[考研数学]第1章习题

考研数学一真题完整版考研数学一是众多考研学子面临的重要挑战之一。

为了帮助大家更好地了解和应对这一考试，以下为您呈现一份考研数学一真题的完整版。

一、选择题1、函数＼（f(x) ＝＼frac{1}｛1 ＋ x^2}＼）在区间＼（（＼infty, ＋＼infty)＼）内（）A 单调增加B 单调减少C 先单调增加，后单调减少D 先单调减少，后单调增加2、设＼（y ＝＼ln(＼sin x)＼），则＼（y'＼）等于（）A ＼（＼cot x\）B ＼（＼tan x\）C ＼（＼cot x\）D ＼（＼tan x\）3、已知向量＼（a ＝（1, －1, 2)＼），＼（b ＝（2, 1, －1)＼），则＼（a\）与＼（b\）的夹角为（）A ＼（＼frac{＼pi}｛6}＼）B ＼（＼frac{＼pi}｛3}＼）C ＼（＼frac{＼pi}｛4}＼） D ＼（＼frac{＼pi}｛2}＼）4、设＼（A\）为＼（3\）阶矩阵，＼（＼vert A ＼vert ＝ 2\），则＼（＼vert 2A^｛－1} ＼vert ＝＼）（）A ＼（1\）B ＼（2\）C ＼（4\）D ＼（8\）5、设随机变量＼（X\）服从参数为＼（2\）的泊松分布，则＼（E(X^2) ＝＼）（）A ＼（2\）B ＼（4\）C ＼（6\）D ＼（8\）二、填空题1、极限＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin 3x}｛x} ＝＼）＿____2、曲线＼（y ＝ x^3 3x^2 ＋ 5\）的拐点坐标为_____3、已知＼（z ＝＼frac{y}｛x}＼），而＼（x ＝ e^t\），＼（y ＝ 1 e^｛2t}＼），则＼（＼frac{dz}｛dt} ＝＼）＿____4、设＼（f(x) ＝＼int_{0}＾｛x} （t 1)（t 2)dt\），则＼（f'（0) ＝＼）＿____5、设＼（A ＝＼begin{pmatrix} 1 ＆ 2 ＼＼ 0 ＆ 1 ＼end{pmatrix}＼），则＼（A^5 ＝＼）＿____三、解答题1、计算不定积分＼（＼int ＼frac{x ＋ 1}｛x^2 ＋ 2x ＋ 5} dx\）2、求函数＼（f(x) ＝ x^3 3x ＋ 1\）在区间＼（0, 2\）上的最大值与最小值。

A．P（A）－P（B）
B．P（A）－P（B）＋P（AB）
C．P（A）－P（AB）
＿
＿
D．P（A）＋P（A）－P（AB）
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【答案】C
＿
＿
【解析】P（A）＝P[A（B∪B）]＝P（AB）＋P（AB）＝P（A－B）＋P（AB），故 P
9．假设事件 A 和 B 满足 P（B|A）＝1，0＜P（A），则（ ）。 A．A 是必然事件 B．P（A|B）＝0 C．A 包含事件 B D．P（A－B）＝0 【答案】D 【解析】因为 P（B|A）＝1 且 P（A）＞0，故 P（AB）＝P（A），P（A－B）＝P（A） －P（AB）＝0。
10．对于任意两事件 A 和 B，P（A－B）＝（ ）。
＿＿
P（A∪B）＝1。
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3．若 A、B 互斥，且 P（A）＞0，P（B）＞0，则下列式子成立的是（ ）。 A．P（A|B）＝P（A） B．P（B|A）＞0 C．P（AB）＝P（A）P（B） D．P（B|A）＝0 【答案】D 【解析】因为 A，B 互斥，故 AB＝∅，P（AB）＝0，P（B|A）＝P（AB）/P（A）＝0。
14．对于事件 A、B、C，如果 A B C ，则（ ）。
＿ ＿＿
A．A∪B⊂C
＿＿ ＿
B．AB⊃C
＿
C．A∪B⊂C
D．AB⊂C
【答案】C
＿
【解析】∵ A B C ∴ A B C ，即 A∪B⊂C。
15．对于事件 A、B，如果 A⊃B，P（B）＞0，则（ ）。
A．P（B|A）＝P（B）

A1
【答案】6
【解析】根据行列式的性质可知
A3 2A1 把第3行的2倍加到第1行 A3
A3
A1
3A2
3A2 3 A2 3 A2 6
A1
A1
A1
A3
bca 5． b c c d a b ______。
222 cd b
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【答案】0
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ur
ur
r
r
→ →→
→
3．设
3
阶矩阵
A
2 r
2
2 3
，
B
r
2 3
，其中α
，β，γ
2，γ 3
均为
3
维行向量，且已知
行列式|A|＝18，|B|＝2，则行列式|A－B|等于（ ）。
A．1
B．2
12x
【答案】－3
【解析】根据行列式的定义，能出现 x2 的只有以下两项：（－1）r（132）a11a23a32
＋（－1）r（213）a12a21a33＝－3x2，因此 x2 的系数为－3。
2．在 n 阶行列式 D＝|aij|中，当 i＜j 时，aij＝0（i，j＝1，2，…，n），则 D＝______。 【答案】a11a22·…·ann
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【解析】根据题中所给条件可知，行列式 D 为
a11 0 L D a21 a22 L
MM an1 an2 L
0 0 M a11a22 gL gann ann

第一章 行列式1.利用对角线计算下列行列式（1） 381 1 4 11 0 2- - - 4 -= （2） ba c a c bcb a 33 3 3 a b c abc - - - = 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列排列的逆序数 （1） 1 2 34 0 （2） 4 1 3 2 4 （3） 3 4 2 15（4） 2 4 1 33（5） 1 3 ┈（2n­1） 2 4 ┈（2n ） 2) 1 ( nn - (6) 1 3 ┈(2n­1)(2n)(2n­2)┈2 )1 ( - n n 3.写出四阶行列式中含有因子 23 11 a a 的项 4432 23 11 a a a a - 3442 23 11 a a a a 4.用行列式的定义计算下列行列式（1） nn n n a a a a a D 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 1 2 2 1 L L L M M M L M M L L - - =( )nn n a a a L 2 1 2)1 )(2 ( 1 - - - （2） 443332 23 21 1211 4 00 0 0 0 0 0 a a a a a a a D =4432 23 11 44 33 21 12 a a a a a a a a - - 5.计算下列各行列式（1） 07 1 1 02 5 10 2 0 2 1 4 2 1 4= =D 【解析】71120 2 15 4 2 7 711202 15 0 2 0 2 1 4 2 7 0= - - - - - = - - - -（2） abcdef efcfbfde cd bdaeac abD 4 = - - - = （3） ( ) [ ]( )11 - - + - = = n na x x a n xa aa x a aa xD L L L L L L L （4） n D na a a a + + + + =1 1111 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 3 21 L LLL L L L L L na a a a a a a L L L L L L L L L 0 00 0 00 1 1 1 1 13 121 1 - - - + = nni ia a a a L 2 1 1 ) 1 1 ( å = + = （其中 0 2 1 ¹ n a a a L ）6.证明 322) ( 1 1 1 2 2 b a b b a a b aba - = + 利用对角线法则可得证7.计算下列各行列式：（1） ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 0 0 11 0 1 1 1 014+ + + + = - - - = d a cd ab d cb aD 【解析】 ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 0 1 1 0 0 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 0 1 1 1 1 1 0 011 0 11 1 01 12 + + + + = - - - - + - - = - - -+ d a cd ab dc d c b a d cb a（2） aa aD nL M M M M L L0 1 0 0 10 = ，其中对角线上的元素都是a ，未写的元素都为零【解析】 )1 ( ) 1 ( 1 )1 ( ) 1 ( 0 0 0 0 1 0 0 1 ) 1 ( 0 00 0 0 0 0 10 01 0 - ´ - + - ´ - ´ ×× - + = n n n n n nn aa a a a aa a aLM LO M L L L MLM M L L L MMMM L L 2- - = n n a a（4） b a c a cb ac b c b a cb a D 2 2 2 + + + + + + =( )32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c b a ba c a cb a b ac b c b a b a c b a D + + = + + + + + + + + + + = （5）125 343 27 64 573425 49 9 16 1 1 1 1- - =D ( ) ( ) 1036812 12 8 9 573 4 573457 3 4 11 1 1 3 3 3 3 2222 - = ´ ´ ´ - = - - - =D 8.解下列方程（1）9 1 32 5 13 2 32 2 1 32 11 22= - - x x 【解析】( )( )( ) 0 31 4 4 0 00 5 1 3 2 0 0 1 0 32 1 1 9 1 32 5 13 2 3 2 2 1 3 2 1 1 2 2222 2= - - - = - - =- - x x x x x x 故可得 1 ± = x 或 2± = x （2）0 00 0 0 = a x a a a x x a a a x a 【解析】 ( )0 0 1 1 1 1 2 00 0 2 2 2 2 00 0 0 a x a aa x xa a x a axaa a x x a a x a x a x a x a a x a a a x x a a a x a + = + + + + =( )( ) ( ) 0 4 0 02 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 = - = - - - - - - - + = - - - - - - - + = a x xxx xa x x a x x x a a a x x a x x a ax a x a 故可得 0 = x ，或者 ax 2 ± =。

考研高数第一章试题及答案# 考研高数第一章试题及答案## 一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数\( f(x) = x^2 \)在点x=1处的导数是（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = L \)，则L的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 曲线\( y = x^3 - 3x^2 + 2 \)在x=2处的切线斜率是（）A. -4B. -3C. 0D. 54. 已知\( \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_0^1 x^3 dx \)的值为（）A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{3}{4} \)5. 函数\( f(x) = \ln(x) \)的定义域是（）A. \( (0, +\infty) \)B. \( (-\infty, 0) \)C. \( (-\infty, +\infty) \)D. \( [0, +\infty) \)## 二、填空题（每题4分，共20分）6. 若\( f(x) = 2x - 3 \)，则\( f'(2) = _______ \)。

7. 函数\( g(x) = \sqrt{x} \)的导数是\( g'(x) = _______ \)。

8. 极限\( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) / (x - 1) \)的值是 _______。

9. 函数\( h(x) = e^x \)的原函数是 _______。

10. 定积分\( \int_1^2 2x dx \)的值是 _______。

## 三、解答题（每题30分，共60分）11. 求函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)的导数，并求在x=2时的导数值。

数学1考研试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则c 的取值范围是（）。

A. c≥0B. c≥4C. c≤0D. c≤4答案：B2. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。

A. 3x^2-3B. x^2-3xC. 3x^2-9xD. x^3-3答案：A3. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的值。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B4. 若矩阵A = [1 2; 3 4]，则|A|的值为（）。

A. 2B. -2C. 6D. -6答案：C5. 设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=7，S_6=28，则S_9的值为（）。

A. 63B. 56C. 49D. 84答案：A二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知函数f(x)=2x+3，求f(-1)的值。

答案：17. 设等差数列{a_n}的公差为d=3，若a_3=12，则a_1的值为。

答案：38. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x的值。

答案：19. 设矩阵B = [1 0; 0 2]，则B^2的值为。

答案：[1 0; 0 4]10. 已知函数g(x)=x^3-6x^2+11x-6，求g'(x)的值。

答案：3x^2-12x+11三、解答题（每题10分，共60分）11. 证明：若x>0，则x^2>2x。

证明：因为x>0，所以x-1>-1，所以(x-1)^2>0，即x^2-2x+1>0，所以x^2>2x。

12. 求函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数。

解：f'(x)=3x^2-3，所以f'(1)=3×1^2-3=0。

13. 计算定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx。

解：∫(0,2) (x^2-4x+4) dx = [1/3x^3-2x^2+4x](0,2) = (1/3×2^3-2×2^2+4×2) - (0) = 8/3。

第一章 函数【百日筑基篇】1. 证明：定义在对称区间(,)l l -内的任意函数课表示为一个奇函数与一个偶函数的和.2. 设0,0,(),0,x f x x x <⎧=⎨≥⎩2(1) 1.g x x x +=++试求(())f g x ，(())g f x ，[](())f f g x ，[](())f g f x .3. 设1()()2x f x f x x -+=，求().f x 4. 设1,1,()0,1,1,1,x f x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，()x g x e =，求[]()f g x 和[]()g f x . 5. 设arcsin ()x f x e =，(())1f x x ϕ=-，求()x ϕ的表达式和定义域.6. 设1()()2x x f x a a -=+ (0).a >7. 求下列函数的反函数：11(1)()2y x x =- (0)x >；1,0,(2)(),0.x x x f x e x +≤⎧=⎨>⎩8. 设(),()x x ϕψ和()f x 都是(,)-∞∞内的单调增加函数.若()()()x f x x ϕψ<≤，设证明必有[()][()][()].x f f x x ϕϕψψ<≤9. 设()f x 在R 上有定义，且对任意的,(,)x y ∈-∞∞，有()()f x f y x y -≤-，试证明：()()F x f x x =+在(,)-∞∞内单调递增.【高分进阶篇】1. 设函数()f x 满足方程1()()c af x bf x x +=，其中为,,a b c 为常数且a b ≠，求函数()f x 的解析式并证明它是奇函数.2.sin sin ()x x f x e x =，0x ≠是 （） （A ）周期函数 （B ）奇函数 （C ）单调函数 （D ）有界函数 3.cos ()sin x f x x x e =()x -∞<<∞是 （） （A ）有界函数 （B ）单调函数 （C ）周期函数 （D ）偶函数4. 设()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且他们可以构成复合函数[()]f f x ，[()]g f x ，[]()f g x ，[]()g g x ，则其中为奇函数的是 （）.（A ）[()]f f x （B ）[()]g f x （C ）[]()f g x （D ）[]()g g x5. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x x =-是 （）（A ）无界函数 （B ）周期为1的周期函数 （C ）单调函数 （D ）偶函数6.设1()f x =，求()(?n n f x f f f x = 次复合.7. 设2,0,()2,0,x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，2,0,(),0,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，则[()]g f x = （） .（A ）222,02,0x x x x ⎧+<⎪⎨-≥⎪⎩ ， （B ）222,02,0x x x x ⎧-<⎪⎨+≥⎪⎩ ， （C ）22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ ， （D ）22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩【百日筑基篇答案】1.【证】设()f x 是定义在(,)l l -内的任一函数，令11()[()()],()[()()]22x f x f x x f x f x ϕψ=+-=--，则()(),()(),x x x x ϕϕψψ-=-=-而()()()f x x x ϕψ=+.2. 【解】222(1)1()(1)(1)11,() 1.x u g u u u u u g x x x +==-+-+=-+=-+令，则故 210,x x x -+>由于对一切有所以2(())() 1.f g x g x x x ==-+221,0,(2)(())()()11,0.x g f x f x f x x x x <⎧=-+=⎨-+≥⎩ (3)由于2(())10,f g x x x =-+>所以2[(())](()) 1.f f g x f g x x x ==-+(4)(())0,.g f x x >∀∈ℜ由于所以21,0,[(())](())1,0.x f g f x g f x x x x <⎧==⎨-+≥⎩3. 【解】设11,,1x t x x t -==-得代入原式得12()(),11f f t t t +=-- 即12()(),11f x f x x +=--111,,11n x n x n -==--再设得代入上式得112(1)()(),1n n f f n n n --+=- 即112(1)()(),1x x f f x x x --+=- 即112(1)()(),1x x f f x x x --=-+- 将②式代入①式得212(1)()().(1)x x x f x f x x x --+-=- 由已知式和③式得21().(1)x x f x x x x -+=+-4. 【解】1,1,1,1,[()]0,1,0,1,1, 1.1,1,x x x e x f g x e x x e ⎧<<⎧⎪⎪⎪====⎨⎨⎪⎪->⎩->⎪⎩1011,1,,1,[()],1,1,1,,1,, 1.e x e x g f x e x x e x e x --⎧<⎧<⎪⎪⎪====⎨⎨⎪⎪>>⎪⎩⎩5. 【解】由arcsin ()x f x e =得arcsin ()(()),x f x e ϕϕ=又(()) 1.f x x ϕ=-即arcsin ()ln(1),()sin[ln(1)],x x x x ϕϕ=-=- 因ln(1),22x ππ-≤-≤且10,x ->解得()x ϕ的定义域为22[1,1].e e ππ-++6. 【证】()()11()()2211()()221()()22()().x y x y x y x y x y y x y y x x y y f x y f x y a a a a a a a a a a a a a a f x f y +----+-----++-=+++=+++=++=⋅7. 【解】（1）由原式解出x y =±因0,x >故取x y =反函数为).y x x =-∞<<∞（2）1,1,()ln , 1.x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩ 8. 【证】设0x 为三个函数公共定义域内的任一点，则有000()()().x f x x ϕψ≤≤ 由题设知0000[()][()],[()][()],f x f f x x f x ϕϕϕϕ≤≤于是00[()][()].x f f x ϕϕ≤ 同理可证00[()][()].f f x x ψψ≤由0x 的任意性推得结论成立.9.【证】任取12,(,),x x ∈-∞∞且12,x x <有212121()(),f x f x x x x x -<-=- 而212121()()()(),f x f x f x f x x x -≤-<-所以1122()().f x x f x x +<+即12()(),F x F x <故()F x 在(,)-∞∞内单调递增.【高分进阶篇答案】1. 【解】令1,t x =则已知方程变为1()().af bf t ct t += 与此等价可以表示为1()(),af bf x cx x +=联立，得方程组1()(),1()(),c af x bf x x bf x af cx x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩将①式两边乘,a ②式两边乘,b 并相减，得2222()(),()().ca c a a b f x bcx f x bx x a b x -=-=-- 由于,a bx x 是奇函数，故函数()f x 是奇函数.2. 【解】应选（D ）.方法一： 排除法.（1） 虽然sin x 是周期函数，但sin xx 不是周期函数，所以()f x 不是周期函数，排除选项（A ）；（2） 因为sin sin sin sin ()(),x x x x f x e e f x x x ----==≠--所以()f x 不是奇函数，排除选项（B ）；（3） 当0x kx =≠时，()0;f x =当x kx ≠时，()0,f x ≠故()f x 不是单调函数，排除选项（C ）；由排除法知选（D ）。

考研数学概率论与数理统计第一章测试题（含答案）一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.对于任意二事件A 和B ，与B B A = 不等价．．．的是 （ ） (A)B A ⊂ (B)A B ⊂ (C)φ=B A (D)φ=B A2.设事件A 与事件B 互不相容，则 （ ） (A)0)(=B A P (B))()()(B P A P AB P = (C))(1)(B P A P -= (D)1)(=B A P3.对于任意二事件A 和B ，则以下选项必然成立的是 （ ）(A)若φ≠AB ，则B A ,一定独立 (B)若φ≠AB ，则B A ,有可能独立(C)若φ=AB ，则B A ,一定独立 (D)若φ=AB ，则B A ,一定不独立4.设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是 （ ） (A)A 与B 互不相容 (B)A 与B 相容 (C))()()(B P A P AB P = (D))()(A P B A P =-5.设B A ,为任意两个事件，且B A ⊂，0)(>B P ，则下列选项必然成立的是 （ ）(A))|()(B A P A P < (B))|()(B A P A P ≤ (C))|()(B A P A P > (D))|()(B A P A P ≥6.设B A ,为两个随机事件，且0)(>B P ，1)|(=B A P ，则必有 （ ）(A))()(A P B A P > (B))()(B P B A P >(C))()(A P B A P = (D))()(B P B A P =7.已知1)(0<<B P ，且)|()|(]|)[(2121B A P B A P B A A P += ，则下列选项成立的是（ ） (A))|()|(]|)[(2121B A P B A P B A A P += (B))()()(2121B A P B A P B A B AP += (C))|()|()(2121B A P B A P A A P += (D))|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=8.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：=1A {掷第一次出现正面}，=2A {掷第二次出现正面}，=3A {正、反面各出现一次}，=4A {正面出现两次}，则事件 （ ）(A)321,,A A A 相互独立 (B)432,,A A A 相互独立(C)321,,A A A 两两独立 (D)432,,A A A 两两独立9.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p （10<<p ），则此人第4射击恰好第2次命中目标的概率为 （ ）(A)2)1(3p p - (B)2)1(6p p - (C)22)1(3p p - (D)22)1(6p p -10.设C B A ,,是三个相互独立的随机事件，且1)()(0<<<C P AC P ，则在下列给定的四对事件中不．相互独立的是 （ ） (A)B A 与C (B)AC 与C (C)B A -与C (D)AB 与C二、填空题（每小题2分，共14分）1.“C B A ,,三个事件中至少有两个发生”，这一事件可以表示为___2.若事件B A ，满足()()1>+B P A P ，则A 与B 一定____________3.在区间)1,0(中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于21的概率为 4.在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。

2．设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有（ ）。 A．|A|＝|B| B．|A|≠|B| C．若|A|＝0，则一定有|B|＝0 D．若|A|＞0，则一定有|B|＞0 【答案】C 【解析】矩阵 A 经过若干次初等变换后得到矩阵 B，则存在可逆矩阵 P，Q 使得 B＝PAQ， 因此|B|＝|PAQ|＝|P|·|A|·|Q|，若|A|＝0，则必有|B|＝|P|·|A|·|Q|＝0 成立。
1
1
1 ，则|A|＝____。
0
【解析】行列式每列所含元素相同，可将其余各列均加到第一列上，提出公因子（n－
1）后，再计算。
n 1 1 1
1
2,3, ,n列加到第一列上 n 1 0 1
1
原式
n 1 1 0
1
n 1 1 1
0
11 1
1
101
1
n 1 1 1 0
1
11 1
0
11 1
1
2,3, ,n行＋1行1
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】根据题设条件可知
AB
2
2
2
22
2 2
2
1 2
1 3
2 2
2 B
1 3
A 2 B
2
2 3 2 3 2 3 3 3
3 3
二、填空题
2x 1 1
1．在函数 f x x x x 中，x2 的系数是____。
12x
【答案】－3
【解析】根据行列式的定义，能出现 x2 的只有以下两项：（－1）r（132）a11a23a32＋
0 1 0
0

第一章 函数·极限·连续一. 填空题1．设⎰∞-∞→=⎪⎭⎫⎝⎛+a t axx dt te x x 1lim , 则a = ________. 解. 可得⎰∞-=at adt te e =a a t t e ae ae te -=∞--)(, 所以 a = 2.2. ⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =________. 解. nn n n n n n n n n +++++++++22221<n n n nn n n n +++++++++2222211 <11211222+++++++++n n n n n n n所以 n n n n +++++221 <n n n nn n n n +++++++++2222211 <1212+++++n n n212)1(2122→+++=+++++n n n n n n n n n , (n →∞) 2112)1(12122→+++=+++++n n n n n n n , (n →∞) 所以 ⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =213. 已知函数⎩⎨⎧=01)(x f 1||1||>≤x x , 则f[f(x)] _______.解. f[f(x)] = 1.4. )3(lim n n n n n --+∞→=_______.解. nn n n n n n n n n n n n n n n n n -++-++--+=--+∞→∞→3)3)(3(lim)3(lim=233lim=-+++-+∞→nn n n n n n n n5. ⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x 1sin 1cot lim 0=______.解. 616sin lim 3cos 1lim sin lim sin sin sin cos lim020300==-=-=-⋅→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x6. 已知A n n n k k n =--∞→)1(lim 1990(≠ 0 ≠ ∞), 则A = ______, k = _______.解. A kn n n n n k n k k n =+=---∞→∞→119901990lim )1(lim所以 k －1=1990, k = 1991;1991111===k A A k ，二. 选择题1. 设f (x )和ϕ(x )在(－∞, +∞)内有定义, f (x )为连续函数, 且f (x ) ≠ 0, ϕ(x )有间断点, 则 (a) ϕ[f (x )]必有间断点 (b) [ ϕ(x )]2必有间断点 (c) f [ϕ(x )]必有间断点 (d))()(x f x ϕ必有间断点 解. (a) 反例⎩⎨⎧=01)(x ϕ1||1||>≤x x , f (x ) = 1, 则ϕ[f (x )]=1(b) 反例 ⎩⎨⎧-=11)(x ϕ 1||1||>≤x x , [ ϕ(x )]2 = 1(c) 反例⎩⎨⎧=01)(x ϕ1||1||>≤x x , f (x ) = 1, 则f [ϕ(x )]=1(d) 反设 g(x ) = )()(x f x ϕ在(－∞, +∞)内连续, 则ϕ(x ) = g (x )f (x ) 在(－∞, +∞)内连续, 矛盾. 所以(d)是答案.2. 设函数xex x x f sin tan )(⋅⋅=, 则f(x)是(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数 解. (b)是答案. 3. 极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n 的值是 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在 解. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n =1)1(11lim )1(1131212111lim 2222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-∞→∞→n n n n n , 所以(b)为答案.4. 设8)1()1()1(lim 502595=+++∞→x ax x x , 则a 的值为(a) 1 (b) 2 (c)58 (d) 均不对解. 8 = 502595)1()1()1(lim +++∞→x ax x x =100502559595/)1(/)1(/)1(lim x x x ax x x x +++∞→=5502595)/11()/1()/11(lim a x x a x x =+++∞→, 58=a , 所以(c)为答案. 5. 设βα=------∞→)23()5)(4)(3)(2)(1(limx x x x x x x , 则α, β的数值为(a) α = 1, β = 31 (b) α = 5, β = 31 (c) α = 5, β = 531(d) 均不对 解. (c)为答案.6. 设232)(-+=x x x f , 则当x →0时(a) f(x)是x 的等价无穷小 (b) f(x)是x 的同阶但非等价无穷小(c) f(x)比x 较低价无穷小 (d) f(x)比x 较高价无穷小解. x x x x 232lim 0-+→=3ln 2ln 13ln 32ln 2lim0+=+→x x x , 所以(b)为答案. 7. 设6)31)(21)(1(lim0=++++→xax x x x , 则a 的值为(a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. 0)31)(21)(1(lim 0=++++→a x x x x , 1 + a = 0, a = －1, 所以(a)为答案.8. 设02)1()21ln()cos 1(tan lim2202≠+=-+--+-→c a e d x c x b x a x x ，其中, 则必有(a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c解. 2 =)1()21ln()cos 1(tan lim 20x x e d x c x b x a -→-+--+=c axde xc x b x axx 22212sin cos lim 220-=+--+-→, 所以a =－4c, 所以(d)为答案.三. 计算题 1. 求下列极限 (1) xx x e x 1)(lim ++∞→解. e e e eee x xxx x x x e x e x e x xe x x xxx =====++++++∞→+∞→+∞→+∞→11lim)ln(lim)ln(1lim )(lim(2) x x xx )1cos 2(sinlim +∞→解. 令xy 1=yy x x y y xx 10)cos 2(sin lim )1cos 2(sin lim +=+→∞→=2cos 2sin sin 2cos 2lim)cos 2ln(sin lim 00e ee yy y y yy y y y ==+-+→→(3) 310sin 1tan 1lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→解. =⎪⎭⎫ ⎝⎛++→310sin 1tan 1lim x x x x 310sin 1sin tan 1lim x x x x x ⎪⎭⎫⎝⎛+-+→3)s i n 1(s i nt a n s i nt a n s i n10s i n 1s i n t a n 1lim x x x x x x x x x x x +--+→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+==30sin tan lim x xx x e -→=0)cos 1(sin limxx x x e -→=212sin 2sin lim2e exx x x =⋅→.2. 求下列极限 (1) 323112arcsin )11ln(lim--+→x x x解. 当x →1时, 331~)11ln(--+x x , 323212~12arcsin --x x . 按照等价无穷小代换 33132313231221121lim121lim12arcsin )11ln(lim=+=--=--+→→→x x x x x x x x (2) ⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot 1lim解. 方法1：⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220cot 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 2220sin cos 1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-→4220cos )1(1lim x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-→32204sin cos )1(2cos 2lim x x x x x x x =3203204sin cos 2lim 42sin cos 2lim x x x x x x x x x x →→++-=21122cos 2sin cos 4cos 2lim220+++-→x x x x x x x =2131242sin 4sin cos 4lim 2131122cos 2cos 2lim 0220++-=+++-→→x x x x x x x x x =322131612131242sin 2lim 0=++-=++-→x x x方法2：⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220c o t 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 2220sin cos 1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→4220cos )1(1lim x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-→420)12)(cos 1(211lim x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-→444220)(0!4)2(!2)2(11)(1(211lim x x x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+--→4442420))(024162222(211lim x x x x x x x =3232lim 440=→x xx3. 求下列极限 (1) )1(ln lim-∞→nn n nn解. n nn n n n n n n n ln 1lim )1(ln lim -=-∞→∞→ x n n =-1令 1)1ln(lim0=+→x x x (2) nxnxn e e --∞→+-11lim解. ⎪⎩⎪⎨⎧-=+---∞→10111limnxnxn e e 000<=>x x x (3) nn n n b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim , 其中a > 0, b > 0解. nnnn b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2lim a b c n x /,/1== x c xxx x x ae ca 2ln )1ln(lim10021lim -+→+→+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=ab abac a ae aexx x x x c cc x c ====+-++→+→1ln lim2ln )1ln(lim004. 求下列函数的间断点并判别类型(1) 1212)(11+-=xxx f解. 11212lim )0(110=+-=+→+xxx f , 11212lim )0(110-=+-=-→-xxx f所以x = 0为第一类间断点.( 2 ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=11sin cos 2)2()(2x xx x x f π 00>≤x x解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点;11s i n l i m)(l i m 211-=→→x x f x x 不存在. 所以x = 1为第二类间断点; )2(π-f 不存在, 而2cos 2)2(lim2πππ=+-→x x x x ,所以x = 0为第一类可去间断点;∞=+--→xx x k x c o s 2)2(lim 2πππ, (k = 1, 2, …) 所以x =2ππ--k 为第二类无穷间断点.5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+=βαx e x x x f 1sin )(00≤>x x 在x = 0处的连续性. 解. 当0≤α时)1sin (lim 0xx x α+→不存在, 所以x = 0为第二类间断点;当0>α, 0)1sin (lim 0=+→xx x α, 所以 1-=β时,在 x = 0连续, 1-≠β时, x = 0为第一类跳跃间断点.6. 设f(x)在[a, b]上连续, 且a < x 1 < x 2 < … < x n < b, c i (I = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个ξ, 使 nnc c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ.证明: 令M =)}({max 1i ni x f ≤≤, m =)}({min 1i ni x f ≤≤所以 m ≤nnc c c c x f c x f c ++++++ 212211)()(≤ M所以存在ξ( a < x 1 ≤ ξ ≤ x n < b), 使得nnc c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: 假设F(x) = f(x)－x, 则F(a) = f(a)－a < 0, F(b) = f(b)－b > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.8. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 ≤ f(x) ≤ 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: (反证法) 反设0)()(],1,0[≠-=∈∀x x f x x ϕ. 所以x x f x -=)()(ϕ恒大于0或恒小于0. 不妨设0)()(],1,0[>-=∈∀x x f x x ϕ. 令)(min 10x m x ϕ≤≤=, 则0>m .因此m x x f x x ≥-=∈∀)()(],1,0[ϕ. 于是01)1(>+≥m f , 矛盾. 所以在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.9. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使 f(ξ) = g(ξ).证明: 假设F(x) = f(x)－g(x), 则F(a) = f(a)－g(a) < 0, F(b) = f(b)－g(b) > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 10. 证明方程x 5－3x －2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根. 证明: 令F(x) = x 5－3x －2, 则F(1) =－4 < 0, F(2) = 24 > 0 所以 在(1, 2)内至少有一个ξ, 满足F(ξ) = 0.11. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=⎰0cos 1010)cos 1(2)(022x dt t x x x x x x f x试讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可导性.解. 20200200cos lim 1cos 1lim )0()(lim )0('xx dt t x dt t x x f x f f x x x x x -=-=-=⎰⎰+++→→→+ 0221lim 21cos lim 2020=-=-=++→→xx x x x x 320200)c o s 1(2l i m 1)c o s 1(2l i m )0()(l i m )0('xx x x x x x f x f f x x x --=--=-=++-→→→-06)1(cos 2lim 32sin 2lim 02=-=-=++→→x x x x x x x 所以 0)0('=f , )(x f 在0=x 处连续可导.12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且0)(3sin lim 230=⎪⎭⎫⎝⎛+→x x f x x x , 求)0(''),0('),0(f f f 及23)(limx x f x +→. 解. 0)(3sin lim )(3sin lim )(3sin lim 2030230=+=+=⎪⎭⎫⎝⎛+→→→x x f x xx x xf x x x f xx x x x . 所以 0)(3s i n l i m 0=⎪⎭⎫⎝⎛+→x f x x x . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以)('),(x f x f 在x = 0连续. 所以f(0) = －3. 因为0)(3s i n l i m 20=+→x x f x x x , 所以03)(33sin lim20=++-→x x f x xx , 所以 2030202033c o s 33lim 3sin 3lim 3sin 3lim 3)(lim xx x x x x x x x x f x x x x -=-=-=+→→→→ =2923sin 3lim0=→x x x 02903)(lim 3)(lim 0)0()(lim)0('2000=⨯=+⋅=+=--=→→→x x f x x x f x f x f f x x x 由293)(lim20=+→x x f x , 将f(x)台劳展开, 得 293)(0)0(''!21)0(')0(lim 2220=++++→x x x f x f f x , 所以29)0(''21=f , 于是 9)0(''=f .(本题为2005年教材中的习题, 2008年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)第二章 导数与微分一. 填空题 1. xx x f +-=11)(, 则)()(x f n = _______. 解. 1112)1(!12)1()1(11)('++⋅-=++---=x x x x x f , 假设1)()1(!2)1(++⋅-=k k k x k f , 则111)1()1()!1(2)1(++++++⋅-=k k k x k f, 所以1)()1(!2)1(++⋅-=n n n x n f 2. 设⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12 , 则=22dx d y______.解. t t dx dy 2sin -=, 32'224cos sin 214sin 2cos 22sin t tt t t t t t t dxdt t t dx y d t -=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 3. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy e y x 确定, 则=dxdy______. 解. 0sin )'()'1(=+-++xy xy y y e y x , 所以xyx e e xy y y y x yx sin sin '--=++4. 已知f(－x) =－f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ______. 解. 由f(－x) =－f(x)得)(')('x f x f -=--, 所以)(')('x f x f =- 所以 k x f x f =-=)(')('005. 设f(x)可导, 则=∆∆--∆+→∆xx n x f x m x f x )()(lim 000_______.解. xx n x f x f x f x m x f x ∆∆--+-∆+→∆)()()()(lim 00000=x m x f x m x f m x ∆-∆+→∆)()(lim 000+x n x f x n x f n x ∆--∆-→∆)()(lim 000=)(')(0x f n m +6. 设)('31)()(lim0000x f x x f x k x f x =∆-∆+→∆, 则k = ________. 解. )('31)()(lim0000x f x k x f x k x f k x =∆-∆+→∆, 所以)('31)('00x f x kf = 所以 31=k7. 已知x x f dx d 112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛, 则=⎪⎭⎫⎝⎛21'f _______. 解. x x x f 121'32=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-, 所以21'22x x f -=⎪⎭⎫⎝⎛. 令x 2 = 2, 所以11'2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛x f8. 设f 为可导函数, )]}([sin sin{x f f y =, 则=dxdy_______. 解.)]}([sin cos{)]([sin ')(cos )('x f f x f f x f x f dxdy=9. 设y = f(x)由方程1)cos(2-=-+e xy e y x 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.解. 上式二边求导0)sin()'()'2(2=+-++xy xy y y e y x . 所以切线斜率 2)0('-==y k . 法线斜率为21, 法线方程为 x y 211=-, 即 x －2y + 2 = 0.二. 单项选择题1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是(a) 1)]([!+n x f n (b) 1)]([+n x f n (c) n x f 2)]([ (d) n x f n 2)]([! 解. 3)]([!2)(')(2)(''x f x f x f x f ==, 假设)()(x f k =1)]([!+k x f k , 所以 )()1(x fk +=2)]([)!1()(')]([!)1(++=+k k x f k x f x f k k , 按数学归纳法)()(x f n =1)]([!+n x f n 对一切正整数成立. (a)是答案.2. 设函数对任意x 均满足f(1 + x) = af(x), 且=)0('f b, 其中a, b 为非零常数, 则 (a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f a (c) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f b (d) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f ab 解. 在f(1 + x) = af(x)中代入)0()1(,0af f x ==得x f x f f x ∆-∆+=→∆)1()1(lim)1('0=ab af xaf x af x ==∆-∆→∆)0(')0()(lim0, 所以. (d)是答案 注: 因为没有假设)(x f 可导, 不能对于)()1(x af x f =+二边求导. 3. 设||3)(23x x x x f +=, 则使)0()(n f 存在的最高阶导数n 为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. ⎩⎨⎧=3324)(x x x f 00<≥x x . ⎩⎨⎧=x x x f 1224)('' 00<≥x x24024lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=++→→+xx x f x f f x x12012lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=--→→-xx x f x f f x x所以n = 2, (c)是答案.4. 设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ∆x 时, 记∆y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, xdyy x ∆-∆→∆0lim等于(a) －1 (b) 0 (c) 1 (d) ∞ 解. 由微分定义∆y = dy + o (∆x), 所以0)(lim lim00=∆∆=∆-∆→→∆xx o x dy y x x . (b)是答案.5. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=bax xx x f 1sin )(200≤>x x 在x = 0处可导, 则 (a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b 为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以)(l i m 1s i n l i m 02b ax xx x x +=-+→→, 所以b = 0. )0(')0('-+=f f , x ax xx x x x -+→→=020lim 1sinlim , 所以 0 = a. (c)是答案.三. 计算题1. ')]310ln[cos(2y x y ，求+=解. )310tan(6)310cos(6)310sin('222x x x x x y +-=+⋅+-= 2. 已知f(u)可导, ')][ln(2y x a x f y ，求++=解. ='y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++⋅++2222211)][ln('x a xx a x x a x f =22)][ln('xa x a x f +++3. 设y 为x 的函数是由方程xyy x arctanln22=+确定的, 求'y . 解.22222221'2'22xy x y x y y x y x yy x +-=+++ y x y yy x -=+'', 所以yx yx y -+=' 4. 已知⎩⎨⎧==te y t e x tt cos sin , 求22dx yd .解. tt t t t e t e t e t e dx dy t t t t sin cos sin cos sin cos sin cos +-=+-=, dtt t t t t t dx dt t t t t dt d dx y d 1)sin (cos )sin (cos )sin (cos sin cos sin cos 22222⋅+--+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= 322)s i n (c o s 2t t e dx y d t +-= 5. 设2/322)(x x u y y x +=+=，, 求dudy解. dy y dx )12(+=, dx x x x du )12()(23212++=dx x x x dx du dy y )12(23)12(2++=+)12()12(322+++=x x x y du dy 6. 设函数f(x)二阶可导, 0)0('≠f , 且⎩⎨⎧-=-=)1()(3te f y t f x π, 求0=t dx dy , 022=t dx yd . 解. )('3)1('33t fe ef dx dy t t -=, 所以0=t dx dy=3. 3333323322)]('[)('')1(')(')]1('3)(3)1(''[3t f t f e f e t f e f e e e f dx y d t t t t t t ---+-= 所以2322)]0('[)0(''6)0('9)]0('[)0('')0(')0(')]0('3)0(''3[30f f f f f f f f f t dx y d +=-+== 7. 设曲线x = x(t), y = y(t)由方程组⎩⎨⎧=+=ee e te x yt t2确定. 求该曲线在t = 1处的曲率. 解. e e e e e y t t y t t 2'-=-=. 所以)2)(1(12''e e t te e e e e x y dx dy t t t t tt t -+=+-==所以et dx dy 211-==.t t tt t e e e t te e e dx dt e e t dt d dx y d 2322)2()1(22)2)(1(1-++--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= 所以 222811et dx y d -==. 在t = 1的曲率为 2322322232)41(411811)'1(|''|--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+=e e e e t y y k四. 已知当x ≤ 0时, f (x )有定义且二阶可导, 问a, b, c 为何值时⎩⎨⎧++=cbx ax x f x F 2)()( 00>≤x x二阶可导.解. F(x )连续, 所以)(lim )(lim 0x F x F x x +-→→=, 所以c = f (－0) = f (0); 因为F(x )二阶可导, 所以)('x F 连续, 所以b = )0(')0('f f =-, 且 ⎩⎨⎧+=-)0('2)(')('f ax x f x F 00>≤x x)0(''F 存在, 所以)0('')0(''+-=F F , 所以a xf f ax x f x f x x 2)0(')0('2lim )0(')('lim 00=-+=--→→+-, 所以)0(''21f a =五. 已知)0(1)()(22n f xx x f ，求-=. 解. xx x f +⋅+-⋅+-=112111211)( 11)()1()1(21)1(!21)(+++-⋅+-⋅=n nn n x x n x f0)0()12(=+k f , k = 0, 1, 2, …!)0(2n fk=, k = 0, 1, 2, …六. 设x x y ln =, 求)1()(n f .解. 使用莱布尼兹高阶导数公式121)1()()()!2()1()!1()1()(ln )(ln )(------+--=+⋅=n n n n n n n x n n x n x x n x x x f=121121)!2()1()1()!2()1(-------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----n n n n n x n x n xn n 所以 )!2()1()1(2)(--=-n f n n 七. 已知'.,sin cos 20022y y tdt dt e x y t 求+=⎰⎰解. 两边对x 求导, 2222cos 2cos 2',cos '2cos 2'22yy ex x y y yy x x y e y y -=+=第三章 一元函数积分学(不定积分)一. 求下列不定积分: 1.⎰-+-dx x xx 11ln 112解. =-+-⎰dx x x x 11ln 112c x x x x d x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-+⎰211ln 4111ln 11ln 21 2. c x x x x d x x dx x x x+⎪⎭⎫⎝⎛-+=-+-+=-++⎰⎰2211arctan 2111arctan 11arctan 11arctan 11 3.⎰++⋅+++dx x x x x x cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 2解. c x x x x d x x dx x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++++=++⋅+++⎰⎰22cos 1sin 121cos 1sin 1cos 1sin 1cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 4.⎰+)1(8x x dx解. 方法一: 令tx 1=,c t t dt t dt t t t x x dx ++-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=+⎰⎰⎰)1ln(8111111)1(887828 = c x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-811ln 81 方法二:⎰⎰⎰+--=+=+dx x x x x x dx x x x dx )111()1()1(8878878=c x x x x d x dx ++-=++-⎰⎰)1ln(81||ln 1)1(81888=c x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-811ln 81 5．dx xx x x x x dx x x x ⎰⎰+++-+++=+++cos sin 121)cos (sin 21)cos sin 1(21cos sin 1sin 1 ⎰⎰⎰+++++--=dx x x dx x x x x dx cos sin 1121cos sin 1sin cos 2121 dx x x x x x x x d x ⎰⎰++++++-=2cos 22cos 2sin 2121cos sin 1)cos sin 1(212122tan 12tan 121|cos sin 1|ln 2121xd x x x x ⎰++++-=c xx x x +++++-=|12tan |ln 21|cos sin 1|ln 2121二. 求下列不定积分: 1.⎰+++22)1(22x x x dx解.⎰⎰++++=+++1)1()1()1(22)1(2222x x x d x x x dx t x tan 1=+令 ⎰t t t dtsec tan cos 22 =⎰++++-=+-=c x x x c t t tdt 122sin 1sin cos 222.⎰+241xxdx解. 令x = tan t,⎰⎰⎰⎰⎰++-=-===+c t t t t d t t d dt t t t t t dt xxdx sin 1sin 31sin sin sin sin sin cos sec tan cos 1324434224=c x x x x+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-23211313.⎰++221)12(xxdx解. 令t x tan =⎰⎰⎰⎰+=+=+=++t td dt t t t dt t t t xx dx2222222sin 1sin cos sin 2cos sec )1tan 2(sec 1)12( =c xx c t ++=+21arctansin arctan4.⎰-222x a dx x (a > 0)解. 令t a x sin =⎰⎰⎰+-=-=⋅=-c t a t a dt t a t a tdt a t a x a dxx 2sin 412122cos 1cos cos sin 22222222=c x a axa x a +⎪⎭⎫⎝⎛--2222arcsin 25.⎰-dx x 32)1(解. 令t x sin =⎰⎰⎰⎰++=+==-dt tt dt t tdt dx x 42cos 2cos 214)2cos 1(cos )1(22432=⎰+++=+++c t t t dt t t t 4sin 3212sin 4183)4cos 1(812sin 4141 =c t t x +++)2cos 411(2sin 41arcsin 83=c tt t x +-++)4sin 214(cos sin 241arcsin 832 =c x x x x +--+)25(181arcsin 8322 6.⎰-dx x x 421解. 令tx 1=⎰⎰⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-dt t t dt t t t t dx x x 224224211111u t sin =令⎰-udu u 2cos sin =c xx c u +-=+33233)1(cos 317.⎰-dx x x122解. 令 tdt t dx t x tan sec ,sec ==⎰⎰⎰++=+=+=-+c t t dt t tdt t tt t dx x xx sin )cos 1(tan sec tan sec 1sec 11222c xx x+-+=11arccos 2 三. 求下列不定积分:1. ⎰+-+dx e e e e xxxx 1243 解. ⎰⎰⎰+-=+--=+-+=+-+-----c e e e e e e d dx e e e e dx e e e e xx x x x x x x x x x x x x )arctan(1)()(11222243 2.⎰+)41(2x x dx解. 令xt 2=, 2ln t dtdx =c tt dt t t t t dt dx x x +--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+⎰⎰⎰2ln arctan 2ln 11112ln 12ln )1()41(22222 =c x x ++--)2arctan 2(2ln 1四. 求下列不定积分:1. ⎰-dx x x 1005)2( 解. ⎰⎰⎰---+--=--=-dx x x x x x d x dx x x 9949959951005)2(995)2(99)2(991)2( =⎰--⋅⋅+-⨯---dx x x x x x x 983984995)2(989945)2(98995)2(99 =962973984995)2(96979899345)2(97989945)2(98995)2(99-⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅---x x x x x x x x c x x x +-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-9495)2(95969798992345)2(959697989923452.⎰+41xx解.⎰⎰⎰⎰+-=+-=+-=+22244424)(1211111/11t dt t tdt t t t dt t t x x x dx 令c xx c u u du u u u t ++-=++-=-=⎰24221ln 21|sec tan |ln 21sec sec 21tan 令五. 求下列不定积分: 1.⎰xdx x 2cos解.⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x xdx x 2sin 4141)2cos 1(21cos 22⎰-+=xdx x x x 2sin 412sin 41412c x x x x +++=2cos 812sin 414122.⎰xdx 3sec解.⎰⎰⎰-==xdx x x x x x xd xdx tan sec tan tan sec tan sec sec 3=⎰⎰-++=--xdx x x x x xdx x x x 32sec |tan sec |ln tan sec sec )1(sec tan secc x x x x xd x +++=⎰|t a n s e c |ln 21tan sec 21sec 33. ⎰dx x x 23)(ln 解. ⎰⎰⎰+-=-=dx xx x x x d x dx x x 223323)(ln 3)(ln 11)(ln )(ln ⎰+--=dx x x x x x x 223ln 6)(ln 3)(ln ⎰+---=dx x x x x x x x 2236ln 6)(ln 3)(ln c xx x x x x x +----=6l n 6)(l n 3)(l n 23 4.⎰dx x )cos(ln解.⎰⎰⎰-+=+=dx x x x x dx x x x dx x )cos(ln )]sin(ln )[cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln ∴c x x xdx x ++=⎰)]sin(ln )[cos(ln 2)cos(ln 5.⎰⎰⎰⎰---+-=-==dx x x x x xd dx x x xx dx xxx 2sin 812sin 812sin 812cos 2sin 2cos 81sin 2cos 22233434c x x x xd x x x +--=+-=---⎰2cot 412sin 8122sin 412sin 81222 六. 求下列不定积分: 1.⎰-++dx x x x x 222)1()1ln( 解.⎰⎰-++=-++2222211)1ln(21)1()1ln(x dx x dx x x x x =⎰+⋅---++dx xx x x x 222211112111)1ln(21 t x t a n =令 tdt t t x x x 2222sec sec 1tan 1121)1(2)1ln(⋅⋅---++⎰ =dt t tx x x ⎰---++222sin 21cos 21)1(2)1ln( =⎰---++t t d x x x 222sin 21sin 2221)1(2)1ln( =c tt x x x +-+--++sin 21sin 21ln 241)1(2)1ln(22 =c xx xx x x x +-+++--++2121ln 241)1(2)1ln(2222 2.⎰+dx xx x 21arctan解.⎰⎰⎰++-+=+=+dx xx x x x xd dx xx x 2222211arctan 11arctan 1arctan =c x x x x dx x x x +++-+=+-+⎰)1ln(arctan 111arctan 122223. ⎰dx e e xx2arctan 解. dx e e e e e de e dx e e xx x xx x x x x ⎰⎰⎰++-=-=---22222121arctan 21arctan 21arctan dx e e e e x x x x ⎰++-=--22121arctan 21⎰++-=-dx e e e e x x xx )1(121arctan 2122 c x e e e dx e e e e e x x x xx x xx +++-=+-+-=---⎰)arctan arctan (21)11(21arctan 21222 七. 设⎩⎨⎧-+-+=-xe x x x x xf )32(3)1ln()(22 00<≥x x , 求⎰dx x f )(. 解.⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-⎰⎰⎰dx e x x dxx x dx x f x )32()3)1ln(()(22⎪⎩⎪⎨⎧+++-+-+--+=-122222)14(3)]1ln([21)1ln(21c e x x c x x x x x x 00<≥x x 考虑连续性, 所以c =－1+ c 1, c 1 = 1 + c⎰dx x f )(⎪⎩⎪⎨⎧++++-+-+--+=-ce x x c x x x x x x 1)14(3)]1ln([21)1ln(2122222 00<≥x x八. 设x b x a e f xcos sin )('+=, (a, b 为不同时为零的常数), 求f(x). 解. 令t x e t xln ==，, )cos(ln )sin(ln )('t b t a t f +=, 所以 ⎰+=dx x b x a x f )]cos(ln )sin(ln [)( =c x a b x b a x+-++)]cos(ln )()sin(ln )[(2九. 求下列不定积分: 1.⎰-dx x x234解. 令t x sin 2=⎰⎰⎰--==-t td t tdt t dx x x cos cos )cos 1(32cos sin 324222323=c x x c t t +---=++-23225253)4(34)4(51cos 532cos 3322.⎰>-)0(22a dx xa x 解. 令t a x sec =⎰⎰⎰+-===>-c at t a tdt a t t a ta ta a dx x a x tan tan tan sec sec tan )0(222 =c xaa a x +--arccos223.dx ee e xx x ⎰-+21)1(解.=-+⎰d ee e xx x 21)1(⎰-dx ee xx 21+dx ee xx ⎰-221=⎰-x x e de 21－dx e e d xx ⎰--221)1(21=c e e x x +--21arcsin 4.⎰-dx xa xx2 (a > 0)解. ⎰-dx x a x x 2 x u =令 ⎰-du u a u 2422 t a u sin 2=令 ⎰tdt a 42sin 8=⎰⎰+-=-dt t t a dt t a )2cos 2cos 21(24)2cos 1(82222=c t a t a t a dt t a t a t a ++-=++-⎰4sin 42sin 2324cos 122sin 22422222=c t t t a t t a t a +-+-)sin 21(cos sin cos sin 432222 =c t t a t t a t a +--cos sin 2cos sin 333222=c axa a x a xa a x a a x a a x a +----2222222232arcsin3222=c x a x x a a x a +-+-)2(232arcsin32十. 求下列不定积分:1. ⎰+-dx x x cos 2sin 2 解. ⎰⎰⎰++++=+-xx d dx x dx x x cos 2)cos 2(cos 212cos 2sin 2t x =2t a n 令 ⎰⎰+++=+++-++|cos 2|ln 322|cos 2|ln 1121222222x tdtx t t t dt =c x x c x t +++=+++|cos 2|ln )2(tan 31arctan 34|cos 2|ln 3arctan 342.⎰+dx x x xx cos sin cos sin解. ⎰⎰+-+=+dx xx x x dx x x x x cos sin 1cos sin 2121cos sin cos sin =⎰⎰⎰+-+=+-+dx xx dx x x dx x x x cos sin 121)cos (sin 21cos sin 1cos)(sin 212 =⎰++--)4sin()4(42)cos (sin 21ππx x d x x =c x x x ++--|)82tan(|ln 42)cos (sin 21π 十一. 求下列不定积分: 1.⎰++dx x xx )32(332解. ⎰⎰+=+=++++c x d dx x x x x x x x 3ln 3)3(3)32(332332222.⎰-+-dx x x x)13()523(232解. )523()523(21)13()523(2232232+-+-=-+-⎰⎰x x d x x dx x x xc x x ++-=252)523(513.dx xx x ⎰+++221)1ln(解.⎰⎰+++=++++=+++c x x x x d x x dx x x x )1(ln 21)1ln()1ln(1)1ln(222222 4.⎰+++++)11ln()11(222x x xxdx解.c x x xd x x xxdx+++=++++=+++++⎰⎰|)11ln(|ln )11ln()11ln()11ln()11(222222十二. 求下列不定积分: 1.⎰+dx x x x )1(arctan 2解.⎰⎰⎰-+-=++=+1222222)1(arctan 21)1()1(arctan 21)1(arctan x xd x d x x dx x x x ⎰⎰+++-=+++-=dx x x x x d x x x 22222)1(1211arctan 21arctan 11211arctan 21dt t x x tdt x x t x ⎰⎰+++-=++-=22cos 1211arctan 21cos 211arctan 21tan 222令c t t x x x aex c t t x x ++++-=++++-=cos sin 41arctan 411tan 212sin 81411arctan 2122 c xxx x x aex +++++-=22141arctan 411tan 21 2.⎰+dx x x1arcsin解. 令t x t xx2tan ,1arcsin==+则⎰⎰⎰++-=-==+c t t t t t d t t t t d t dx xxtan tan tan tan tan 1arcsin2222 c x xx x c x x x x x x +-++=+++-+=1arcsin )1(1arcsin 1arcsin3. ⎰-+⋅dx xx x x 22211arcsin解. ⎰⎰⎰+=+⋅=-+⋅dt t t tdt t t t t t x dx xx x x )1(csc cos cos sin 1sin sin 11arcsin 222222令⎰⎰⎰+++-=+-=c t tdt t t dt t tdt t 221cot cot cot c t t t t +++-=221|sin |ln cot c x x x x x +++--=22)(arcsin 21||ln 1arcsin4.dx x x x⎰+)1(arctan 22解.⎰⎰⎰-==+dt t t dt t t t t tx dx x x x)1(csc sec sec tan tan )1(arctan 222222令22221cot cot 21cot csc t dt t t t t d t dt t dt t t -+-=--=-=⎰⎰⎰⎰ c x x x x x c t t t t +-++-=+-+-=222)(arctan 21|1|ln arctan 21|sin |ln cot c x x x x x +-++-=222)(arctan 211ln 21arctan 十三. 求下列不定积分: 1.⎰-dx x x234解.⎰⎰⎰==-dt t t dt t t t t x dx x x 23323cos sin 32cos 2cos 2sin 8sin 24令 c t t t d dt t t ++-=-=⎰5322cos 532cos 332cos cos )cos 1(32 c x x +-+--=252232)4(51)4(342.⎰-xa x 22 解.⎰⎰⎰-==-dt t t a dt t t a t a t a t a x xa x 2222cos cos 1tan sec sec tan sec 令c xa a a x c at t a +--=+-=arccostan 22 3.dx ee e xx x ⎰-+21)1(解.udu u uu t dt t t t dt t t t te dx e e e x xx x cos cos sin 1sin 111)1(1)1(222⎰⎰⎰⎰+=-+=-+=-+令令c e e c u u x x +--=+-=21arcsin cos 4.⎰-dx xa xx2 (a > 0)解. ⎰-dx x a x x 2 x u =令 ⎰-du u a u 2422 t a u sin 2=令 ⎰tdt a 42sin 8=⎰⎰+-=-dt t t a dt t a )2cos 2cos 21(24)2cos 1(82222=c t a t a t a dt t a t a t a ++-=++-⎰4sin 42sin 2324cos 122sin 22422222=c t t t a t t a t a +-+-)sin 21(cos sin cos sin 432222 =c t t a t t a t a +--cos sin 2cos sin 333222=c axa a x a xa a x a a x a a x a +----2222222232arcsin3222=c x a x x a a x a +-+-)2(232arcsin32十四. 求下列不定积分: 1.⎰+xxdx cos 1sin解.⎰⎰⎰⎰-+-=++-=+=+xxd xx x d xx dx x xxdx 222cos 1cos 12cos 1sin )cos 1(cos 1sin sin cos 1sin ⎰⎰--=---=+)2(2)1(12cos 12222u u duu du u x 令⎰+-++=-+-=c u uu du u u |22|ln 2211)211(22c xx x++-++++=|cos 12cos 12|ln 221cos 112.⎰+-dx x xcos 2sin 2 解. ⎰⎰⎰++++=+-xx d dx x dx x x cos 2)cos 2(cos 212cos 2sin 2t x =2t a n 令 ⎰⎰+++=+++-++|cos 2|ln 322|cos 2|ln 1121222222x t dt x t t t dt =c x x c x t +++=+++|cos 2|ln )2(tan 31arctan 34|cos 2|ln 3arctan 343.⎰+dx x x xx cos sin cos sin解. ⎰⎰+-+=+dx xx x x dx x x x x cos sin 1cos sin 2121cos sin cos sin =⎰⎰⎰+-+=+-+dx xx dx x x dx x x x cos sin 121)cos (sin 21cos sin 1cos)(sin 212 =⎰++--)4sin()4(42)cos (sin 21ππx x d x x =c x x x ++--|)82tan(|ln 42)cos (sin 21π 十五. 求下列不定积分: 1.dx xx x ⎰-1解.c t t td dt t t tx dx xx x +--=---=-=-⎰⎰⎰333321341)1(32121令c x +--=231342.⎰+-dx e e x x 11解.⎰⎰⎰⎰-=-=--=+-dt t dt t t t t e dx e e dx e e xx x x x )1(sec tan tan 1sec sec 11112令c ee e c t t t x xx+-++=+--=1arccos)1ln(|tan sec |ln 2 3.dx xx x ⎰--1arctan 1解. 令t t dx t x x t x t tan sec 2,sec ,1tan ,1arctan 22==-=-=。

第一章 函数与极限复习题1. 选择题（1）设数列n x 与n y , 满足0lim =∞→n n n y x , 则下列断言正确的是（ ）.A. 若n x 发散, 则n y 必发散B. 若n x 无界, 则n y 必有界C. 若n x 有界, 则n y 必为无穷小D. 若1nx 为无穷小, 则n y 必为无穷小（2）当0→x 时, 下列四个无穷小量中, 哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量？（ ）.A. 2xB. x cos 1-C. 112--xD. sin tan x x -（3）设当0→x 时, 2(1cos )ln(1)x x -+是比n x x sin 高阶的无穷小, n x x sin 是比12-xe高阶无穷小, 则n 等于（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4 （4）下列函数在其定义域内连续的是（ ）. A. x x x f sin ln )(+= B. ⎩⎨⎧>≤=0,cos 0,sin )(x x x x x fC. ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=0,10,00,1)(x x x x x x f D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,||1)(x x x x f（5）设()f x 在x a =连续, ()x ϕ在x a =间断, 又()0f a ≠, 则（ ）.A. [()]f x ϕ在x a =处间断B. [()]f x ϕ在x a =处间断C. 2[()]x ϕ在x a =处间断D.()()x f x ϕ在x a =处间断（6）函数3()sin x xf x xπ-=的可去间断点的个数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4 （7）函数2||sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界（ ）.A. (1,0)-B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)（8）设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义, 且满足lim ()x f x a →∞=, 函数1(),0()0,0f x g x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则（ ）.A. 0x =必是()g x 的第一类间断点B. 0x =必是()g x 的第二类间断点C. 0x =必是()g x 的连续点D. ()g x 在点0x =处的连续性与a 的取值有关 （9）设x e x x f -+=1)(, 则当0→x 时, （ ）.A. )(x f 是x 的等价无穷小B. )(x f 与x 是同阶但非等价无穷小C. )(x f 是比x 更高阶的无穷小D. )(x f 是比x 较低阶的无穷小 （10）设函数nn xx x f 211lim)(++=∞→, 讨论函数)(x f 的间断点, 其结论为（ ）.A. 不存在间断点B. 存在间断点1=xC. 存在间断点0=xD. 存在间断点1-=x2. 填空题（1）2103sin coslim(1cos )ln(1)xx x x x x →+=++______________________.（2）设)1,0()(≠>=a a a x f x , 则21limln[(1)(2)()]n f f f n n→∞=______.（3）极限lim (3)n n n n n →∞+-+=___________.（4）22lim sin1x x x x →∞=+_____________.（5）已知当0→x 时, 1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小, 则常数a =__________.（6）(1)1lim ()nn n n-→∞+=____________.（7）已知2(cos ),0(),0xx x f x ax -⎧≠⎪=⎨=⎪⎩在0=x 处连续, 则=a _________.（8）若5)(cos sin lim=--→b x ae x xx , 则a =_______, b =_________.（9）设0()ln(1)sin 2lim51x x f x x e →+=-, 则20()lim x f x x →=____________. （10）已知2)3(lim0=→x f x x , 则0(2)limx f x x→=____________.3. 求下列极限：（1）21lim ln (12)nn n na n a →∞⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦（其中a 为不等于12的常数）（2）11lim (cossin)x x xx→∞+（3）41lim 1cos(1cos )xx ex x →---（4）xx x coslim+→（5）xx x x x 2arcsincos sin 1lim -+→（6）31lim [sin(ln(1))sin(ln(1))]x x xx→∞+-+（7）)11131121(lim 222-++-+-∞→n n（8）)212252321(lim 32nn n -++++∞→4. 已知2lim (31)2x x ax bx →+∞-++=, 求常数0a >和b 的值.5. 已知211()1l i mx f x xA x→+-=(0)A ≠，试确定常数,a b ，使得当0x →时，()bf x ax.6. 设),2,1)(1(21,211 =+==+n a a a a nn n ,试求极限n n a ∞→lim .7. 求)0()(1lim )(22>++=∞→x x x f n nx nn 的解析式, 并讨论)(x f 的连续性.8. 试确定常数a 与b 的值，使函数2122()lim 1n nn xax bx f x x-→∞++=+为连续函数.9. 设函数)1)(()(---=x a x b e x f x, 问：a 与b 取何值时, 可使0=x 为)(x f 的无穷间断点；1=x 为)(x f 的可去间断点.10. 求函数tan()4()(1)xx f x x π-=+在区间(0,2)π的间断点, 并判断其类型.11. 求极限xt xxt xt sin sin )sin sin (lim -→, 记此极限函数为)(x f , 求函数)(x f 的间断点并指出其类型.。

考研高数第一章常考题型三：无穷小量的比较6.【13—3 4分】当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A ）23()()x o x o x ⋅=（B ）23()()()o x o x o x ⋅= （C ）222()()()o x o x o x +=（D ）22()()()o x o x o x += 7.【01—2 3分】0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而n x x sin 是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ ）()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 4．8.【00—2 3分】若30sin 6()lim 0x x xf x x →+=，则206()lim x f x x→+为（ ） ()A 0 ()B 6 ()C 36 ()D ∞9.【09—123 4分】当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. 10.【04—12 4分】把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t x x x ⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβα排列，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（ ）()A γβα,,. ()B βγα,,. ()C γαβ,,. ()D αγβ,,.11.【07—123 4分】当0x +→ ）()A 1-()B()C 1 ()D 1- 12.【10—3 4分】设f (x )=ln 10 x ， g (x )= x ， h (x )= 10xe ， 则当x 充分大时有（ ）()A g (x )< h (x )< f (x ) . ()B h (x )< g (x )< f (x ) .()C f (x )< g (x )< h (x ) . ()D g (x )< f (x )< h (x ) .13.【05—2 4分】当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k =14.【03—2 4分】若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a =15.【06—2 10分】试确定,,A B C 的常数值，使23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.16.【02—2 8分】设函数)(x f 在0x =的某邻域具有二阶连续导数，且0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时， )()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++．17.【13—2 4分】设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ） （A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小18.【13—2、3 10分】当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与n ax 为等价无穷小，求n 与a 的值。

第一章函数与极限答案解析一、选择题（本题共 15小题，每小题３分，满分 45 分）1、函数 x x x y sin cos + = 是【 】(A)偶函数 (B)奇函数(C)非奇非偶函数 (D)奇偶函数【答案】B2、函数 21arccos 1 + + - = x x y 的定义域是【 】(A) ] 1 , (-¥ (B) ]1 , 3 [ - - (C) )1 , 3 (- (D) ]1 , 3 [- 【答案】Ｄ【解析】 0 1 ³ -x 且 1 211 £ + £- x ，解得 1 3 £ £ - x 3、设 îíì > £ = 10 11) ( x x x f 则 ( ) [ ]{ } x f f f 等于【 】（A ）0 （B ）1(C) îíì > £ 1 0 1 1 x x (D) îíì > £ 1 1 1 0 x x 【答案】B4、当 +®0 x 时，与 x 等价是无穷小量的是【 】（A ） xe - 1 （B ） xx- + 1 1 ln（C ） 11 - + x （D ） xcos 1- 【答案】B【解析】 +®0 x 时， 等价 与 x 1 - - x e ， 等价 与x x 2 1 1 1 - + ， 等价 与 x x 21cos 1- 1 1 1lim 11 1 lim 1 1 ln lim 0 0 0 = - + = - - + - + +++® ® ® x x x x xx x x x x x 等价代换 ，等价 与 x xx - + \ 1 1 ln 5、设 tx tx t ee x xf + + = ® 1 lim ) ( 0 ，则 0 = x 是 ) (x f 的【 】（A ）连续点 （B ）第一类间断点 （C ）第二类间断点 （D ）不能判断连续性的点【答案】A【解析】 211 e lim 1 lim ) ( 0 00 0 + = + + = + + = ® ® x e x e e x x f t tx tx t 是R 上的连续函数， 0 = \x 是 ) (x f 的连续点 6、 n n x ¥® lim 存在是数列{ }n x 有界的【 】(A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件【答案】B7、如果 ) ( lim 0x f x x + ® 与 ) ( lim 0x f x x -® 存在，则【 】（A） ) ( lim 0x f x x ® 存在且 )( ) ( lim 0 0x f x f x x = ® （B） ) ( lim 0x f x x ® 不存在（C） ) ( lim 0x f x x ® 存在但不一定有 )( ) ( lim 0 0x f x f x x = ® （D） ) ( lim 0x f x x ® 不一定存在【答案】D 8、设 xx x x x f 3 4 2 ) ( - + =，则 ) ( lim 0x f x ® 为【】（A ）12(B)1 3(C)1 4(D)不存在【答案】D9、如果 ) ( ), ( x g x f 都在 0 x 点处间断，那么【 】（A） ) ( ) ( x g x f + 在 0 x 点处间断 （B） ) ( ) ( x g x f - 在 0 x 点处间断 （C） ) ( ) ( x g x f + 在 0 x 点处连续 （D） ) ( ) ( x g x f + 在 0 x 点处可能连续【答案】D10、方程 0 1 4= - - x x 至少有一个根的区间是【 】（A） （0,1/2） （B） （1/2,1）（C） （2,3）（D） （1,2）【答案】D 11、设ï îïí ì = ¹ - + = 0 , 0 0 , 11 ) ( x x xx x f ，则 0 = x 是函数 ) (x f 的【 】 ‘（A）可去间断点（B）无穷间断点（C）连续点 （D）跳跃间断点【答案】A 12、已知 0 )( lim0 = ® xx f x ，且 1 ) 0 ( = f ，那么【】（A） ) (x f 在 0 = x 处不连续 （B） ) (x f 在 0 = x 处连续 （C） ) ( lim 0x f x ® 不存在（D） 1) ( lim 0= ® x f x 【答案】A13、已知当 0 ® x 时， 1 ) 1 312 - +ax （ 与 1 cos - x 是等价无穷小，则常数a 为【 】（A ）32 (B) 32 -(C)23 (D) 23 -【答案】D【解析】 2 31 32 21 3 1 lim 1 1 cos 1 ) 1 ( lim 22 0 31 2 0 -= Þ = - = - Þ = - - + ® ® a a x axx ax x x14、设 () f x 和 () g x 在(,) -¥+¥ 内有定义, () f x 为连续函数,且 ()0,() f x g x ¹ 有间断点, 则必有间断点的 函数是【】（Ａ） [()] g f x （Ｂ） 2 [()]g x （Ｃ） [()]f g x （Ｄ）()()g x f x 【答案】D【解析】 设 1 ) ( 2+ = x x f ， îí ì< - ³ = 0 , 1 0 x 1 ) ( x x g ， 则 ) (x f 为连续函数，且 ()0,() f x g x ¹ 有间断点 0= x 则 2 )] ( [ = x g f ， 1 ) 1 ( )] ( [ 2 = + = x g x f g ， 1 )] [( 2= x g 均为连续函数，所以 A,B,C 选项错 下面证明D 选项是对的，用反证法 假设()()g x f x 是连续函数，由于 () f x 是连续函数且 0 ) ( ¹ x f ) (x g Þ 也为连续函数，与假设矛盾 15、设数列 n x 与 n y 满足 0 lim = ¥® n n n y x ，则下列断言正确的是【】（A）若 n x 发散，则 n y 必发散 （B）若 n x 无界，则 n y 必有界（C）若 n x 有界，则 n y 必为无穷小 （D）若 nx 1为无穷小，则 n y 必为无穷小 【答案】D 【解析】 设 îí ì= 为奇数 ， 为偶数 n n n x n 0 , ， îíì= 为偶数 ， 为奇数 n n n y n 0 , ，满足 0 lim = ¥® n n n y x ，但 n x 和 n y 均无界，所以（B）选项错； 设 2 1 n x n = ， n y n = ，满足 0 1lim 1 lim lim 2 = = × = ¥ ® ¥ ® ¥ ® nn n y x n n n n n ， n x 有界，但 n y 为无穷大，所以（C）选项 错；0 1 lim0 lim = Þ = ¥ ® ¥® nnn n n n x y y x 极限存在， 若 n x 1 为无穷小， 则 n y 必为无穷小， 否则极限是不存在的， 所以 （D） 选项正确；二、 计算题（满分 105分）1.求下列极限（本题共 6 小题，每小题4 分，满分 24分） (1))1 ( lim 1- ¥® xx e x解： 等价 与 x1 1 , 0 ) 1 ( lim 1 1- \ = - ¥ ® xx x e e ， 1 1 lim 1 e lim 1= = - ¥ ® ¥ ® x x x x xx ） （ (2) )( lim x x x x x - - + +¥® 解： 11 1 1 1 2limx 2 lim= -+ + = - + + = +¥® +¥® xx xx x x x x 原式 (3) xxx x 2 sin sin tan lim3 0 - ® 解： 161 )2 ( 2 1 lim 2 sin sin tan lim3 30 3 0 = = - ® ® x xx x x x x (4) xx x 2 sin ln 5 sin ln lim 0+® 解： 1 5 sin 2 sin lim . 2 cos 2 5 cos 5 lim 2 cos 2 . 2 sin 1 5 cos 5 . 5 sin 1lim 2 sin ln 5 sin ln lim 0 0 0 0 = = = ++++® ® ® ® x x x x xxxx x x x x x x (5) xe x x x 1 ln 1 lim 0 - ® 解：方法一： 等价与 1 1 ) 1 1 1 ln( 1 ln - - - - + = - x e x e x e x x x Q 212 1 lim 1 . 1 lim ) 1 1 ( 1 lim 1 ln 1 lim 0 0 0 0 = - = - - = - - = - ® ® ® ® x e x x e x x e x x e x x x x x x x x x 方法二：洛必达法则21 2 lim 1 lim 1 1 lim 1lnlim 1 ln 1 lim 0 2 0 2 0 0 0 = = + - = + - × - = - = - ® ® ® ® ® x xe x e xe x e xe e x x x e x e x x x x x x x x x x x x x x (6) ) cos 1 ( cos 1 lim 0x x x x - - +® 解： 2 1cos 1 1 21 cos 1 lim cos 1 cos 12 1 . cos 1 lim )cos 1 ( cos 1 lim 2 0 0= + × - = + + × - = - - +++® ® ® x x x x x x x x x x x x x x 2.求下列极限（本题共 6 小题，每小题7 分，满分 42分）(1) () xx x 2 tan 4tan lim p®解：原式= )1 .(tan2 tan . 1tan 14)1 tan 1 ( lim - - ®- + x x x x x p1sin cos sin 2 lim cos 2 cos ) cos (sin 2 sin lim) 1 (tan 2 tan lim 444- = + - = - = - ®® ®x x xx x x x x x x x x x p p p1e- = \原式 (2) 21) 2 (cos lim xx x ® 解： 212 cos lim 12 cos .1 2 cos 1 012 0 22)1 2 cos 1 ( lim ) 2 (cos lim - - - - ® ® = = - + = ® eex x xx x x x x x x x (3) x x x 2tan 1)2 ( lim p- ® 解： xx x x x x x x x ex x 2tan ) 1 ( lim 2tan ) 1 ( 1 1 12tan 11 )1 1 ( lim )2 ( lim ppp- - - ® ® ® = - + = - p p p pp p p p p 2 2sin 2 2 cos ) 1 (2 2 sin lim2 cos 2 sin ) 1 ( lim 2 tan ) 1 ( lim 1 1 1 = - - + - = - = - ® ® ® xxx x x x x x x x x x p2e= \原式 (4) )33 ( lim 11 1 2+ ¥® - x x x x 解： 3ln 3 ln )1 ( 1lim ) 1 3( 3 lim ) 3 3 ( lim 2 111 1121112= + ×= - × = - ¥® + - + ¥® + ¥® x x x x x x x x x x x xx 其中 等价 与 )1 ( 11 3111 + - + - x x x x ， 13 lim 1 1= + ¥ ® x x (5) ) cos 1sin 1 (lim 2 2 2 0xx x x - ® 解： 42 22 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 sin cos lim cos sin sin cos lim ) cos 1 sin 1 ( lim x xx x x x x x x x x x x x x x - = - = - ® ® ® 32) 3 1 ( 2 3 sin lim 2 sin cos lim sin cos lim2 0 03 0 - = - × = - = + × - = ® ® ® x x x x x x x x x x x x x x (6) xx xx ) 1cos 2 (sin lim + ¥ ® 解：令 x t 1 = 则 ) cos 2 ln(sin 10 10 lim ) cos 2 (sin lim ) 1 cos 2 (sin lim t t t t t t x x et t xx + ® ® ¥ ® = + = +2 1 cos 2 sin lim ) cos 2 ln(sin lim0 0 = - + = + ® ® tt t t t t t t ， 2e= \原式 3. 2 2lim 2 2 2 = - - + + ® x x b ax x x ,求: b a , （本题满分 8 分） 解： b ax + + 2 x 和 2 x 2 - -x 均为多项式，它们都是连续函数且n 阶可导， 2 ® x 时 0 2 x 2 ® - - x 故一定符合洛必达法则的条件2 = \x 时 0 x 2 = + + b ax 即 02 4 = + + b a 2 234 1 2 2 lim 2 lim 2 2 2 2 = Þ = + = - + = - - + + \ ® ® a a x a x x x b ax x x x 8, 2 - = = \ b a 4.设 î íì > - £ = 1 , 1 1 , ) ( 2 x x x x x f ， ï îïí ì > + £ < - £ = 5 , 3 5 2 ), 1 ( 2 2 , ) ( x x x x x xx g , 考察 )] ( [ x g f 的连续性. （本题满分 11 分） 解： ï ï îïïíì > - - £ < - £ < - £ = îí ì > - £ = = 5 , 2 5 2 , 2 3 2 1 , 1 1 , 1 ) ( ), ( 1 1 ) ( ), ( )] ( [ ) ( 22 x x x x x x x x x g x g x g x g x g f x F 0 1 1 ) ( lim 1= - = + ® x F x ， 1 ) ( lim 1= - ® x F x ， ) (x F \ 在 1 = x 处不连续1 4 3 ) ( lim2 - = - = +® x F x ， 1 2 1 ) ( lim 2 - = - = -® x F x ， ) (x F \ 在 2 = x 处连续7 2 5 ) ( lim 5- = - - = + ® x F x ， 7 10 3 ) ( lim 5- = - = - ® x F x ， ) (x F \ 在 5 = x 处连续综上可得， )] ( [ x g f 在 ）， （ ） ， （ ¥ + È ¥ 1 1 ­ 上连续，在 1 = x 处间断， 1 = x 为其跳跃间断点。

17、（ 4分）从数 、（05, 分 从数1,2,3,4中任取一个数，记 中任取一个数， 、（ 中任取一个数 再从1, 中任取一个数， 为X,再从 再从 ，X中任取一个数，记为 则 中任取一个数 记为Y,则
P{Y = 2} =
L13
48
18、（87,2分 设在一次试验中，事件 发生的 18、（87,2分）设在一次试验中，事件A发生的 、（87,2 概率为p，现进行 次独立试验 次独立试验， 概率为 ，现进行n次独立试验，则A至少发生一 至少发生一 次的概率为 1− (1− p)
712357973分袋中有50个乒乓球其中20个黄球30个白球今有两人依次从袋中各取一球不放回则第二个人取到白球的概率166933分一批产品共有10个正品和2个次品随意抽取两次每次取一个取后不放回求第二次取到次品的概率8882分若在区间01内任取两个数则事6件两数之和小于的概率为59913分随机地向半圆a为正常数内掷一点点落在半圆内的概率与该区域的面积成正比则原点和该点的连线与x的1夹角小于的概率202yaxx???4?12??72510892分甲乙两人独立的对同一目标射击一次其命中率分别为06和05现已知目标被击中它是甲射中的概率07511983分设ab为两个随机事件且0pa1pb0则必有apbapab?bpabpab?cpapbpab?papbdpab?pbapba?c13064分设ab为随机事件且pb0则必有1pab?apapba??bpbpba??cpapba??pbdpba??c12003分设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为19a发生b不发生的概率与b发生a不发生的概率相等则pa2314074分某人向同一目标独立射击每次命中目标的概率为p0p1则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为231app?261bpp?223c1pp?226d1pp?c15某人向同一目标独立射击每次命中目标的概率为p0p1已知此人第4次射击恰好第2次命中目标则第一次命中目标的是第3次射击1的概率为3160310分已知甲乙两箱中装同种产品其中甲箱中有三件合格品和三件次品乙箱中仅装有三件合格品

学府考研数学高等数学第一章测试卷注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合2=--<=-，则A x x x B{|340},{4,1,3,5}A、{4,1}-B、A B={1,5}C、{3,5}D、{1,3}2、若3zz=++，则||=12i iA、0B、1C D、23、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 、14B 、12C 、14D 、12+ 4、设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A 、15 B 、25 C 、12D 、455、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A 、y a bx =+B 、2y a bx =+C 、e x y a b =+D 、ln y a b x =+6、已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A 、1B 、2C 、3D 、47、设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A 、10π9B 、7π6C 、4π3D 、3π28、设3log 42a =，则4a -=A 、116B 、19C 、18D 、169、执行下面的程序框图，则输出的n =A 、17B 、19C 、21D 、2310、设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=A 、12B 、24C 、30D 、3211、设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A 、72B 、3C 、52D 、212、已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A 、64πB 、48πC 、36πD 、32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

考研数学题库-第一章行列式【圣才出品】考研数学中，行列式是一个重要的基础概念，它在解决线性方程组、矩阵的特征值等问题中都有着广泛的应用。

在这一章中，我们将深入探讨行列式的相关知识。

行列式的定义看起来可能有些抽象，但其实质是一个数值。

对于一个二阶行列式，我们可以通过简单的交叉相乘再相减来计算。

例如，对于二阶行列式\ ＼begin{vmatrix} a ＆ b ＼＼ c ＆ d ＼end{vmatrix} ＼，其值为＼（ad bc\）。

当扩展到三阶行列式时，计算就稍微复杂一些。

比如三阶行列式\＼begin{vmatrix} a_{1} ＆ b_{1} ＆ c_{1} ＼＼ a_{2} ＆ b_{2} ＆ c_{2} ＼＼ a_{3} ＆ b_{3} ＆ c_{3} ＼end{vmatrix} ＼，其值为＼（a_{1}b_{2}c_{3} ＋ a_{2}b_{3}c_{1} ＋ a_{3}b_{1}c_{2}a_{3}b_{2}c_{1} a_{2}b_{1}c_{3} a_{1}b_{3}c_{2}＼）。

虽然直接按照定义计算行列式在阶数较低时是可行的，但当阶数较高时，这种方法就会变得非常繁琐。

因此，我们需要掌握一些行列式的性质和计算方法。

行列式具有一些重要的性质。

例如，行列式与它的转置行列式的值相等；若行列式的某一行（列）元素全为零，则行列式的值为零；若行列式的某两行（列）对应元素成比例，则行列式的值为零；将行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式的值不变。

利用这些性质，我们可以简化行列式的计算。

比如，通过将某一行（列）的倍数加到另一行（列）上，把行列式化为上三角行列式或下三角行列式，然后行列式的值就等于主对角线元素的乘积。

此外，还有一些特殊的行列式，如对角行列式、上三角行列式和下三角行列式。

对角行列式的值就是对角线上元素的乘积；上三角行列式和下三角行列式的值也都是主对角线元素的乘积。

在考研数学中，关于行列式的题目类型多样。

x
xx0
x
1
11．设
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x1），即－f（－x2）＞－f（－x1），即 F（x2）＞F（x1）单调增加，C 正确。取 f（x）＝x3， 可排除 A 项。取 f（x）＝x，可排除 B、D 项。
9．设
f
x
1
lim
n
n n
x 2
n
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F
x
x
0
x2
t2
f
t
dt
且当 x→0 时 F′（x）与 xk 是同阶无穷小，则 k 等于（ ）。
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
F
x
x
0
x2
t
2
f
t
dt
x2 x f t dt x t2 f t dt
0
0
F
x
x
2x0
f
t dt
x2
f
x
x2
f
x
x
2x0
f
t dt
Fx
因为
F′（x）与
xk
是同阶无穷小，故
lim
x0
xk
存在且不为零，由洛必达法则可得
lim
x0
Fx
xk
lim x0
2
x f t dt
0
xk 1
2 f x
lim
x0
k
1
xk
2
2 f x
lim
x0
k