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考研数学教材试题及答案试题：一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，则方程 \( f(x) = 0 \) 的根为：A. \( x = 0 \)B. \( x = 1 \)C. \( x = 3 \)D. \( x = 2 \)2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是：A. 0B. 1C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \infty \)3. 若 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值为 \( \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x dx \) 的值为：A. \( \frac{1}{2} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{6} \)4. 设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \)，则\( AB \) 的值为：A. \( \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} -3 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)5. 设 \( \vec{a} = (2, 3) \)，\( \vec{b} = (-1, 2) \)，则\( \vec{a} \cdot \vec{b} \) 的值为：A. 4B. 5C. 6D. 76. 若 \( y = e^{2x} \)，则 \( y' \) 的值为：A. \( 2e^{2x} \)B. \( e^{2x} \)C. \( 2e^x \)D. \( e^x \)7. 设 \( z = x^2 + y^2 \)，其中 \( x = \cos t \)，\( y = \sin t \)，则 \( \frac{\partial z}{\partial t} \) 的值为：A. \( -2\cos t - 2\sin t \)B. \( -2\cos t + 2\sin t \)C. \( 2\cos t - 2\sin t \)D. \( 2\cos t + 2\sin t \)8. 若 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 收敛，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} na_n \) 必定：A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 绝对收敛9. 设 \( f(x) \) 在区间 \( I \) 上连续，则 \( \int_I f(x) dx \) 的值：A. 一定存在B. 可能不存在C. 一定为正D. 一定为负10. 若 \( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L \)，则\( \lim_{x \to \infty} f(x) \) 的值为：A. \( \infty \)B. \( -\infty \)C. 0D. L答案：一、选择题1. D2. B3. A4. B5. A6. A7. D8. B9. A10. D。
第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练（一）一、选择题1.2.提示：参照“例1.1.5”求解。
3.4.解因选项(D)中的 不能保证任意小，故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示：由2cos 12sin 2xx =-可得。
12.13.提示：由1 未定式结果可得。
14.提示：分子有理化，再同除以n即可。
15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。
16.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。
18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==， 而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。
20.提示：先求极限（1∞型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。
三、 解答题 21.(1)(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。
(3)(4)(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。
(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。
22.23.解 由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=， 即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=， 利用等价无穷小代换，得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=， 故 30()3lim 2x f x x →=。
24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。
25.26.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。
第一轮复习：基础知识自我复习高等数学第一单元（课前或课后复习内容）计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版高等数学第一章函数与极限第1章第1节映射与函数（P1——P23）第1章第2节数列的极限（P23——P31）第1章第3节函数的极限（P31——P39）第1章第4节无穷小与无穷大（P39——P42）第1章第5节极限运算法则（P43——P50）本单元中我们应当学习——1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注2.5h 第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6) (8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数2h 第1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5) (8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。
2h 第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。
1h 第1章第4节无穷小与无穷大无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大之间的关系习题1－44,6★1,5 大家要搞清楚无穷大与无界的关系2h 第1章第5节极限运算法则极限的运算法则(6个定理以及一些推论)习题1－51(5)★(11)★(13)★, 3★,51(9)(10)(14),2(1),4有理分式函数当x 的极限要记住结论，以后直接使用。
高等数学课后习题解读总习题一：1是填空题，是考察与极限有关的一些概念，这个是很重要的，要掌握好。
而且几乎每章的总习题都设了填空题，均与这些章节的重要概念有关。
所以每章的总习题里的填空题所涉及的知识点，比如谁是谁的什么条件之类，务必要搞清楚。
2是无穷小的阶的比较3、4、5、6是与函数有关的题目，这个是学好高数的基础，但却不是高数侧重的内容，熟悉即可7用定义证明极限，较难，一般来说能理解极限的概念就可以了8典型题，求各种类型极限，重要，6个小题各代表一种类型，其实求极限的题目基本跳不出这六种框架了9典型题，选择合适的参数，使函数连续，用连续的定义即可10典型题，判断函数的间断点类型，按间断点的分类即可11较难的极限题，这里是要用到夹逼原理，此类题目技巧性强，体会一下即可12证明零点存在的问题，要用到连续函数介值定理，重要的证明题型之一，必需掌握13该题目给出了渐近线的定义以及求法，要作为一个知识点来掌握，重要综上，第一章总习题要着重掌握的是1、2、8、9、10、12、13题总习题二：1填空题，不多说了，重点2非常好的一道题目，考察了与导数有关的一些说法，其中的干扰项(B)(C)设置的比较巧妙，因为平时我们一般只注意到导数在某点存在的条件是左右导数都存在且相等，容易忽视另一个重要条件：函数必须要在该点连续，否则何来可导?而(B)(C)项的问题正是在于即使其中的极限存在，也不能保证函数在该点连续，因为根本就没出现f(a)，所以对f(x)在a 处的情况是不清楚的。
而对(A)项来说只能保证右导数存在。
只有(D)项是能确实的推出可导的3物理应用现在基本不要求了4按定义求导数，不难，应该掌握5常见题型，判断函数在间断点处的导数情况，按定义即可6典型题，讨论函数在间断点处的连续性和可导性，均按定义即可7求函数的导数，计算层面的考察，第二章学习的主要内容8求二阶导数，同上题9求高阶导数，需注意总结规律，难度稍大，体会思路即可10求隐函数的导数，重要，常考题型11求参数方程的导数，同样是常考题型12导数的几何应用，重要题型13、14、15不作要求综上，第二章总习题需重点掌握的题目是1、2、4、5、6、7、8、10、11、12第三章的习题都比较难，需要多总结和体会解题思路总习题三1零点个数的讨论问题，典型题，需掌握2又一道设置巧妙的题目，解决方法有很多，通过二阶导的符号来判断函数增量与导数、微分的大小关系，07年真题就有一道题目由此题改造而来，需重点体会3举反例，随便找个有跳跃点的函数即可4中值定理和极限的综合应用，重要题目，主要从中体会中值定理的妙处5零点问题，可用反证法结合罗尔定理，也可正面推证，确定出函数的单调区间即可，此题非典型题6、7、8中值定理典型题，要证明存在零点，可构造适当的辅助函数，再利用罗尔定理，此类题非常重要，要细心体会解答给出的方法9非常见题型，了解即可10罗必达法则应用，重要题型，重点掌握11不等式，一般可用导数推征，典型题12、13极值及最值问题，需要掌握，不过相对来说多元函数的这类问题更重要些14、15、16不作要求17非常重要的一道题目，设计的很好，需要注意题目条件中并未给出f''可导，故不能连用两次洛必达法则，只能用一次洛必达法则再用定义，这是此题的亮点18无穷小的阶的比较，一是可直接按定义，二是可将函数泰勒展开，都能得到结果，此题考察的是如何判断两个量的阶的大小，重要19对凹凸性定义的推广，用泰勒公式展开到二阶可较方便的解决，此题可看作泰勒公式应用的一个实例，重在体会其思想20确定合适的常数，使得函数为给定的无穷小量，典型题，且难度不大综上，第三章总习题需要重点掌握的是1、2、4、6、7、8、10、11、12、13、17、18、20第四章没有什么可说的重点，能做多少是多少吧……积分的题目是做不完的。
教材基础阶段复习中必做的课后习题推荐推荐教材：高等数学，同济大学第六版，高等教育出版社注意：未注明的部分，数一、数二、数三都要求！第八章：空间解析几何与向量代数（只数一要求）习题8-1: 4, 5, 12, 15, 17;习题8-2: 1, 2, 3, 6, 10;习题8-3: 5, 10(1)(4);习题8-4: 1, 4, 5(1), 7;习题8-5: 1, 3, 5, 8(3), 9;习题8-6: 1, 2, 5, 7, 12, 15;总习题八：不做3, 4, 5，其余全做.第九章：多元函数微分学及其应用习题9-1: 6(2)(4)(6), 7(2), 9;习题9-2: 1(2)(4)(6)(8), 4, 6(2)(3), 8;习题9-3: 1(3)(4), 2, 5;习题9-4: 2, 5, 8(3), 10, 11, 12(4);习题9-5: 2, 6, 7, 9, 10(3), 11;习题9-6（数一）: 6, 8, 10;习题9-7（数一）:2, 5, 7, 10;习题9-8: 1, 3, 11, 12;习题9-9: 不做; 习题9-10: 不做;总习题九：不做7, 其余全做.第十章：重积分习题10-1: 2, 5(4);习题10-2: 1(2)(4), 2(2)(4), 4(3)(4), 6(4)(5)(6), 7, 10, 12(2)(3), 13(4), 14(3), 15(2)(3), 18;习题10-3（数一）:1(2)(3), 2, 5, 6, 9(1), 10(1), 11(3)(4), 12(4);习题10-4（数一）:2, 3, 4(3), 5, 7(1); 习题10-5: 不做;总习题十：（数一、二、三）1-6, （数一）7-13.第十一章：曲线积分与曲面积分（只数一）习题11-1: 3(3)(4)(5)(8);习题11-2: 3(1)(3)(4)(6)(8), 4(2)(4), 7(2)(3);习题11-3: 2(1), 3, 4(3), 5(2)(3)(4), 6(4)(5), 8(4), 9;习题11-4: 4(2), 5(1), 6(2)(4);习题11-5: 3(1)(3)(4), 4;习题11-6: 1(2)(4), 2(1), 3(1);习题11-7: 2(1)(3), 3(1), 7;总习题十一：9, 10, 11不做，其余都做.第十二章：无穷级数（只数一、数三）习题12-1: 3(2)(3), 4(3)(5);习题12-2: 1(2)(4)(5), 2(3)(4), 3(3)(4), 4(4)(5)(6), 5(3)(4)(5);习题12-3: 1(3)(5)(6)(8), 2(1)(2)(3);习题12-4: 2(4)(5)(6), 4, 6;习题12-5: 不做;习题12-6: 不做;习题12-7（数一）: 4, 6;习题12-8（数一）: 1(3);总习题十二：（数一、数三）1-9, （数一）10, 11, 12.下册的内容数二和数三要求的部分相对比较少，数一都要求，数一加油！。
