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椭圆的方程及性质

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椭圆的方程及性质一、椭圆的定义1、一动圆与已知圆1)3(:221=++y x O 及圆81)3(:222=+-y x O 相内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 变式：（1）已知圆1)2(:22=-+y x M 及圆0774:22=-++y y x N ，动圆C 与二圆相内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为 （2）方程10)4()4(2222=+-+++y x y x 化简后得到的曲线方程为2、已知21,F F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线与椭圆交于B A ,两点，若1222=+B F A F ，则AB 的长为变式：（1）已知椭圆12:22=+y x C 的两焦点为21,F F ，点),(00y x P 满足1202020<+<y x ，则21PF PF +的取值范围是（2）已知21,F F 分别是椭圆14822=+y x 的左右焦点，P 是椭圆上的任意一点，则121PF PF PF -的取值范围是3、设P 为椭圆192522=+y x 上的点，21,F F 分别为左右焦点，若∠6021=PF F °，那么Δ21PF F 的面积为变式：（1）设21,F F 分别为椭圆1422=+y x 的左右焦点，P 是椭圆上的点，当Δ21PF F 的面积为1时，向量1PF 和2PF 的数量积为（2）已知P 是椭圆141222=+y x 上的动点，21,F F 分别为左右焦点，则21PF ∙的取值范围是 二、椭圆的标准方程1、与椭圆192522=+y x 有相同的焦点，长轴与椭圆11692522=+y x 相等的椭圆的标准方程为 变式：过点)3,2(-且与364922=+y x 有相同焦点的椭圆的标准方程为2、与椭圆13422=+y x 有相同的离心率，且过点)3,2(-的椭圆方程为 变式：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，双曲线122=-y x 的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形面积为16，则椭圆C 的方程为3、已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是变式：（1）若椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，则实数k 的值为 （2）若方程16522=-+-ky k x 表示的图形是椭圆，则实数k 的范围是（3）已知),0(πα∈，方程1cos sin 22=-ααy x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围是 三、椭圆的离心率及范围1、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为1F ，点),0(),0,(b B a A -分别是其左顶点和上顶点，若1F 到直线AB 的距离为7b ，则椭圆的离心率为变式：（1）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为1F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上且1BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴与点P ，若PB AP 2=，则椭圆的离心率为（2）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，A 是左顶点F 是右焦点，B 是短轴的一个端点，若∠90=ABF °，则椭圆的离心率为2、已知P 是椭圆192522=+y x 上不在x 轴上的点，21,F F 是其焦点，设∠α=21PF F ，∠β=21F PF ，∠γ=12F PF ,则=+αγβsin sin sin变式：（1）设P 是以21,F F 为焦点的椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 上的一点，若021=∙PF ，并且tan ∠2121=F PF ，则此椭圆的离心率为 （2）已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点为21,F F ，P 为椭圆上的一点，且∠1521=F PF °，∠12F PF =75°，则椭圆的离心率为3、设椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，过F 的直线与椭圆C 交于B A ,两点，若直线AB 的倾斜角为60°，且FB AF 2=，则椭圆的离心率为变式：已知椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，过其右焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线与C交于B A ,两点，若3=，则k 的值为4、设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，若椭圆上存在点P ，使得∠21PF F =90°，则椭圆的离心率e 的范围是变式：（1）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，若椭圆上存在点P ，使得∠21PF F =60°，则椭圆的离心率e 的范围是（2）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，若椭圆上存在点P ，使得∠21PF F =120°，则椭圆的离心率e 的范围是（3）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，∠α=ABF ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,12ππα，则椭圆的离心率e 的范围是5、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，若椭圆上存在一点P ，令∠α=21F PF ，∠β=12F PF 满足βαsin sin ca =，则椭圆的离心率e 的范围是 变式：椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为右准线c a x l 2:=上一点，若线段PF 1的垂直平分线恰过点2F ，则椭圆的离心率的范围是6、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上任意一点，且21PF PF ∙的最大值的取值范围是[]223,c c ，其中22b a c -=，则该椭圆的离心率的范围是7、椭圆中心在原点O ，焦点在x 轴上，过椭圆的左焦点1F 的直线交椭圆与Q P ,两点，且OP ⊥OQ ，则此椭圆的离心率的范围是四、与椭圆相关的范围问题1、若点),(y x P 在椭圆1422=+y x 上，则y x +的范围是 变式：已知实数y x ,满足191622=+y x ，则xy 的取值范围是 2、函数x x y 3123-+-=的值域为 变式：函数638)(++-=x x x f 的值域为3、设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 恒过定点)2,1(A ，则椭圆中心到准线的距离的最小值是变式：（1）若点O 和F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则FP OP ∙的最大值为(2)若点),(00y x P 为椭圆13422=+y x 上一点，21,F F 是椭圆的左右焦点，且121≥-PF PF ，则212135PF PF PF PF -∙的最小值为4、若N M ,是椭圆126:22=+y x C 上不重合的两点，若点)0,3(D 满足DN DM λ=，则实数λ的范围是 变式：已知圆8)1(:22=++y x C ，定点)0,1(A ，M 是圆上一动点，点P 在线段AM 上，点N 在线段CM上且满足0,2=∙=AM NP AP AM ，点N 的轨迹为曲线E 。

（1）求曲线E 的方程。

（2）若过定点)2,0(Q 的直线交曲线E 于不同的两点),(,之间在点H Q G H G ，且满足λ=，求λ的范围。

五、椭圆的第二定义与焦点半径1、已知M 为椭圆1204522=+y x 上在第一象限内的点，它与焦点的连线垂直，则M 到两准线的距离为 变式：（1）已知P 是椭圆192522=+y x 上的一点，它到右焦点的距离是到左焦点的距离的2倍，则点P 的横坐标为（2）已知点P 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上的一点，21,F F 分别是椭圆的左右焦点，且1PF ⊥2PF，若P 到两准线的距离分别为126和，则此椭圆的方程为2、设F 为椭圆1243222=+y x 的右焦点，定点)3,2(A ，点P 在椭圆上，则PF PA 2+的最小值为 变式：已知21,F F 分别是椭圆16410022=+y x 的左右焦点，点)6,2(-M 在椭圆内，P 为椭圆上的动点，则235PF PM +的最小值为 六、椭圆与直线的位置关系1、直线2-=kx y 与焦点在x 轴上的椭圆1322=-+m y m x 恒有公共点，则实数m 的范围是 变式：（1）直线x -y -m =0与椭圆1922=+y x 且只有一个公共点,则m 的值是 （2）椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是 2、椭圆E 过点)3,2(A ，对称轴为坐标轴，焦点21,F F 在x 轴上，离心率21=e ，（1）求椭圆E 的方程。

（2）求∠21AF F 的平分线的方程。

变式：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，过点)2,8(--P 作圆1622=+y x 的切线，切点分别为BA ,（1）求直线AB 的方程。

（2）若直线AB 恰好经过椭圆的左焦点和下顶点，求椭圆的标准方程。

3、过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为变式：椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点.（1）求2211b a +的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围. 七、椭圆中的定点问题1、已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大距离为3，最小距离为1。

（1）求椭圆C 的方程。

（2）若直线m kx y l +=:与椭圆C 交于B A ,两点（B A ,不为左右顶点）且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

变式：已知左焦点为)0,1(-F 的椭圆过点)332,1(E 。

过点)1,1(P 分别作斜率为21,k k 的椭圆的动弦CD AB ,，设N M ,分别为线段CD AB ,的中点。

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椭圆的标准方程及性质

椭圆的标准方程及性质

椭圆的标准方程及性质椭圆作为二维空间中的图形，具有一些独特的性质和特点。

本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。

一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。

设椭圆的中心为点（h，k），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则可得出椭圆的标准方程：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1其中，h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。

二、椭圆的性质1. 中心：椭圆的中心即标准方程中的点（h，k），表示椭圆在平面上的位置。

2. 焦点：椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a，即椭圆的长轴长度。

焦点是椭圆的重要特点，用于定义椭圆的几何性质。

3. 长轴和短轴：标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。

长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。

4. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比，通常用e表示。

离心率决定了椭圆的扁平程度，e＜1时表示椭圆，e=0时表示圆。

5. 直径：椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等，则这两个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。

6. 弦：椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆的弦。

7. 准线：椭圆上与两个焦点连线垂直的直线，与椭圆的侧弦相切。

8. 焦散性：入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上，这是椭圆焦散性的一个重要表现。

三、椭圆的应用椭圆作为一种常见的数学曲线，在现实生活中有广泛的应用。

以下是一些椭圆应用的例子：1. 天体运动：行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作椭圆。

2. 光学器件：抛物面镜、椭圆面镜等。

3. 固定时间下的最短路径问题。

4. 卫星通信：卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。

4. 造船工业：船体的椭圆剖面设计，可以减少水的阻力。

5. 圆锥曲线中的一类，在几何光学中，椭球曲面可以聚焦光线。

总结：本文介绍了椭圆的标准方程及其性质。

椭圆作为一种重要的数学曲线，其在几何和物理学中有着广泛的应用。

椭圆及其性质

椭圆及其性质


A
解：如图建立直角坐标系， 设所求椭圆方程为 2 2 x y 2 1 2 a b 在Rt△AF1F2中， A B
y
F1 O C
F2 x
| AF2 | | F1 A |2 | F1 F2 |2 2.82 4.52
由椭圆的定义知， | F1 A | | F2 A | 2a
1 所以 a (| F1 A | | F2 A |) 2 1 2 2 (2.8 2.8 4.5 ) 2 4.1 2 2 b a c
3、椭圆的顶点
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
椭圆与 x轴的交点？ 令 y=0，得 x=±a
椭圆与 y轴的交点？ 令 x=0，得 y=±b
*顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的 顶点。 *长轴、短轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
今 朝 花 枝 簇 簇
共创佳绩
明 日 硕 果 累 累
c e a
a2=b2+c2
例4、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短 轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并 画出它的图形. 解：把方程化为标准方程:
x y 1 25 16
所以: a = 5 ,b = 4 c = 25 16 3
2
2
所以，长轴长2a=10,短轴长2b=8 ； 离心率为0.6 焦点坐标为(-3,0),(3,0) 顶点坐标为 (-5,0)，(5,0)， (0,4)，(0,-4)
B2
y
(0,b)
A2
(-a,0) F1 a
A1
b
o
B1
F2 (a,0)
椭圆的标准方程及性质

椭圆的标准方程及性质

一.椭圆曲线的介绍1.域k(特征0)上的椭圆曲线可看成由下面方程的解全体再加上一个无穷远点：y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2,a,b为k中常数，并且右边判别式Δ=−16(4a3+27b2)不等于0(即为了光滑性要求无重根)。

其上的点可以自然地有一个群结构(实数域为例，图自wiki)：具体说来，取曲线上两个点P,Q,连接P,Q的直线与曲线第三个交点（其存在是因为一元三次方程有两个解在k中，那么由韦达定理第三个也在k中）记为R。

不难看出曲线y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2关于x轴对称，R 的对称点就记为P+Q。

这样粗糙的讨论可能会有问题，因为可能会出现图中2,3,4的情况，2的情况把Q看成2重点即可，而3的情况迫使我们引入无穷远点0，规定此时和为0,而如果P,Q重合，那么我们就取切线。

定义保证如下性质：随便取一条直线，其与曲线交于三个点P,Q,R（可能有无穷远点，也可能两个点重合），那么P+Q+R=0.这个定义是“对称”的，可具体写出P+Q的表达式（利用韦达定理）：P，Q不重合时：P，Q重合时：总之在椭圆曲线上有一个交换群结构，因此我们可以从y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2的一个有理解生成新的有理解，从而得到许多有理解。

椭圆曲线在复数域的图像可以看成复平面模掉一格C/Λ，也就是一个环面：Q上图像可直观想象是实数域的椭圆曲线上的有理点：（图自《数论1 FERMAT的梦想和类域-加藤和也》）而Qp等非阿局部域及Z/pZ等有限域的情况没有很好的几何图像（当然有限域的平面是有限个点，此时椭圆曲线就是一堆点）。

此时不妨就把它看成代数几何意义上的一条曲线。

为了理解为什么椭圆曲线定义成y^2=三次多项式，我们简单讨论一番。

上面已经说过，我们希望找一些好的f，使得f=0即解全体带群结构。

而这个群结构的产生巧就巧在定义一个乘法，是把两个东西运算得到一个新东西，总共涉及3个object，而三次方程恰好有三个根，并且两个根加上方程系数完全可以求出第三个根。

椭圆标准方程及几何性质

椭圆标准方程及几何性质


椭圆的离心率
离心率是描述椭圆扁平程度的量，用 $e$表示。
VS
离心率定义为$e = frac{c}{a}$，其中 $c$是焦距，$a$是长轴半径。
03
椭圆的参数方程
参数方程的定义
参数方程
通过引入参数，将椭圆上的点与一组有序数对（参数）关联起来，表示椭圆上 的点的一种方法。
参数方程的一般形式
x=a*cos⁡(t)x = a cos(t)x=a∗cos(t) 和 y=b*sin⁡(t)y = b sin(t)y=b∗sin(t)，其中 (a,b) 是椭圆的长短轴长度，t是参数。
通过极坐标方程，可以方便地解决与椭圆相关的几何问题，例如求 交点、判断点是否在椭圆上等。
05
椭圆的焦点三角形
焦点三角形的性质
焦点三角形是等腰三角形
01
由于椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数，因此焦点三
角形是等腰三角形。
顶角为直角
02
由于椭圆上任意一点到两焦点的距离之差与到另一焦点的距离
之比为常数，因此顶角为直角。
当长短轴长度一定时，顶角越大，焦 点三角形面积越大。
焦点三角形的周长
01
02
03
周长公式
焦点三角形的周长公式为 (P = 2a + 2c)，其中 (a) 为长轴长度，(c) 为焦距。
周长与长短轴关系
当长短轴长度一定时，离 心率越大，焦点三角形周 长越大。
周长与离心率关系
当长短轴长度一定时，长 短轴长度越接近，焦点三 角形周长越小。
THANKS
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参数方程的应用
简化计算
在解决与椭圆相关的数学问题时，使用参数方程可以简化计算过程，特别是涉及到三角函数的问题。