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第三章线性方程组的数值解法线性方程组是应用最为广泛的数学模型，很多复杂问题中都含有线性方程组子问题，因此讨论线性方程组问题的求解很有必要，本章将讨论线性方程组的数值解法。
线性方程组的一般形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n nnn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (3.1)如果记：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n nn n n n n b b b b x x x x a a a a a a a a a A 2121212222111211,,这里A 称为系数矩阵，x 称为解向量，b 称为右端项，则得线性方程组的矩阵形式： b Ax = (3.2)求解线性方程组问题(3.1)或(3.2)的数值方法可分为两类：直接解法和迭代解法，其直接解法是通过有限次初等运算，求得其解，虽然直接解法的推导过程都是无误差的，但是由于计算机的运算都是有舍入误差的，所求解其实是一个有误差的近似解；迭代解法则是从某个初始近似解出发，按照一个确定的迭代公式得到一个更好的近似解，反复迭代，直到求得一个满足精度要求的近似解。
本章首先讨论线性方程组的直接解法然后再介绍迭代解法。
3.1 消去法1. 顺序Gauss 消去法首先回顾一下线性代数中所讲的线性方程组消去法过程，然后归纳出消去法的数值算法，请看如下的例子：例3.1 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+224056242321321321x x x x x x x x x解：求解线性方程组的第一阶段称为消元过程，其方法是：第2个方程减去第1个方程的21倍，第3个方程减去第1个方程的2倍，得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=+-=-+102736362423232321x x x x x x x 第3个方程减去第2个方程的37倍，得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+-=-+3123636242332321x x x x x x 这一过程就是消元过程，即把方程化为等价的上三角方程(对角线下变为0)。
数值分析第三章线性方程组解法在数值分析中，线性方程组解法是一个重要的主题。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中未知数的次数只为一次。
线性方程组的解法包括直接解法和迭代解法两种方法。
一、直接解法1.1矩阵消元法矩阵消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
这种方法将方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
1.2LU分解法LU分解法是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
这种方法可以减少计算量，提高计算效率。
1.3 Cholesky分解法Cholesky分解法是对称正定矩阵进行分解的一种方法。
它将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和它的转置的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
Cholesky分解法适用于对称正定矩阵的求解，具有较高的精度和稳定性。
二、迭代解法2.1 Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过分解系数矩阵A为一个对角矩阵D和一个余项矩阵R，然后通过迭代更新未知数的值，直至达到一定精度要求为止。
Jacobi迭代法简单易懂，容易实现，但收敛速度较慢。
2.2 Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是一种改进的Jacobi迭代法。
它通过使用新计算出的未知数值代替旧的未知数值，达到加快收敛速度的目的。
Gauss-Seidel迭代法是一种逐步逼近法，每次更新的未知数值都会被用于下一次的计算，因此收敛速度较快。
2.3SOR迭代法SOR迭代法是一种相对于Jacobi和Gauss-Seidel迭代法更加快速的方法。
它引入了一个松弛因子，可以根据迭代的结果动态地调整未知数的值。
SOR迭代法在理论上可以收敛到线性方程组的解，而且收敛速度相对较快。
三、总结线性方程组解法是数值分析中的一个重要内容。
直接解法包括矩阵消元法、LU分解法和Cholesky分解法，可以得到线性方程组的精确解。
实用文档《数值计算方法》复习资料第一章数值计算方法与误差分析第二章非线性方程的数值解法第三章线性方程组的数值解法第四章插值与曲线拟合第五章数值积分与数值微分第六章常微分方程的数值解法自测题课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1.知道产生误差的主要来源。
2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3.知道四则运算中的误差传播公式。
实用文档三例题例 1 设x*= =3.1415926⋯近似值 x=3.14 ＝ 0.314× 101,即 m=1，它的绝对误差是－ 0.001 592 6 ，⋯有即 n=3，故 x=3.14 有 3 位有效数字 .x=3.14准确到小数点后第 2 位 .又近似值 x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074 ⋯，有即 m=1,n＝ 5， x=3.1416 有 5 位有效数字 .而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926 ⋯，有即 m=1,n＝ 4， x=3.1415 有 4 位有效数字 .这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字；例 2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4－0.002 009 0009 000.00解因为 x1=2.000 4＝ 0.200 04× 101, 它的绝对误差限 0.000 05=0.5 × 10 1―5，即m=1,n=5, 故 x=2.000 4 有 5 位有效数字 . a1=2，相对误差限x2=－ 0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为 m=－2，n=3 ，x2=－ 0.002 00 有 3 位有效数字 . a1=2 ，相对误差限r ==0.002 5实用文档x3=9 000 ，绝对误差限为0.5× 100，因为 m=4, n=4, x3=9 000 有 4 位有效数字， a=9 ，相对误差限r＝＝ 0.000 056x4=9 000.00 ，绝对误差限0.005，因为 m=4， n=6， x4=9 000.00 有 6 位有效数字，相对误差限为r＝＝ 0.000 000 56由 x3与 x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例 3 ln2=0.69314718⋯，精确到10－3的近似值是多少？解精确到 10－3＝ 0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
数值计算课堂提问（含参考答案）课堂提问及参考答案第1章误差与误差分析1、在数值计算⽅法中，误差是如何分类的？答:误差按照来源可以分为4类:模型误差、观测误差、截断误差和舍⼊误差。
其中，在本门课程中，前两种误差可称为固有误差，⽆法避免和改变；后两种误差可称为计算误差，是本门课程分析和研究的重点。
另外，按照误差产⽣的过程，也分为过失误差和传播误差。
2、求解⽅程x^2-56x+1=0的根。
（已知根号783约为27.982。
）答：根据⼆项式的求根公式可得783282456562422±=-±=-±-=a ac b b x即982.55982.2728783281=+≈+=x为避免相近数相减，从⽽丧失⼤量的有效数字，另⼀个根的计算可写成如下形式：017863.0982.551982.27281783281783282≈=+≈+=-=x第2章⾮线性⽅程的数值解法1、证明1-x-sin(x)=0在区间[0,1]内有⼀个根，若使⽤⼆分法求误差不⼤于 0.5*10^（-4）的根要⼆分多少次?若取)sin(1)(x x -=?，能否⽤不动点迭代法求根？答：令f(x)= 1-x-sin(x)，显见f(x)为连续函数。
f'(x)=-1-cos(x),当x 在区间[0,1]时，0f(0)=1>0,f(1)=-sin(1)<0，即f(0)*f(1)<0，可得区间[0,1]内有且只有⼀个实根。
根据题意:a=0,b=1,ε=0.5*10^（-4）由公式(2.4):2 ln 2ln )ln(ε-->a b k 可得3.132ln 10ln 42ln 10ln 1ln 4≈=->-k ，取k=14，即需要⼆分14次。
取迭代公式)sin(1)(x x -=?，则1)1sin(1)1(,1)0sin(1)0(<-==-=??，即当x 在区间(0,1]时，]1,0[)(?x ?，1cos )('<=x x ?根据定理2.4(p23)，该迭代公式在取迭代初值在(0,1]时，收敛，可求出根。
