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第3讲质数与合数阿拉伯数字无疑是人类历史上最伟大的发明之一，其本身蕴含的规律更是数学学科中最璀璨的明珠！质数和合数的分类产生了哥德巴赫对于自然数a 和b （0b ≠），若a b ÷没有余数，则a 是b 的倍数，b 是a 的约数。
特殊地，0是任意非零自然数的倍数。
质数：除了1和本身，没有其他约数的自然数叫质数。
合数：除了1和本身，还有其他约数的自然数叫合数。
特殊地，1既不是质数也不是合数。
最小的合数是4，最小的质数是2，且2是唯一的偶质数。
质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就编写说明知识要点【例1】对7个不同质数求和，和为58，则最大的质数是多少【分析】七个质数若全部是奇数，则和一定是奇数，而58是偶数，则七个质数中必定含有唯一的偶质数2，所以最小的质数是2，从2开始，最小的七个连续质数是2，3，5，7，11，13，17，和为58，所以题中的七个质数只能是从2开始的七个连续质数，最大为17。
【温馨提示】2是唯一的偶质数，是偶数中的“叛徒”，所以质数也经常与奇偶性相结合，主要考察“2”.【拓展】已知a、b、c、d都是质数，且130959179a b c d+=+=+=+，求a、b、c、d的值。
【分析】959179+=+=+，所以b、c、d应该都是奇数，所以a是唯一的偶质数2，依此可求得：b c db=，41d=.c=，53a=，372【例2】从小到大写出5个质数，使后面数都比前面的数大12。
这样的数有几组【分析】考虑到质数中除了2以外其余都是奇数，因此这5个质数中不可能有2；又质数中除了2和5，其余质数的个位数字只能是1、3、7、9。
若这5个质数中最小的数其个位数字为1，则比它大24的数个位即为5，不可能是质数；若最小的数其个位数字为3，则比它大12的数个位即为5，也不可能为质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是7和9，因此最小的数只能是5，这5个数依次是5，17，29，41，53。
第三讲 质数与合数什么是质数？每一个数都能写成若干个数相乘的形式，考虑到任何一个数都能写成若干个1乘以它本身的形式，所以不考虑1作为乘数的情况：623=⨯，824222=⨯=⨯⨯，122634223=⨯=⨯=⨯⨯……这些数都能拆成若干个不为1的数相乘的形式，我们把这样的数称为合数．而像2，3，7……这些不能拆成若干个不为1的数相乘形式的数，我们称之为质数．如果说得形象一点，质数就是“拆不开”的数，合数就是拆得开的数．严格说来，质数就是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数．注意，1既不是质数也不是合数．我们先来看一个关于质数的小问题，提高大家对质数的熟悉程度：请写出所有颠倒个位十位之后还是质数的两位质数．_____________________________________________（填写在横线上）相信对100以内的质数比较熟悉的同学，做这个题目会很轻松．质数是我们后面学习的基础，因此同学们一定要牢牢记住常见的质数．请同学们在下面的横线上写出100以内的所有质数：同学们还可以这样做：从大到小．．．．写出100以内的质数．如果你能一个不少地写出来，说明你对100以内的质数确实掌握得很牢固了^_^．当然，同学们写出的这些质数只是质数大军中的冰山一角．在100以上还有无穷多个质数，比如接着100的就有四个质数：101，103，107，109．【分析】1~56以内的质数有哪些？把它们列出来，然后依次找出对应的汉字，这句话就出来了．下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋； 杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多； 九天九霄志凌云，九七共庆手相握； 聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．自然数N 是一个两位数，它是一个质数，而且N 的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？【分析】对于第1问，依次枚举即可，可知这两个不同的质数一定都是奇数．那么后两问中的质数可以都是奇数吗？如果三个互不相同的质数相加，和为52，这三个质数可能是多少？通过前面的学习，我们对质数已经有了基本了解．下面我们来学习这一讲中最重要的内容：分解质因数．分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式．如：30235=⨯⨯，1002255=⨯⨯⨯，28022257=⨯⨯⨯⨯．同学们请注意：分解式应该把质因数按从小到大的顺序写好，每个数分解质因数的形式是唯一的．分解质因数的方法一般是短除法，如下图所示，我们将30分解质因数，在计算的过程（1）如果两个不同的质数相加等于26，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出． （2）如果两个不同的质数相加等于25，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出． （3）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出．中要善用各种特殊数的整除特性．100在分解质因数时也可以写成：2210025=⨯；280在分解质因数时也可以写成3280257=⨯⨯．这种写法更简洁更方便，其中位于质因数右上角，表示质因数个数的数叫作指数，如：这里280的分解式中5和7的指数都是1，写的时候可以省略．如何确定一个大数是不是质数呢？我们要判断197是不是质数，难道需要一一验算197以内的所有质数吗？同学们不用担心，数学家们早就为我们准备了简单的方法，只需要试很少的几个就能判断．例如我们要判断197是否为质数，只需要验算15以内的质数就足够了！因为1515225⨯=比197大．类似的，如果我们要判断2011是不是质数，只需要验算45以内的质数，因为45452025⨯=比2011大．有了这个方法，同学们以后判断一个大数是不是质数就非常方便了．「分析」将一个数分解质因数，可以从最小的质数开始，一个一个去试商，写成短除的形式．请把下面的数分解质因数： （1）373；（2）12660．请把下面的数分解质因数：（1）360；（2）539；（3）999；（4）10101．2210025=⨯指数3280257=⨯⨯ 指数2 30 315 5能整除30相除后得在整数问题中，有一类特殊的问题，专求乘积末尾连续0的个数．解决这类问题的方法同样是质因数分解．下面我们来看一个例题．【分析】乘积的末尾要出现一个0，只需要乘数中凑出一个10，那么能凑出来几个10，末尾就有多少个连续的0．注意到1025=⨯，我们只需要计算这个算式中含有的质因数2和5的个数就可以了．算式12330⨯⨯⨯⨯的计算结果的末尾有多少个连续的0？分解质因数是学习数论问题时非常重要的方法，大家一定要能熟练的将一个数分解质因数，这应该作为一项基本的能力来培养．下面我们来看看如何利用分解质因数来解决实际的问题．三个连续自然数的乘积等于39270，那么这三个数的和等于多少？算式123100⨯⨯⨯⨯计算结果的末尾有多少个连续的0？「分析」39270是三个自然数的乘积，于是先将39270分解质因数，再对这些质因数进行适当的组合，凑出题目中的三个连续自然数．由于连续自然数相互之间比较接近，所以凑的时候也必须尽量接近．360与一个三位数的乘积是完全平方数，这个三位数最小是多少？【分析】完全平方数是两个相同数的乘积，那么分解后它的每个质因数的次数都是偶数．而32360235=⨯⨯，它不是一个平方数．它最小再乘上多少，结果就是平方数了？通过上面例题的讲解，相信大家能体会到分解质因数的好处．它就像手术刀一样，把整数解剖开来，让我们把整数的组成结构看得一清二楚．很多看似复杂的问题，如果从分解质因数的角度来看，就会变得非常简单．课堂内外质数有无穷个吗？在正整数里走得越远，我们就发现质数变得越来越稀少．有人可能会问：质数出现频率越来越小，它们会不会在某处终止呢？会不会从某个数开始之后就没有质数了呢？早在公元前300年左右，欧几里得就第一次证明了质数有无穷多个．他用的是如下的反证法：设n代表最后一个质数，那么从2到n的所有质数的积是2357n⨯⨯⨯⨯⨯．将这个积加1称为k，因为2，3，5，7，11，…，n都不能整除k，所以k必然含有一个更大的质因数！这与n代表最后一个质数相矛盾！作业1.（1）如果两个不同的质数相加等于39，那么这两个质数的乘积是多少？（2）三个互不相同的质数相加，和为30，这三个质数的乘积是多少？2.自然数49，87，101，103，121中，哪些是质数？3.请把下面的数分解质因数：（1）240；（2）1080．4.三个连续自然数的乘积为336，则这三个数的和是多少？⨯⨯⨯⨯的计算结果的末尾有多少个连续的0？5.算式12335第三讲质数与合数例题1.答案：少年朋友亲切联欢一九九七相聚中山详解：1~56中的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53共16个．例题2.答案：（1）69、133；（2）46；（3）434详解：（1）26可以拆成3与23的和，或者7与19的和；（2）25只能拆成2和23的和；（3）三个数的和是偶数，可以是三个偶数，或者一偶两奇．考虑到质数中只有2是偶数，可知一定是一偶两奇，且偶数是2．另外两个奇数是7和31．例题3.答案：（1）32360235=⨯；=⨯；（3）3999337=⨯⨯；（2）2539711（4）10101371337=⨯⨯⨯．例题4.答案：24详解：末尾0的个数与算式结果所含质因数2和5的个数有关，结果中质因数的个数又与乘数中质因数的个数有关．因为2的个数要比5的个数多，所以0的个数等于5的个数．乘数中5的倍数有20个，25的倍数有4个，所以质因数5的个数有20424+=个．末尾有24个连续的0．例题5.答案：102详解：3927023571117=⨯⨯⨯⨯⨯．考虑其中最大的质因数17，三个自然数中一定有17的倍数．如果是17，那么一定有16或18．这不可能．如果是34，另外两个数是33和35，正好满足．333435102++=．例题6.答案：160详解：完全平方数的每个质因数的次数一定是偶数．而32=⨯⨯，360235至少要再乘上2510⨯=才是一个平方数．题目要求是三位数，即是一个平方数．可知空格上也要填入一个平方数，最⨯⨯36010____三位数小要填16．要乘的三位数最小是160．练习1. 答案：23、37、53、73简答：一位数中的质数只有2、3、5、7．而N 的个位数字只能是3和7，分类枚举即可． 练习2. 答案：2、3、47或者2、7、43或者2、13、37或者2、19、31简答：三个质数一定是一偶两奇，偶数是2． 练习3. 答案：（1）质数；（2）212660235211=⨯⨯⨯． 练习4. 答案：7简答：1~30中5的倍数有6个，25的倍数有1个，所以其中有7个5．计算结果的末尾有7个连续的0．作业1. 答案：（1）74；（2）230或374简答：（1）39237=+，乘积为74．（2）30252321117=++=++，乘积为230或374．作业2. 答案：101，103．作业3. 答案：（1）；（2）．作业4. 答案：21简答：，和为21． 作业5. 答案：8个简答：看含有因子5的个数，是5的倍数的数有7个，是25的倍数的数有1个，共8个．4336237678=⨯⨯=⨯⨯ 331080235=⨯⨯ 4240235=⨯⨯。
合数和质数的练习册及答案### 合数和质数的练习册及答案#### 练习题一：判断质数1. 判断下列数字是否为质数：- 2- 3- 4- 5- 9- 13- 16- 17- 23#### 练习题二：找出合数2. 找出100以内的所有合数。
#### 练习题三：质数序列3. 列出100以内的质数序列。
#### 练习题四：合数分解4. 将下列合数分解为质因数：- 12- 18- 24- 36#### 练习题五：质数与合数的个数5. 计算100以内质数和合数的个数。
#### 练习题六：质数的应用6. 解释质数在密码学中的应用。
#### 答案解析#### 练习题一：判断质数1. 质数是指只能被1和自身整除的大于1的自然数。
- 2（质数）- 3（质数）- 4（合数）- 5（质数）- 9（合数）- 13（质数）- 16（合数）- 17（质数）- 23（质数）#### 练习题二：找出合数2. 100以内的合数有：- 4, 6, 8, 9, 10, ..., 98, 99#### 练习题三：质数序列3. 100以内的质数序列：- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ..., 97 #### 练习题四：合数分解4. 合数分解为质因数：- 12 = 2 × 2 × 3- 18 = 2 × 3 × 3- 24 = 2 × 2 × 2 × 3- 36 = 2 × 2 × 3 × 3#### 练习题五：质数与合数的个数5. 100以内质数有25个，合数有74个。
#### 练习题六：质数的应用6. 质数在密码学中的应用主要是基于其难以因式分解的特性。
例如，在RSA加密算法中，公钥和私钥的生成依赖于两个大质数的乘积。
通过这些练习题，学生可以加深对质数和合数概念的理解，并学会如何应用这些数学概念解决实际问题。
质数合数单元测试题目及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个数是质数？A. 4B. 9C. 15D. 172. 100以内最大的质数是什么？A. 97B. 99C. 100D. 1013. 一个数如果只有1和它本身两个因数，那么这个数是什么？A. 合数B. 质数C. 偶数D. 奇数4. 以下哪个数是合数？A. 2B. 3C. 5D. 45. 质数的定义是什么？A. 只有1和它本身两个因数的数B. 能被2整除的数C. 能被3整除的数D. 能被4整除的数6. 一个数的因数除了1和它本身外，还有其他因数，那么这个数是什么？A. 质数B. 合数C. 偶数D. 奇数7. 以下哪个数不是质数？A. 29B. 31C. 33D. 378. 一个数的因数个数是奇数个，那么这个数是什么？A. 质数B. 合数C. 偶数D. 奇数9. 质数和合数的区别是什么？A. 质数是偶数，合数是奇数B. 质数只有两个因数，合数有多个因数C. 质数是奇数，合数是偶数D. 质数和合数都是偶数10. 以下哪个数是最小的合数？A. 0B. 1C. 2D. 4二、填空题（每题2分，共20分）11. 质数是指只有________和它本身两个因数的自然数。
12. 合数是指除了1和它本身外，还有________的自然数。
13. 100以内的质数有________、________、________等。
14. 一个数的因数个数是偶数个，那么这个数至少是________。
15. 2是唯一的________，因为它是唯一的偶数质数。
16. 质数和合数都是________的子集。
17. 一个数如果只有1和它本身两个因数，那么它一定是________。
18. 一个数如果除了1和它本身外，还有其他因数，那么它一定是________。
19. 质数和合数的区别在于它们的因数个数，质数有________个因数，合数有________个因数。
20. 100以内最大的质数是________。
合数、质数1. 写出下面每个数的所有因数。
参考答案：试一试。
参考答案：2. 试一试。
参考答案：8=2×2×2；30=2×3×5。
课堂活动2. 把上面没有划去的数由小到大写下来，看看它们是什么数。
参考答案：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47；都是质数。
练习三1. 下面哪些数有因数2？哪些数有因数3？哪些数有因数5？解题思路：利用2，3，5的倍数特征判断。
参考答案：10、16、24、30、48有因数2；24、30、48、75、81有因数3；10、30、75有因数5。
2. 下面哪些数是质数？把它们圈起来。
剩下的数都是合数吗？参考答案：将3、17、83圈起来；剩下的数不都是合数，1不是合数，因为1既不是质数也不是合数。
3. 数学医院。
参考答案：第1小题错，5不是11的因数。
因为11＝2×5＋1，不是质数相乘的形式；第2小题错，例如：合数中的9不是偶数。
第3小题错，例如：质数中的2就不是奇数，而是偶数。
4. 从3张卡片0、4、5中选两张组成两位数。
（1）哪些数是2的倍数？（2）哪些数是5的倍数？参考答案：（1）40、50、54是2的倍数；（2）40、50、45是5的倍数。
5. 谁是小狗的主人？（连线）解题思路：先把每个人身上数分解质因数，再连线。
参考答案：6. 把下列各数写成质数相乘的形式。
参考答案：40=2×2×2×5；52=2×2×13；90=2×3×3×5；96=2×2×2×2×2×3。
7. 填表。
解题思路：把这2个数分解质因数，注意1和这个数本身也是这个数的因数。
参考答案：观察发现：除了1和这个数本身外，这个数的其它因数的乘积等于这个数。
8. 在1~100的自然数中，找出既是3的倍数也是5的倍数的所有偶数和所有奇数，说说你是怎么找的？解题思路：既是3的倍数也是5的倍数，一定也是15的倍数，先找出在100以内是15的倍数的两位数；再筛选奇偶数。
《质数与合数（一）》配套练习题
一、解答题
1、有两个质数，它们的和与差也都是质数，那么这两个质数分别是多少？
2、在一个两位质数两个数字交换位置后还是一个两位质数，所有这种质数
的和是多少？
3、从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12．
4、用1、2、3、4、
5、
6、
7、
8、9这9个数字组成若干质数，要求每个数字都要用到并且只用一次，那么最多能组成多少个质数？最多的组成方式
共有多少种？
5、用0～9各一个组成4个一位质数与两个三位质数，这六个质数之和最
大是多少？
6、三个质数a，b，c，满足a＋bc＝2007，那么a＋b＋c的最大值是多少？
1。
五年级数学下册《质数和合数》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：________________一、判断题1．任何质数加上1都能成为合数。
( )2．把一根16cm长的铁丝围成一个长是a厘米，宽是b厘米的长方形，若a和b都是质数，则长方形的面积是215cm。
( )3．在全部自然数里，不是质数就是偶数。
( )4．所有的质数一定是奇数，所有的合数都是偶数。
( )5．最小的质数是1，最小的合数是4。
( )二、填空题6．一个两位数，个位上是最小的合数，十位上是3的倍数，这个数最大是( )。
7．6的倍数中，最小倍数是( )，100以内3的最大倍数是( )；28的因数中最大的一位数是( )；20以内最大的质数是( )。
8．20以内所有质数是( )，其中最大的质数比最小的质数多( )。
9．176是一个( )分数，它的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再添上( )个这样的分数单位就是最小的合数。
10．下面的游戏规则公平吗？在后面的括号里填“公平”或“不公平”。
(1)淘气和弟弟玩五子棋，他们设计了一个摸牌方案决定谁先走。
将下面4张扑克牌背面朝上，任意摸一张牌，摸到质数弟弟先走，摸到合数淘气先走。
( )(2)足球比赛中，裁判用抛硬币的方法决定谁先开球。
( )(3)同学们玩跳皮筋，常用“石头、剪刀、布”的方法来决定谁先跳。
( )(4)下象棋时，先掷骰子，朝上的数字比3大，红方先走；比3小，黑方先走。
( )11．( )既不是质数也不是合数，( )是偶数但不是合数。
三、解答题12．三个不同的质数之和是50，写出这三个质数。
13．用数字1，2，3，组成一位数、两位数和三位数，其中哪些是质数，哪些是合数？四、选择题14．两个不同质数的积—定是（）。
A．合数B．质数C．奇数D．偶数15．下面（）组的两个数互质．A．15和16B．14和21C．39和1316．要使3□15能被3整除，□里最小能填（）。
第3讲质数与合数阿拉伯数字无疑是人类历史上最伟大的发明之一，其本身蕴含的规律更是数学学科中最璀璨的明珠！质数和合数的分类产生了哥德巴赫猜想等世界著名的命题，学习质数和合数，窥探数字的奥秘！对于自然数a 和b （0b ≠），若a b ÷没有余数，则a 是b 的倍数，b 是a 的约数。
特殊地，0是任意非零自然数的倍数。
质数：除了1和本身，没有其他约数的自然数叫质数。
合数：除了1和本身，还有其他约数的自然数叫合数。
特殊地，1既不是质数也不是合数。
最小的合数是4，最小的质数是2，且2是唯一的偶质数。
质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
编写说明知识要点【例1】对7个不同质数求和，和为58，则最大的质数是多少？【分析】七个质数若全部是奇数，则和一定是奇数，而58是偶数，则七个质数中必定含有唯一的偶质数2，所以最小的质数是2，从2开始，最小的七个连续质数是2，3，5，7，11，13，17，和为58，所以题中的七个质数只能是从2开始的七个连续质数，最大为17。
【温馨提示】2是唯一的偶质数，是偶数中的“叛徒”，所以质数也经常与奇偶性相结合，主要考察“2”.【拓展】已知a、b、c、d都是质数，且130959179+=+=+=+，求a、b、c、d的值。
a b c d【分析】959179+=+=+，所以b、c、d应该都是奇数，所以a是唯一的偶质数2，依此可求得：b c dc=，53b=，41d=.a=，372【例2】从小到大写出5个质数，使后面数都比前面的数大12。
这样的数有几组？【分析】考虑到质数中除了2以外其余都是奇数，因此这5个质数中不可能有2；又质数中除了2和5，其余质数的个位数字只能是1、3、7、9。
若这5个质数中最小的数其个位数字为1，则比它大24的数个位即为5，不可能是质数；若最小的数其个位数字为3，则比它大12的数个位即为5，也不可能为质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是7和9，因此最小的数只能是5，这5个数依次是5，17，29，41，53。
这样的数只有一组。
说明：除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9。
这是此题的突破口。
老师可以只推算个位数字就可以否定1、3、7、9，然后剩下个位数字是2和5，就很容易找到5。
【拓展】如果某整数同时具备如下三条性质：①这个数与1的差是质数，②这个数除以2所得的商也是质数，③这个数除以9所得的余数是5，那么我们称这个整数为幸运数。
求出所有的两位幸运数。
【分析】法一：由条件②可知，所求的数是偶数，因此可设所求的幸运数是质数p的两倍，即此幸运数为2p，则p的所有可能取值为5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。
于是2p-1的所有可能取值为9，13，21，25，33，37，45，57，61，73，81，85，93。
根据题目条件①，2p-1应为质数，因此2p-1只可能为13，37，61或73。
再由条件③知2p-1除以9所得的余数应为4，于是2p-1只可能是13，从而这个幸运数只能是2p=14。
法二：从条件③入手，符合条件的偶数有：14，32，50，68，86，再由条件②排除掉32，50，68，最后由条件①排除掉86，所以这个幸运数是14。
【例3】四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是多少？【分析】分解质因数43=⨯⨯，考虑其中最大的质因数7，说明这四个自然数中必定有一个是7的3024237倍数。
若为7，因3024不含有质因数5，那么这四个自然数可能是6、7、8、9或7、8、9、10（10仍含有5，不行），经检验6、7、8、9恰符合。
【温馨提示】根据乘积求因数，是分解质因数的一个重要运用.【拓展】2004×7×20的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？【分析】首先分解质因数，2004×7×20=2×2×2×2×3×5×7×167，其中最大的质因数是167，所以所要求的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数。
165=3×5×11，166=2×83，168=2×2×2×3×7，169=13×13，所以165×166×167，166×167×168，167×168×169都没有4个2，不满足题意。
说明167不可行。
尝试334=167×2，335=5×67，336=2×2×2×2×3×7，334×335×336=2×2×2×2×2×3×5×7×67×167，包括了2004×7×20中的所有质因数，所以这组符合题意，以此三数之和最小为1005。
【拓展】 甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数。
【分析】 将6384分解质因数，6384＝22223719⨯⨯⨯⨯⨯⨯，则其中必有一个数是19或19的倍数；经试算，19－5＝14＝2×7，19＋5＝24＝2×2×2×3，恰好14×19×24＝6384，所以这三个数即为14，19，24。
一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析。
如果这道题里19不符合要求，下一个该考虑38，再下一个该考虑57，依此类推。
【例4】 一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米?【分析】 方法一：39270＝2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，所以33、34、35为满足题意的长、宽、高．则长方体的表面积为：2×（长×宽＋宽×高＋高×长）＝2×（33×34＋34×35＋35×33） ＝6934(平方厘米)．方法二：39270＝2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如果17作为长、宽或高显然不满足．当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与34接近的数32～36中，只有35含有7，于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度．而39270的质因数中只剩下了3和1l ，所以这个长方体的大小为33×34×35．长方体的表面积为： 2×（3927033+3927034+3927035）＝2×（1190＋1155＋1122）＝2×3467＝6934(平方厘米)．【拓展】 在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?【分析】 如上图，设长、宽、高依次为a 、b 、c ，有正面和上面的和为209ac ab +=．()209ac ab a c b +=⨯+=，而2091119=⨯．当11a =时，19c b +=，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则217c b +=+;当19a =时，11c b +=，则29c b +=+，b 为9不是质数，所以不满足题意．所以它们的乘积为11217374⨯⨯=．【例5】 4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油．每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8，9，10，11，12，13．已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油? 【分析】 由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是4瓶油(连瓶)重量之和的3倍，即4瓶油(连瓶)共重(8+9+10+11+12+13)÷3=21(千克)而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于2是唯一的偶质数，只有两种可能：(1)油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重21千克，最重的两瓶内的油为13-12×2=12(千克)．(2)油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重194千克，最重的两瓶内的油为13-194×2=27(千克)，这与油重之和2千克矛盾．因此最重的两瓶内共有12千克油．【例6】从20以内的质数中选出6个，然后把这6个数分别写在正方体木块的6个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等。
将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？【分析】小于20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，其中5+19=7+17=11+13。
每个木块掷在地上后向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是5+5+5=15，最大是19+19+19=57，经试验，三个数的和可以是从15到57的所有奇数，所有可能的不同值共有22个。
【拓展】有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种，那么所有这样的自然数中最小的一个是多少？【分析】在所有的质数中，从小到大第13个质数是41，因此在13种分解方法中，质数最大的那一组至少是41445+=。
按题目要求分拆45有如下12种方法：4534254073811341332=+=+=+=+=+ =+=+=+=+=+=+=+17281926232229163114378414按题目要求分拆46有如下7种方法：=+=+=+=+=+=+=+462447391135133319273115379按题目要求分拆47有如下14种方法：=+=+=+=+=+=+=+472453444435426417401037=+=+=+=+=+=+=+因此满足题意的最小自然数是47。
1136133417301631182919282324【练习1】4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？【分析】将360分解质因数得360=2×2×2×3×3×5，它是6个质因数的乘积。
因为题述的四个数中只有一个是合数，所有该合数必至少为6－3=3个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数，所以这4个乘数分别为3，3，5，8，所组成的最大四位数是8533。
