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()导数在实际生活中的应用

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导数在生活中的应用例子

导数在生活中的应用例子

导数在生活中的应用例子
一、在经济学中
1、供求曲线中的供求应变：当价格发生变化时，需求量会出现波动，
以及需求量对价格的变化也变化，供求曲线受到价格变化的影响。

这
就是导致供求应变的原因，而这个原因可以用微积分的偏导数来证明。

2、市场竞争：随着竞争者数量的增加，市场价格也会发生变化，价格
作为变量，市场最终决定价格时，就会出现供需冲突，从而引起价格
波动，这就用微积分中的导数来分析。

二、在金融学中
1、货币政策传导机制：货币政策的实施使得利率的变化对经济的影响，用微积分的意义来看，利率是一种曲线，当利率变化时，曲线的斜率
也会变化，这就是利率传导机制。

2、投资机会成本：投资机会成本指的是投资者在一定条件下所承担的
投资风险，当利率下降时，投资机会成本也会发生变化，而这一变化
可以用微积分中的导数来进行分析。

三、在制造业中
1、公差计算：在计算机装配工艺中，产品的尺寸关系到了其加工的质量，如果所用的部件的尺寸不符合公差要求，就会出现不良的加工结
果，这时处理的办法就是计算出来最大的容许偏差，而这个最大容许
偏差就是通过微积分的偏微分来计算出来的。

2、工艺优化：为了确保加工出来的产品的质量，就必须对付诸如温度、压力、用料等参数进行优化调整，这可以使用微积分来分析各参数对
最终结果的影响，以达到最优化调整的效果。

导数在实际生活中的应用-PPT精品

导数在实际生活中的应用-PPT精品
答 ： 当 x=40cm 时 ， 箱 子 容 积 最 大 ， 最 大 容 积 是 16 000cm3
例2：圆柱形金属饮料罐的容积一定 时，它的高与底与半径应怎样选取， 才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则 表面积
S=2π Rh+2π R2
S ( 由R ) V= π2 R2R h ，V R 得2 h2 R V2 R 2 2 R ，V 则 2 R 2
令 S'(R)2V4R0 解得，R 3 V
R2
2
，从而
hVR2
V
(3 2V)2
3
4V
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
23
V

即 h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
例3 在如图所示的电路中，已 知电源的内阻为r，电动势为ε， 外电阻R为多大时，才能使电功 率最大？最大电功率是多少？
x
60
x
x x
60
解法一：设箱底边长为xcm，则箱高 h 6 0 x cm，
2 V(x)x2h60x2x3 (0x60)
2
得箱子容积 V(x) 60x3x2 2
令 V(x)60x3x2 0 ，解得 x=0（舍去），x=40，
2
并求得 V(40)=16000
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时 ，箱子容积很小，因此，16000是最大值。
3.4 导数在 实际生活中的应用
江苏如东马塘中学 张伟锋
新课引入:
导数在实际生活中有着广泛的应 用,利用导数求最值的方法,可以求出 实际生活中的某些最值问题.
1.几何方面的应用(面积和体积等的最值)

导数在实际生活中的应用

导数在实际生活中的应用

VS
最小值问题
利用导数求解函数在某区间上的最小值， 如求解成本最低、风险最小等问题。
边际成本与收益分析
边际成本
利用导数计算企业在生产过程中的边际成本，即每增加一单位产 量所增加的成本。
边际收益
利用导数计算企业在销售过程中的边际收益，即每增加一单位销售 量所增加的收益。
边际成本与收益的关系
通过比较边际成本与边际收益，确定企业的盈亏平衡点，以制定合 适的生产和销售策略。
图像处理中边缘检测技术
要点一
边缘检测
利用导数可以检测图像中的边缘信息，即图像中灰度值发 生突变的位置。这是因为在边缘处，灰度值的变化率（即 导数）往往较大。常用的边缘检测算子如Sobel算子、 Laplacian算子等都是基于导数计算的。
要点二
特征提取
通过对图像进行导数运算，可以提取出图像中的纹理、角 点等特征信息，这些信息在图像识别、目标跟踪等任务中 具有重要作用。
导数在实际生活中的应用
汇报人： 2023-12-01
• 导数基本概念与性质 • 最优化问题中的导数应用 • 运动学中的导数应用 • 图形学中的导数应用 • 工程领域中导数应用举例 • 生物医学领域中导数应用举例
01
导数基本概念与性质
导数定义及几何意义
导数定义
函数在某一点处的导数描述了函数在该点附近的变化率，即函数值随自变量变化的快慢程度。
滤波器参数优化
通过导数方法，对滤波器参数进行优化设计，以满足特定信号处理 需求。
噪声抑制能力
基于导数理论，评估滤波器的噪声抑制能力，以提高信号处理质量 。
06
生物医学领域中导数应用举例
药物代谢动力学模型建立
药物浓度变化率

列举三个导数在实际生活中或你的专业课程中应用的例子

列举三个导数在实际生活中或你的专业课程中应用的例子

列举三个导数在实际生活中或你的专业课程中应用的
例子
导数是微积分学中的基本概念之一，它可以帮助我们描述函数在某一
点的变化率，是解决许多实际问题的重要工具。

在下面的列表中，我
将列举三个导数在实际生活或专业课程中的应用。

1. 物理学中的应用
在物理学中，导数被广泛用于描述物体的运动状态。

例如，在一次匀
加速运动中，物体在某一时刻的速度就是运动位移的导数，而加速度
就是速度的导数。

通过求解导数，我们可以精确地预测物体未来的运
动趋势，为科学家们研究物体的运动轨迹提供了更加准确的方法。

2. 经济学中的应用
在经济学中，导数被广泛用于研究市场的供求平衡和决策分析。

例如，在微观经济学中，供给函数的导数可以表示一个生产者响应市场价格
变化的能力，而需求函数的导数可以表示消费者对价格变化的反应程度。

这些知识是分析市场行为的基础，也是制定经济政策的必要条件。

3. 工程学中的应用
在工程学中，导数被广泛用于研究复杂系统的行为和优化方法。

例如，在控制论的研究中，状态空间模型的导数可以帮助我们分析系统的稳
定性和反应速度，并且为设计反馈控制器提供了基础。

此外，在机械
工程的设计中，导数也可以用于优化设计的性能，如优化机器人的轨
迹规划、提高复杂系统的效率等。

结论
通过以上三个例子可以看出，在科学、工程和社会领域中，导数都有
着广泛而深入的应用。

无论是研究系统的性质，设计控制器，还是制
定经济政策，导数都是不可或缺的数学工具。

我相信，在未来的学习
和工作中，掌握导数的知识将会对我们事业的发展产生积极的影响。

导数在实际生活中的应用

导数在实际生活中的应用

导数在实际生活中的应用（1）学习目标1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.课前预学：问题1:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数y=f(x)的所有,再求出端点的函数值,进行比较,就可以得出函数的最大值和最小值.问题2:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一些生活中的优化问题.问题3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的,解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.问题4:解决生活中的优化问题应当注意的问题确定函数关系式中自变量的区间,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.课堂探究：一．利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.二．容积最大问题请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.三．成本最低问题：如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米.如果池四周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,无盖.(1)写出总造价y(元)与污水处理池的长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.课堂检测：1.把长度为l的铁丝围成一个长方形,则长方形的最大面积为.2.设底为正三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时底面边长为.3.做一个无盖圆柱水桶,其体积是27π m3,若用料最省,则圆柱的底面半径为m.4.已知一个扇形的周长为l,扇形的半径和中心角分别为多大时,扇形的面积最大?导数在实际生活中的应用（2）学习目标：1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 课前预学：1.把长度为16的线段分成两段,各围成一个正方形,这两个正方形面积的最小值为 .2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长20 cm,要使其体积最大,则其高是 .3.周长为20的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值是 .4.一边长为48 cm 的正方形铁皮,铁皮四角截去四个边长都为x cm 的小正方形,做成一个无盖方盒.求x 多大时,方盒容积最大? 课堂探究：1．如图,等腰梯形ABCD 的三边AB,BC,CD 分别与函数y=-x 2+2,x∈[-2,2]的图象切于点P,Q,R.求梯形ABCD 面积的最小值.2．已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件,需要另投入1.9万元,设R(x)(单位:万元)为销售收入,根据市场调查得知R(x)=其中x 是年产量(单位:千件).(1)写出年利润W 关于年产量x 的函数解析式;(2)年产量为多少时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?3．统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=x 3-x+8(0<x≤120),已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?课堂检测：某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.。

导数在实际生活中的运用

导数在实际生活中的运用

导数在实际生活中的运用1. 引言1.1 导数的定义导数的定义是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线斜率。

具体地说，如果函数f(x)在x=a处的导数存在，那么导数f'(a)表示了当自变量x在a处发生一个小的变化Δx时，函数值f(x)将相应地发生多大的变化Δf，这种变化率可以用导数来描述。

导数的概念不仅仅在数学中有重要的应用，它在实际生活中也有着广泛的应用价值。

导数的定义让我们能够更好地理解和描述各种现象中的变化规律，帮助我们预测未来的发展趋势。

掌握导数的概念可以帮助我们更好地解决各种实际问题，提高工作和生活的效率。

了解导数的定义及其在实际生活中的重要性对于我们每个人都是有益的。

在接下来的内容中，我们将探讨导数在不同领域的具体应用，展示导数在实际生活中的广泛应用。

1.2 导数在实际生活中的重要性导数在实际生活中的重要性可以说是不可忽视的。

导数是微积分中的一个重要概念，在实际生活中有着广泛的应用。

通过导数，我们可以描述物体在某一时刻的变化率，帮助我们更好地理解和分析现实世界中的各种现象。

在经济学中，导数被广泛运用于描述市场需求和供给的变化趋势，分析价格弹性和收益最大化等问题。

导数的概念也被应用于金融领域，帮助投资者和分析师预测股价的波动和变化趋势。

在物理学中，导数被用来描述物体的运动状态，例如速度和加速度的变化。

通过导数，我们可以计算出物体在不同时间点的位置和速度，帮助我们更好地理解自然界中的各种物理现象。

在生物学中，导数可以用来描述生物体的生长和变化过程，帮助研究人员更好地理解生物体的发育和演化规律。

导数也被用来分析生物体在不同环境条件下的适应性和响应能力。

在工程学和医学领域，导数被广泛应用于设计和优化各种系统和流程。

通过导数，工程师和医生可以分析和改进各种工艺和治疗方案，提高效率和准确性，保障工程项目和医疗保健的质量和安全性。

导数在实际生活中的应用PPT教学课件


为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高
与底面半径比为多少？
解:设桶底面半径为R,
则 桶 高 为h
V
R2
桶的用料为
S(R)
2
R2
2
R
V
R2
2 R2 2V ,
R
S'(R)
4
R
2V R2
,
令S'(R)
4
R
2V R2
0,
解得R
V
2
h R
此时，h
V
R2
V
3
V
2
2
4V 2 V
2
即h 2R
因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值。
答：当罐高与底的直径想等时，所用材料最省。
例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,
价格p与产量q的函数关系式为 p 25 1 q. 求产量q为何值 8
时,利润L最大。
分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出 利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.
3、辨别真伪
我是历史 小专家
（1）汉武帝时大力推行儒学教育，在长安兴
办太学。（
）
X （2）董仲舒建议汉高祖，允许诸侯王把自己 的封地分给子弟，建立较小的侯国。（ ）
（3）汉文帝时，西汉在政治、经济、军事和
X 思想上实现了大一统，进入鼎盛时期（ ）
通过本课的学习你知道 了哪些历史人物?你最欣赏或 最钦佩谁?说说你喜欢或钦佩 他的理由。
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内 只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)

导数在生活中应用例子

导数在生活中应用例子
导数是微积分中的一个重要概念，它在生活中有着广泛的应用。

导数可以帮助我们理解和解决许多实际问题，比如物体的运动、变化率的计算等。

下面我们就来看一些导数在生活中的应用例子。

首先，导数可以帮助我们理解物体的运动。

比如一辆汽车在高速公路上行驶，我们可以通过对汽车的位置随时间的变化进行求导，来得到汽车的速度。

这样我们就可以通过导数来计算汽车的加速度、减速度等运动状态，从而更好地理解汽车的行驶情况。

其次，导数还可以用来计算变化率。

比如在经济学中，我们可以通过对某一商品的需求量随价格的变化进行求导，来得到需求量对价格的弹性。

这样我们就可以通过导数来计算商品的价格弹性，从而更好地了解市场需求的变化情况。

另外，导数还可以帮助我们优化问题。

比如在工程中，我们可以通过对某一工艺的成本函数进行求导，来得到成本函数的最小值点。

这样我们就可以通过导数来优化工艺成本，从而更好地提高工程效率。

总之，导数在生活中有着广泛的应用。

它可以帮助我们理解物体的运动、计算变化率、优化问题等，对于我们的生活和工作都有着重要的意义。

因此，学好导数对于我们更好地理解和解决实际问题是非常重要的。

希望大家能够在学习导数的过程中，能够更加深入地理解它在生活中的应用。

列举三个导数在实际生活中应用的例子

列举三个导数在实际生活中应用的例子1、求导数在投资理财中的应用：随着经济的发展，投资理财变得越来越重要。

求导数在投资理财中的应用非常多，主要有以下几个方面：①帮助投资者分析投资绩效：根据投资者所做投资内容变化，求出投资绩效及相关函数分析，帮助投资者了解投资表现和赚钱效果；②分析投资产品价格：利用导数主要是为了分析投资者入手价格和卖出价格的大小，反映投资者是获利还是亏损；③分析投资组合：在交易中，投资组合的收益可以通过求出投资组合的收益函数的导数的方式被分析，作出有利的投资决策。

2、求导数在量子力学中的应用：求导数也可以用来计算原子模型中的因子和数值，因此它在量子力学中有非常强大的应用。

其主要应用有：①对原子电子结构的求解：根据量子力学，可以将原子电子结构分解成原子能级，求导数能够帮助我们计算原子各能级结构；②对原子分子运动的研究：原子在不同的电势面上处在不同的电子态中，通过求导数可以计算原子的位置和运动轨迹，从而了解原子分子的动态变化及碰撞机制；③应用于定性分析：使用求导数的方法，可以从宏观层面分析原子的性质，确定原子的稳定性或者电性质。

3、求导数在计算机图形学中的应用：计算机图形学涉及到复杂的数学计算，其中也广泛应用求导数进行求解。

其中主要有：①对物体表面曲率的求解：由于计算机图形学需要表示物体的三维表面，所以需要对三维数据进行分析，求其曲率。

求这些曲率需要计算多个参数的梯度，因此就需要求出这些参数函数的导数；②对投影映射的求解：将物体映射到二维表面时，同样需要计算投影映射参数的变化，而这也需要计算函数的导数；③色彩空间和色调映射：计算机图形学中，颜色也涉及到求导数，当需要进行色调映射时，要求变换参数的梯度，因此也需要用求导数的方法进行求解。

导数在实际生活中的应用举例

导数在实际生活中的应用举例导数在实际生活中的应用举例___________________________导数是微积分里的一个重要概念，它可以让我们更好的理解变化的趋势和求取一些常见的量，在实际生活中也有广泛的应用。

下面就来介绍一些常见的应用案例。

##### 地形测量地形测量是地理学、测量学等领域中的重要内容，在进行地形测量时，需要通过计算导数来求取地形的斜率，以此来判断地形的坡度，从而可以准确的测量出地形的变化情况。

##### 加速度的计算加速度是物体运动中的重要参数，它是衡量物体运动变化的重要指标，而物体运动的速度则是其位置变化的函数，所以我们可以通过计算物体运动位置函数的导数来计算出物体的加速度。

##### 温度变化温度也是一个随时间变化的量，我们可以通过计算温度随时间变化函数的导数来求得温度变化率，从而得出温度变化情况。

##### 热传导热传导是物理学中的一个重要概念，它是描述物体温度随时间变化的一个重要函数，我们可以通过计算热传导函数的导数来求得物体温度随时间变化率，从而得出物体温度变化情况。

##### 势能势能也是物理学中常见的一个概念，它是衡量物体能量变化情况的重要参数，我们可以通过计算势能函数的导数来获得物体能量随时间变化率，从而得出物体能量变化情况。

##### 压强压强也是物理学中常见的一个概念，它是衡量物体压力变化情况的重要参数，我们可以通过计算压强函数的导数来获得物体压力随时间变化率，从而得出物体压力变化情况。

##### 投资分析投资分析也是实际生活中常用到的一个应用，通过计算投资回报函数的导数来求得投资回报随时间变化率，从而得出未来投资回报情况。

##### 工程设计工程设计也是实际生活中常用到的一个应用，通过计算工程成本函数的导数来求得工程成本随时间变化率，从而得出未来工程成本情况。

##### 社会发展分析社会发展分析也是实际生活中常用到的一个应用，通过计算人口增长函数的导数来求得人口增长随时间变化率，从而得出未来人口增长情况。

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L' 1 q 21 4
令L' 0，即 1 q 21 0 求得唯一的极值点 q 84
4
因为L只有一个极值点,所以它是最大值.
答:产量为84时,利润L最大.
练习1: 如图,在二次函数
f(x)=4x-x2的图象与x轴所
y
围成的图形中有一个内接
矩形ABCD,求这 个矩形的
最大面积.
解:设B(x,0)(0<x<2), 则
时,利润L最大。
分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出 利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.
解：收入R q p q 25 1 q 25q 1 q2
8
8
利润L R C 25q 1 q2 (100 4q)
8
1 q2 21q 100 (0 q 200) 8
x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x
应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
课本例题的改编导数解决放到17题位置相对简单。
D
C
A x E Fx B
练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它 的高与底半径,使得所用材料最省?
解 设圆柱的高为h,底面半径为R.
x
A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
S( x) 6x2 24x 16.
令
S(
x)
0
,得x1
2
2
3 3
,
x2
2
2
3 3
.
x1 (0,2), 所以当 因此当点B为(2 2
满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.
2、实际应用问题的表现形式，常常不是 以纯数学模式反映出来。
首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。
其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解。
3、求最大（最小）值应用题的一般方法
(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为 数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。
y 20 10sin 10 cos
0
4
y x 2 x2 20x 200 0 x 10
y'
10 cos
gcos
20
cos2
10sin
sin
10 2 sin
cos2
1
＝
6
时ymin
10 10
3
例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,
价格p与产量q的函数关系式为 p 25 1 q. 求产量q为何值 8
• 2008－17如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝ 10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域 上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水 处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管 道的总长度为ykm．
• （1）按下列要求建立函数关系式：
• （i）设 BAO （rad），将表示成的函数；
• （ii）设 OP （x km），将表示成的函数；
• （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的 位置，使铺设的污水管道的总长度最短。
• 【解析】本小题主要考查函数最值的应用．
D
P
C
O
A
B
y OA OB OP 10 10 10 10 tan cos cos
11年应用题是全卷的焦点
请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为
60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等
的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合
于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，
E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个
端点，设AE=FB=xcm
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问
x x
60
解:设箱底边长为x cm，则箱高 h 60 x
箱子容积为V=x2 h
60 x 2
x3
(0
2
x
60)
2
V ´=60x－3x²/2
令V ´=0，得x=40, x=0 (舍去)
得V (40)=16000
当x (0,40)时，V (x） 0;
当x (40,60)时，V (x） 0.
V (40)为极大值，且为最大值。
x
3
2
23 3
时,S( x)max
32 9
3
.
,0) 时,矩形的最大面积是
32
3.
3
9
• 例4，如，现将 货物从A运往C，已知单位距离铁路 费用为2a元，公路费用为4a元，问在 AB上何处修筑公路至C，可使运费由 A至C最省？
答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内 只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
h
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2.
又V=πR2h(定值),
则h
V
R 2
.
R
S
(R)
2R
V
R 2
2R2
2V R
2R2.
由S(R) 2V 4R 0.
R2
解得R 3
V.
2
从而h
V
R 2
23
V
2
即h=2R.
可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.
答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.
(2)确定函数定义域，并求出极值点。 (3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实 际，确定最值或最值点。
4.问题类型
1.几何方面的应用(面积和体积等的最值) 2.物理方面的应用. (功和功率等最值) 3.经济学方面的应用 (利润方面最值)
例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形， 再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底 边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
3.4 导数在实际生活中的应用
宿迁青华中学 徐守高
1、实际问题中的应用.
在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的 最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法 求最值是求解这类问题常见的解题思路.
在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.
在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个 点使 f (x) 0 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间.