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考研应用数学试题题库及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数为：A. 2x+1B. 2x+2C. 2xD. 2答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 微分方程y''+y=0的通解为：A. y=C1*cos(x)+C2*sin(x)B. y=C1*e^x+C2*e^(-x)C. y=C1*x+C2D. y=C1*x^2+C2*x答案：A4. 矩阵A=[1,2; 3,4]的行列式为：A. -2B. 2C. -5D. 5答案：D5. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率为：A. 0C. 2D. -2答案：C6. 函数f(x)=e^x的不定积分为：A. e^x+CB. e^x-CC. x*e^x+CD. x*e^x-C答案：A7. 函数f(x)=x^2+3x+2的极值点为：A. x=-1B. x=-2C. x=1答案：A8. 曲线y=x^3-3x^2+2x在点(1,0)处的切线方程为：A. y=2x-2B. y=-2x+2C. y=2xD. y=-2x答案：A9. 矩阵A=[1,0; 0,2]的逆矩阵为：A. [1,0; 0,1/2]B. [1,0; 0,2]C. [1,0; 0,1]D. [1/2,0; 0,1]答案：A10. 函数f(x)=ln(x)的二阶导数为：A. 1/x^2B. -1/x^2C. 1/xD. -1/x答案：A二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值为______。
答案：-112. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2-5x)的值为______。
答案：013. 微分方程y'+2y=e^(-2x)的特解为______。
答案：y=-1/2*e^(-2x)+C*e^(-2x)14. 函数f(x)=x^3的不定积分为______。
数学极限练习题考研数学极限是考研数学中的一个重要的知识点，也是比较难以理解和掌握的内容之一。
掌握了数学极限的概念和运算方法，对于考生在考研数学中获得高分非常有帮助。
下面我将为大家列举一些数学极限的练习题，帮助大家更好地掌握和应用数学极限。
【练习题一】求极限1. $\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}$2. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$3. $\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}$4. $\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$5. $\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\tan x}\right)$【解答】1. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{(e^x-1)'}{x'} = \lim_{x \to 0}\frac{e^x}{1} = 1$$2. 同样根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$3. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x\cos x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos x} = 1$$4. 这是一个经典的极限，可以用连续复利公式证明，答案为：$$\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$$5. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\tan x}\right) = \lim_{x \to 0}\frac{1-\frac{x}{\sin x}}{x}$$利用洛必达法则：$$= \lim_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{2}\sin x + \frac{x\cos x}{\sin^2 x}}{1} = -\frac{1}{2}$$通过解答以上练习题，我们可以发现，掌握数学极限的运算方法和技巧是非常重要的。
考研数学试题大全及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 极限的概念是微积分学的基础，以下哪个选项是正确的极限定义？A. 函数在某点的极限是该点的函数值B. 函数在某点的极限是该点的函数值的极限C. 函数在某点的极限是该点的函数值的极限，如果存在的话D. 函数在某点的极限是该点的函数值，如果存在的话答案：C2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B3. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫e^x dx = e^x + CD. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C答案：D4. 二阶导数测试法可以用来确定函数的凹凸性，以下哪个选项是正确的？A. 如果f''(x) > 0，则函数f(x)在该点是凹的B. 如果f''(x) < 0，则函数f(x)在该点是凸的C. 如果f''(x) > 0，则函数f(x)在该点是凸的D. 如果f''(x) < 0，则函数f(x)在该点是凹的答案：C5. 以下哪个选项是正确的多元函数偏导数的定义？A. ∂f/∂x = lim(h->0) [f(x+h, y) - f(x, y)] / hB. ∂f/∂x = lim(h->0) [f(x, y+h) - f(x, y)] / hC. ∂f/∂x = lim(h->0) [f(x+h, y) - f(x, y)] / hD. ∂f/∂x = lim(h->0) [f(x, y) - f(x-h, y)] / h答案：C6. 以下哪个选项是正确的二重积分的性质？A. ∬R f(x, y) dA = ∬R f(y, x) dAB. ∬R f(x, y) dA = ∬R f(-x, -y) dAC. ∬R f(x, y) dA = ∬R f(-x, y) dAD. ∬R f(x, y) dA = ∬R f(x, -y) dA答案：A二、填空题（每题5分，共20分）7. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的导数是_________。
考研数学练习题推荐考研数学是许多考研学子的必考科目，它不仅考验学生的数学基础，还考察学生的逻辑思维和解题能力。
以下是一些推荐的考研数学练习题，帮助学生更好地准备考试。
首先，基础题是考研数学复习的起点。
基础题包括了高等数学、线性代数和概率论与数理统计的基本概念和公式。
例如，求极限、导数、积分的基本计算，矩阵的运算，以及概率分布和期望的计算等。
这些题目可以帮助学生巩固基础知识，为解决更复杂的问题打下坚实的基础。
其次，应用题是考研数学中的重要部分。
应用题通常涉及到实际问题，要求学生运用数学知识进行分析和解决。
例如，使用微积分解决物理运动问题，利用线性代数解决工程问题，或者应用概率论解决统计问题。
这类题目可以提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
再者，综合题是考研数学中难度较高的部分。
综合题往往需要学生综合运用多个数学分支的知识，如将微积分与线性代数结合，或者将概率论与数理统计结合。
这类题目可以锻炼学生的综合思维能力，提高解题技巧。
此外，历年真题是考研数学复习中不可或缺的资源。
通过做历年真题，学生可以了解考试的题型和难度，熟悉考试的出题风格，从而更好地调整自己的复习策略。
最后，模拟题和练习册也是很好的复习材料。
市面上有许多针对考研数学的模拟题和练习册，它们提供了大量的练习题和解题指导，帮助学生查漏补缺，提高解题速度和准确率。
总之，考研数学的复习是一个系统的过程，需要学生从基础到综合，从理论到应用，不断练习和总结。
希望以上的推荐能够帮助到正在准备考研数学的同学们，祝大家考试顺利！。
考研数学往年试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^3-3答案：A2. 已知集合A={x|x<2}，B={x|x>3}，则A∩B=？A. {x|x<2}B. {x|x>3}C. {x|2<x<3}D. 空集答案：D3. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B4. 设矩阵A=\[\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{matrix}\]，求A的行列式值。
A. -2B. 2C. -1D. 1答案：B5. 求极限lim(x→0) (sin x)/x的值。
A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B6. 已知等差数列{an}的前三项为1，4，7，求通项公式an。
A. 3n-2B. 3n+1C. n+3D. 3n-1答案：A7. 设函数f(x)=x^2+2x+1，求f(x)的最小值。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B8. 已知曲线y=x^3-3x+1在点(1, -1)处的切线斜率。
A. 1B. -1C. 3D. -3答案：A9. 计算二重积分∫∫D (x^2+y^2) dxdy，其中D为x^2+y^2≤1的区域。
A. πB. 2πC. π/2D. 4π答案：B10. 设函数f(x)=ln(x+√(1+x^2))，求f'(x)的值。
A. 1/(√(1+x^2)+x)B. 1/(√(1+x^2)-x)C. 1/(√(1+x^2))D. 1/(1+x^2)答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)的值。
答案：3x^2-12x+112. 已知等比数列{bn}的前三项为1，2，4，求通项公式bn。
考研数学练习题汇总一、选择题1. 函数f(x)=x^3-3x在区间(-2,2)内有几个零点？A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 极限lim(x→0) (x^2sin(1/x))的值为？A. 0B. 1C. -1D. 不存在3. 若矩阵A和B满足AB=0，且|A|≠0，则矩阵B的行列式为？A. 0B. 1C. -1D. 不确定二、填空题4. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值为________。
5. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的定积分为________。
6. 对于向量α=(1,2,3)和β=(4,5,6)，它们的点积为________。
三、解答题7. 证明函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上单调递增。
8. 计算二重积分∬(D) (x^2+y^2) dA，其中D是由直线x=0，y=0，x+y=1所围成的三角形区域。
9. 求解线性方程组：\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}四、证明题10. 证明对于任意实数x，不等式e^x ≥ x+1成立。
11. 证明函数f(x)=x^3在实数域R上是增函数。
五、应用题12. 某工厂生产一种产品，每件产品的成本为50元，售价为80元。
若生产x件产品，则总成本为50x元，总收入为80x元。
求生产多少件产品时，利润最大，并说明理由。
13. 一个容器内装有2升盐水，含盐量为10%。
若每次向容器内加入1升含盐量为20%的盐水，并充分搅拌后倒出1升混合液，如此反复操作3次，求容器内盐水的含盐量。
以上题目涵盖了考研数学中的多个重要知识点，包括函数的性质、极限、积分、线性代数等。
通过这些题目的练习，可以有效地检验和巩固考生对数学基础知识的掌握情况，为考研数学的复习打下坚实的基础。
考研数学经典题库精选考研数学对于许多考生来说，是一道难以跨越的关卡。
为了帮助大家更好地备考，下面为大家精选了一些经典的考研数学题目，并进行详细的解析。
首先，来看一道函数极限的题目。
例 1：求极限＄＼lim_{x\to 0} ＼frac{＼sin 2x}｛x}＄这道题考查的是函数极限的基本计算方法。
我们知道，当＄x\to0$ 时，＄＼lim_{x\to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1$，那么对于这道题，我们可以将分子变形为＄2\times\frac{＼sin 2x}｛2x}＄，则原式可以化为＄2\lim_{x\to 0} ＼frac{＼sin 2x}｛2x} ＝ 2\times 1 ＝ 2$。
接下来，是一道关于导数的题目。
例 2：已知函数＄f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2$，求＄f'（x)＄对于这类求导的题目，我们根据求导公式进行计算。
＄f'（x) ＝3x^2 6x$。
再看一道积分的题目。
例 3：计算积分＄＼int_{0}＾｛＼pi} ＼sin^2 x ＼，dx$这道题需要用到三角函数的倍角公式＄＼sin^2 x ＝＼frac{1 ＼cos 2x}｛2}＄，将其代入积分式可得：＼＼begin{align}＼int_{0}＾｛＼pi} ＼sin^2 x ＼，dx&＝＼int_{0}＾｛＼pi} ＼frac{1 ＼cos 2x}｛2} ＼，dx\＼＆＝＼frac{1}｛2}＼int_{0}＾｛＼pi} （1 ＼cos 2x) ＼，dx\＼＆＝＼frac{1}｛2}＼left(x ＼frac{1}｛2}＼sin 2x\right)＼Big|＿{0}＾｛＼pi}＼＼＆＝＼frac{1}｛2}（＼pi 0)＼＼＆＝＼frac{＼pi}｛2}＼end{align}＼下面是一道线性代数的题目。
例 4：设矩阵＄A ＝＼begin{pmatrix} 1 ＆ 2 ＼＼ 3 ＆ 4 ＼end{pmatrix}＄，求其逆矩阵＄A^｛－1}＄我们可以使用矩阵求逆的公式，先计算矩阵＄A$ 的行列式＄｜A| ＝ 1\times 4 2\times 3 ＝－2$，然后计算伴随矩阵＄A^＄，得到＄A^ ＝＼begin{pmatrix} 4 ＆－2 ＼＼－3 ＆ 1 ＼end{pmatrix}＄，则逆矩阵＄A^｛－1} ＝＼frac{1}｛2}A^ ＝＼begin{pmatrix} －2 ＆ 1 ＼＼＼frac{3}｛2} ＆＼frac{1}｛2} ＼end{pmatrix}＄概率论与数理统计方面也有经典题目。
考研数学解析几何练习题解析几何是考研数学中的一大难点，需要掌握一定的基础知识和解题技巧。
下面将给出一些解析几何练习题，帮助考研学子更好地备战考试。
1. 题目：已知平面α过点A(1, 2, 3)，且与直线l1: (x-1)/2 = y/3 = z/4 相交于点B，与直线l2: x/1 = y/2 = z/3 平行，求平面α的方程。
解法：首先求出直线l1和l2的方向向量，分别为v1(2, 3, 4)和v2(1, 2, 3)。
由于平面α与直线l2平行，故平面α的法向量与v2平行，设平面α的法向量为k(1, 2, 3)。
又因为平面α过点A(1, 2, 3)，所以平面α的方程为：x - 1 + 2(y - 2) + 3(z - 3) = 0。
2. 题目：已知四面体ABCD，其中AB = 3，AC = 4，AD = 12，且直线BD垂直于平面ACD，求四面体ABCD的体积。
解法：设直线BD与平面ACD的交点为O，则三角形ABC、ABD 和ACD共面，且OD垂直于平面ABC。
由于OD垂直于平面ABC，故OD与ABC平面上的任意一条线段都垂直。
又因为OD垂直于平面ACD，故OD与平面ACD上的任意一条线段都垂直。
综上所述，OD是四面体ABCD的高，OD的长度可以通过向量AD 在向量AC上的投影求得。
设向量AD为a，向量AC为b，则OD = |a·b| / |b|，其中·表示点乘运算。
计算得到OD = 9，根据体积公式V = (底面积 ×高) / 3，可得四面体ABCD的体积为36。
3. 题目：已知二次曲面S：x^2 + y^2 - z^2 = 1，直线l：x = 1 + t，y = 2 - 2t，z = 3t，求直线l与二次曲面S的交点坐标。
解法：将直线l的参数方程代入二次曲面S的方程，得到(1+t)^2 + (2-2t)^2 - (3t)^2 = 1。
化简得到9t^2 - 6t = 0，解得t = 0或t = 2/3。
巩固练习一、选择题1.若极限2220lim1h h f a h f a h A e ，则函数 f x 在x a 处（A ）不一定可导.（B ）不一定可导，但 f a A .（C ）不一定可导，但 f a A（D ）可导，且 f a A .2.设 223f x x x x ，则使 0n f 存在的最高阶数n （A ）0.（B ）1.（C ）2.（D ）3.3.设 21sin , 0,, 0x x f x xax b x 在0x 处可导，则,a b 满足（A ）0a ，0b .（B ）1a ，1b .（C ）a 为任意常数，0b .（D ）a 为任意常数，1b .4.设0,0x f x x 则（A ） f x 在0x 处不连续.（B ） 0f 存在.（C ） 0f 不存在，曲线 y f x 在点 0,0处不存在切线.（D ） 0f 不存在，曲线 y f x 在点 0,0处存在切线.二、填空题1.若函数 f x 在1x 处的导数存在，则极限112sin 213tan limx f x f x f x x______________.2.设 01f ， 00f ，则 21cos limtan x f x x ____________.3.设3232x y f x，且 2arctan f x x ，则0x dy dx _____________.4.设2sin y x ，则3dyd x ______________.5.设 f x 有任意阶导数且 3f x f x ，1n ，则 n f x _____________.6.设 2ln 1y x ，则 50y __________________.7.设21,cos ,x t y t则22d ydx _____________.8.曲线 321x y 上点 5,8处的切线方程是______________.9.曲线ln y x 上与直线1x y 垂直的切线方程为_____________.10.曲线231,x t y t上对应点2t 处的切线方程为______________.11.设函数 21sin , 0,0, 0x x f x xx的导函数在0x 处连续，则 的取值为____________.三、计算题1.计算下列各题：（Ⅰ）设2sin xy e dydx；（Ⅱ）设2x y，其中0a b ，求y .2.设 ,,x f t y tf t f t其中 f t 三阶可导，且 0f t ，求d d y x ，22d d y x ，33d d y x ；3.计算下列各题（提示，等式两边取对数后再求导）：（Ⅰ）由方程y x x y 确定 x x y ，求d d xy；（Ⅱ）方程1x y y e 确定 y y x ，求 y x ；4.设函数 y f x 有反函数 x g y ，且 3f a ， 1f a ， 2f a ，求 3g .5.设函数 cos ,0,0g x xx f x xa x其中 g x 二阶连续可导，且 01g .（1）确定常数a ，使得 f x 在0x 处连续；（2）求 f x ；（3）讨论 f x 在0x 处的连续性.答案解析一、选择题1.【分析】只有极限222222limlim1h h h f a h f a h f a h f a h A Ah e 存在并不能保证极限22limh f a h f a h 与22limh f a h f a h 都存在，因此两个单侧导数都不一定存在，应选（A ）.例如：设()f x x a ，则222222limlim01h h h f a h f a h h h h e ，极限存在，但f x 在x a 处不可导.2.【分析】设 323,0,,0x x g x x x x x，所以22023,0,0lim 0,0,303,0x x x x x g x x x x x x x，06,0,30lim0,0,606,0x x x x x g x x x x x x，由于x 在0x 处不可导，因此2n .选（C ）.3.【分析】首先， f x 在0x 连续 00lim lim 0x x f x f x f，即0b .然后， f x 在0x 可导 00f f .当0b 时， 21sin ,0,, 0.x x f x xax x 按定义求出2001sin 00limlim0x x x f x f x f xx.由求导法则知 00x f ax a.由 00f f 得0a ，因此选（A ）.4.【分析】显然 0lim 00x f x f ，又000limlimx x f x f xx，000lim lim x x f x f x x，y f x 的图形如图：因此， 0f 不存在，但 y f x 在 0,0处存在切线0x （y 轴），选（D ）.二、填空题1.【分析】按导数定义，将原式改写成原式 01112sin 113tan 1sin tan lim 262sin 3tan x f x f f x f f x f x x x x x x x1216191f f f f .2.【分析】原式 22001cos 01cos 1cos 1lim0lim 1cos tan 2x x f x f x x f x x x .3.【分析】 y f u ，32413232x u x x，01x u . 02d 443111d 3232x x x yf f xx x3344.4.【分析一】设3u x，则x ，223x u ，23sin y u ，于是由复合函数求导法则即得2123322cos cos 33u x y u u x.【分析二】用微分来求.22233d d /cos 22cos 33d d /y y dx x x x x x x x dx.5.【分析】 2533f x f x f x f x ， 473535f x f x f x f x ，找规律得：2121!!n n f x n f x .6.【分析】 224611ln 123y x x x x ，由泰勒公式的唯一性可知：(5)(0)05!f，所以(5)(0)0f .7.【分析】d sin d 2t t y y t x t x ，2223d 1cos sin 1sin cos sin d 2d d 224ty t t t t t t t xt t x t t t.8.【分析】由隐函数求导法，将方程 321x y 两边对x 求导，得2312x yy .令5x ，8y 即得 53y .故曲线 321x y 在点 5,8处的切线方程是83537y x y x .9.【分析】与直线1x y 垂直的直线族为y x c ，其中c 是任意常数，又因ln y x 上点00000,,ln 0x y x x x 处的切线方程是 0000011ln ln 1y x x x x x x x，从而，切线与1x y 垂直的充分必要条件是00111x x ，即该切线为1y x .10.【分析】2t 时 ,5,8x y ，2d 333d 22t t y y t t x t x .切线方程为 835y x ，即37y x .11.【分析】由导数定义可求得21201sin10limlim sin x x x x f x x x .上述极限只在1 时存在，且此时 00f ，于是 f x 的导函数为132211sin 2cos ,0,0, 0.x x x f x x xx欲使 f x 在0x 处连续，必须有13220011lim lim sin 2cos 0x x f x x x x x，而这一极限为零应满足3 .三、计算题1.【解】（Ⅰ）2sin d 2sin cos ln 2d x y e x x x2sin sin212xe x（Ⅱ）12y221tan cos22a bx xa ba b a b221cos sin2211cos1cos221cosx xa b a bx xa b a ba b x.2.【解】ddtttf t f t tf tyytx f t f tx，22d dd d dd1d d d/dy yty dx dxx x x t f t，22223332d dd d dd dd1d d d/dy ytf t f tx xyx x x t f t f t f t.3.【解】（Ⅰ）两边取对数得ln lny x x y，两边对y求导，并注意x x y，得d dln lnd dy x x xx yx y y y.上式两边乘xy，并移项得22dln lndxy xy y x xy xy.解出ddxy得22d lnd lnx x xy xy y xy y.（Ⅱ）y xe y，两边取对数得lny x y.对x求导d dlnd dy x yyx y x，d d d lnlnd d dy y y yy y y xx x x y x.将ddyx的方程d dlnd dy yy y y xx x两边对x求导得22222d d d d dln2d d d d dy y y y yy y xx x x x x.解出22ddyx并代入ddyx表达式得222222ln 2ln ln d ln ln ln 2d y y x y y y y y y y y y y x y x y x y x y x 注意ln y x y ，于是 2322ln d d y x y yy x y x .4.【解】 1g y f x， 3()()f x dg y dg y dx g y dy dy dx f x.因为 3f a ，所以当3y 时，x a ，所以 332f a g f a.5.【解】（1） 00cos 01cos lim limlim 0x x x g x xg x g x f x g xx x，当 0a g 时， f x 在0x 处连续。
考研数学精选试题及答案# 考研数学精选试题及答案## 一、选择题1. 题目：设函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)，求 \( f'(x) \)。
选项：A. \( 3x^2 - 6x + 2 \)B. \( x^3 - 3x + 2 \)C. \( 3x^2 - 6x + 1 \)D. 无解析解答案：A2. 题目：若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \)。
选项：A. 2B. 1C. 0D. 无法确定答案：A3. 题目：设 \( a, b \) 为实数，若 \( a^2 + b^2 = 1 \)，求\( (a + b)^2 \) 的最大值。
选项：A. 1B. 2C. \( \frac{1}{2} \)D. 无法确定答案：B## 二、填空题1. 题目：已知 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，求\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)。
答案：\( \frac{1}{4} \)2. 题目：设 \( \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 1} = 0 \)，求 \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 1} \)。
答案：13. 题目：若 \( e^x = 1 + x \)，求 \( x \)。
答案：0## 三、解答题1. 题目：证明：对于任意正整数 \( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2 \)。
解答：首先，我们可以通过数学归纳法来证明这个等式。
对于 \( n = 1 \)，等式成立。
假设对于 \( n = k \)，等式成立，即 \( 1^3 + 2^3 + ... + k^3 = \left(\frac{k(k + 1)}{2}\right)^2 \)。
考研数学练习题推荐WD《考前冲刺最后3套题》★★★比较简单，练练手不错。
恩波《最后冲刺成功8套卷》★★★网上都喊不难，但是我做的不是很理想。
怎么说呢，总觉得题目怪怪的。
和真题完全不是一个类型。
考试虫《8套模拟试卷》★★★面市时间过早。
没有一定的能力就去做模拟题的话，效果不是很大。
虽然卖点是众多前命题组成员的集体智慧结晶，但也意味着出题风格与极力创新的现命题组的思路格格不入。
陈文灯《复习指南之100问专题串讲》★★★两位考研前辈编写的一本书，具有一定的示范效应。
形式有点类似大帝的《超越135》，不过内容没那么全。
有些很巧很赞的方法，也有些方法复杂到不实用。
知识部分的讲解常有神来之笔。
李永乐《最后冲刺超越135分》★★★☆以专题的形式呈现考研数学的重点内容。
并附有典型例题，有些难度很大，有些极其复杂。
但大部分还是令人舒坦的。
因为是例题，有人可能会倾向于只看不做。
我觉得还是笔耕不辍为妙。
不能说冲刺必备，但用来配合全书或指南做最后一轮复习还是可行的。
李永乐《基础过关660题》★★★☆一本客观题练习集。
真的如传闻所言只是第一轮复习书吗?我看未必。
书中的相当部分题目还是很有难度的。
我是这样理解的，如果660道题全会做，你的基础才算过关。
李永乐《线性代数辅导讲义》★★★★大帝无愧于“线代之王”的称号。
薄薄的一本书把考研数学线性代数部分研究的非常透彻。
第二三轮复习必备。
得力于该书所讲的求行列式的递进法，我幸运地做对了08年考试中线代的一道难题。
黄先开曹显兵《经典冲刺5套卷》★★★☆难度一般，可以拿来建立信心。
一些题目体现出了新鲜的元素，不妨做做让脑筋转转弯。
陈文灯《单选题解题方法与技巧》★★★★Excellent，难以用语言形容。
如果用心做完这本书选择题还拿不了满分，真可以称得上是奇迹了。
《考研数学考试分析》★★★★在复习末期，精心准备的考生一定会有这样一个问题。
那就是解题的规范性。
计算题和证明题，究竟怎么答才算标准，才不用担心因解题不规范而丢掉分数?答案就在这本书中。
近四年数一到数四的真题及标准解题过程应有尽有，好好研究模仿吧。
对于经济类考生的又一大福音就是可以接触到数学一的真题。
做做数一还是有助于拓宽思路提升水平的。
\姚孟臣《概率论与数理统计讲义》&《概率论与数理统计题型精讲》★★★★在做这两本书之前，我感觉概率与统计部分很难很难。
做完之后，我豁然开朗到08年考试概率与统计部分得到了满分。
题量有点大，要学会举一反三才行。
有些数学符号和语言表述可能会让大家不太习惯。
李永乐《历年试题解析》★★★★数学真题具有重大的战略意义。
从第二轮复习开始到考试前，需要经常反复地揣摩鉴赏。
大帝的这本书，解析详尽，触类旁通，非常不错。
另外其单独地列出真题，可以直接拿来模拟。
武忠祥《历年真题分类解析》★★★★☆另一本优秀的数学真题书。
汇集了从1987起所有的历年真题，独一无二。
分类解析虽然算不上有新意，但难能可贵的是对题目在各章的分布做了详细统计，使考生对考试重点一目了然。
每章还附有练习题，可惜没有解析。
客观题解题方法部分犹如隔靴搔痒，令人意犹未尽。
李永乐《全真模拟经典400题》★★★★☆大名鼎鼎，模拟必备。
前半部分重点解读新增考点，后半部分的十套题基本涵盖了全部知识点。
这本书拿在手中，首先要心态平稳，戒除恐惧。
从我第一年花5，6个小时做完拿七八十分到第二年花3个小时做完拿一百二三十分的经历来看，如果你觉得它太难，可能你的复习还有不少薄弱环节或者知识还未连成体系。
《考研数学大纲解析》★★★★☆还是反复强调的权威性，该书中没出现的符号，公式等可以不用再考虑了。
对待这本书，要像对待全书或指南那么严肃。
内容均耳熟能详，例题也都是历年真题并附有常见错误做法以提醒考生。
看起来应该不会很费时费力。
另外，需要重点关注下书中提到的每章常考题型。
李永乐《复习全书》&陈文灯《复习指南》★★★★★绝代双骄。
没必要纠缠在这两本书的比较上。
大帝的书不是那么简单，灯哥的书也不见得有多难。
前者内容完整即所谓的基础性，但编排略显杂乱;后者概括性很强令人一目了然但内容有所欠缺。
一个事实：大帝专攻线代，灯哥长于高数。
另一个事实：两者都是好书。
当然前提是你认真地做了两遍以上。
注意是做不是看。
也不能只做不思考。
详细解析一、选择题：1、首先讨论间断点：1°当分母2?e?0时，x?2x2，且limf??，此为无穷间断点；2ln2x?ln2x?0?2°当x?0时，limf?0?1?1，limf?2?1?1，此为可去间断点。
x?0?再讨论渐近线：1°如上面所讨论的，limf??，则x?x?2ln22为垂直渐近线； ln22°limf?limf?5，则y?5为水平渐近线。
xx当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近线，切勿上当。
2、f?|x4?x|sgn?|x|sgn?|x|。
可见x??1为可导点，x?0和x?3为不可导点。
2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文：f|??|，当xi?yj时为可导点，否则为不可导点。
注意不可导点只与绝对值内的点有关。
?x,x?0?设f??ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是? ,x?0?0x?0123limf?f?0，故f在x?0处连续。
f’?limx?0f?f?0，故f在x?0处一阶可导。
x?0当x?0时，f’????x12x’‘223?ln?lnlnxsgnx?12，则limf’?f’?0，故f’在x?0处连续。
?23x?0ln|x|l n|x|f’’?limx?0f’?f’??，故f在x?0处不二阶可导。
x?0abx?0对?a,b?0，limxln|x|?0。
这是我们反复强调的重要结论。
3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?1,1]内可积；1???sin,x?0对，首先假设该函数存在原函数F??，但对任意常数C，都无x?,x?0? C法满足F’?limx?011F?F1?0，故该函数不存在原函数。
另一方面，?2cosdx?1xx?0x111?2?2cosdx??2sin，该结果无意义，故该函数在[?1,1]内不可积。
0xxx011对，x?0为第一类间断点，故该函数不存在原函数。
另一方面，?1arctan1dx和x??1arctan1dx都有意义，故该函数在[?1,1]内可积。
x对，显然该函数存在原函数。
但通过反常积分的审敛法可知尝试证明），故该函数在[?1,1]内不可积。
设f??1?1tan?x2dx发散，arctan?C??222??21?cosxsecx?12?tanx2?2??1t anxarctan?,0?x2222不妨令F?? ，那么f在[0,?]内的所有原函数0 ,x?2??1??tanxarctan,?x??2?2?2?2?为F?C，其中C为常数。
如果不采用上述“拼凑”，则不能保证1?tanx?arctan??在[0,?]内连续，更谈不2?2?上可导。
4、对，原式??1lnxx3dx???1ylnylnyy331dy，其中?1lnxx3dx和???1ylny31dy都发散，故该二重积分也发散；对，原式?发散；1?11xlnx3dx???1dy，其中?11xlnx3dx发散，故该二重积分也对，原式??lnxxe?03dx???e1y31ydy，其中?1lnxx3dx发散，故该二重积分也发散；对，原式??11x3xdx???lnyy31dy，其中?e?1x3xdx和???lnyy31dy都收敛，故该二重积分也收敛。
1°2011智轩高等数学基础导学讲义原文：变量x和y 之间失去了“纠缠性”，可看作两个独立的一元积分相乘。
2°同济六版高等数学教材上册原文：设函数f在区间[a,??)上连续，且f?0。
如果存在常数p?1，使得limxf存在，则反常积分xp???afdx收敛；如果limxf?d?0，x或limxf，则反常积分x??afdx发散。
设函数f在区间?0，x?aq为函数f的暇点。
如果存在常数0?q?1，使得limf存在，则反常积分?fdx收敛；如果limf?d?0，或ax?a?qbx?a?limf，则反常x?b?x?b?积分?bfdx发散。
※下列反常积分收敛的是 1?0lnxdx1???11dx lnx?1lnxxdx???lnxxdx※下列反常积分发散的是 1x31x3??1lnxx32dx???lnxx321dx?1e?xdx???e?1xdx※下列反常积分发散的是 ??lndxx??1sindxxx1???arctanxxdx???1?xedx x25、正确答案为。
下面进行讨论：fx’?lim则f可微。
?x?0f?ff?0，同理fy’?0，且lim?0，22?x?0?x?x??y?y?0另一方面，当x2?y2?0时，fx’?2xsin12x1，显然?cos222222x?yx?yx?ylimfx’?fx’。
同理limfy’?fy’。
x?0y?0x?0y?0对，f在点处可微，且在该点处的两个偏导数fx’和fy’连续；对，f在点处不可微，且在该点处的两个偏导数fx’和fy’不连续；对，f在点处可微，且在该点处的两个偏导数fx’和fy’连续。
以上三个选项留给大家练习。
2011智轩高等数学基础导学讲义——第7章第6页原文：22??g,x?y?0快速判断f??在点是否可微的技巧如下：22?0 ,x?y?0?下列二元函数在点处可微的是1?2222x?y,x?y?0?22x?yf??? 0 ,x2?y2?0?1?22xy|sin,x?y?0?22x?yf???0 ,x2?y2?0? ?x3?y322,x?y?0?22 f??x?y? ,x2?y2?0?0??212?ex?y,x2?y2?0f???0 ,x2?y2?0?6、引用《2011年智轩考研数学红宝书》原文：?fxx’’由Hessian矩阵H???fxy’’fxy’’?的正定性决定极值的充分条件如下：fyy’’??1°H正定?fxx’’?0或fyy’’?0，且|H|?0?极小值；°H负定?fxx’’?0或fyy’’?0，且|H|?0?极大值；°H 不定?|H|?0?非极值；H不定?|H|?0，不能确定，应特别讨论。
下面逐一讨论选项：对，根据2°和3°，当f是极大值时，H只能是负定矩阵或不定矩阵，正确；对，根据1°，正确；对，根据3°的第2条，正确；对，根据3°的第1条，若fxy’’?0，则|H|??[fxy’’]?0，非极值，与已知矛盾，故入选。
由极值出发讨论Hessian矩阵时，要留意Hessian矩阵不定的情形。
※设f在P的某邻域内有二阶连续的偏导数，且记2A?fxx’’，B?fxy’’，C?fyy’’一、选择题1?2?xcos?asinx,x?0,1、设f??，且f在x?0处可导，则 ??bx?c,x?0,?A? a??b,c?0 ?B? a?b,c?0 ?C? a??b,c任意 ?D? a?b,c任意2、设连续函数f在u?0处可导,且f?0,lim1t?0??t4x2fdxdy＝y2?t21f? ?B? ?1f??C?f??D? ?f?3、设f在可导，x0?0，)是y?f的拐点，则 ?A?x0必是f?的驻点?B? )必是y??f的拐点 ?C? )必是y??f的拐点?D? 对?x?x0与x?x0，y?f的凹凸性相反4、曲线y?x2与直线x?0,x?1,y?t所围成的图形的面积情况为?A? t?12时,面积最大?B? t?12时,面积最小 ?C? t?1?D? t?14时,面积最大4时,面积最小5、设A是n阶矩阵，且A的行列式|A|?0，则A中?A? 必有一列元素全为0 ?B? 必有两列元素对应成比例第 1 页共页）?A? 0 ?B? 1 ?C? ?D?7、设两事件A,B，已知AB?，则必有?A?A与B独立 ?B?A?B ?C?A=B ?D?A与B对立8、设X~P，则Y?3X?2X?1的数学期望为2?A? ? ?B?? ?C??2?5??1 ?D??2?2??1二、填空题、微分方程y??ytanx?cosx的通解y=______________. 10、设f为可导函数，且满足条件lim x?0f?f??1，则曲线y?f在点)处2x的切线斜率为______________. 11、设3n?1的收敛域是，则axax?2,2n?n的收敛半径是_____________.nn?1n?1?12、设S表示半球面z?,则曲面积分I???dxdy?______________.S?102???13、设A是4?3矩阵，且A的秩r?2，而B??020?，则r=______________.??10314、设二维随机变量~N,Z?X?Y，则Cov?______________.三、解答题 15、1第页共页1求极限limx。
