高中数学 3.2.1二倍角的正弦 余弦 正切1教案 苏教版必修4

《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学设计高一A 组 韩慧芳年级：高一 科目：数学 内容：二倍角的正弦、余弦、正切公式 课型：新课一、教学目标1、知识目标：（1）在理解两角和的正弦、余弦和正切公式的基础上，能够推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，并能运用这些公式解决简单的三角函数问题.(2）通过公式的应用（正用、逆用、变形用）,使学生掌握有关化简技巧，提高分析、解决问题的能力。

2、能力目标:通过二倍角公式的推导，了解知识之间的内在联系，完善知识结构，培养逻辑推理能力。

3、情感目标：通过二倍角公式的推导，感受二倍角公式是和角公式的特例，进一步体会从一般化归为特殊的基本数学思想。

在运用二倍角公式的过程中体会换元的数学思想。

二、教学重难点、关键1、教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式2、教学难点：二倍角的理解及其正用、逆用、变形用.3、关键：二倍角的理解三、学法指导学法：研讨式教学四、教学设想：1、问题情境复习回顾两角和的正弦、余弦、正切公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-;()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-. 思考：在这些和角公式中，如果令βα=，会有怎样的结果呢？2、建构数学公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=;()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-;22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．以上这些公式都叫做倍角公式，从形式上看,倍角公式给出了αα与2的三角函数之间的关系。

《3.2.1倍角公式》教学设计22.5= 22.53.2.1倍角公式学情分析：学生在前面第一章已经学习过同角三角函数关系式、诱导公式、三角函数等相关内容，已经掌握了一些公式并能对公式进行简单的应用.虽然学生的观察具有一定的目的性，系统性，但是全面性欠精确，逻辑思维能力尚属经验型，在学习过程中存在着一定的随意性和盲目性，于是我通过导学案上的层层设问，引导学生用正确的方式发现问题解决问题，培养逻辑推理能力和独立思考的能力.结合教材的内容和学生的年龄特点及认识水平，在本堂课的教学中，我指导学生采取多质疑、自主学习、合作探究的方法进行学习.充分尊重学生自主选择学习内容、学习伙伴、学习方式的权利；充分发挥学生的积极性和主动性，让学生通过自主学习，理解倍角公式，并在自学实践中逐步提高解决问题的能力.3.2.1倍角公式效果分析：新课程提倡自主、合作、探究的学习方式,课堂教学是学生学习科学文化知识的主阵地,也是对学生进行思想品德教育的主渠道. 教师应着力构建自主的课堂，让学生在生动、活泼的状态中高效率地学习.我觉得这节课还是非常成功的，通过小组合作探究，使学生清晰的认识到倍角公式的发生、发展的过程.在问题的探究过程中，让学生进一步加深了对倍角公式的认识，并强化了学生分析问题的能力，同时也加强了学生合作交流的意识.总的来说，本节课达到了预期的目标.1、课前预习效果学生通过对导学案的充分学习，让学生能够在自己的认知基础上，通过对基础的把握，和自身思维的发挥，让学生发现问题，推广结论，让学生成为课堂学习的主题，老师只是作为引入的桥梁.2、课堂学习效果检测大部分学生掌握的不错，有个别同学计算能力差，做题速度要慢些，需要课下再加强练习.学生对学习始终表现出浓厚的兴趣，极大的热情，这正是新课标提倡的建立“自主、合作、探究的学习方式”的前提.在课堂教学中，我始终引导学生去感受，去发现.然后根据相关知识对学案中的练习题进行求解.总之，课堂教学是教师与学生的双边活动. 要提高中学数学课堂教学质量，必须以学生为本，凭借数学思维性强、 灵活性强、 运用性强的特点，精心设计，给学生一些机会，让他自己去体会; 给学生一点困难,让他自己去解决;给学生一个问题,让他自己找答案;给学生一种条件,让他 自己去锻炼; 给学生一片空间，让他自己去开拓. 注重学生优秀思维品质的培养，变被动为主动，变学会为会学,这样就一定能达到传授知识,培养能力的目的,收到事半功倍的效果.3.2.1倍角公式教材分析：教材的地位和作用：二倍角的正弦、余弦、正切是学生在已经学习了两角和、差的正、余弦和正切的公式的基础上的进一步延伸，推导出倍角公式，是三角函数的重要公式 ，应用这组公式也是本章的重点内容。

课题: 二倍角的正弦、余弦、正切公式教材:人教A版高中数学必修4§3.1.3第一课时一、教学目标1.知识目标：以两角和的正弦、余弦、正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角公式，运用二倍角公式解决有关问题。

2.能力目标：灵活运用二倍角公式，培养学生观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力。

3.德育目标：激发学生的学习兴趣，培养学生认真参与、积极交流的主体意识，培养学生的发散性思维、创新意识，提高数学素养。

二、教学重点与难点重点：掌握二倍角公式，灵活运用二倍角公式解决有关问题。

难点：二倍角公式的灵活运用，培养学生的转化、化归的数学思想。

三、教学方法与手段教学中，我遵循以学生为主体，教师为主导的教学原则，采用启发式教学并通过多媒体辅助教学。

四、教学过程二倍角的正弦、余弦、正切公式教案说明在教学中，我遵循以学生为主体，教师为主导的教学原则，采用启发式教学，逐步设疑、诱导、解疑，指导学生去“发现”。

整个教学过程的设计主要体现以下五点：第一、提出问题，纠正学生常犯直觉性错误,激发学生新的求知欲。

引导学生自主探究二倍角公式，让学生亲身经历公式的“发现”过程。

这样设计突出学生的主体地位，能够让学生明白知识的来龙去脉，加深对知识的理解，培养学生的探究意识和丰富的联想能力。

第二、在学生推导出二倍角公式后，立即让学生做些简单练习，目的是为了使学生更好的理解、运用和记忆二倍角公式，以及让学生感到找出C公式变形的必要性。

2第三、在解题教学过程中，启发学生先分析条件与求解目标之间的差异，然后选择适当的公式，明确解题思路，最后严格规范解答过程，培养逻辑思维能力。

通过一题多解训练学生发散性思维，培养学生创新意识，提高学生的数学素养。

第四、为巩固所学知识，本设计通过设置多重练习，让学生能更深刻的认识公式特点，感受公式的各种形式运用，提高灵活运用公式的能力。

第九课时 二倍角的正弦、余弦、正切(三)教学目标：灵活应用和、差、倍角公式，掌握和差化积与积化和差的方法；培养学生联系变化的观点，提高学生的思维能力. 教学重点：和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用. 教学难点：二倍角公式的变形式的灵活应用. 教学过程： Ⅰ.课题导入现在我们进一步探讨和角、差角、倍角公式的应用.先看本章开始所提问题，在章头图中，令∠AOB ＝θ，则AB ＝a sin θ，OA ＝a cos θ，所以矩形ABCD 的面积S ＝a sin θ²2a cos θ＝a 2²2sin θcos θ＝a 2sin2θ≤a 2当sin2θ＝1，即2θ＝90°，θ＝45°时，a 2sin2θ＝a 2＝S不难看出，这时A 、D 两点与O 点的距离都是22a ，矩形的面积最大，于是问题得到解决. Ⅱ.讲授新课［例1］求证sin2α2 ＝1－cos α2分析：此等式中的α可作为α2的2倍.证明：在倍角公式cos2α＝1－2sin 2α中以α代替2α，以α2 代替α，即得cos α＝1－2sin2α2 ∴sin 2α2 ＝1－cos α2请同学们试证以下两式: (1)cos2α2 ＝1＋cos α2 (2)tan 2α2 ＝1－cos α1＋cos α证明：(1)在倍角公式cos2α＝2cos 2α－1中以α代替2α、以α2 代替α，即得cos α＝2cos2α2 －1， ∴cos 2α2 ＝1＋cos α2(2)由tan 2α2 ＝sin 2α2cos 2α2sin 2α2 ＝1－cos α2 cos 2α2 ＝1＋cos α2得tan2α2 ＝1－cos α1＋cos α这是我们刚才所推证的三式，不难看出这三式有两个共同特点：(1)用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数；(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的). 这一组式子也可称为半角公式，但不要求大家记忆，只要理解并掌握这种推证方法. 另外，在这三式中，如果知道cos α的值和α2 角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得sin α2 、cos α2 与tan α2.下面，再来看一例子.［例2］求证：sin α²cos β＝12 ［sin(α＋β)－sin(α－β)］分析：只要将S (α＋β)、S (α－β)公式相加，即可推证.证明：由sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ① sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ② ①＋②得：sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β即：sin α²cos β＝12 ［sin(α＋β)＋sin(α－β)］请同学们试证下面三式：(1)cos α²sin β＝12 ［sin(α＋β)－sin(α－β)］(2)cos α²cos β＝12 ［cos(α＋β)＋cos(α－β)］(3)sin α²sin β＝－12 ［cos(α＋β)－cos(α－β)］证明：(1)由sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ① sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ②①－②得：sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos αsin β 即：cos αsin β＝12 ［sin(α＋β)－sin(α－β)］(2)由cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β② ①＋②得：cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cos αcos β 即：cos αcos β＝12 ［cos(α＋β)＋cos(α－β)］(3)由cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β② ①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β 即：sin αsin β＝－12［cos(α＋β)－cos(α－β)］不难看出，这一组式子也有一共同特点，即，左式均是乘积形式，右式均为和差形式，利用这一式可将乘积形式转化为和差形式，也可称为积化和差公式.和差形式是否可以化为乘积的形式呢?看这一例子.［例3］求证sin θ＋sin ϕ＝2sin θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2 分析：θ可有θ＋ϕ2 ＋θ－ϕ2代替， ϕ＝θ＋ϕ2 －θ－ϕ2证明：左式＝sin θ＋sin ϕ＝sin ［θ＋ϕ2 ＋θ－ϕ2 ］＋sin ［θ＋ϕ2 －θ－ϕ2 ］ ＝sin θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2 ＋cos θ＋ϕ2sinθ－ϕ2 ＋sin θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2－cos θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2＝2sin θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2＝右边请同学们再证下面三式.(1)sin θ－sin ϕ＝2cos θ＋ϕ2 ²sin θ－ϕ2 ；(2)cos θ＋cos ϕ＝2cos θ＋ϕ2 ²cos θ－ϕ2 ；(3)cos θ－cos ϕ＝－2sin θ＋ϕ2 ²sin θ－ϕ2.证明：(1)令θ＝θ＋ϕ2 ＋θ－ϕ2 ，ϕ＝θ＋ϕ2 －θ－ϕ2则左边＝sin θ－sin ϕ＝sin ［θ＋ϕ2 ＋θ－ϕ2 ］－sin ［θ＋ϕ2 －θ－ϕ2 ］ ＝sin θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2 ＋cos θ＋ϕ2 sinθ－ϕ2 －sin θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2＋cos θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2＝2cos θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2＝右边(2)左边＝cos θ＋cos ϕ＝cos ［θ＋ϕ2 ＋θ－ϕ2 ］＋cos ［θ＋ϕ2 －θ－ϕ2 ］ ＝cos θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2 －sin θ＋ϕ2sinθ－ϕ2 ＋cos θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2＋sin θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2＝2cos θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2＝右边(3)左边＝cos θ－cos ϕ＝cos ［θ＋ϕ2 ＋θ－ϕ2 ］－cos ［θ＋ϕ2 －θ－ϕ2 ］ ＝cos θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2 －sin θ＋ϕ2sinθ－ϕ2 －cos θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2－sin θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2＝－2sin θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2＝右边.这组式子的特点是左式为和差形式，右式为积的形式，所以这组式子也可称为和差化积公式，只要求掌握这种推导方法，不要求记忆. Ⅲ.课堂练习1.已知α、β为锐角，且3sin 2α＋2sin 2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0.求证：α＋2β＝π2证法一：由已知得3sin 2α＝cos2β ① 3sin2α＝2sin2β②①÷②得tan α＝cos2βsin2β ＝sin （π2 －2β）cos （π2 －2β）＝tan （π2－2β）∵α、β为锐角，∴0＜β＜π2 ，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0，∴－π2 ＜π2 －2β＜π2∴α＝π2 －2β，α＋2β＝π2证法二：由已知可得： 3sin 2α＝cos2β，3sin2α＝2sin2β∴cos(α＋2β)＝cos α²cos2β－sin α²sin2β＝cos α²3sin 2α－sin α²32 sin2α＝3sin 2αcos α－sin α²3sin αcos α＝0又由α＋2β∈(0，3π2 )∴α＋2β＝π2证法三：由已知可得⎩⎨⎧==βαβα2sin 22sin 32cos sin 32 ∴sin(α＋2β)＝sin αcos2β＋cos αsin2β＝sin α²3sin 2α＋32 cos α²sin2α＝3sin α(sin 2α＋cos 2α)＝3sin α又由②，得3sin α²cos α＝sin2β ③ ①2＋③2，得9sin 4α＋9sin 2αcos 2α＝1 ∴sin α＝13 ，即sin(α＋2β)＝1又0＜α＋2β＜3π2 ，∴α＋2β＝π2①②评述：一般地，若所求角在(0，π)上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在(－π2，π2)上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切.2.在△ABC中，sin A是cos(B＋C)与cos(B－C)的等差中项，试求(1)tan B＋tan C的值.(2)证明tan B＝(1＋tan C)²cot(45°＋C)(1)解：△ABC中，sin A＝sin(B＋C)∴2sin(B＋C)＝cos(B＋C)＋cos(B－C)∴2sin B cos C＋2cos B sin C＝2cos B cos C∵cos B cos C≠0 ∴tan B＋tan C＝1(2)证明：又由上：tanβ＝1－tan C＝(1＋tan C)²1－tan C1＋tan C＝(1＋tan C)²tan(45°－C)＝(1＋tan C)²cot(45°＋C)Ⅳ.课时小结通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式的方法，虽不要求记忆，但要知道它们的互化关系.另外，要注意半角公式的推导与正确使用.当然，这些都是在熟练掌握二倍角公式的基础上完成的.Ⅴ.课后作业课本P111习题 7、8、10.二倍角的正弦、余弦、正切1．已知sinα＝13，2π＜α＜3π，那么sinα2＋cosα2等于（）A.63B.－63C.233D.－2332．sin10°sin30°sin50°sin70°的值是（）A. 116B. 18C. 14D.316 3．已知f (sin x )＝cos2x ，则f (x )等于（ ）A.2x 2－1B.1－2x2C.2xD.－2x 4．设sin α∶sinα2＝8∶5，则cos α等于（ ）A. 45B. 725C. 1213D.15．（sin π12 ＋cos π12 )(sin π12 －cos π12 )＝ .6．化简cos(π4 －α)²cos（π4 ＋α)＝ .7．sin2π12 －12＝ . 8．3tan67.501＋tan 267.50 ＝ . 9．已知cos2α＝725 ，α∈(0， π2 )，sin β＝－513 ，β∈(π， 3π2 )，求cos(α＋β).10．已知sin α＋sin β＝12 ，cos α＋cos β＝13 ，求cos α－β2 的值.11．已知sin(α＋3π4 )＝513 ，cos(π4 －β)＝35 ，且－π4 ＜α＜π4 ，π4 ＜β＜3π4 ，求cos(α－β).二倍角的正弦、余弦、正切答案1．D 2．A 3．B 4．B 5．－32 6．12 cos2α 7．－34 8．3249．已知cos2α＝725 ，α∈(0， π2 )，sin β＝－513 ，β∈(π， 3π2)，求cos(α＋β).解：由α∈(0， π2 )得sin α＝1－cos2α2 ＝35 ，cos α＝45∵β∈(π， 3π2)，∴cos β＝－1－sin 2β ＝－1213代入cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝45 ³(－1213 )－35 ³(－513 )＝－336510．已知sin α＋sin β＝12 ，cos α＋cos β＝13 ，求cos α－β2的值.两式平方相加，得1＋1＋2（cos α²cos β＋sin αsin β)＝14 ＋19 ＝1326∴cos(α－β)＝－5972 ，cos 2α－β2 ＝1＋cos(α－β)2 ＝1－5972 2 ＝13144∴cos α－β2 ＝±131211．已知sin(α＋3π4 )＝513 ，cos(π4 －β)＝35 ，且－π4 ＜α＜π4 ，π4 ＜β＜3π4 ，求cos(α－β).∵－π4 ＜α＜π4 ，∴2＜α＋3π4 ＜π∴cos(α＋3π4)＝－1－sin 2(α＋3π4 ) ＝－1213∵π4 ＜β＜3π4 ，∴－π2 ＜π4 －β＜0 ∴sin(π4－β)＝－1－cos 2(π4 －β) ＝－45∴cos(α－β)＝－cos ［(α＋3π4 )＋(π4－β)］＝sin(α＋3π4 )sin(π4 －β)－cos(α＋3π4 )²cos(π4 －β)＝513 ³(－45 )－(－1213 )³35 ＝1665 .。