(word完整版)考研高数同济七版必做课后习题

x0
x0
1 cos x2
lim
x0
sin2 x
lim x0
1 2
x2
2
x2
0
所以当 x→0 时，（1－cosx）2 是比 sin2x 高阶的无穷小。
3．当 x→1 时，无穷小 1－x 和（1）1－x3，（2）（1－x2）/2 是否同阶，是否等价？
x0 x
x0 x
（3）
lim
x0
sin sin
2x 5x
；（4）
lim
x0
x
cot
x
；
（5） lim 1 cos 2x x0 x sin x
；（6） lim 2n n
sin
x 2n
（x
为不等于零的常数）。
解：（1）当ω≠0
时， lim x0
sin x x
lim
x0
sin x
x
lim
x0
sin x x
2 5
lim
x0
sin 2x 2x
lim
x0
5x sin 5x
2 5
（4）
lim
x0
x
cot
x
lim
x0
x sin
x
cos
x
lim
x0
x sin
x
lim x0
cos
x
1
（5） lim 1 cos 2x lim 2sin 2 x 2 lim sin x 2
x0 x sin x x0 x sin x
（4） lim n 1 x 1 x0
（5）
lim
x0
x
1 x
1
证：（1）因1

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同济大学数学系《高等数学》第 7 版笔记和课后习题含考研真题详解 第 10 章 重积分 下
10.2 课后习题详解
10．利用球面坐标计算下列三重积分：
（1）
x2 y2 z2 dv ，其中Ω是由球面 x2＋y2＋z2＝1 所围成的闭区域；
4
4
1
0
z
1 0
1 8
（2）在球面坐标系中，球面 x2＋y2＋z2＝z 的方程为 r2＝rcosφ，即 r＝cosφΩ可表示
为 0≤r≤cosφ，0≤φ≤π/2，0≤θ≤2π（图 10-2-46），于是
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（1） xydv ，其中Ω为柱面 x2＋y2＝1 及平面 z＝1，z＝0，x＝0，y＝0 所围成的
在第一卦限内的闭区域；
（2）
x2 y2 z2 dv ，其中Ω是由球面 x2＋y2＋z2＝z 所围成的闭区域；
（3） x2 y2 dv ，其中Ω是由曲面 4z2＝25（x2＋y2）及平面 z＝5 所围成的闭区
（3） z x2 y2 及 z＝x2＋y2； （4） z 5 x2 y2 及 x2＋y2＝4z. 解：（1）解法一：利用直角坐标计算。由 z＝6－x2－y2 和 z x2 y2 消去 z，解得 x2 y2 2 ，即Ω在 xOy 面上的投影区域 Dxy 为 x2＋y2≤4。于是
x, y, z x2 y2 z 6 x2 y2 , x2 y2 4
x2 y2 dv
r2 sin2 r2 sindrdd
2 d
2 sin3 dA r4dr0来自0a2
2 3
A5
5

(2)不同，因为对应法贝J不同・g⑴=7? ={.：
(3)相同、因为定义域、对应法则均相同.
(4)不同、因为定义域不同.
际3.设
求。(寻)“仔)・9(-骨)顽-2).并作出函数L)的囲形.
TT
S,,,T i
1(、)的,形如图丨・1所示.
S4.试让F列陥数在指定区间内的单Wi性:
第一章函故与扱限
（2）j = x+In n（0, *8）.证（I） y=/（^）=rL-=-丨+宀（-8』）.
F（-T）=/|（-X）+/2（F=/|（对+人（x） =F（x）,
枚，（大）为偶函数.
设幻（T）,&2（愛）均为奇函数.则幻（-工）=-们（*）,幻（-X）=-g2（■*）•令。（]）=g]（））+&《]）,于是
G（-X）=X|（-X）+评2（-X）=■•幻（x） -&2（1）=f）,
故c（x）为奇函数.
解因为AC= 20= 15,所以,Ali= /^后IF=25.
Ih20 <2-15 <20・25可知，点P、Q在斜边AH上相讷.
令a + 2% = 15+20 + 25J!；x = 20.即当x= 2()时•点七。相遇.因此•所求函數的定义域为(0.20).
(I )当Ov — vIO时，点P在CR上•点Q在CA上(图1-5).
洎6.&卜血所考虑的函救都是定义在区间U）上的.i止明：
（1）两个偶函数的和是偶函数.两个奇函数的和是奇函数；
（2）两个偶函数的乘枳是偶函数，两个奇函数的乘枳是偶函数，偶函数与奇丽数的乗积是奇函数.
证（1）设J|（X）./2（X）均为偶函数，则乂（-X）”（'），（-X）=6（x）.今/⑴=/|（^）+/i（x）,于是

(4)2 12 (7 z)2 32 52 (2 z)2
解得 z 14
9
即所求点为 M（0，0，14 ）.
9
7. 试证：以三点 A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证： (a b) c a (b c) .
3 i 14
1 j 14
2 k.
14
14. 三个力 F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力 R 的大小和方向余弦.
解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
| R | 22 12 42 21
cos 2 , cos 1 , cos 4 .
故 A 的坐标为 A(-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是 P1（4，0，5），终点是 P2（7，1，3），试求：
（1） P1P2 在各坐标轴上的投影； （2） P1P2 的模；
（3） P1P2 的方向余弦；
（4） P1P2 方向的单位向量.
解：（1） ax Pr jx P1P2 3,
ay Pr jy P1P2 1,
练习 5-2
练习 5-3
练习 5-4
总习题五
练习 6-2
练习 6-3
(2) s 22 (3)2 (4)2 29
(3) s (1 2)2 (0 3)2 (3 4)2 67
(4) s (2 4)2 (1 2)2 (3 3)2 3 5 .
5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

台
则
所以 y＝3sinx－4cosx 是所给微分方程的解． （3）根据 y＝x2ex，得
进而得
则
所以 y＝x2ex 不是所给微分方程的解．
（4）根据
，得
，进而得
则
所以
是所给微分方程的解．
3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：
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台
解：（1）在方程 x2－xy＋y2＝C 两端对 x 求导，得
即
所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解．
（2）在方程 y＝ln（xy）两端对 x 求导，得
即（xy－x）y′－y＝0，再在上式两端对 x 求导，得
即 给微分方程的解．
．所以所给二元方程所确定的函数是所
，即 tany·tanx＝±C1，所以原方程的通解为
tany·tanx＝C
（6）原方程分离变量，得 10－ydy＝10xdx，两端积分得
可写成 （7）原方程为
. 分离变量得
两端积分得
或写成
，即
，
所以原方程的通解为
（ex＋1）（ey－1）＝C
（8）原方程分离变量，得
两端积分得
即 ln|sinysinx|＝lnC1，或写成 sinysinx＝±C1，所以原方程的通解为 sinysinx＝C． （9）原方程分离变量，得（y＋1）2dy＝－x3dx．两端积分得
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第七章 微分方程
7.2 课后习题详解
习题 7-1 微分方程的基本概念
1．试说出下列各微分方程的阶数：
解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：

练习7-5
练习7-6
总习题七
练习8-1
练习8-2
>
练习8-3
练习8-4
练习8-5
练习8-6
练习8-7
练习8-8
总习题八
练习9-1
练习9-2
>>
<<>>
<<
练习9-3
练习9-4
总习题九
练习10-1
练习10-2
练习10-3
练习10-4
练习10-5
练习10-6
练习10-7
总习题十
练习111
练习112
-
0
+
无
-
-
yf(x)
1
极小值
↗
无
↗
0
拐点
↗
无
↗
-1
极大值
练习3-7
总习题三
x
(, 0)
0
f(x)
+
不存在
-
0
+
f(x)
↗
2
极大值
↘
极小值
↗
练习4-2
练习4-3
练习4-4
>>>
总习题四
练习5-1
练习5-2
练习5-3
练习5-4
总习题五
练习6-2
练习6-3
总习题六
练习7-1
练习7-2
练习7-3
练习7-4
↘
17/5
极小值
↗
6/5
拐点
↗
2
拐点
↗
x
0
(01)
1
y
+
+

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同济大学高等数学第七版上下册答案详解
练习1-1
练习1-2
练习1-3
练习1-4
练习1-5
练习1-6
练习1-7
练习1-8
练习1-9
练习1-10
总习题一
练习2-1
练习2-2
练习2-3
练习2-4
练习2-5
总习题二
练习3-1
练习3-2
练习3-3
练习3-4
练习3-5
练习3-6
x
( 2)
2
(2 1)
1
(1 1)
1
(1 )
y
0
+
+
+
0
+
y
+
+
+
0
0
+
yf(x)
↘
17/5
极小值
↗
6/5
拐点
↗
2
拐点
↗
x
0
(0 1)
1
y
+
+
0
-
-
-
y
0
-
-
-
0
+
yf(x)
0
拐点
↗
极大值
↘
拐点
↘
x
1
y
+
+
+
0
-
-
-
y
+
0
-
-
-
0
+
yf(x)
↗
拐点
↗
1
极大值
↘
拐点
↘
x
( 1)
-1

考研高数同济七版必做课后习题第一章习题1-1：2，5，6，13；习题1-2：2，3，6，7，8；习题1-3：1，2，3，4，7，12；习题1-4：1，5，6；习题1-5：1，2，3，4，5；习题1-6：1：（5），（6），2，4；习题1-7：1，2，3，4，5：（2），（3），（4）；习题1-8：2，3，4，5，6；习题1-9：1，2，3，4，5；总复习题一：1，2，3，5，9，10，11，12，13。

第二章习题2-1：5，6，7，8，9，11，13，16，17，18，19，20；习题2-2：2，3，6，7，8，9，10，11，13，14；习题2-3：1，2，3，4，10，12；习题2-4：1，2，3，4，5（数一、二），6（数一、二），7（数一、二），8（数一、二）；习题2-5：3，4；总复习题二：1，2，3，6，7，8，9，10，11，12（数一、二），13（数一、二），14。

第三章习题3-1：5，6，7，8，9，10，11，12，15；习题3-2：1，2，3，4；习题3-3：6，10；习题3-4：1，3：（3），（4），（6），（8），4，5，7，8，9，10，11；习题3-5：1，3，4，5，6，9；习题3-6：2，3，5；习题3-7（数一，二）：1，2，3，4，5；总复习题三：1-15，16（数一，二），18，19，20。

第四章习题4-1：1，2，3；习题4-2：1，2；习题4-3：1-24；习题4-4：1-24；习题4-5：1-25；总复习题四：1，2，3，4。

第五章习题5-1：2，3，4，7，11，12，13；习题5-2：1，2（数一、二），3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14；习题5-4：1，4；总复习题五：1-14。

第六章习题6-2：2，5，12，13，14，15，23（数一、二），24（数一、二），25（数一、二）；习题6-3（数一、二）：1，3，7，8，11；总复习题六：1，2（2），4，5，7，8，10-13（数一、二）。

图1
【答案】C
【解析】函数 在
内连续，观察知，函数 在除去点
外处处二阶可导．如图1所示，虽然 不存在，但在点 两侧
异号，因此
是
的拐点．
A点处二阶导数为0，且A点两侧 异号，根据拐点的定义知，A 点为曲线的拐点．B点处虽然二阶导数也为0，但是B点两侧 都是大 于0，因此，B点不是拐点．
2．设函数 具有二阶导数， （ ）．[数一 2014研]
A．
，则当 充分大时，下列正确的有（ ）.[数三
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，即
，
，所以
， ，当 时，有
，取 ，则知
．
6．设
，则当 时，若
是比 高阶
的无穷小，则下列选项中错误的是（ ）. [数三 2014研]
A． B．
C． D．
目 录
第一部分 考研真题 第一章 函数与极限 第二章 导数与微分 第三章 微分中值定理与导数的应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 定积分的应用 第七章 微分方程
第二部分 课后习题 第一章 函数与极限 习题1-1 映射与函数 习题1-2 数列的极限 习题1-3 函数的极限 习题1-4 无穷小与无穷大 习题1-5 极限运算法则
【答案】1
【解析】在方程
两端关于x求导，得
将x＝0代入方程
将
代入
，得
． ，得
则
【答案】 【解析】因为
，
，所以
所以
7．曲线
上对应于t＝1的点处的法线方程为 ______．
[数二2013研]
【答案】
【解析】由题中函数表达式得，曲线上对应于t＝1的点处的切线斜 率为

k∈Z）
2．将下列函数 f（x）展开成傅里叶级数：
（1）f（x）＝2sin（x/3）（－π≤x≤π） ；
（2）
f
(x)
ex ,
1,
x 0 0 x 。
解：（1）设φ（x）是 f（x）经周期延拓而得的函数，φ（x）在（－π，π）内连续，x
＝±π是φ（x）的间断点。又φ（x）满足收敛定理的条件，故在（－π，π）内，它的傅里
cosnxdx
0
n
00
ab n
(1) n1
1 sin n
nx
0
a
n
b
(1) n1(
n 1, 2,
)
f（x）满足收敛定理的条件，而在 x＝（2k＋1）π（k∈z）处不连续，故
f
(x)
4
(a
b)
n1
1
(1)n n2
(b
a)
cos
nx
(1) n 1 (a n
b)
sin
nx
（x≠（2k＋1）π，
an
n(1)n n2
e2 e2 4
(n 1, 2,)
f（x）满足收敛定理的条件，而在 x＝（2k＋1）π（k∈Z）处不连续，故
f
(x)
e2
e2
1
4
n1
(1)n n2 4
(2
cos
nx
n
sin
nx)
（x≠（2k＋1）π，k∈Z）
（
3
）
a0
1
0 bxdx
axdx
(a b)
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同济大学数学系《高等数学》第 7 版笔记和课后习题含考研真题详解 第 12 章 无穷级数 下

目　录第一部分　考研真题精选第1章　函数与极限第2章　导数与微分第3章　微分中值定理与导数的应用第4章　不定积分第5章　定积分第6章　定积分的应用第7章　微分方程第二部分　章节题库第1章　函数与极限第2章　导数与微分第3章　微分中值定理与导数的应用第4章　不定积分第5章　定积分第6章　定积分的应用第7章　微分方程第一部分　考研真题精选第1章　函数与极限一、选择题1若，则f（x）第二类间断点的个数为（ ）。

[数二、数三2020研] A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由f（x）表达式知，间断点有x＝0，±1，2。

因为存在，故x＝0为可去间断点；因，故x＝1为第2类间断点；因，故x＝－1为第2类间断点；因，故x＝2为第2类间断点；综上，共有3个第二类间断点，故应选C项。

2当x→0时，若x－tanx与x k是同阶无穷小，则k＝（ ）。

[数一2019研]A．1B．2C．3D．4【答案】Ctanx在x＝0处的泰勒展开式为：tanx＝x＋（1/3）x3＋o（x3），因此当x→0时有x－【解析】tanx～－（1/3）x3，即x－tanx与－（1/3）x3是x→0时的等价无穷小，进一步可得x－tanx与x3是同阶无穷小，所以k＝3，故选C。

3已知方程x5－5x＋k＝0有3个不同的实根，则k的取值范围（ ）。

[数三2019研] A．（－∞，－4）B．（4，＋∞）C．{－4，4}D．（－4，4）【答案】D【解析】方程x5－5x＋k＝0有3个不同实根等价于曲线y＝x5－5x与直线y＝－k有3个不同的交点，因此研究曲线y＝x5－5x的曲线特点即可。

令f（x）＝x5－5x，则f（x）在R上连续，且f′（x）＝5x4－5，再令f′（x）＝0，得x＝±1，通过分析f′（x）在稳定点x＝±1左右两侧的符号，可知当x∈（－∞，－1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（－1，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，＋∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增。