000(0,1),0x x x ∀∉-<D. 2000(0,1),0x x x ∀∈-≥【答案】B 【解析】分析：直接根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”，写出结果即可. 详解：“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“()200,1,0x x x ∀∈-<”的否定是()20000,1,0x x x ∃∈-≥，故选B.点睛：本题考查命题的否定，“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表达，如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”：“都是”与“不都是”等， 所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”.4.过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程是（ )A. 280x y +-=B. 280x y --=C. 280x y ++=D. 280x y -+= 【答案】A 【解析】 【分析】两直线方程联立求得交点坐标；根据垂直关系求得斜率，可写出直线点斜式方程，整理可得结果.【详解】由24050x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得两条直线交点坐标为：()1,6又所求直线与20x y -=垂直 ∴直线斜率为：2-∴所求直线为：()621y x -=--，即：280x y +-=本题正确选项：A【点睛】本题考查直线方程的求解问题，关键是能够根据垂直关系求得斜率，同时联立求得交点坐标.5.在长方体中1111ABCD A B C D -，12AB BC AA ==，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值为( )A.10 B.15C.5 D.15 【答案】B 【解析】 【分析】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1A D ，可得11//A D B C ,得即1DA B ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角，在1A BD ∆中，利用余弦定理即可求解.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1A D ，可得11//A D B C , 所以异面直线1A B 与1B C 所成的角，即为直线1A B 与直线1A D 所成的角， 即1DA B ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角，在长方体1111ABCD A B C D -中，设122AB BC AA ===， 则115,22A B A D BD ===， 在1A BD ∆中，由余弦定理得222111111cos 25255A B A D BD DA B A B A D +-∠===⋅⨯⨯，故选B. 【点睛】本题主要考查了空间中异面直线所成角的求解，其中根据异面直线所成角的定义，得到1DA B ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角，在1A BD ∆中利用余弦定理即可求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及计算能力，属于基础题.6.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）．A. 1B. 6C. 7D. 6或7【答案】B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.7.四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A.812πB.814πC. 65πD.652π【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得. 【详解】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：由图可知在长方体中的四棱锥P ABCD -完全满足题意， 故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，故外接球半径222722294R ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==， 故该球的表面积为28144S R ππ==. 故选：B.【点睛】本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球.8.设圆()22125x y ++=的圆心为C ，点1,0A 是圆内一定点，点Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为（ ）A. 224412125x y -=B. 224412125x y +=C. 224412521x y -=D. 224412521x y +=【答案】D 【解析】 【分析】由垂直平分线的性质可知AM MQ =，从而得到5MC AM +=，可知M 轨迹满足椭圆定义，可得,a c ，进而求得2b ，从而得到所求轨迹方程. 【详解】M 为AQ 垂直平分线上的一点 AM MQ ∴=5MC AM MC MQ CQ ∴+=+==M ∴点的轨迹是以,C A 为焦点的椭圆 52a ∴=，1c = 222214b ac ∴=-= M ∴的轨迹方程为224412521x y += 故选：D【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够通过垂直平分线的性质得到所求动点轨迹满足椭圆定义. 9.若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A. 12a <≤ B. 4a ≥C. 2a ≤D. 03a <≤【答案】A 【解析】 【分析】求导，得到该函数的单调区间，只需让[]1,1a a -+成为函数单调区间的子集即可. 【详解】因为()219ln 2f x x x =-，其定义域为()0,+∞，故可的()9f x x x '=-令()0f x '≤，解得(]0,3x ∈，故只需让[]1,1a a -+成为(]0,3的子集， 即10a ->且13a +≤ 解得(]1,2a ∈. 故选：A.【点睛】本题考查利用求导求函数的单调区间，属基础题.10.已知两圆2224440x y ax a +++-=和222210x y by b +-+-=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，则2211a b+的最小值为（ ）A. 3B. 1C.19D.49【答案】B 【解析】 【分析】根据公切线条数，则两圆外切，根据圆的位置关系，得到,a b 的等量关系，再根据均值不等式求最小值即可.【详解】因为两圆2224440x y ax a +++-=和222210x y by b +-+-=恰有三条公切线，故两圆外切，则圆心()2,0a -到圆心()0,b 的距离等于半径2和半径1的和， 3=，整理得2249a b +=，故2211a b +()222222221111414551999a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当2222224,49a b a b b a=+=时，即223,32a b ==时取得最小值1.故选：B.【点睛】本题考查两圆的位置关系，以及利用均值不等式求和的最小值，属综合中档题. 11.已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为A. 22136x y -=B. 22145x y -=C. 22163x y -=D.22154x y -= 【答案】B 【解析】 ∵k AB =015312++=1, ∴直线AB 的方程为y=x-3. 由于双曲线的焦点为F(3,0), ∴c=3,c 2=9.设双曲线的标准方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0),则22x a -()223x b-=1.整理,得(b 2-a 2)x 2+6a 2x-9a 2-a 2b 2=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=2226a a b -=2×(-12),∴a 2=-4a 2+4b 2,∴5a 2=4b 2. 又a 2+b 2=9, ∴a 2=4,b 2=5.∴双曲线E 的方程为24x -25y =1.故选B.12.已知函数()()ln ,02,4,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()f x m =有四个不等实根()12341234,,,x x x x x x x x <<<，时，不等式22341211kx x x x k ++≥+恒成立，则实数k 的最小值为（）A. 98B.2516C.32- D.132-【答案】C【解析】【分析】画出函数f（x）()02424lnx xf x x⎧≤⎪=⎨-⎪⎩，＜，＜＜的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x1•x2＝1，x1+x2122x x=＞2，（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，则不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，可化为：k()221234111x xx x-+≥⋅-恒成立，求出()221234111x xx x-+⋅-的最大值，可得k的范围，进而得到实数k的最小值．【详解】函数f（x）()02424lnx xf x x⎧≤⎪=⎨-⎪⎩，＜，＜＜的图象如下图所示：当方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，|lnx1|＝|lnx2|，即x1•x2＝1，x1+x2122x x=＞2，|ln（4﹣x3）|＝|ln（4﹣x4）|，即（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，则k()221234111x xx x-+≥⋅-恒成立，由()()()()()2222121212123434121111213114161644x x x x x x x xx x x x x x-+-++-+===⋅-+--+[（x1+x2）﹣4123()4x x+++-8]≤232-故k ≥2-故实数k 的最小值为22- 故选C ．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，对数函数的图象和性质，函数的最值，函数恒成立问题，综合性强，转化困难，属于难题．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分，把答案填在题中的横线上 13.已知()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______．【答案】322【解析】 【详解】()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，()()()tan tan 4tan tan 441tan tan 4παββππααββπαββ⎛⎫+-+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+++ ⎪⎝⎭213542122154-==+⨯故答案为32214.已知向量()1,2m =，()2,3n =，则m 在n 方向上的投影为__________．【解析】 【分析】根据向量的投影计算公式，代值即可求得结果.【详解】m在n方向上的投影为261313m nn⋅+==√.故答案为：13.【点睛】本题考查向量投影的计算公式，属基础题.15.双曲线22221x ya b-=(0,0)a b>>的一条渐近线与直线21x y-+=平行，则它的离心率为___________．【解析】【分析】由直线平行则斜率相等，求得,a b之间的等量关系，再求离心率即可.【详解】因为渐近线与直线210x y-+=平行，故可得2ba=，根据双曲线离心率的计算公式可得：e==【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.16.某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K棵树种植在点(),k k kP x y处，其中11x=，11y=，当2K≥时，111215551255k kk kk kx x T Tk ky y T T--⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a表示非负实数a的整数部分，例如()2.62T=，()0.20T=．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________．【答案】()4031,404【解析】【分析】根据题意，结合累加法，求得k x 与k y ，再代值计算即可. 【详解】由题意知11x =，11y =211015555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211055y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322115555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322155y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭433215555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，433255y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11215555k k k k x x T T ---⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11255k k k k y y T T ---⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故可得12121105555k k k x x x x x x k T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12121?10155k k k y y y y y y T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得155k k x k T -⎛⎫=+⎪⎝⎭，当2016k =时，2016201654034031x =+⨯=； 115k k y T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2016k =时，20161403404y =+=.故第2016棵树种植点的坐标应为()4031,404. 故答案为：()4031,404.【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及累加法求通项公式，属中档题. 三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．17.如图，在平面四边形ABCD 中，AC 与BD 为其对角线，已知1BC =，且3cos 5BCD ∠=-． （1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长； （2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长．【答案】（15（2）5． 【解析】 【分析】（1）根据余弦的倍角公式，求得BCA ∠的余弦值，再在三角形ABC 中利用余弦定理即可求得；（2）先利用内角和为180︒，求得sin BDC ∠，再在三角形BCD 中利用正弦定理即可求得. 【详解】（1）若对角线AC 平分BCD ∠，即22BCD ACB ACD ∠=∠=∠， 则23cos 2cos 15BCD ACB ∠=∠-=-，又cos 0ACB ∠>，5cos ACB ∴∠=在ABC ∆中，1BC =，2AB =，5cos ACB ∠=，由余弦定理可得 2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-⋅⋅∠，即22530AC AC -=， 解得5AC =35AC =（舍去）， 故AC 5（2）3cos 5BCD ∠=-，24sin 1cos 5BCD BCD ∴∠=-∠= 又45CBD ∠=︒，()()sin sin 18045sin 45CDB BCD BCD ∴∠=︒-∠=∠+︒-︒210cos )BCD BCD =∠+∠=， 在BCD ∆中，由正弦定理sin sin BC CDCDB CBD=∠∠，可得sin 5sin BC CBDCD CDB⋅∠==∠，即CD 的长为5．【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属综合性基础题.18.在等差数列{a n }中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1=1，公比为q ，且b 2+S 2=12， 22S q b =． （Ⅰ）求a n 与b n ； （Ⅱ）求1231111nS S S S +++⋅⋅⋅+的取值范围． 【答案】（Ⅰ）13,3n n n a n b -==；（Ⅱ）12[,)33．【解析】 【分析】（Ⅰ）利用等差数列的求和公式及等比数列的通项公式表示已知条件，然后解方程可求等比数列的公比q ，等差数列的公差d ，即可求解；（Ⅱ）利用裂项法求和，即可得到结论． 【详解】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，∵2212b S +=，22S q b =∴26126q d q d ++=⎧⎨=+⎩，解得3q =或4q =- (舍)，3d =.故13,3n n n a n b -==．（Ⅱ）()()333122n n n n n S ++==∴()122113131n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴1211121111121113223131n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∵1n ≥,∴11012n <≤+，111121n ≤-<+ ∴121213313n ⎛⎫≤-< ⎪+⎝⎭，即121111233n S S S ≤+++<.【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等. 19.已知()22sin ,cos ,(3cos ,2),()a x x b x f x a b ===⋅. (1)求()f x 的最小正周期及单调递减区间; (2)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】(1)T π=,单调递减区间为2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)见解析【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式，余弦公式和两角和的正弦公式的逆用将函数解析式化为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用正弦型函数的周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得()f x 的递减区间；（2）根据正弦函数的性质可得最大最小值. 【详解】（1）2()23sin cos 2cos f x a b x x x =⋅=+2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222,262k x k k Z πππππ+++∈，得2,63k x k k Z ππππ++∈， ∴()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 当7266x ππ+=，即2x π=时，函数()f x 取得最小值，为72sin106π+=； 当262x ππ+=，即6x π=时，函数()f x 取得最大值，为2sin132π+=.故函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为0.【点睛】本题考查了二倍角的正弦，余弦公式，考查了两角和的正弦公式的逆用，考查了三角形函数的周期，单调区间，最值，属于中档题.20.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点． （1）求证：1//B E 平面ACF ；（2）求平面1CEB 与平面ACF 所成二面角(锐角)的余弦值．【答案】（1）证明见详解；（2286. 【解析】 【分析】（1）取AC 中点为M ，通过证明FM //1B E ，进而证明线面平行；（2）取BC 中点为O ，以O 为坐标原点建立直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.【详解】（1）证明：取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，如下图所示：在ABC ∆中，因为 E 为AB 的中点，//EM BC ∴，且12EM BC =， 又F 为11B C 的中点，11//B C BC ，1B F BC ∴//，且112B F BC =， 1EM B F ∴//，且1EM B F =，∴四边形1EMFB 为平行四边形，1//B E FM ∴又MF ⊂平面ACF ，BE ⊄平面ACF ， 1//B E ∴平面ACF ，即证.（2）取BC 中点O ，连结AO ，OF ，则AO BC ⊥，OF ⊥平面ABC ， 以O 为原点，分别以OB ，AO ，OF 为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，如下图所示：则()0,3,0A -，()1,0,0B ，()1,0,0C -，13,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,2F ，()11,0,2BCE 33,2⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，CF (1,0,2)=，CA ()1,3,0=-，1CB (2,0,2)=设平面1CEB 的一个法向量m (),,x y z =，则100m CE m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则00y x z -=+=⎪⎩，令1x =．则m 1)=-，同理得平面ACF 的一个法向量为n 12⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 则286,?19m n cos m n n m ⋅==， 故平面1CEB 与平面ACF 所成二面角（锐角）的余弦值为19. 【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，且椭圆上存在一点M ，满足11214,1205MF F F M =∠=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，求1F AB ∆的内切圆的半径的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）34. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和椭圆的定义即可求出a ，再根据b 2＝a 2﹣c 2＝3，可得椭圆的方程;（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设△F1AB 的内切圆的半径为R ，表示出△F 1AB 的周长与面积，设直线l 的方程为x ＝my +1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，表示三角形面积，令t =，利用函数的单调性求解面积的最大值，然后求解△F 1AB 内切圆半径的最大值为34．【详解】（1）设2F M x =，则12F F M ∆内，由余弦定理得22214222cos1205x x ⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭，化简得166055x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得65x = 故1224,2a MF MF a =+=∴=，得2223b a c =-=所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）设()()1122,,,A x y B x y ，设1F AB ∆得内切圆半径r1F AB ∆的周长为121248AF AF BF BF a +++==所以11442F AB S a r r ∆=⨯⋅= 根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+由22431x y x my ⎧+⎪⎨⎪=+⎩得()2234690m y my ++-= ()()222636340,m m y m R ∆=++>∈由韦达定理得12122269,3434m y y y y m m --+==++ 112121212F ABS F F y y y y ∆∴=-=-234m ==+ 令t =121241,1313F AB t t S t t t∆≥∴==++令()13f t t t =+，则1t ≥时，()()2110,3f t f t t =->'单调递增，()()141,33F AB f t f S ∆≥=≤即当1,0t m ==时，1F AB S ∆的最大值为3，此时max 34r =.故当直线l 的方程为1x =时，1F AB ∆内圆半径的最大值为34.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 22.已知函数()ln 1f x x kx =-+()k R ∈． （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）证明：()1ln 2ln 3ln 4ln 34514n n n n -++++<+(n N *∈且1)n > 【答案】（1）()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数；（2）1k ；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求函数定义域，再求导，根据导数的正负，判断函数的单调性即可；（2）对参数k 进行分类讨论，求得不同情况下函数的单调性以及最大值，即可求得参数的取值范围；（3）根据（1）中的结论，构造不等式ln 112n n n -<+，进而利用数列求和，即可证明. 【详解】（1）易知()f x 的定义域为()0,∞+，又1()1f x x'=-当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<()f x ∴在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数．（2）当0k ≤时，()110f k =->，不成立，故只考虑0k >的情况 又1()f x k x'=- 当0k >时，当10x k <<时，()0f x '>；当1x k>时，()0f x '< 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,k ⎛⎫+∞⎪⎝⎭时减函数 此时max 1()ln f x f k k ⎛⎫==-⎪⎝⎭要使()0f x ≤恒成立，只要ln 0k -≤即可 解得：1k．（3）当1k =时，有()0f x ≤在()0,∞+恒成立， 且()f x 在()1,+∞上是减函数，()10f =， 即ln 1x x <-在()1,x ∈+∞上恒成立， 令2x n =，则22ln 1n n <-， 即2ln (1)(1)n n n <-+，ln 112n n n -∴<+()*,1n N n ∈> ln 2ln 3ln 4ln 1231(1)345122224n n n n n --∴++++<++++=+即：ln 2ln 3ln 4ln (1)34514n n n n -++++<+()*1n N n ∈>且成立． 【点睛】本题考查利用导数对具体函数单调性的求解，由不等式恒成立求参数的范围，以及证明不等式恒成立；本题第三问要学会善于利用题目中的结论去证明不等式.。
2021届宁夏石嘴山三中高三（上）期末数学试卷（理科）解析版 2021-2021学年宁夏石嘴山三中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个答案中有且只有一个答案是正确的，把正确选项涂在答题卡的相应位置上）．1．（5分）（2021秋?石嘴山校级期末）设全集u={0，1，2，3，4}，集合a={1，2，3}，b={2，3，4}，则a∪（?∪b）=（）a．{0，1，2，3}b．{1}c．{0，1}d．{0}2．（5分后）（2021秋?石嘴山校级期末）若复数z=i（1+i），（i就是虚数单位），则z的共轭复数就是（）a．1+ib．1ic．1+id．1i3．（5分后）（2021?长安区校级三模）某学校非政府学生出席英语测试，成绩的频率分布直方图例如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若高于60分的人数就是15人，则该班的学生人数就是（）a．45b．50c．55d．604．（5分）（2021秋?芗城区校级期末）某程序框图如图所示，若输出的s=41，则判断框内应填（）a．k＞4？b．k＞5？c．k＞6？d．k＞7？，则z=2x+y的值域范5．（5分）（2021秋?石嘴山校级期末）若实数x，y满足约束条件围是（）a．[0，6]b．[1，6]c．[1，5]d．[2，4]，2a2成等差数列，则=6．（5分后）（2021?湖北）未知等比数列{an}中，各项都就是正数，且a1，（）a．1+b．1c．3+2d．327．（5分后）（2021?海南校级演示）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积就是（）a．6b．8c．10d．12）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，8．（5分后）（2021秋?河北期末）将函数f（x）=sin（4x+再向右位移a．x=个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是直线（）b．x=c．x=d．x=9．（5分后）（2021秋?石嘴山校级期末）向例如图中边长为2的正方形中，随机利沙一粒黄豆，则黄豆落到图中阴影部分的概率为（）a．b．c．d．10．（5分）（2021?湛江二模）设α，β，γ为平面，m，n为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）a．α⊥β，α∩β=n，m⊥nb．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γc．α⊥β，β⊥γ，m⊥αd．n⊥α，n⊥β，m⊥α211．（5分）（2021?日照一模）已知抛物线y=2px（p＞0）上一点m（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线a．b．y=1的左顶点为a，若双曲线的一条渐近线与直线am平行，则实数a的值是（）c．d．212．（5分后）（2021?宁城县演示）未知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足用户f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则a．（20，32）b．（9，21）c．（8，24）d．（15，25）二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分．的值域范围就是（）13．（5分）（2021秋?石嘴山校级期末）已知向量，，若与平行，则m的值就是______．5314．（5分后）（2021秋?石嘴山校级期末）在（1+x）（2+x）的展开式中，x的系数为______（用数字答题）．15．（5分后）（2021?广东演示）未知等比数列{an}的各项均为不能等同于1的正数，数列{bn}满足用户bn=lnan，b3=18，b6=12，则数列{bn}前n项和的最大值为______．16．（5分后）（2021秋?石嘴山校级期末）得出以下四个命题：①函数f（x）=lnx2+x在区间（1，e）上存有零点；②在△abc中，未知③“a=1”就是“函数=4，=12，则||=4；在定义域上就是奇函数”的充份不必要条件；④若命题p是：对任意的x∈r，都有sinx＜1，则?p为：存在x∈r，使得sinx＞1．其中所有真命题的序号是______．三、答疑题：本大题共8小题，共70分后.求解应允写下文字说明、证明过程或编程语言步骤.17．（12分）（2021?罗湖区模拟）在△abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，且cosa=．①求的值．②若，求△abc的面积s的最大值．18．（12分）（2021?西宁校级模拟）为了普及环保知识增强环保意识，某校从理工类专业甲班抽取60人，从文史类乙班抽取50人参加环保知识测试（1）根据题目条件顺利完成下面2×2列联表中，并据此推论你与否存有99%的把握住指出环保科学知识与专业有关杰出非杰出总计甲班30乙班60总计（2）为出席上级举行的环保科学知识竞赛，学校举行预选赛，预选赛成绩单满分100分后，杰出的同学得60分后以上通过初选，非杰出的同学得80分后以上通过初选，若每位同学得60分后以上的概率为，得80分后以上的概率为，现已言甲班存有3人出席预选赛，其中1人为优秀学生，若随机变量x则表示甲班通过初选的人数，求x的分布列及期望e（x）．附：k=2，n=a+b+c+d20.005p（k＞k0）0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.6357.879k019．（12分后）（2021?广东）例如图，四边形abcd为正方形．pd⊥平面abcd，∠dpc=30°，af⊥pc 于点f，fe∥cd，交pd于点e．（1）证明：cf⊥平面adf；（2）求二面角dafe的余弦值．20．（12分后）（2021?池州一模）未知椭圆c：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点o为圆心，椭圆c的长半轴为半径的圆与直线2xy+6=0相切．（1）求椭圆c的标准方程；（2）未知点a，b为动直线y=k（x2）（k≠0）与椭圆c的两个交点，问：在x轴上与否存有点e，并使2+?为定值？若存有，试求出点e的座标和定值，若不存有，表明理由．221．（12分后）（2021?贵州演示）未知函数f（x）=ax+xxlnx（a＞0）．2（1）若函数满足用户f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx+2x恒设立，谋实数b的值域范围；（2）若函数f（x）在定义域上就是单调函数，谋实数a的值域范围；（3）当＜x＜y＜1时，先行比较与的大小．22．（10分后）（2021?长春一模）Suippes题：几何证明选讲如图，abcd是边长为a的正方形，以d为圆心，da为半径的圆弧与以bc为直径的半圆o交于点f，延长cf交ab于e．（1）澄清：e就是ab的中点；（2）谋线段bf的长．23．（2021秋?石嘴山校级期末）以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点a的极坐标为（2，极坐标方程为ρ=cos（θ）．），直线l过点a且与极轴成角为，圆c的（ⅰ）写下直线l参数方程，并把圆c的方程化成直角坐标方程；（ⅱ）设立直线l 与曲线圆c处设b、c两点，谋|ab|?|ac|的值．24．（2021秋?石嘴山校级期末）设立函数（1）谋a；的最小值为a．（2）未知两个正数m，n满足用户m+n=a，谋22的最小值．。
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期第一次月考试题理一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则等于（）A. B. C. D.2.已知命题p：对，，成立，则在上为增函数；命题q：，，则下列命题为真命题的是A. B. C. D.3.点P从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为A. B. C. D.4.已知向量若与平行，则实数x的值是A. B. 0 C. 1 D. 25.在中，，，且，则A. 1B.C.D.6.在中，，则此三角形为A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形7.中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，若，，则的面积为A. 6B.C.D.8.已知，则A. B. C. D.9. 函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）． A. 2B.C.D. 110. 下列关于函数的说法正确的是A. 在区间上单调递增B. 最小正周期是C. 图象关于点成中心对称D. 图象关于直线成轴对称11. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是A. B. C.D. 12. 已知函数满足，且当时，，函数，(){,2log 0,2x 21g <+≥-=x x x x ）（函数在区间上的零点的个数为A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 设，则______．14. 已知正项数列的前n 项和为，且满足，则数列的通项公式为___________．15.由直线，曲线以及x轴所围成的图形的面积为______．16.已知向量，，且，则在上的投影是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知数列满足：，且，，成等差数列；证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；求数列的前n项和．18.设函数，．解不等式；若关于x的不等式在R上恒成立，求实数a的取值范围．19.如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西方向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西方向，以40海里小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得B ，D 间的距离为21海里． （1）求的值；（2）试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？20. 己知函数x x x x x f cos sin 32cos sin )(22--=求函数的最小正周期及单调增区间；若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,4x ππ，求函数的值域．21. 已知正项等比数列满足，，数列满足．求数列，的通项公式；令求数列的前n 项和．22. 设函数． 求曲线在点处的切线方程；若函数有两个极值点，求实数a 的取值范围；当时，恒成立，求实数m的取值范围．答案一. 选择题D A A D D B B D C C D C二. 填空题13 .14. 15 .16.17.【答案】解：数列满足：，且，，成等差数列；所以，整理得，故，所以常数，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．所以，整理得．由得：，所以．18.【答案】解：由题意可得，当时，，；当时，，；当时，，．综上所述，原不等式的解集为；若关于x的不等式在R上恒成立，则，，当时，上式取得等号．，即，．19.【答案】解：Ⅰ由已知可得海里，中，根据余弦定理求得，；Ⅱ由已知可得，．中，由正弦定理可得：海里，分钟．即海警船再向前航行分钟即可到达岛A．20.【答案】解：，，令，即，单调增区间为．，则，，，所以的值域为．21.【答案】解：正项等比数列的公比为，，由，，可得，解得舍，可得，则．，，，两式相减可得，化简可得．22.【答案】解：，在点处的切线斜率，则切线方程为，有两个极值点．即有两个零点，即有两个不等实根，，令，在上，在上单调递增．在上单调递减，时，．即．可化为．设，又．在上单调递减，在上恒成立，即．又在上单调递增，在上单调递减．在处取得最大值．．．。
2020第一学期高三9月考数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知集合{}21U x x =-<<，{}21xxA x e-=<，则UA 等于（ ）A. {}01x x << B. {}20x x -<< C. {}01x x ≤< D. {}20x x -<≤【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合A ，再根据补集的概念，即可得出结果. 【详解】因为{}{}{}221001x xA x ex x x x x -=<=-<=<<，又{}21U x x =-<<， 则{}20UA x x =-<≤.故选：D.【点睛】本题主要考查求集合的补集，涉及不等式的解法，属于基础题型. 2. 已知命题:p 对1x ∀，()212x R x x ∈≠，()()12120f x f x x x ->-成立，则()f x 在()0,∞+上为增函数；命题0:q x R ∃∈，200210x x -+<，则下列命题为真命题的是（ ）A. p q ∧B. p q ∨C. ()p q ⌝∨D.()()p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的性质分别判断命题,p q 的真假再判断各选项的真假即可. 【详解】命题:p 当12x x <时,因为()()12120f x f x x x ->-故()()120f x f x -<；当12x x >时,因为()()12120f x f x x x ->-故()()120f x f x ->；故()f x 随x 的增大而增大.故命题p 为真.命题q ,因为()220002110x x x --+=≥.故命题q 为假命题.故p q ∨为真命题. 故选：B【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与函数的性质运用,属于基础题. 3. 点P 从(1,0)点出发，沿单位圆221x y +=逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点坐标为（ ）A. 1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B. 1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ C. 1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D.221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义直接求点Q 的坐标. 【详解】由题意可知1r =，根据三角函数的定义可知1cos32x r π==，sin 3y r π==所以点Q 的坐标是1,22⎛ ⎝⎭. 故选：A【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题型.4. 已知向量(1,1),(2,),a b x ==若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是（ ） A. -2 B. 0C. 1D. 2【答案】D 【解析】【详解】因为(1,1),(2,)a b x ==，所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=-由于a b +与42b a -平行，得6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =.5. 在ABC 中，BD DC =，AP PD =，且BP AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A. 1 B.12C. -2D. 12-【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，化简得3144BP AB AC =-+，再结合BP AB AC λμ=+，求得,λμ的值，即可求解.【详解】由题意在ABC 中，BD DC =，AP PD =， 根据向量的线性运算法则，可得：11112224BP BA BD BA BC =+=+ ()11312444AB AC AB AB AC =-+-=-+，又由BP AB AC λμ=+，所以31,44λμ=-=，所以311442λμ+=-+=-.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理得应用，其中解答中熟记平面向量的加法、减法的运算法则，结合平面向量的基本定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.6. 在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 为（） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到tan tan A B =，由此得到A B =，进而判断出正确选项. 【详解】由正弦定理得sin cos sin cos A B B A =，所以tan tan A B =，所以A B =，故三角形为等腰三角形，故选A.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.7.ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（ ）A. 6B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果. 【详解】由条件可知：22226c a b ab =+-+，①由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，② 所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，则ABC 的面积为11sin 62222S ab C ==⨯⨯=. 故选：B【点睛】本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型. 8. 已知2sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.B. C.19D. 19-【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简已知可得3322cos()πα-=,进而利用诱导公式，二倍角的余弦函 数公式化简所求即可计算得解. 【详解】22sin cos cos 62633ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴554sin 2cos 2cos(2)6263a a ππππα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222212cos 121339πα⎛=⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⋅⎭.故选：D.【点睛】本题考查诱导公式、倍角公式的综合运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意观察角的特点，再进行配凑.9. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A. 2B. 3C.3 D. 1【答案】C 【解析】 【分析】根据题中条件，先得出周期，求出ω；再由最大值点求出ϕ，进而可得出结果. 【详解】由题意可得，2A =，332113441264T =⋅=-=ππππω，则2ω=；所以()2sin(2)f x x ϕ=+，又26f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈， 因此()26k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，所以6π=ϕ，故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因此2sin 2cos 34266f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C.【点睛】本题主要考查由三角函数的图形求解析式，考查求三角函数值，属于常考题型. 10. 下列关于函数πtan 23y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的说法正确的是（ ）A. 在区间ππ,312⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 B. 最小正周期是π C. 图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 D. 图象关于直线π12x =-成轴对称 【答案】C 【解析】 【分析】ππtan 2tan 233y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后运算正切函数的知识可逐一判断.【详解】函数ππtan 2tan 233y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭无单调递增区间和对称轴，A 、D 错误 其最小正周期是2π，故B 错误πtan 23y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在512x π=处无意义，故其图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，故C 正确 故选：C【点睛】本题考查的是正切型函数的图象及其性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.11. 若函数()sin f x x ω=(0)>ω在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 2,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】先由题意，求出函数的单调递减区间，再由题中条件，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】由题意，令()32222k x k k Z +≤≤+∈πππωπ，则()23222k k x k Z +≤≤+∈ππππωωωω， 即函数()sin f x x ω=(0)>ω的单调递减区间为()232,22k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ππππωωωω， 因为函数()sin f x x ω=(0)>ω在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以2233222223k k T πππωωπππωωπππω⎧+≤⎪⎪⎪≤+⎨⎪⎪=>-⎪⎩()k Z ∈，解得3623406k k ωωω⎧≥+⎪⎪≤+⎨⎪<<⎪⎩()k Z ∈，所以0k =，332ω≤≤. 故选：D.【点睛】本题主要考查由正弦型函数的单调性求参数，熟记正弦函数单调性即可，属于常考题型.12. 已知函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且当[1,1]x ∈-时，()||f x x =，函数()()21log 2,02,0xx x g x x -⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩ ，则函数()()()h x f x g x =-在区间[2,5]-上的零点的个数为（ ） A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】 【分析】由(2)()f x f x +=，可得()f x 的周期为2，结合()(),f x g x 的解析式，可画出其在[2,5]-上的图像，由图像可得，()(),f x g x 在[2,0]-上有2个交点，在[]2,5上有3个交点，在区间（1,2）需证明总有122x x ->-，即可得到()(),f x g x 在（1,2）只有一个交点，即可得答案.【详解】因为(2)()f x f x +=，所以()f x 为周期函数，且周期为2，结合[1,1]x ∈-时，()||f x x =可得()f x 在[2,5]-上的图象（如图所示）， 又()g x 在[2,5]-上的图象如图所示，则()(),f x g x 在[2,0]-上的图象有2个交点，在[]2,5上有3个交点， 下面证明：当()1,2x ∈时，总有122x x ->-. 令()122xs x x -=+-，则()12ln 21x s x -'=-+，因为()1,2x ∈，故()11,0x -∈-，故11122x--<-<-，又0ln 21<<， 所以112ln 0x x --<-<，所以()0s x '>，所以()s x 在()1,2为增函数，所以()1,2x ∈时，()()10s x s >=即122x x ->-总成立. 又当1x =时，()()1f x g x ==，()(),f x g x 在()0,2上的图象有1个交点 所以()()0f x g x -=在[2,5]-上有6个不同的解， 即()h x 在[2,5]-上有6个不同的零点. 故选：C .【点睛】本题考查函数的零点与方程、指对数图像的应用、函数的周期性、利用导数判断函数的单调性等知识，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，考查数形结合的思想，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设22(1)(1)i z i +=-，则z =_______．【解析】 【分析】先由复数的运算将复数化简整理，再根据复数模的计算公式，即可得出结果. 【详解】()2212(1)2(1)11(1)2i ii i i z i i i i i ++++=====-+----，因此z ==.【点睛】本题主要考查求复数的模，涉及复数的运算，属于基础题型.14. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足222n n n S a a =+-，则数列的通项公式为n a =________．【答案】1n + 【解析】 【分析】根据题中条件，先求出12a =，再判断数列{}n a 是以1为公差的等差数列，进而可求出通项公式.【详解】当1n =时，由222n n n S a a =+-得211122S a a =+-，即21120a a --=，解得12a =或11a =-，因为{}n a 是正项数列，所以12a =；当2n ≥时，由222n n n S a a =+-得()211222n n n S a a n --=+-≥，则22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-， 整理得2211n n n n a a a a --+=-，所以11n n a a --=，因此数列{}n a 是以1为公差的等差数列，则()211n a n n =+-=+. 故答案为：1n +.【点睛】本题主要考查由递推公式求数列的通项，考查求等差数列的通项，属于常考题型.15. 由直线2y x=-，曲线y x=以及x轴所围成的图形的面积为_______．【答案】103【解析】【分析】先根据题意画出所围图形，求出直线2y x=-，曲线y x=的交点坐标，再由微积分基本定理，即可求出结果.【详解】做出草图如下，解方程组2y xy x⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得到交点为()4,2，直线2y x=-与x轴的交点为()2,0，因此，由y x=2y x=-，以及x轴所求图形面积为：)42433222020222110223323xdx x x dx x x x x⎛⎫++=+-+=⎪⎝⎭⎰.故答案为：103.【点睛】本题主要考查由定积分求围成图形的面积，熟记微积分基本定理即可，属于常考题型.16. 已知向量(1,3a=-，()3,b y=，且23a b a⎛⎫-⊥⎪⎪⎝⎭，则b在a上的投影是_______．3【解析】【分析】根据题中条件，得到23a b ⋅=，再由向量的投影的定义，结合向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为(1,3a =-，()3,b y =，23a b a ⎛⎫-⊥ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2303a b a ⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，即2230a a b -⋅=，则40b ⋅=，所以23a b ⋅=， 因此b 在a 上的投影是23cos ,2ab b a b a ⋅<>===【点睛】本题主要考查数量积的几何意义，考查向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.三、解答题（本大题共6小题，共72分）17. 已知数列{}n a 满足：11a =，且1-，n a ，1n a +成等差数列； （1）证明：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}1n a n ++的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析，21nn a =-；（2）21422n n n n S ++-=+. 【解析】 【分析】（1）直接利用等比数列的定义和构造新数列法求出数列的通项公式. （2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和.【详解】解：（1）数列{}n a 满足：11a =，且1-，n a ，1n a +成等差数列； 所以121n n a a ++=-，整理得121n n a a +=+，故1121n n a a ++=+（），所以1121n n a a ++=+（常数）， 所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.所以1122n n a -+=⨯， 整理得21nn a =-.（2）由（1）得：12112n nn n b a n n n =++=-++=+，所以()12222(12)nn S n =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+21422n n n ++-=+. 【点睛】本题考查等差数列性质、等比数列通项公式、分组求和法，考查运算求解能力. 18. 设函数()|2||1|,f x x x x R =-++∈ （1）解不等式()3f x x ≤+.（2）若关于x 的不等式2()2f x a a ≥-在R 上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）[]0,4；（2）[]1,3-. 【解析】 【分析】（1）分别讨论，去掉绝对值，分别求出每个不等式的解集，再求并集即可.（2）首先将2()2f x a a ≥-在R 上恒成立，等价于2min 2()a a f x -≤，再利用绝对值三角不等式求出min ()f x ，解不等式即可.【详解】（1）当1x <-时，213x x x ---≤+，解得x φ∈， 当12x -≤≤时，213x x x -++≤+，解得02x ≤≤， 当2x >时，213x x x -++≤+，24x <≤， 综上所述：04x ≤≤.（2）2()2f x a a ≥-在R 上恒成立，等价于2min 2()a a f x -≤即可.因为()|2||1||2||1||21|3f x x x x x x x =-++=-++≥-++=， 所以min ()3f x =，所以223a a -≤，解得13a -≤≤.因此，实数a的取值范围是[]1,3-.【点睛】本题第一问考查绝对值不等式的解法，第二问考查绝对值三角不等式，属于中档题. 19. 如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(Ⅰ)求sin BDC ∠的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？ 【答案】（Ⅰ）437； （Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A . 【解析】 【分析】(Ⅰ) 在BDC 中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(Ⅱ)首先利用和差公式计算sin ABD ∠，ABD △中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间.【详解】(Ⅰ)由已知可得140202CD =⨯=， BDC 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯，∴43sin BDC ∠=． (Ⅱ)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒，∴116027)(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=--=⎪⎝⎭． ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABDAD BAD BAD⨯∠⨯∠===∠∠，∴156022.540t =⨯=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ．【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20. 己知函数22()sin cos cos ()f x x x x x x =--∈R （1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； （2）若ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域．【答案】（1）2,,63k k k Z πππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，；（2）⎡-⎣ 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式对原式进行化简，进而求出最小正周期和单调增区间. （2）由x 范围，求出26x π+的范围，利用正弦函数的性质求出值域即可.【详解】（1）22()sin cos cos cos 222sin(2)6π=--=--=-+f x x x x x x x x22T ππ== 令3222,262k x k k Z πππππ+<+<+∈ 即2,63k x k k Z ππππ+<<+∈单调增区间为2(,),63ππππ++∈k k k Z （2）ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则π2π2,336π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦xsin(2)61π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x ，()f x ⎡∈-⎣所以()f x的值域为⎡-⎣【点睛】本题考查了三角函数的倍角公式和辅助角公式、正弦型函数的最小正周期、单调区间和值域等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.21. 已知正项等比数列{}n a 满足12a =，2432a a a =-，数列{}n b 满足212log n n b a =+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令n n n c a b =⋅求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）2nn a =，12n b n =+（2）12(21)2n n S n +=+-⋅【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质得出公比为q ，从而得出数列{}n a 的通项公式，由对数的运算性质得出{}n b 的通项公式；（2）求出(21)2nn c n =+⋅，利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）正项等比数列{}n a 的公比为q ，0q >由12a =，2432a a a =-，可得32422q q q =-，解得2q（1-舍）可得2nn a =，则2212log 12log 212n n n b a n =+=+=+ （2）(21)2nn n n c a b n =⋅=+⋅23325272(21)2n n S n =⋅+⋅+⋅+++⋅ 23412325272(21)2n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅两式相减可得()23162222(21)2n n n S n +-=++++-+⋅()1141262(21)212n n n -+-=+⋅-+⋅-化简可得12(21)2n n S n +=+-⋅【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式以及利用错位相减法求和，属于中档题. 22. 设函数()ln f x x x =（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数2()()F x f x ax =-有两个极值点，求实数a 的取值范围； （3）当120x x >>时，()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1y x =-；（2）10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（3）1m . 【解析】 【分析】（1）将1x =代入()f x 与()'f x ，求出切点与斜率，再利用点斜式写出切线方程即可.（2）()F x 有两个极值点等价于()F x '有两个零点，参变分离，求出新函数的单调性，借助图像，即可得出a 的取值范围. （3）原不等式等价于()()22221122m m f x x f x x ->-.即2()()2mQ x f x x =-在 在(0,)+∞上单调递减，利用()0Q x '在(0,)+∞上恒成立，参变分离，借助第（2）问的结论，即可解出m 的取值范围.【详解】（1）由题意知(1)0f =，()ln 1f x x '=+ 所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率(1)1k f '==， 则切线方程为1y x =-. （2）定义域：(0,+)∞.()()2ln 12F x f x ax x ax ''=-=+-.()F x 有两个极值点.即()F x '有两个零点，即ln 120x ax +-=有两个不等实根，1ln 2xa x+=， 令1ln ()x g x x +=，即函数2y a =与函数1ln ()xg x x +=有两个不同的交点 又因为2ln ()xg x x-'=，所以在（0，1）上()0,()'>g x g x 在（0，1）上单调递增，在(1,)+∞上()0,()g x g x '<单调递减，max ()(1)1g x g ==. 如图所示：当12a >时，()2g x a <，函数2y a =与函数1ln ()x g x x +=无交点；当12a =时，max ()2g x a =，函数2y a =与函数1ln ()x g x x +=仅有一个交点；当0a ≤时，因为当1x e>时，()0>g x ，而()g x 在（0，1）上单调递增，所以函数2y a =与函数1ln ()xg x x+=至多在（0，1）上有一个交点； 当102a <<时，()g x 在（0，1）上单调递增，1(1)12,()02g a g a e=>=<，所以函数2y a =与函数1ln ()xg x x+=在（0，1）上仅有一个交点；()g x 在(1,)+∞上单调递减，1121122112222(1)12,()21(1)2aa a a g a g e a ea++++=>=<<+.所以函数2y a =与函数1ln ()x g x x +=在(1,)+∞上仅有一个交点；即函数2y a =与函数1ln ()xg x x+=有两个不同的交点因此10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （3）()()()2212122m x x f x f x ->-可化为()()22221122m m f x x f x x ->-. 设2()()2m Q x f x x =-，又120x x >>. ()Q x ∴在(0,)+∞上单调递减，()1ln 0Q x x mx '∴=+-在(0,)+∞上恒成立，即1ln xmx+. 又1ln ()xh x x+=在（0，1）上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. ()h x ∴在1x =处取得最大值.(1)1h =.1m ∴.【点睛】本题考查导函数的应用，属于中档题，需熟练掌握导数的求导规则、基础函数的导数、导数的几何意义；零点问题一般可参变分离后转化为两函数的交点问题来解；解不等式时常利用参变分离将其转化为最值问题来求解.。
