八年级数学简单事件的概率

《用列举法求概率》知识全解课标要求1．使学生会用列表法、画树形图计算简单事件的概率．2．通过列表、画树形图求概率的过程培养学生思维的条理性，提高学生分析问题、解决问题的能力．3．通过自主探究、合作交流激发学生的学习兴趣，感受数学的美，及数学应用的广泛性．知识结构（1）理解P （A ）=nm (在一次试验中有n 种可能的结果，其中A 包含m 种)的意义. （2）应用P （A ）=n m 解决一些实际问题． （3）会用列表的方法求概率：包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形，分别求出试验出现的所有可能结果.（4）体验数学方法的多样性灵活性，提高解题能力.内容解析列举法求概率是建立在等可能事件的前提下，在没有排列组合相关知识的基础上，通过列举所有等可能结果来求概率的一种方法．由于学生已经初步了解随机事件和概率的有关概念，并能用直接列举和列表法求简单事件的概率，在学生已有的基础上，本节课再寻求一种更一般的列举方法求概率--画树形图求概率．在列举过程中培养学生思维的条理性，并把思考过程有条理、直观、简捷地呈现出来，使得列举结果不重不漏．本节课由“探究学习--交流展示--剖析例题--巩固新知”有序地展开新课，并向学生提供充分参与数学活动的机会，使学生在活动中感受列举方法由无序到有序，呈现方式由无序到有序，解决问题由无序到有序，逻辑思维由无序到有序的过程．数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，由于学生在小学或其它学科中接触过“树形图”，因此本节课在引入树形图这种新的列举方法时，以学生的生活实际为背景提出问题，在自主探究解决问题的过程中，自然地学习使用这种新的列举方法．使学习过程成为发现与创造的过程，合作交流的过程充分展示学生解题策略的多样性，挖掘每个学生的学习潜能，使学生人人有成就感，并享受学习带来的快乐．以现实生活为背景提出问题，激发学生的学习兴趣和主动参与意识．面对这些问题时，鼓励学生主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，使学生感受数学和生活的密切联系，在问题解决的过程中培养兴趣、追求简捷、重视直观、学会抽象． 重点难点重点：应用P （A ）=nm 解决一些实际问题； 难点：掌握分类的数学思想方法，掌握有关数学技能（列表法与树形图）.教法导引首先让学生通过具体的实验操作获得一定的活动经验，一方面要鼓励学生亲自动手，集体合作，这主要是针对一些比较简单的实验，另一方面也鼓励学生采用模拟方法进行实验.其次注意联系实际问题，可以和学生一起挖掘身边的素材进行教学，使学生在解决实际问题的过程中，体会随机的思想，培养概率思维.适当改编书上的例题，让背景更简单些，有利于学生把更多的精力放在树形图的画法和概率的计算上，让绝大多数学生在解决这个问题中，掌握画树形图求概率的方法，增强学习的自信心．明确随机事件的过程，培养学生的随机意识，总结不同的数的方法供不同层次的学生选择使用．使学生体会一次不同顺序的试验步骤，不影响随机事件发生的概率．学法建议积极参与，动手实验，有时还要靠集体的力量快速地获得实验结果.在解决实际问题的过程中，体会随机的思想，培养概率思维，感受到概率与实际生活的密切联系.在学习过程中应及时归纳方法．（1）总结画树形图求概率的方法，并和其它列举法求概率的方法进行比较．（2）画树形图求概率体现数形结合及分类的思想．（3）通过把实际问题抽象为数学问题，在有序的列举过程中培养学生的抽象能力及思维的条理性．（4）以生活中等可能事件为背景,自拟计算概率的题目，并解答．培养归纳总结的能力．落实知识和技能，体会数学与生活的密切联系．。

八年级概率知识点总结概率是数学中一门重要的分支，它是研究随机事件可能发生的程度的学科。

在八年级的数学学习中，概率是一个重要的知识点。

下面我就来总结一下我在八年级学习中所掌握的概率知识点。

一、事件与样本空间在概率学中，事件是指随机试验中可能发生的结果，样本空间是指随机试验中所有可能出现的结果。

例如，掷一枚硬币的结果可以为正面或反面，样本空间为{正面，反面}。

二、概率的定义与计算概率是指某一事件发生的可能性大小。

概率的计算公式为：概率=事件发生的次数/样本空间中事件总数。

例如，掷一次骰子，得到一个偶数的概率为3/6=1/2。

三、互斥事件与排列组合互斥事件指两个事件不可能同时发生，例如掷骰子得到偶数和得到奇数就是互斥事件。

排列组合是指在若干个元素中选择若干个的方式，例如从ABCDE中选出2个数的排列组合为：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE。

四、独立事件与条件概率独立事件指两个事件之间不会相互影响，例如掷骰子得到1点和掷骰子得到2点就是独立事件。

条件概率是指在已知某一事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。

例如，已知盒子中有4个红球和3个蓝球，从盒子中随机取出一个球，已知取出的球是红球，那么再次从盒子中取出红球的概率为3/6=1/2。

五、期望值与方差期望值是指在一次随机试验中，每个可能结果的概率乘以其对应的值之和。

例如，从1至6中随机取出一个数，其期望值为：(1×1+2×1+3×1+4×1+5×1+6×1)/6=3.5。

方差是指在一次随机试验中，每个可能结果与期望值之差的平方乘以其对应概率之和。

例如，从1至6中随机取出一个数，其方差为：[(1-3.5)²+(2-3.5)²+(3-3.5)²+(4-3.5)²+(5-3.5)²+(6-3.5)²]/6=35/12。

初中数学知识点总结：简单事件的概率 知识点总结【一】可能性：1. 必然事件：有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；2.不可能事件：有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；3.确定事件：必然事件和不可能事件都是确定的；4.不确定事件：有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。

5.一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。

．【二】概率：1.概率的意义：表示一个事件发生的可能性大小的这个数叫做该事件的概率。

2.必然事件发生的概率为1，记作P〔必然事件〕=1；不可能事件发生的概率为0，记作P〔不可能事件〕=0；如果A为不确定事件，那么0＜P〔A〕＜1。

3.一步试验事件发生的概率的计算公式是P＝k/n，n为该事件所有等可能出现的结果数，k为事件包含的结果数。

两步试验事件发生的概率的发生的概率的计算方法有两种，一种是列表法，另一种是画树状图，利用这两种方法计算两步实验时，应用树状图或列表将简单的两步试验所有可能的情况表示出来，从而计算随机事件的概率。

常见考法〔1〕判断哪些事件是必然事件，哪些是不可能事件；〔2〕直接求某个事件的概率。

误区提醒对一个不确定事件所有等可能出现的结果数做了重复计算或漏算。

【典型例题】〔2019福建宁德〕以下事件是必然事件的是〔〕．A.随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为6B.抛一枚硬币，正面朝上C.3个人分成两组，一定有2个人分在一组D.打开电视，正在播放动画片【解析】必然事件指的是一定发生的事件，3个人分成两组，一定有2个人分在一组这是一定的，所以此题选C。

初二数学事件概率计算方法详解概率在数学中扮演着重要的角色，它涉及到我们生活中的各种事件。

在初二数学学习中，我们需要学会如何计算事件的概率。

本文将详细介绍初二数学事件概率计算的方法。

一、事件和样本空间在开始探讨概率计算方法之前，我们需要了解一些基础概念。

事件是指可能发生或不发生的事情，而样本空间则包含了所有可能结果。

在计算概率时，我们需要将事件与样本空间联系起来。

例如，一个投掷硬币的事件。

样本空间是{"正面", "反面"}，事件可以是“硬币正面朝上”。

我们感兴趣的是，这个事件在样本空间中的发生概率。

二、计算概率的方法接下来，我们将介绍几种常用的初二数学中事件概率计算的方法。

1. 频率法频率法是一种基于实验结果的概率计算方法。

通过实际进行一系列实验，记录事件发生的次数，然后计算事件发生的频率。

频率可以通过事件发生的次数除以总实验次数得出。

例如，我们想要计算投掷一枚硬币出现正面的概率。

我们进行100次实验，记录正面出现的次数为60次。

那么事件“硬币正面朝上”的概率为60/100=0.6。

2. 等可能性原理等可能性原理是指如果样本空间中的每个事件都有相同的可能性发生，那么事件的概率可以通过计算事件包含的有利结果数量除以样本空间中的总结果数量得出。

例如，我们想要计算投掷一枚均匀硬币出现正面的概率。

样本空间是{"正面", "反面"}，有利结果是{"正面"}。

那么事件“硬币正面朝上”的概率为1/2=0.5。

3. 极限法极限法是一种基于大量实验结果的概率计算方法。

通过进行大量实验，记录事件发生的次数，并将事件发生次数除以总实验次数，可以得到事件的近似概率。

例如，我们想要计算投掷一枚硬币出现正面的概率。

我们进行1000次实验，记录正面出现的次数为550次。

那么事件“硬币正面朝上”的概率近似为550/1000=0.55。

八年级概率的知识点总结概率是数学中的一个重要分支，它描述的是某种事件发生的可能性大小。

在中学数学中，概率是一个非常重要的知识点，是初步建立数学思维的基础。

作为八年级学习内容之一，概率究竟包括哪些知识点呢？首先，概率的基本概念是需要掌握的。

概率指的是某个事件发生的可能性大小，通常用一个介于0到1之间的数字来表示。

其中，0表示不可能发生，1表示一定会发生，而介于0和1之间的数字则表示发生的可能性大小。

其次，乘法原理也是概率的重要内容。

乘法原理指的是，如果某个事件可以分为多步完成，那么每一步的发生都与其他步骤无关，且每一步的可能性是已知的，则整个事件的概率可以由各个步骤概率的乘积得出。

比如，从扑克牌中抽出一张黑桃，然后从剩下的牌中再抽一张牌，求出抽出的两张牌都是黑桃的概率，就可以利用乘法原理来计算。

除了乘法原理，加法原理也是概率中常用的计算方法之一。

加法原理指的是，如果某个事件可以分为几种可能性，那么这些可能性的概率之和就是整个事件的概率。

比如，一枚硬币正面向上的概率是50%，而两枚硬币正面向上的概率是多少呢？可以将这个事件分为两种可能性：两枚硬币分别正面向上、两枚硬币分别反面向上。

由于每个事件的概率都是50%，因此这两种可能性的概率之和就是100%。

接下来，条件概率也是概率中的重要内容。

条件概率指的是，某个事件在已知另一个事件发生的条件下的概率大小。

比如，从两个盒子中各取一枚球，一个盒子有三个白球和两个黑球，另一个盒子有两个白球和三个黑球。

如果已知第一个盒子取出的球是白色，那么从第二个盒子中取出白球的概率是多少？这时就可以利用条件概率来计算。

最后，全概率公式也是概率中常用的计算方法之一。

全概率公式指的是，如果某个事件可以有多个不同的发生方式，每个发生方式发生的概率不同，并且这些发生方式毫无关联，那么这个事件的概率可以由各个发生方式概率的加权平均值得出。

比如，有两个装有颜色不同的球的盒子，已知第一个盒子中有80%的红球和20%的白球，第二个盒子中则相反，20%的红球和80%的白球。

简单事件的概率（5种题型）与测试【知识梳理】一．可能性的大小随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：（1）理论计算又分为如下两种情况：第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．（2）实验估算又分为如下两种情况：第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．二．概率的意义（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．（3）概率取值范围：0≤p≤1．（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．三．概率公式（1）随机事件A的概率P（A）＝．（2）P（必然事件）＝1．（3）P（不可能事件）＝0．四．游戏公平性（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．（2）概率＝．五．利用频率估计概率（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．【考点剖析】一．可能性的大小（共2小题）1．（2022秋•武义县期末）按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张标注“主持人”和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教育”主题班会．下列说法中正确的是（）A．小王的可能性最大B．小李的可能性最大C．小马的可能性最大D．三人的可能性一样大【分析】根据概率公式求出抽到“主持人”的概率，然后进行比较，即可得出答案．【解答】解：∵抽到“主持人”的概率都是，∴三人的可能性一样大．故选：D．【点评】此题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．2．（2023•宁波模拟）袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能是（）A．1B．3C．5D．10【分析】摸到红球的可能性最大，即白球的个数比红球的少．【解答】解：袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能大于8．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D ．【点评】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．二．概率的意义（共2小题）3．（2023•舟山三模）如图，某天气预报软件显示“舟山市定海区明天的降水概率为85%”，对这条信息的下列说法中，正确的是（ ）A ．定海区明天下雨的可能性较大B ．定海区明天下雨的可能性较小C ．定海区明天将有85%的时间下雨D ．定海区明天将有85%的地区下雨【分析】根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答．【解答】解：“舟山市定海区明天的降水概率为85%”表示“舟山市区明天下雨的可能性较大”． 故选：A ．【点评】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．4．（2022•宁波模拟）一枚正方体骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，若连续抛掷四次，朝上一面的点数都为6，则第五次抛掷朝上一面的点数为6的概率为 ．【解答】解：一枚正方体骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，若连续抛掷四次，朝上一面的点数都为6，则第五次抛掷朝上一面的点数为6的概率为：，故答案为：．【点评】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．三．概率公式（共9小题）5．（2023春•乐清市月考）一枚质地均匀的骰子六面分别标有1到6的一个自然数，任意投掷一次，向上一面的数字是偶数的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【分析】一枚质地均匀的骰子六面分别标有1到6的一个自然数，任意投掷一次共有6种等可能结果，其中向上一面的数字是偶数的有3种结果，再根据概率公式求解即可．【解答】解：一枚质地均匀的骰子六面分别标有1到6的一个自然数，任意投掷一次共有6种等可能结果，其中向上一面的数字是偶数的有3种结果，所以向上一面的数字是偶数的概率为＝，故选：B．【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．6．（2023•鹿城区校级三模）在一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中2个白球、3个黄球和4个红球．从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵袋子中共有9个小球，其中黄球有3个，∴摸出一个球是黄球的概率是．故选：B．【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率（A）＝．7．（2023•杭州）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝．【分析】根据红球的概率公式，列出方程求解即可．【解答】解：根据题意，＝，解得n＝9，经检验n＝9是方程的解．∴n＝9．故答案为：9．【点评】本题考查概率公式，根据公式列出方程求解则可．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8．（2023•南湖区二模）一个不透明的袋子里装有5个红球和3个黑球，它们除了颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．【分析】从袋中任意摸出一个球共有8种等可能结果，其中是红球的有5种结果，再根据概率公式求解即可．【解答】解：从袋中任意摸出一个球共有8种等可能结果，其中是红球的有5种结果，所以从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，故答案为：．【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．9．（2023•义乌市模拟）一个布袋里装有5个黑球、4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是．【分析】共有9个球，其中黑球5个，即可求出任意摸出1球是黑球的概率．【解答】解：袋子中共有9个球，其中黑球有5个，所以从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是，故答案为：．【点评】本题考查概率公式，理解概率的定义和计算方法是解决问题的关键．10．（2023•衢州二模）一枚均匀的立方体骰子（六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6），抛掷1次，则朝上一面的点数大于4的概率是．【分析】抛掷一枚均匀的立方体骰子1次共有6种等可能结果，其中朝上一面的点数大于4的有2种结果，再根据概率公式求解即可．【解答】解：抛掷一枚均匀的立方体骰子1次共有6种等可能结果，其中朝上一面的点数大于4的有2种结果，所以朝上一面的点数大于4的概率为＝，故答案为：．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．11．（2023•西湖区校级二模）一个不透明的袋子里面装着3个白球和4个黑球，它们除颜色以外，其余全部相同，从袋子里面摸出一个黑球的概率等于．【分析】直接利用概率公式计算可得．【解答】解：∵袋子中球的总个数为3+4＝7（个），其中黑球有4个，∴摸出黑球的概率是，故答案为：．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．12．（2023•义乌市校级模拟）上海某高校青年志愿者协会对报名参加2010年上海世博会志愿者选拔活动的学生进行了一次与世博会知识有关的测试，他们对测试的成绩作了适当的处理，将成绩分成三个等级：一般，良好，优秀，并将统计结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题：（1）请将两幅统计图补充完整；（2）一共有名学生参加了这次测试，如果青年志愿者协会决定让成绩为“优秀”的学生参加下一轮的测试，那么有人将参加下轮测试；（3）该校的小亮也参加了这次测试，并且获得了参加下一轮测试的资格．若学校最终只能从参加下一轮测试的人中推荐50人成为上海世博会志愿者，则小亮被选中的概率是多少？【分析】（1）测试一般的有100人，所占百分比为20%，则可求出参加测试的总人数，故优秀人数可求，测试良好所占百分比为1﹣20%﹣50%；（2）测试一般的有100人，所占百分比为20%，则可求出参加测试的总人数，用总人数×成绩为“优秀”的学生所占百分比即可；（3）用全校学生数×测试成绩为优秀的人数所占百分比，再根据概率公式，即可求出答案．【解答】解：（1）100÷20%＝500（名），∴优秀人数为500×50%＝250（人），良好所事百分比为1﹣20%﹣50%＝30%；补全图形，如图所示：（2）100÷20%＝500（名），500×50%＝250（人）；故答案为：500，250；（3）因为该校学生测试成绩为优秀的人数为500×50%＝250人，又因为参加下一轮测试中推荐50人参加志愿者活动，所以小亮被选中的概率是＝．【点评】本题考查的是条形统计图，扇形统计图和概率公式，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．13．（2023•慈溪市模拟）从甲、乙两个企业随机抽取部分职工，对某个月月收入情况进行调查，并把调查结果分别制成扇形统计图和条形统计图．（1）在扇形统计图中，“6；（2）在乙企业抽取的部分职工中，随机选择一名职工，求该职工月收入超过5千元的概率；（3）若要比较甲、乙两家企业抽取的职工的平均工资，小明提出自己的看法：虽然不知道甲企业抽取职工的人数，但是可以根据加权平均数计算甲企业抽取的职工的平均工资，因此可以比较；小明的说法正确吗？若正确，请比较甲企业抽取的职工的平均工资与乙企业抽取的职工的平均工资的多少；若不正确，请说明理由．【分析】（1）用360°乘以“6千元”所占的的百分比即可；（2）利用概率公式计算即可；（3）分别根据加权平均数和算术平均数的计算方法求出甲企业和乙企业的平均工资，然后可作出判断．【解答】解：（1）360°×（1−10%−10%−20%−20%）＝144°，故答案为：144°；（2）由条形图可得：乙企业共抽取10人，其中月收入超过5千元的有3人，∴该职工月收入超过5千元的概率为：；（3）小明的说法正确，设甲企业的调查人数为m，∵“6千元”所占的百分比为：1−10%−10%−20%−20%＝40%，∴甲企业的平均工资为：×（20%m×5+10%m×4+10%m×8+20%m×7+40%m×6）＝6（千元），乙企业的平均工资为：＝6（千元），∴甲企业的平均工资与乙企业的平均工资相等．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，概率公式，求加权平均数和算术平均数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．四．游戏公平性（共3小题）14．（2022秋•西湖区校级月考）小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个材质均匀的转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到4的倍数，小亮去参加活动；转到3的倍数，小芳去参加活动；转到其它号码则重新转动转盘，（1）转盘转到4的倍数的概率是多少？（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；（2）利用概率公式计算出两人获胜的概率即可判断．【解答】解：（1）∵共有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9种等可能的结果，其中4的倍数有2个，∴P（转到4的倍数）＝；（2）游戏不公平，∴小亮去参加活动的概率为，小芳去参加活动的概率为：＝，∵≠，∴游戏不公平．【点评】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．15．（2022秋•萧山区月考）有一盒子中装有6个乒乓球，除颜色外形状和大小完全一样，其中3个黑色乒乓球，2个白色乒乓球，1个红色乒乓球．王海同学从盒子中任意摸出一乒乓球．（1）你认为王海同学摸出的球，最有可能是颜色；（2则陈星获胜．请问这个游戏对双方公平吗？为什么？【分析】（1）因为黑色的乒乓球数量最多，所以最有可能是黑色；（2）公平，因为黑色球的数量和白色乒乓球以及红色乒乓球的数量一样多．【解答】解：（1）因为黑色的乒乓球数量最多，所以最有可能是黑色．故答案为：黑；（2）公平，理由如下：因为P（摸到黑球）＝＝，P（摸到其他球）＝，又∵＝，∴这个游戏对双方公平．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．16．（2023春•鄞州区校级月考）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着20颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．（1）如图1，小南先踩中一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）．接着，小语选择了右下角的一个方格，出现了数字1（包含数字1的黑框区域记为B，A与B外围区域记为C）．二人约定：在C区域内的小方格中任选一个小方格，踩中雷则小南胜，否则小语胜，试问这个游戏公平吗？请通过计算说明．（2）如图2，在D，E，F三个黑框区域中共藏有10颗地雷（空白区域无地雷），则选择D，E，F三个区域踩到雷的概率分别是．【分析】（1）求出小南胜的概率和小语胜的概率，再比较即可；（2）分别求出D，E，F三个黑框区域中共藏的地雷颗数，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）这个游戏不公平，理由如下：∵在C区域的（9×9﹣9﹣4）＝68（个）方块中随机埋藏着（20﹣2﹣1）＝17（颗）地雷，C区域中有（68﹣17）＝51（个）方块中没有地雷，∴小南胜的概率为＝，小语胜的概率为＝，∵＜，∴这个游戏不公平；（2）∵围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷，空白区域无地雷，∴D区域中有2个地雷，∴选择D区域踩到雷的概率为1；∵围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷，空白区域无地雷，∴E区域中有2个地雷，∴选择E区域踩到雷的概率为；∵在D，E，F三个黑框区域中共藏有10颗地雷（空白区域无地雷），∴F区域中有：10﹣2﹣2＝6（颗）地雷，∴选择F区域踩到雷的概率为＝；故答案为：1，，．【点评】本题考查了游戏公平性以及概率公式等知识，概率相等游戏就公平，否则就不公平；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．五．利用频率估计概率（共6小题）17．（2022秋•嵊州市期末）在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为（）A．7B．3C．10D．6【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【解答】解：由题意可得：，解得：m＝10．故可以推算出m约为10．故选：C．【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握“利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．18．（2022秋•宁波期末）利用六张编号为1，2，3，4，5，6的扑克牌进行频率估计概率的试验中，同学小张统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）A．抽中的扑克牌编号是3的概率B．抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率C．抽中的扑克牌编号大于3的概率D．抽中的扑克牌编号是偶数的概率【分析】计算出各个选项中事件的概率，根据概率和统计图进行对比即可．【解答】解：A、抽中的扑克牌编号是3的概率为，不符合试验的结果；B、抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率，基本符合试验的结果；C、抽中的扑克牌编号大于3的概率为，不符合试验的结果；D、抽中的扑克牌编号是偶数的概率，不符合试验的结果．故选：B．【点评】本题考查了频率估计概率，理解当试验的次数较多时，频率稳定在某一固定值附近，这个固定值即为概率是解题的关键．19．（2022秋•桐庐县期中）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区200名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（）A．0.42B．0.21C．0.79D．与m，n的取值有关【分析】先计算出样本中身高不低于180cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．【解答】解：样本中身高不低于180cm的频率＝＝0.21，所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于180cm的概率是0.21．故选：B．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．20．（2023•温州模拟）一个密闭不透明的口袋中有质地均匀、大小相同的白球若干个，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小华往口袋中放入10个红球（红球与白球除颜色不同外，其它都一样），将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有63次摸到红球．估计这个口袋中白球的个数约为个．【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为0.63，然后根据概率公式计算这个口袋中红球的数量．【解答】解：设袋子中白球有x个，根据题意，得：＝，解得x≈6，经检验x＝6是分式方程的解，所以袋子中白球的个数约为6个，故答案为：6．【点评】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．21．（2022秋•杭州期末）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：（1）估计任抽一件衬衣是合格品的概率（结果精确到0.01）．（2）估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件．【分析】（1）根据大量重复实验下，频率稳定的数值即可估计任抽一件衬衣是合格品的概率；（2）用总数量×（1﹣合格的概率）列式计算即可．【解答】解：（1）由表可知，估计任抽一件衬衣是合格品的概率为0.95；（2）次品的件数约为2000×（1﹣0.95）＝100（件）．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．22．（2023春•沭阳县月考）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，九（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将15个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：（1）a＝．（2）请估计：当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近0.80（精确到0.01）；请推测：摸到红球的概率是（精确到0.1）．（3）求口袋中红球的数量．【分析】（1）根据频率＝频数÷样本总数分别求得a的值即可；（2）从表中的统计数据可知，摸到红球的频率稳定在0.8左右；（3）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可．【解答】解：（1）a＝1200÷1500＝0.8；故答案为：0.8；（2）当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近0.80，0.8；故答案为：0.80，0.8；（3）设口袋中红球的数量为x个，0.8 （x+15）＝x，解得：x＝60．答：口袋中红球的数量为60个．【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．正确记忆概率＝所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1是解题关键．【过关检测】一、单选题【答案】D【分析】直接利用概率公式计算可得．【详解】搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为12123355=++，故选：D．【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．2．下列事件是随机事件的是（）A．抛出的篮球会下落B．没有水分，种子发芽C．购买一张彩票会中奖D．自然状态下，水会往低处流【答案】C【分析】根据随机事件的定义判断即可．【详解】解：A．抛出的篮球会下落，是必然事件；B．没有水分，种子发芽，是不可能事件；C．购买一张彩票会中奖，可能中奖也可能不中奖，是随机事件；D．自然状态下，水会往低处流，是必然事件；故选：C．【点睛】本题考查了事件发生的可能性的大小：必然事件是一定会发生的事件；不可能事件是一定不会发生的事件；随机事件是可能发生也可能不发生的事件．3．某娱乐设施每次能够容纳4人一组进场游玩，甲、乙、丙、丁排队等候，甲前面有若干人，乙排在甲后面，中间隔着2人，丙排在乙后面，中间隔着1人，丁排在丙后面，中间隔着1人，丁后面也有若干人．下列说法：①如果甲和乙同一组，那么丙和丁也同一组；②如果甲和乙不同一组，那么丙和丁也不同一组；③如果丙和丁同一组，那么甲和乙也同一组；④如果丙和丁不同一组，那么甲和乙也不同一组．正确的个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据题意，列出这8个人的位置，然后根据题意逐项分析即可求解．【详解】解：依题意，设中间隔着的人用x代替，则排序为：甲，x，x，乙，x，丙，x，丁①若分组为(甲，x，x，乙)，(x，丙，x，丁)，故①正确；②若分组为……甲)，(x，x，乙，x)，(丙，x，丁，……，故②错误，③由②可知③错误，④依题意，分组为：甲，x)，(x，乙，x，丙)，(x，丁，……，或甲，x，x，(乙，x，丙，x)，(丁，……，故④正确，故选：B．【点睛】本题考查了推理，列举法求试验结果，根据题意举出反例或列举是解题的关键．．．．．【答案】D【详解】试题分析：画树状图为：（用A、B、C表示三位同学，用a、b、c表示他们原来的座位）共有6种等可能的结果数，其中恰好有两名同学没有坐回原座位的结果数为3，所以恰好有两名同学没有坐回原座位的概率=．故选D．考点：列表法与树状图法．5．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0。