集合的分划与子集族(打印)

集合的分类与运算规律总结一、集合的分类1.集合的定义：集合是由确定的、互异的元素构成的整体。

2.集合的表示方法：常用的表示方法有列举法和描述法。

–列举法：将集合中的元素一一列出，用大括号括起来，如{1, 2, 3, 4, 5}。

–描述法：用描述性语言来表示集合，如集合A={x|x是正整数}。

3.集合的分类：–有限集：含有有限个元素的集合。

–无限集：含有无限个元素的集合。

–空集：不含有任何元素的集合，用符号∅表示。

–子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合是另一个集合的子集。

–真子集：如果一个集合是另一个集合的子集，并且这两个集合不相等，那么这个集合是另一个集合的真子集。

二、集合的运算规律1.并集：两个集合的并集包含这两个集合所有的元素，表示为A∪B。

2.交集：两个集合的交集包含这两个集合共有的元素，表示为A∩B。

3.补集：一个集合在全集中的补集包含全集中不属于这个集合的元素，表示为A’。

4.运算法则：–交换律：集合的并集和交集运算都满足交换律，即A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。

–结合律：集合的并集和交集运算都满足结合律，即(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

–分配律：集合的并集和交集运算都满足分配律，即A∪(B∩C)=(A∪B)∪(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∩(A∩C)。

5.集合的运算规律在解决实际问题中的应用：–统计问题：通过计算不同集合的交集和并集，可以求解不同条件下的统计问题。

–逻辑推理：在数学证明和逻辑推理中，集合的运算规律是重要的工具。

–信息技术：在数据处理和算法设计中，集合的运算规律有着广泛的应用。

通过以上知识点的学习，我们可以更好地理解和运用集合的概念及其运算规律，从而为学习更高级的数学知识打下坚实的基础。

习题及方法：1.习题：判断下列哪些选项是正确的集合表示方法？A. {a, b, c, 2, 3}B. {x | x是正整数}C. {x, y, z, 1, 2}D. {1, 2, 3, 4, 5…}–A选项中，元素2和3重复出现，所以A选项错误。

内容 基本要求集合的含义 会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系；集合的表示能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题； 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等 集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念．在具体情景中，了解空集和全集的含义；理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集集合的基本运算 掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算．能使用维恩图表达集合之间的关系和运算．1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。

（1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，知识内容高考要求模块框架集合记作A b ∉；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

例如：大于3的所有整数表示为：{Z |3}x x ∈>方程2250x x --=的所有实数根表示为：{R x ∈|2250x x --=}具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

集合知识点总结集合是现代数学中的一个重要概念，它在数学的各个领域以及其他学科中都有着广泛的应用。

接下来，让我们一起深入了解集合的相关知识点。

一、集合的定义集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体。

这些对象称为集合的元素。

例如，一个班级里的所有学生可以组成一个集合，这个集合中的元素就是每个学生。

二、集合的表示方法1、列举法把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

例如，由元素 1，2，3 组成的集合可以表示为{1，2，3}。

2、描述法用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合。

例如，所有大于 5的整数组成的集合可以表示为{x ｜ x 是大于 5 的整数}。

3、图示法包括韦恩图（Venn Diagram），用封闭曲线的内部表示集合。

1、确定性对于一个给定的集合，其元素必须是确定的。

也就是说，一个元素要么属于这个集合，要么不属于，不存在模棱两可的情况。

2、互异性集合中的元素不能重复。

例如，集合{1，1，2}不符合集合的互异性，应该写成{1，2}。

3、无序性集合中的元素排列顺序不影响集合的本质。

例如，｛1，2，3}和{3，2，1}表示的是同一个集合。

四、集合的分类1、有限集集合中元素的个数是有限的。

例如，｛1，2，3}就是一个有限集。

2、无限集集合中元素的个数是无限的。

例如，所有自然数组成的集合就是无限集。

3、空集不含任何元素的集合叫做空集，记为∅。

1、子集如果集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素，那么称集合 A 是集合B 的子集，记作 A ⊆ B。

例如，集合 A ＝｛1，2}，集合 B ＝｛1，2，3}，则 A 是 B 的子集。

2、真子集如果集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A，那么称集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A ⊂ B。

例如，集合 A ＝｛1，2}，集合 B ＝｛1，2，3}，则 A 是 B 的真子集。

3、相等如果集合 A 和集合 B 所含的元素完全相同，则称集合 A 和集合 B 相等，记作 A ＝ B。

集合的划分与子集族（即奥林匹克小丛书《集合》一册的第4、5讲）一、集合的划分例1、将集合{}1,2,,1989L 分为117个互不相交的子集()1,2,,117i A i =L 使得：（1）每个i A 都含有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和都相同。

例2、对一个由非负整数组成的集合S ，定义()s r n 是满足下述条件的有序对()12,s s 的对数：12,s s S ∈ 且1212,s s s s n ≠+=，问能否将非负整数集分划为两个集合A 和B ,使得对任意n 均有()()A B r n r n =例3、设集合{}1,2,,A m =L ，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1214,,,A A A L ，一定存在某个集合()114i A i ≤≤，在i A 中由两个元素,a b ，满足43b a b <≤例4、证明：可以把自然数集分划为100个非空子集，使得对任何3个满足关系式99a b c +=的自然数,,a b c ，都可以从中找出两个数属于同一子集例5、设集合12,,,n A A A L 和12,,,n B B B L 是集合M 的两个n -分划，已知对任意两个交集为空集的集合(),1,i j A B i j n ≤≤，均有i j A B n ≥U ，求证：22n M ≥例6、设自然数分划成r 个互不相交的子集：12r N A A A =U UL U ，求证其中必有某个子集A ，它具有如下性质P ：存在,m N ∈使对任何正整数k ，都能找到12,,,k a a a A ∈L ，满足11,11j j a a m j k +≤-≤≤≤-例7、将正整数集拆分成两个不相交的子集,A B ，满足条件：（1）1A ∈；（2）A 中没有两个不同的元素，使它们的和形如()220,1,2,k k +=L ；（3）B 中也没有两个不同的元素，其和具有上述形式。

证明：这种拆分可以以惟一的方式实现，并确定2007,2008,2009所属的子集例8、平面上横纵坐标均为有理数的点叫有理点，求证：平面上的全部有理点可以分成3个两两互不相交的集合，满足条件：（1）在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含3个点分属这3个集合；（2）下任何一条直线上都不可能有3个点分属这3个集合例9、设{}{}1,2,,2008,1004,2009,3014A M ==L ,对A 的任一非空子集B ，当B 中任意两数之和不属于M 时，称B 为M -自由集，如果1212,,A A A A A ==∅U I 且12,A A 均为M -自由集，那么称有序对为()12,A A 为A 的一个M -划分，试求A 的所有M -划分的个数二、C 族例10、试证：任一有限集的全部子集可以排定次序，使得任何相邻的两个子集都相差一个元素例11、在某次竞选中各政党作出()0n n >种不同的诺言，有些政党可以作某些相同的诺言，现知其中每两个政党都至少作了一个相同的诺言，但没有两个政党的诺言完全相同，求证：政党个数12n -≤例12、设正整数5n ≥，n 各不同的正整数12,,,n a a a L 有下列性质：对集合{}12,,,n S a a a =L 的任何两个不同的非空子集A 和B ，A 中所有数的和与B 中所有数的和都不会相等，在上述条件下， 求12111na a a +++L 的最大值三、求解子集族例13、已知集合{}1,2,,10A =L ，求集合A 的具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2各元素，且每个子集中的任何两个元素的差的绝对值大于1例14、对于正整数2n ≥，如果存在集合{}1,2,,n L 的子集族12,,,n A A A L 满足（1）,1i i A i n ∉≤≤；（2）若{},,1,2,,i j i j n ≠∈L ，则j i i A j A ∈⇔∉；（3）任意{},1,2,,i j n ∈L ，i j A A ≠∅I ，则称n 是“和谐数”证明：（1）7是和谐数；（2）除2,3,4,5,6外，其余的n 都是和谐数例15、集合{}*1,2,,6,X k k N =∈L ，试作出X 的三元子集族A ，满足：（1）X 的任一二元子集至少被族A 中的一个三元子集包含；（2）26k =A四、有关子集族的最值问题例16、集合{}0,1,2,,9A =L ，{}12,,,k B B B L 是A 的一族非空子集，当i j ≠时，i j B B I 至多有两个元素，求k 的最大值例17、设{}0,1,2,,29A ⊆L 满足：对任何整数k 及A 中的任意数,a b （,a b 可以相同），30a b k ++均不是两个相邻整数之积，试确定所含元素个数最多的A例18、设{}1,2,,1997A =L ，对A 的任意一个999元子集X ，若存在,x y X ∈，使得x y <且x y ，则称X 为好集，求最大自然数()a a A ∈，使得任一含有a 的999元子集都为好集集合的分划与子集族1、已知集合{}1,2,,31,3A n n =-L ，可以分为n 个互不相交的三元组{},,x y z ，其中3x y z +=，则满足上述要求的两个最小的正整数n =2、设S 是一个有6个元素的集合，选取S 的两个子集（可以相同），使得它们的并集是S ，选取的顺序无关紧要，如{}{},,,,,,a c b c d e f 与{}{},,,,,,b c d e f a c 表示同一种取法，这样的取法有 种3、设集合{}1,2,,9,A B A B ==∅U L I ，求证：在A 或B 中含有三个元素,,x y z ，使得2x y z +=4、已知集合M 是{}1,2,,2008A =L 的子集，且M 中任一两个元素之和均不能被3整除，求集合M 中元素个数的最大值5、试证：对于每个整数1r >，都能找到一个最小的整数()1h r >，使在集合(){}1,2,,h r L 分成r 组的任何分划中，都存在整数0,1a x y ≥≤≤，使数,,a x a y a x y ++++含于分划的同一组中6、已知这个空间被分成互不相交的5个非空集合，求证：必有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点7、{}1,2,,X n =L ，,,A B C 是X 的分划，即A B C X =U U ，并且,,A B C 两两的交集都是空集，如果,,A B C 中各取一个元素，那么每两个的和都不等于第三个，求()max min ,,A B C8、（1）证明：正整数集*N 可以表示为三个彼此互不相交的集合的并集，使得：若*,m n N ∈，且2m n -=或5，则,m n 属于不同的集合（2）证明：正整数集*N 可以表示为四个彼此互不相交的集合的并集，使得：若*,m n N ∈，且2,3m n -=或5，则,m n 属于不同的集合，并说明此时将*N 表示为三个彼此互不相交的集合的并集时，命题不成立9、确定所有的正整数n 使得集合{}1,2,,n L 可以分成5个互不相交的子集，每个子集中元素之和相等10、设k 为正整数，k M 是22k k +与223k k +之间（包括这两个数在内）的所有整数组成的集合，能否将k M 拆分为两个不相交的子集,A B ，使得22x A x B x x ∈∈=∑∑11、给定正整数3n ≥，求具有下列性质的正整数m 的最小值：把集合{}1,2,,S m =L 任意分成两个互不相交的非空子集的并集，其中必有一个子集内含有n 个数（不要求它们互不相同）：12,,,n x x x L ，使得121n n x x x x -+++=L12、正整数4n ≥具有下列性质：把集合{}1,2,,n S n =L 任意分成两个互不相交的子集，总有某个子集，它含有三个数,,a b c （允许a b =），使得ab c =，求这样的n 的最小值13、设S 为n 个正实数组成的集合，对S 的每个非空子集A ，令()f A 为A 中所有元素之和，求证：集合(){},f A A S A ⊆≠∅可以拆分成n 个互不相交的子集，每个子集中的最大数与最小数之差为214、试求所有正整数k ，使集合{}1990,1991,,1990M k =+L 可以分解为两个互不相交的子集,A B ，且使两个集合中的元素之和相等15、给定集合{}121993,,,S Z Z Z =L ，其中121993,,,Z Z Z L 为非零复数（可视为平面上非零向量）． 求证：可以把S 中元素分成若干子集，使得（1）S 中每个元素属于且仅属于一个子集；（2）每一子集中任一复数与该子集所有复数之和的夹角不超过90°；（3）将任二子集中复数分别作和，所得和数之间夹角大于90°．116、设,,r s n 都是正整数，并且r s n +=，求证：集合()12,,,r n n n A r r r ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭L ， ()12,,,s n n n B s s s ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭L 构成{}1,2,,2N n =-L 的分划的充要条件是r 和s 都与n 互质17、设集合{}1,2,,21A n =+L ，求一个包含元素最多的集合A 的子集B 使得B 中任意三个元素a ，b ，c 都有a b c +≠18、集合{}0,1,2,,9A =L 的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有 个19、设集合{}1,2,,2008A =L ，现对A 的任一非空子集X ，令X α表示X 中最大数与最小数之和，则所有这样的X α的算术平均数为20、集合{}1,2,,n L 的所有子集中全部元素之和的总和是21、如果一个正整数集合中没有3个数是两两互质的，则称之为“和谐”的，问从1到16的整数集中“和谐”的子集的元素的最大数目是多少22、设S 是集合{}1,2,,9L 的子集，且S 中任意两个不同的数作和，所得的数两两不同，求 {}max S23、设{}1,2,,50A =L ，求最小正整数n 使得A 中的每个n 元子集中都有3个数能作为直角三角形的三边长24、设3p ≥为质数，考虑集合{}1,2,,2p L 满足以下两个条件的子集A ：（1）A 恰有p 个元素；（2）A 中所有元素之和可被p 整除25、设2r ≥是一个固定的正整数，F 是一个无限集族，且每个集合中含有r 个元素，若F 中的任意两个集合的交集非空，求证：存在一个具有1r -个元素的集合与F 中的每一个集合的交集非空26、设2,n n N ≥∈，S 是一个n 元集合，求最小的正整数k ，使得存在S 的子集12,,,k A A A L 具有如下性质：对S 的任意两个不同元,a b ，存在{}1,2,,j k ∈L ，使得{},j A a b I 为S 的一元子集27、{}1,2,,50A =L ，求最小的正整数k ，使A 的每个k 元子集中都有两个数a b ≠使得()a b ab +28、S 是一个n 元集合，S 中最多有多少个这样的三元子集，使得其中任意两个三元子集都恰好有一个公共元29、集合{}1,2,,15S =L ，从S 中取出n 个子集12,,,n A A A L 满足下列条件：（1）7i A =；（2）3,1i j A A i j n ≤≤<≤I ；（3）对S 的任意三元子集M ，都存在某个,1,k A k n ≤≤使得k M A ⊂，求这样一组子集的个数n 的最小值30、设{}1,2,,2002A ⊆L ，对任意,a b A ∈（,a b 可以相同）总有ab A ∉，求A 的最大值31、称子集{}1,2,,11A M ⊆=L 为好的，如果它具有下述性质：“如果2k A ∈则21k A -∈且21k A +∈”（空集和M 都是好的），M 有多少个好子集32、n 为给定的正整数，n D 为235n n n 的所有正因数组成的集合，n S D ⊆，且S 中任一数都不能整除S 中另一数，求S 的最大值33、{}1,2,,2008A ⊆L ，且A 具有如下性质：A 中任两个不同元素之和不被7整除，求A 的最大值34、1230,,,A A A L {}1,2,,2003⊆L 的子集，且660i A ≥，证明：存在130i j ≤<≤，230i j A A ≥I35、{}1,2,,2000A ⊆L ，且A 中任意两数的差不等于4也不等于7，求A 的最大值36、已知12,,,n A A A L 满足：（1）30i A =；（2）1,1i j A A i j n =≤<≤I ；（3）12n A A A =∅I I L I ，求使这样一组集合存在的最大的正整数n37、设1221,,,n A A A +L 是B 的一族子集且满足条件：（1）2i A n =；（2）1,121i j A A i j n =≤<≤+I ；（3）B 中每个元素至少属于两个子集,,121k l A A k l n ≤<≤+，试问：对怎样的*n N ∈,可以将B 中每个元素贴上一张写有0或1的标签，使得每个i A 中恰有n 个元素贴有标签038、设{}1,2,,A S n ⊆=L ，A k =，()()*2,11k m N n m C ∈>-+，则存在S 中的元素1,,m t t L ，使得{},1,2,,j j A x t x A j m =+∈=L 中任意两个的交集为空集。

集合的知识点总结框架集合是数学中的一个重要概念，它是由一些确定的元素所组成的整体。

集合的研究是数学的基础，它在各个学科中都有广泛的应用。

本文将从集合的定义、运算、关系、分类等角度来介绍集合的知识点。

一、集合的定义集合是由一些确定的元素组成的整体。

可以用大括号{}来表示一个集合，集合中的元素用逗号分隔。

例如，{1, 2, 3, 4}就表示一个由元素1、2、3、4组成的集合。

二、集合的运算1. 并集：两个集合A和B的并集是包含A和B中所有元素的集合，用符号∪表示。

例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

2. 交集：两个集合A和B的交集是包含A和B中共有元素的集合，用符号∩表示。

例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。

3. 差集：集合A减去集合B是包含A中除去B中元素的集合，用符号\表示。

例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A\B={1, 2}。

4. 互斥：两个集合A和B的互斥是指A和B没有共有的元素，用符号⊥表示。

如果A∩B=∅，则称A和B互斥。

三、集合的关系1. 包含关系：集合A包含集合B是指A中的所有元素都属于B，用符号⊆表示。

例如，A={1, 2, 3}，B={1, 2}，则A⊆B。

2. 相等关系：集合A等于集合B是指A包含B且B包含A，用符号=表示。

例如，A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3}，则A=B。

3. 子集关系：集合A是集合B的子集是指A包含于B但A不等于B，用符号⊂表示。

例如，A={1, 2}，B={1, 2, 3}，则A⊂B。

四、集合的分类1. 有限集：集合中的元素个数是有限的。

例如，A={1, 2, 3, 4}就是一个有限集。

2. 无限集：集合中的元素个数是无限的。

例如，N={1, 2, 3, ...}就是一个无限集。

3. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。

高一数学集合知识点结构图数学是一门抽象而又广泛应用的学科，在高中数学学习过程中，集合是一个重要的概念。

集合理论是数学中的一个基础分支，也是数学领域中的重要内容之一。

下面将为大家呈现高一数学的集合知识点结构图。

一、集合的概念与表示方法在集合的学习中，首先需要了解什么是集合以及集合的表示方法。

集合是由一些确定的元素所组成的整体，可以用大括号{}来表示，元素之间用逗号隔开。

例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示由元素1、2、3、4组成的集合A。

二、集合的分类集合可以根据元素的性质进行分类。

常见的集合分类包括：1. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。

2. 单元素集合：只包含一个元素的集合称为单元素集合。

例如，集合B={2}表示只包含元素2的集合B。

3. 有限集合：元素个数有限的集合称为有限集合。

例如，集合C={1, 2, 3}表示一个有限集合，其中包含元素1、2、3。

4. 无限集合：元素个数无限的集合称为无限集合。

例如，集合D={1, 2, 3, 4, ...}表示一个无限集合，其中包含元素1、2、3、4等。

三、集合间的关系在集合的学习中，我们常常需要了解集合之间的关系。

常见的集合关系包括：1. 相等关系：如果两个集合的元素完全相同，则它们是相等的。

我们用符号“=”表示两个集合相等关系。

例如，若集合E={1, 2, 3}，集合F={1, 2, 3}，则E=F。

2. 包含关系：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则前者包含于后者。

我们用符号“⊆”表示包含关系。

例如，若集合G={1, 2, 3}，集合H={1, 2, 3, 4}，则G⊆H。

3. 真包含关系：当一个集合包含于另一个集合，并且两个集合不相等，则前者真包含于后者。

我们用符号“⊂”表示真包含关系。

例如，若集合I={1, 2}，集合J={1, 2, 3}，则I⊂J。

4. 交集：两个集合的交集是指属于这两个集合的共同元素所组成的新集合。

有限集合的子集族问题分类解析
子集族问题是指，在一个有限的集合S中，给定一个子集T，子集T的所有子集的
枚举。

子集族问题可以分为两类。

1. 非组合子集：
在非组合子集中，集合S中的每个元素只能出现一次。

比如，给定一个集合
{1,2,3}，一个子集{1,2}，它的所有子集既可以是{1}、{2}、空集{}，也可以是{1,2}，但是不能有{2,1}等等。

2. 组合子集：
在组合子集中，元素可以多次出现。

比如，给定一个集合{1,2,3}，一个子集{1,2}，它的所有子集既可以是{1}、{2}、空集{}，也可以是{1,2}，还可以是{2,1}，甚至是{1,1,2,2}等等。

子集枚举问题有两种常见的解决算法：
1. 递归法：
递归法是子集枚举问题最简单、最直接的解决方法，其核心思想就是采用递归的
方式来枚举。

从一个有限集合S开始，先从一个备选元素中选取一个元素，把它放入一个新的子集K中；然后递归的将其剩余的元素依次放入K，得到K的所有子集；再将K中每个子集作为一个新的备选元素，重复上述过程，直到枚举完S中所有子集为止。

2. 位运算法：
位运算法是一种非常高效的枚举算法。

其核心思想是将N个元素构成的集合S用一个Nbit的整数来表示，比如，给定集合S={1,2,3}，其中每个元素可以用一位二
进制数来表示，1表示选择，0表示未选择，则S可以用011来表示，即表示子集{1,3}（如果要表示子集{1,2,3}，则用111表示）。

用一个Nbit的整数来表示集
合S，那么可以得到2^N个不同的Nbit整数，每个Nbit整数对应一个子集，这样
就得到了S的所有子集。