导数在实际生活中的应用 苏教版

导数在实际生活中的应用教学目标1．进一步掌握用导数的方法求函数最值的方法；2．会用导数解决有关面积、容积最大问题和用料最省问题的应用题，表达数学的价值．教学重点，难点提高“用导数求函数的极值及最值〞的应用能力．教学过程一．问题情境1．情境：导数在实际生活中有着广泛的应用。

如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可以用导数来解决。

2．问题：用导数求函数的最大值和最小值的方法和步骤是什么？二．学生活动：求函数31()443f x x x =-+在[0,3]上的最大值和最小值。

三．数学运用1．例题：例1．用边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去一个边长相等的小正方形，然后把它沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱。

问箱底边的长取多少时，箱子的容积最大，最大容积是多少？解：设箱底边长为xcm ，那么水箱高〔单位：cm 〕为：602xh -=，箱子容积〔单位：3cm 〕为：23260()(060)2x x V V x x h x -===<<， 问题的实际情况来看，如果x 过小，水箱的底面积就很小，容积V 也就很小；如果x 过大，水箱的高就很小，容积V 也就很小；因此，其中必有一适当的x 值，使得容积V 取得最大值．求()V x 的导数，得23()602V x x x '=-，令()0V x '=，即236002x x -=，解得：10x =〔不合题意，舍去〕，240x =当x 在(0,60)内变化时，导数()V x '的正负如下表： x(0,40) 40 (40,60) '()V x ＋ 0 -因此在40x =处，函数()V x 取得极大值，并且这个极大值就是函数()V x 的最大值．最大容积26040(40)40160002V -=⨯=答：箱子底边长取40cm 时，容积最大；最大容积为316000cm ．说明：某某际问题的最大值和最小值的一般步骤：〔1〕建立目标函数：细致分析实际问题的各量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x ，建立函数关系式()y f x =，根据实际意义确定()y f x =的定义域；〔2〕求'()f x ，解方程'()0f x =得出所有的实根；〔3〕具体判断，得出结果．例2．某种圆柱形的饮料罐的体积一定时，如何确定它的高和底半径，使得所用材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，那么表面积2()22S R Rh R ππ=+又2V R h π=〔定值〕，那么2V h R π=，∴2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+由22()40V S R R R π'=-+=，得R =，∴2V h R π==，即2h R =。

1.4 导数在实际生活中的应用学案（苏教版高中数学选修2-2）14导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题知识点生活中的优化问题1生活中经常遇到求用料最省.利润最大.效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程1优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题2生活中的优化问题都必须利用导数解决3生活中的优化问题中若函数只有一个极值点，则它就是最值点类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBxcm某厂商要求包装盒的容积Vcm3最大，试问x应取何值并求出此时包装盒的高与底面边长的比值考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题解Vx2x2602x222x2602x22x3602x20x30Vx62x21202x62xx20令Vx0，得x0舍去或x20.当0x0；当20x30时，Vx0.Vx在x20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值底面边长为2x202cm，高为230x102cm，即高与底面边长的比值为12.引申探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积Scm2最大，试问x应取何值解AEx，HE2x.EF602x，EG22EF22602x230xS 侧4HEEG42x230x8x30x8x2240x8x1528152.当x15时，S侧最大为1800cm2.反思与感悟面积.体积容积最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验跟踪训练1已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题答案6S3解析设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh，圆柱的表面积S2r22rh.hS2r22r，又圆柱的体积Vr2hr2S2r2rS2r32，VrS6r22，令Vr0，得S6r2，h2r，Vr只有一个极值点，当h2r时圆柱的容积最大又rS6，h2S66S3.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为6S3.类型二实际生活中的最值问题命题角度1利润最大问题例2已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为Rx万元，且Rx10.8x230，010.1求年利润W万元关于年产量x千件的函数解析式；2当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值解1当010时，WxRx102.7x9810003x2.7x.所以W8.1xx33010，010.2当0x10时，令W8.1x2100，得x9.所以当0x9时，W单调递增，当9x10时，令W2.710003x20，得x1009，当10x0；当x1009时，W0，所以当x1009时，Wmax3838.6，所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系1利润收入成本2利润每件产品的利润销售件数跟踪训练2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y单位千克与销售价格x单位元/千克满足关系式yax310x62，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克1求a 的值；2若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解1因为当x5时，y11，所以a21011，所以a2.2由1可知，该商品每日的销售量为y2x310x62，所以商场每日销售该商品所获得的利润为fxx32x310x62210x3x62，3x6.从而fx10x622x3x630x4x6列表如下.x3,444,6fx0fx极大值f4由上表可得，x4是函数fx在区间3,6内的极大值点，也是最大值点所以当x4时，函数fx取得最大值为42.所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大命题角度2用料.费用最少问题例3某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为2xx万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元1试写出y关于x的函数关系式；2当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料.费用最少问题解1设需新建n个桥墩，则n1xm，即nmx1.所以yfx256nn12xx256mx1mx2xx256mxmx2m256.0xm2由1知，fx256mx212m12xm2x232512x令fx0，得32x512，所以x64.当0x64时，fx0，fx在区间0,64上为减函数；当64x0，fx在区间64,640上为增函数，所以fx在x64处取得最小值此时nmx16406419.故当m640米时，需新建9个桥墩才能使y最小反思与感悟1用料最省.成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答2利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使fx0时，如果函数在这点有极大小值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大小值跟踪训练3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C单位万元与隔热层厚度x单位cm满足关系Cxk3x50x10，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设fx为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和1求k的值及fx的表达式；2隔热层修建多厚时，总费用fx达到最小，并求最小值解1由题设知，每年能源消耗费用为Cxk3x5，再由C08，得k40，因此Cx403x5，而建造费用为C1x6x.因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为fx20CxC1x20403x56x8003x56x0x102fx624003x52.令fx0，即24003x526，解得x5，x253舍去当0x5时，fx0；当5x0，故当x5时，fx取到最小值，对应的最小值为f56580015570.所以当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.1方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为________答案4解析设底面边长为x，高为h，则Vxx2h256，h256x2.Sxx24xhx24x256x2x24256x，Sx2x4256x2.令Sx0，解得x8，判断知当x8时，Sx取得最小值h256824.2某产品的销售收入y1万元是产品x千台的函数，y117x2；生产总成本y2万元也是x 的函数，y22x3x2x0，为使利润最大，应生产________千台答案6解析构造利润函数yy1y218x22x3x0，y36x6x2，令y0，得x6x0舍去，x6是函数y在0，上唯一的极大值点，也是最大值点3一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去，月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则月租金定为________元时可获得最大收入答案1800解析设x套为没有租出去的公寓数，则收入函数fx100050x50x10050x，fx1600100x，当x16时，fx取最大值，故把月租金定为1800元时收入最大4要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元答案160解析设底面长为xm，由题意得底面宽为4xm.设总造价为y元，则y20x4x1012x24x，即y20x80x80，y2080x2，令y0，得x2.当x2时，ymin160.5将一段长100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________cm.答案1004解析设弯成圆形的一段铁丝长为x，则另一段长为100x.设正方形与圆形的面积之和为S，则正方形的边长a100x4，圆的半径rx2.故Sx22100x420x100因此Sx2252x8x2100x8，令S0，则x1004.由于在0,100内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x1004时，面积之和最小1利用导数解决生活中实际问题的一般步骤1分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yfx2求函数的导数fx，解方程fx0.3比较函数在区间端点和极值点的数值的大小，最大小者为最大小值2正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路另外需要特别注意1合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域2与实际问题相联系3必要时注意分类讨论思想的应用。

1．4导数在实际生活中的应用学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点生活中的优化问题1．生活中经常遇到求用料最省、利润最大、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．1．优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题．(√)2．生活中的优化问题都必须利用导数解决．(×)3．生活中的优化问题中若函数只有一个极值点，则它就是最值点．(√)类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题解∵V(x)＝(2x)2×(60－2x)×2 2＝2x2×(60－2x)＝－22x3＋602x2(0<x<30)．∴V′(x)＝－62x2＋1202x＝－62x(x－20)．令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.∵当0<x<20时，V′(x)>0；当20<x<30时，V′(x)<0.∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值．∴底面边长为2x＝202(cm)，高为2(30－x)＝102(cm)，即高与底面边长的比值为12.引申探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？解∵AE＝x，∴HE＝2x.∵EF＝60－2x，∴EG＝22EF＝22(60－2x)＝2(30－x)．∴S侧＝4×HE×EG＝4×2x×2(30－x)＝8x(30－x)＝－8x2＋240x＝－8(x－15)2＋8×152.∴当x＝15时，S侧最大为1 800 cm2.反思与感悟面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．跟踪训练1已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求几何体体积的最值问题 答案6πS 3π解析 设圆柱的底面半径为r ， 则S 圆柱底＝2πr 2，S 圆柱侧＝2πrh ， ∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh . ∴h ＝S －2πr 22πr，又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32，V ′(r )＝S －6πr 22，令V ′(r )＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ， ∵V ′(r )只有一个极值点， ∴当h ＝2r 时圆柱的容积最大． 又r ＝S6π，∴h ＝2S 6π＝6πS 3π. 即当圆柱的容积V 最大时， 圆柱的高h 为6πS 3π. 类型二 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－x 230，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .所以W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)当0<x ≤10时，令W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9.所以当0<x <9时，W 单调递增， 当9<x <10时，W 单调递减， 所以当x ＝9时，W max ＝38.6.当x >10时，令W ′＝－2.7＋1 0003x 2＝0，得x ＝1009，当10<x <1009时，W ′>0；当x >1009时，W ′<0，所以当x ＝1009时，W max ＝38<38.6，所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)． 列表如下.由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值为42.所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 命题角度2 用料、费用最少问题例3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题 解 (1)设需新建n 个桥墩， 则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256m x＋m x ＋2m －256.(0<x <m )(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12m 12x -＝m 2x232512x ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 令f ′(x )＝0，得32x ＝512， 所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)上为减函数； 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)上为增函数， 所以f (x )在x ＝64处取得最小值． 此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故当m ＝640米时，需新建9个桥墩才能使y 最小．反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． 跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解 (1)由题设知，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2.令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.所以当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元.1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为________． 答案 4解析 设底面边长为x ，高为h ， 则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，判断知当x ＝8时，S (x )取得最小值． ∴h ＝25682＝4.2．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是x的函数，y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产________千台． 答案 6解析 构造利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x >0)，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0，得x ＝6(x ＝0舍去)，x ＝6是函数y 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点．3．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去，月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则月租金定为________元时可获得最大收入． 答案 1 800解析 设x 套为没有租出去的公寓数，则收入函数f (x )＝(1 000＋50x )(50－x )－100(50－x )，∴f ′(x )＝1 600－100x ，∴当x ＝16时，f (x )取最大值，故把月租金定为1 800元时收入最大． 4．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 答案 160解析 设底面长为x m ，由题意得底面宽为4x m.设总造价为y 元，则y ＝20x ×4x ＋10×1×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ， 即y ＝20x ＋80x＋80，y ′＝20－80x 2，令y ′＝0，得x ＝2.∴当x ＝2时，y min ＝160.5．将一段长100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm. 答案100π4＋π解析 设弯成圆形的一段铁丝长为x ，则另一段长为100－x . 设正方形与圆形的面积之和为S ，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x2π.故S ＝π⎝⎛⎭⎫x 2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 42(0<x <100)． 因此S ′＝x 2π－252＋x 8＝x 2π－100－x 8，令S′＝0，则x＝100π.4＋π由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x ＝100π时，面积之和最小．4＋π1．利用导数解决生活中实际问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)．(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和极值点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域．(2)与实际问题相联系．(3)必要时注意分类讨论思想的应用．。

导数习题课一、教学目标1、在必修1研究基础上．学生在面对一个函数问题时，会从下列方面去考察：定义域、值域、对应法则、单调性、奇偶性、最值、图象等，此处进一步通过导数为工具研究函数性质，体会导数的工具价值，并能进一步解决含参数的函数问题、函数与方程和不等式问题求解；2、通过适当的例题，进一步帮助学生认识和理解知识和方法，体会知识之间的有机联系，进一步理解函数的本质．二、教学过程设计（一）提出问题，引发思考问题1 回顾所学，导数有什么作用？设计意图：引导学生复习前面学习的导数知识，从整体上把握导数的作用：（1）求曲线的切线；（2）研究函数的单调性．问题2 在解决导数的问题中，那些问题给你带来困扰？设计意图：启发学生自我反思最近做过的有关导数的题目并且发表各自的观点，提炼概况出同学们共同的难点——求参数的取值范围．从而为接下来学生探究“求参数的取值范围”的各种方法进行铺垫，同时激发学生的求知欲．问题3：“函数f＝n－aa∈R有两个零点，求a的取值范围．”研究这个问题我们先干什么？是先求导之后令导函数等于0吗？设计意图：引导学生树立研究函数问题先研究定义域的意识——这往往是高中生最容易忽视的地方，研究任何一个函数都要把自变量放在定义域的范围内去研究，否则会给解决问题带来不必要的麻烦，使研究的结果失去其意义．（二）问题驱动，讨论交流问题4：探究：函数f＝n－aa∈R有两个零点，求a的取值范围．已知函数的定义域为0，﹢∞设计意图：在课堂上给予学生足够的时间去探究问题，教师巡视课堂根据学生的研究情况进行有针对性的指导．强调独立思考、自主学习，培养学生学习数学的良好习惯．学生分析交流：方法①：数形结合（图象法）．函数f＝n－aa∈R有两个零点 曲线g＝n与直线h＝a的图象有两个交点．如图1，当a≤0时，直线＝a与＝n总是有且只有一个公共点，不满足要求．图1如图2，当a＞0时，直线＝a与＝n有且只有一个公共点，当且仅当直线＝a与曲线＝n相切．设切点为0，n 0，根据曲线＝n在＝0处的切线方程为：－n 0＝错误!－0．把原点0，0代入得0＝e，所以a＝错误!＝错误!．图2如图3，当0＜a＜错误!时，直线＝a与＝n总是有两个不同的公共点，满足要求．图3总结：借助函数图形进行研究直观，但是不严谨，可以在填空题中运用此法解决问题，但是解决大题不建议使用．方法②：参变分离．令h＝错误!，由h'＝错误!＝0得＝e．当∈0，e时，h'＞0，h单调递增，h∈－∞，错误!；当∈e，＋∞时，h'＜0，h单调递减，h∈0，错误!；如图所示：所以方程b＝错误!有两个不同的解等价于0＜b＜错误!．总结：通过参变分离解决问题的时候我们只有借助高等数学的极限知识才能解释清楚，利用现有高中所学解释不清，导致数学逻辑上有漏洞．所以我们必须思考如何在现有的数学知识体系下去解决这个问题．方法③：含参讨论．f '=错误!－a，a＜0时，g'＞0，g在（－∞，∞）上单调增，g 1=－a＞0，g错误!=n错误!－错误!≤错误!－1－错误!＝－错误!＜0，利用了n≤－1放缩所以由函数零点存在定理可知n－a＝0在（－∞，∞）上有且只有一个零点;a＝0时，g＝n有且只有一个零点＝1，符合题意；a＞0时，令g'=错误!－a＝0, 则＝错误!,当＜错误!时，g'＞0，当＞错误!时，g'＜0，所以当＝错误!时，g取到最大值为－n a－1．∵f＝n－aa∈R有两个零点．∴－n a－1＞0，所以0＜a＜错误!．∴错误!＞e∵f 1＝n1－a＝－a＜0，f错误!＝n错误!－1＞n e－1＝0．∴f 1 f错误!＜0，又∵f在1，错误!上连续且f在1，错误!单调递增．∴f在1，错误!存在唯一零点．∵f错误!＝n错误!－错误!＝2n错误!－错误!错误!＞e，设t＝2n－＞e，∴t ＝错误!－1＝错误!＜0，∴t在定义域内单调递减．∴t＜t e＝2－e＜0．∴t错误!＜0∴t错误!t错误!＜0，又∵t在错误!，错误!上连续且t在错误!，错误!单调递减．∴t在错误!，错误!存在唯一零点．∴综上所述，当当0＜a＜错误!时，直线＝a与＝n有两个不同的公共点．总结：运用含参讨论研究参数的取值范围时，关键是根据函数零点存在定理找端点使得f a f b＜0．如何找端点成为了难点．一方面，特殊值令＝0，1，e……另一方面，借助不等式进行放缩．（三）抽象概括，总结提升问题5：总结参数取值范围问题的解题策略？请你谈一下上述策略的优缺点？设计意图：（1）归纳概括本节课的所学知识，根据题意，方程n－a＝0有两个实根．参讨论n－a＝0．②函数图象n＝a．③参变分离a＝错误!．（2）运用含参讨论研究参数的取值范围时，关键是根据函数零点存在定理找端点使得f a f b＜0．如何找端点成为了难点．一方面，特殊值令＝0，1，e……另一方面，借助不等式进行放缩．（四）应用迁移，提高能力1、函数f＝n－a ，a∈－∞,错误!]，讨论f的零点个数并证明你的结论．2、【2021江苏】设函数f＝n －a，g＝e－a，其中a为实数．1若f在1，＋∞上是单调减函数，且g在1，＋∞上有最小值，求a的取值范围；2若g在－1，＋∞上是单调增函数，试求f的零点个数，并证明你的结论．。

高二数学导数在实际生活中的应用知识精讲一. 本周教学内容：导数在实际生活中的应用二. 重点、难点：教学重点：能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题；感受导数在解决实际问题中的作用．教学难点：实际问题转化为数学问题的能力．三. 主要知识点： 1. 基本方法：（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y ＝f （x ）在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的减函数.（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f （x ）的导数f ′（x ）. ②令f ′（x ）＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′（x ）＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.（3）判别f （x 0）是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.（4）求函数f （x ）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f ′（x ）. ②求方程f '（x ）＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f （x ）在这个根处无极值.（5）利用导数求函数的最值步骤：（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．例1、在边长为60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？思路一：设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23260()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的16，这个结论是否具有一般性？变式：从一块边长为a 的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？提示：2()(2) (0)2a V x x a x x =-<<答案：6a x =． 评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧. 而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值. 可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.例2、（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y （升），关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米．（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解：（I ）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540=小时， 要耗油313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为()h x 升，依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤332280080'()(0120).640640x x h x x x x-=-=<≤ 令'()0,h x =得80.x =当(0,80)x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数； 当(80,120)x ∈时，'()0,()h x h x >是增函数．∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h =因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．例3、求抛物线221x y =上与点)0,6(A 距离最近的点. 解：设),(y x M 为抛物线221x y =上一点，则=+-=22)6(||y x MA 4241)6(x x +-. ||MA 与2||MA 同时取到极值.令42241)6(||)(x x MA x f +-==. 由0)62)(2()(2/=++-=x x x x f 得2=x 是唯一的驻点.当-∞→x 或+∞→x 时，2,)(,||=∴+∞→∴+∞→x x f MA 是)(x f 的最小值点，此时2221,22=⨯==y x . 即抛物线221x y =上与点)0,6(A 距离最近的点是（2，2）.例4、烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境. 已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20km ，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小.解：不失一般性，设烟囱A 的烟尘量为1，则烟囱B 的烟尘量为8并设AC ＝)200(<<x xx CB -=∴20，于是点C 的烟尘浓度为)200()20(822<<-+=x x k x k y ， 其中k 为比例系数.332333/)20()80001200609(2)20(162x x x x x k x k x k y --+-⋅=-+-= 令0/=y ，有08000120060923=-+-x x x ， 即0)4003)(203(2=+-x x . 解得在（0，20）内惟一驻点320=x . 由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，∴在惟一驻点320=x 处，浓度y 最小，即在AB 间距A 处km 320处的烟尘浓度最小.例5、已知抛物线y ＝－x 2+2，过其上一点P 引抛物线的切线l ，使l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l 的方程.解：设切点P （x 0，－x 02+2）（x 0＞0），由y ＝－x 2+2得y ′＝－2x ， ∴k 1＝－2x 0.∴l 的方程为y －（－x 02+2）＝－2x 0（x －x 0），令y ＝0，得x 02022x x +令x ＝0，得y ＝x 02+2， ∴三角形的面积为S ＝21·02022x x +·（x 02+2）＝02040444x x x ++.∴S ′＝220204)2)(23(x x x +-. 令S ′＝0，得x 0＝36（∵x 0＞0）. ∴当0＜x 0＜36时，S ′＜0; 当x 0＞36时，S ′＞0. ∴x 0＝36时，S 取极小值∵只有一个极值， ∴x ＝36时S 最小，此时k 1＝－362，切点为（36，34）.∴l 的方程为y －34＝－362 （x －36），即26x +3y －8＝0.例6、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？解：设∠BCD ＝Q ，则BC ＝θsin 40，CD ＝40cot θ，（0＜θ＜2π＝， ∴AC ＝50－40cot θ设总的水管费用为f （θ），依题意，有f （θ）＝3a （50－40·cot θ）+5a ·θsin 40＝150a +40a ·θθsin cos 35-∴f ′（θ）＝40a ·θθθθθθθ22sin cos 5340sin )(sin )cos 35(sin )cos 35(-⋅='⋅--⋅'-a 令f ′（θ）＝0，得cos θ＝53根据问题的实际意义，当cos θ＝53时，函数取得最小值，此时sin θ＝54，∴cot θ＝43，∴AC ＝50－40cot θ＝20（km ），即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.例7、（2006年江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO 1为x m ，则41<<x由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3x x x -+=--，故底面正六边形的面积为：(436⋅⋅22)28x x -+＝)28(2332x x -+⋅，（单位：2m ） 帐篷的体积为：)28(233V 2x x x -+=）（]1)1(31[+-x )1216(233x x -+=（单位：3m ）求导得)312(23V'2x x -=）（． 令0V'=）（x ，解得2-=x （不合题意，舍去），2=x ，当21<<x 时，0V'>）（x ，）（x V 为增函数； 当42<<x 时，0V'<）（x ，）（x V 为减函数．∴当2=x 时，）（x V 最大．答：当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m ．点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力．（答题时间：60分钟） 一、选择题1. 一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A. 7米/秒B. 6米/秒C. 5米/秒D. 8米/秒2. 如果()f x 为偶函数，且导数()f x 存在，则()0f '的值为 （ ） A. 2B. 1C. 0D. －13. 0()0f x '=是函数()f x 值的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 4. 当0x ≠时，有不等式 （ ）A. 1xe x <+B. 当0x >时 1xe x <+，当0x <时1xe x >+ C. 1xe x >+D. 当0x <时1x e x <+，当0x >时1xe x >+5. 方程1ln(x x +=[0,)+∞的实根个数为 （ ） A. 1 B. 2C. 3D. 46. 设函数322()3(1)1f x kx k x k =+--+在区间(0,4)上是减函数，则k 的取值范围是（ ）A. 13k <B. 103k <≤C. 103k ≤<D. 13k ≤二、填空题7. 曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线方程为_______________. 8. 若函数343y x bx =-+有三个单调区间，则b 的取值范围是 . 9. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为______________ 三、解答题10. 设函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图所示，且与0y =在原点相切，若函数的极小值为4-，（1）求,,a b c 的值；（2）求函数的递减区间.11. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：21242005p x =-，且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）. 问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润＝收入－成本） 12. 已知32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时，都取得极值. （1）求,a b 的值；（2）若3(1)2f -=，求()f x 的单调区间和极值； （3）若对[1,2]x ∈-都有3()f x c< 恒成立，求c 的取值范围．[参考答案] 1. C 2. C 3. D 4. C5. A6.D7. 0x ey -= 8. (0,)+∞9. 解析：设底面边长为x ，则高为h ＝234xV ，∴S 表＝3×234x V ·x +2×43x 2＝x V 34+23x 2． ∴S ′＝－234xV+3x ．令S ′＝0，得x ＝34V ． 答案：34V10. 解析：（1）函数的图象经过（0，0）点∴ c ＝0，又图象与x 轴相切于（0，0）点，'y ＝3x 2+2ax +b ∴ 0＝3×02+2a ×0+b ，得b ＝0 ∴ y ＝x 3+ax 2，'y ＝3x 2+2ax当a x 32-<时，0'y <，当a x 32->时，0'y > 当x ＝a 32-时，函数有极小值－4∴ 4)32()32(23-=+-a a a ，得a ＝－3（2）'y ＝3x 2－6x ＜0，解得0＜x ＜2 ∴ 递减区间是（0，2）11. 解：每月生产x 吨时的利润为)20050000()5124200()(2x x x x f +--=).(200,20002400053)()0(5000024000512123舍去解得由-===+-='≥-+-=x x x x f x x x).(200,20002400053)()0(5000024000512123舍去解得由-===+-='≥-+-=x x x x f x x x0)(200),0[)(='=+∞x f x x f 使内只有一个点在因，故它就是最大值点，且最大值为：)(31500005000020024000)200(51)200(3元=-⨯+-=f答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．12. 解：（1）f ′（x ）＝3x 2＋2a x ＋b ＝0.由题设，x ＝1，x ＝－23为f ′（x ）＝0的解.－23a ＝1－23，b 3＝1×（－23）. ∴a ＝－12，b ＝－2. （2）f （x ）＝x 3－12x 2－2 x ＋c ，由f （－1）＝－1－12＋2＋c ＝32，c ＝1.∴f （x ）＝x 3－12x 2－2 x ＋1.∴f （x ）的递增区间为（－∞，－23），及（1，＋∞），递减区间为（－23，1）.当x ＝－23时，f （x ）有极大值，f （－23）＝4927；当x ＝1时，f （x ）有极小值，f （1）＝－12.（3）由上，f ′（x ）＝（x －1）（3x ＋2），f （x ）＝x 3－12x 2－2 x ＋c ，f （x ）在[－1，－23]及（1，2）上递增，在（－23，1）递减. f （－23）＝－827－29＋45＋c ＝c ＋2227. f （2）＝8－2－4＋c ＝c ＋2.由题设，c ＋2＜3c 恒成立，c 2＋2c －3c＜0，∴c ＜－3，或0＜c ＜1 .。