()导数在实际生活中的应用

导数在生活中的应用例子
一、在经济学中
1、供求曲线中的供求应变：当价格发生变化时，需求量会出现波动，
以及需求量对价格的变化也变化，供求曲线受到价格变化的影响。

这
就是导致供求应变的原因，而这个原因可以用微积分的偏导数来证明。

2、市场竞争：随着竞争者数量的增加，市场价格也会发生变化，价格
作为变量，市场最终决定价格时，就会出现供需冲突，从而引起价格
波动，这就用微积分中的导数来分析。

二、在金融学中
1、货币政策传导机制：货币政策的实施使得利率的变化对经济的影响，用微积分的意义来看，利率是一种曲线，当利率变化时，曲线的斜率
也会变化，这就是利率传导机制。

2、投资机会成本：投资机会成本指的是投资者在一定条件下所承担的
投资风险，当利率下降时，投资机会成本也会发生变化，而这一变化
可以用微积分中的导数来进行分析。

三、在制造业中
1、公差计算：在计算机装配工艺中，产品的尺寸关系到了其加工的质量，如果所用的部件的尺寸不符合公差要求，就会出现不良的加工结
果，这时处理的办法就是计算出来最大的容许偏差，而这个最大容许
偏差就是通过微积分的偏微分来计算出来的。

2、工艺优化：为了确保加工出来的产品的质量，就必须对付诸如温度、压力、用料等参数进行优化调整，这可以使用微积分来分析各参数对
最终结果的影响，以达到最优化调整的效果。

列举三个导数在实际生活中或你的专业课程中应用的
例子
导数是微积分学中的基本概念之一，它可以帮助我们描述函数在某一
点的变化率，是解决许多实际问题的重要工具。

在下面的列表中，我
将列举三个导数在实际生活或专业课程中的应用。

1. 物理学中的应用
在物理学中，导数被广泛用于描述物体的运动状态。

例如，在一次匀
加速运动中，物体在某一时刻的速度就是运动位移的导数，而加速度
就是速度的导数。

通过求解导数，我们可以精确地预测物体未来的运
动趋势，为科学家们研究物体的运动轨迹提供了更加准确的方法。

2. 经济学中的应用
在经济学中，导数被广泛用于研究市场的供求平衡和决策分析。

例如，在微观经济学中，供给函数的导数可以表示一个生产者响应市场价格
变化的能力，而需求函数的导数可以表示消费者对价格变化的反应程度。

这些知识是分析市场行为的基础，也是制定经济政策的必要条件。

3. 工程学中的应用
在工程学中，导数被广泛用于研究复杂系统的行为和优化方法。

例如，在控制论的研究中，状态空间模型的导数可以帮助我们分析系统的稳
定性和反应速度，并且为设计反馈控制器提供了基础。

此外，在机械
工程的设计中，导数也可以用于优化设计的性能，如优化机器人的轨
迹规划、提高复杂系统的效率等。

结论
通过以上三个例子可以看出，在科学、工程和社会领域中，导数都有
着广泛而深入的应用。

无论是研究系统的性质，设计控制器，还是制
定经济政策，导数都是不可或缺的数学工具。

我相信，在未来的学习
和工作中，掌握导数的知识将会对我们事业的发展产生积极的影响。

导数在实际生活中的应用（1）学习目标1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.课前预学：问题1:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数y=f(x)的所有,再求出端点的函数值,进行比较,就可以得出函数的最大值和最小值.问题2:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一些生活中的优化问题.问题3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的,解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.问题4:解决生活中的优化问题应当注意的问题确定函数关系式中自变量的区间,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.课堂探究：一．利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.二．容积最大问题请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.三．成本最低问题：如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米.如果池四周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,无盖.(1)写出总造价y(元)与污水处理池的长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.课堂检测：1.把长度为l的铁丝围成一个长方形,则长方形的最大面积为.2.设底为正三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时底面边长为.3.做一个无盖圆柱水桶,其体积是27π m3,若用料最省,则圆柱的底面半径为m.4.已知一个扇形的周长为l,扇形的半径和中心角分别为多大时,扇形的面积最大?导数在实际生活中的应用（2）学习目标：1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 课前预学：1.把长度为16的线段分成两段,各围成一个正方形,这两个正方形面积的最小值为 .2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长20 cm,要使其体积最大,则其高是 .3.周长为20的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值是 .4.一边长为48 cm 的正方形铁皮,铁皮四角截去四个边长都为x cm 的小正方形,做成一个无盖方盒.求x 多大时,方盒容积最大? 课堂探究：1．如图,等腰梯形ABCD 的三边AB,BC,CD 分别与函数y=-x 2+2,x∈[-2,2]的图象切于点P,Q,R.求梯形ABCD 面积的最小值.2．已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件,需要另投入1.9万元,设R(x)(单位:万元)为销售收入,根据市场调查得知R(x)=其中x 是年产量(单位:千件).(1)写出年利润W 关于年产量x 的函数解析式;(2)年产量为多少时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?3．统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=x 3-x+8(0<x≤120),已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?课堂检测：某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.。

导数在实际生活中的运用1. 引言1.1 导数的定义导数的定义是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线斜率。

具体地说，如果函数f(x)在x=a处的导数存在，那么导数f'(a)表示了当自变量x在a处发生一个小的变化Δx时，函数值f(x)将相应地发生多大的变化Δf，这种变化率可以用导数来描述。

导数的概念不仅仅在数学中有重要的应用，它在实际生活中也有着广泛的应用价值。

导数的定义让我们能够更好地理解和描述各种现象中的变化规律，帮助我们预测未来的发展趋势。

掌握导数的概念可以帮助我们更好地解决各种实际问题，提高工作和生活的效率。

了解导数的定义及其在实际生活中的重要性对于我们每个人都是有益的。

在接下来的内容中，我们将探讨导数在不同领域的具体应用，展示导数在实际生活中的广泛应用。

1.2 导数在实际生活中的重要性导数在实际生活中的重要性可以说是不可忽视的。

导数是微积分中的一个重要概念，在实际生活中有着广泛的应用。

通过导数，我们可以描述物体在某一时刻的变化率，帮助我们更好地理解和分析现实世界中的各种现象。

在经济学中，导数被广泛运用于描述市场需求和供给的变化趋势，分析价格弹性和收益最大化等问题。

导数的概念也被应用于金融领域，帮助投资者和分析师预测股价的波动和变化趋势。

在物理学中，导数被用来描述物体的运动状态，例如速度和加速度的变化。

通过导数，我们可以计算出物体在不同时间点的位置和速度，帮助我们更好地理解自然界中的各种物理现象。

在生物学中，导数可以用来描述生物体的生长和变化过程，帮助研究人员更好地理解生物体的发育和演化规律。

导数也被用来分析生物体在不同环境条件下的适应性和响应能力。

在工程学和医学领域，导数被广泛应用于设计和优化各种系统和流程。

通过导数，工程师和医生可以分析和改进各种工艺和治疗方案，提高效率和准确性，保障工程项目和医疗保健的质量和安全性。

导数在生活中应用例子
导数是微积分中的一个重要概念，它在生活中有着广泛的应用。

导数可以帮助我们理解和解决许多实际问题，比如物体的运动、变化率的计算等。

下面我们就来看一些导数在生活中的应用例子。

首先，导数可以帮助我们理解物体的运动。

比如一辆汽车在高速公路上行驶，我们可以通过对汽车的位置随时间的变化进行求导，来得到汽车的速度。

这样我们就可以通过导数来计算汽车的加速度、减速度等运动状态，从而更好地理解汽车的行驶情况。

其次，导数还可以用来计算变化率。

比如在经济学中，我们可以通过对某一商品的需求量随价格的变化进行求导，来得到需求量对价格的弹性。

这样我们就可以通过导数来计算商品的价格弹性，从而更好地了解市场需求的变化情况。

另外，导数还可以帮助我们优化问题。

比如在工程中，我们可以通过对某一工艺的成本函数进行求导，来得到成本函数的最小值点。

这样我们就可以通过导数来优化工艺成本，从而更好地提高工程效率。

总之，导数在生活中有着广泛的应用。

它可以帮助我们理解物体的运动、计算变化率、优化问题等，对于我们的生活和工作都有着重要的意义。

因此，学好导数对于我们更好地理解和解决实际问题是非常重要的。

希望大家能够在学习导数的过程中，能够更加深入地理解它在生活中的应用。

列举三个导数在实际生活中应用的例子1、求导数在投资理财中的应用：随着经济的发展，投资理财变得越来越重要。

求导数在投资理财中的应用非常多，主要有以下几个方面：①帮助投资者分析投资绩效：根据投资者所做投资内容变化，求出投资绩效及相关函数分析，帮助投资者了解投资表现和赚钱效果；②分析投资产品价格：利用导数主要是为了分析投资者入手价格和卖出价格的大小，反映投资者是获利还是亏损；③分析投资组合：在交易中，投资组合的收益可以通过求出投资组合的收益函数的导数的方式被分析，作出有利的投资决策。

2、求导数在量子力学中的应用：求导数也可以用来计算原子模型中的因子和数值，因此它在量子力学中有非常强大的应用。

其主要应用有：①对原子电子结构的求解：根据量子力学，可以将原子电子结构分解成原子能级，求导数能够帮助我们计算原子各能级结构；②对原子分子运动的研究：原子在不同的电势面上处在不同的电子态中，通过求导数可以计算原子的位置和运动轨迹，从而了解原子分子的动态变化及碰撞机制；③应用于定性分析：使用求导数的方法，可以从宏观层面分析原子的性质，确定原子的稳定性或者电性质。

3、求导数在计算机图形学中的应用：计算机图形学涉及到复杂的数学计算，其中也广泛应用求导数进行求解。

其中主要有：①对物体表面曲率的求解：由于计算机图形学需要表示物体的三维表面，所以需要对三维数据进行分析，求其曲率。

求这些曲率需要计算多个参数的梯度，因此就需要求出这些参数函数的导数；②对投影映射的求解：将物体映射到二维表面时，同样需要计算投影映射参数的变化，而这也需要计算函数的导数；③色彩空间和色调映射：计算机图形学中，颜色也涉及到求导数，当需要进行色调映射时，要求变换参数的梯度，因此也需要用求导数的方法进行求解。

导数在实际生活中的应用举例导数在实际生活中的应用举例___________________________导数是微积分里的一个重要概念，它可以让我们更好的理解变化的趋势和求取一些常见的量，在实际生活中也有广泛的应用。

下面就来介绍一些常见的应用案例。

##### 地形测量地形测量是地理学、测量学等领域中的重要内容，在进行地形测量时，需要通过计算导数来求取地形的斜率，以此来判断地形的坡度，从而可以准确的测量出地形的变化情况。

##### 加速度的计算加速度是物体运动中的重要参数，它是衡量物体运动变化的重要指标，而物体运动的速度则是其位置变化的函数，所以我们可以通过计算物体运动位置函数的导数来计算出物体的加速度。

##### 温度变化温度也是一个随时间变化的量，我们可以通过计算温度随时间变化函数的导数来求得温度变化率，从而得出温度变化情况。

##### 热传导热传导是物理学中的一个重要概念，它是描述物体温度随时间变化的一个重要函数，我们可以通过计算热传导函数的导数来求得物体温度随时间变化率，从而得出物体温度变化情况。

##### 势能势能也是物理学中常见的一个概念，它是衡量物体能量变化情况的重要参数，我们可以通过计算势能函数的导数来获得物体能量随时间变化率，从而得出物体能量变化情况。

##### 压强压强也是物理学中常见的一个概念，它是衡量物体压力变化情况的重要参数，我们可以通过计算压强函数的导数来获得物体压力随时间变化率，从而得出物体压力变化情况。

##### 投资分析投资分析也是实际生活中常用到的一个应用，通过计算投资回报函数的导数来求得投资回报随时间变化率，从而得出未来投资回报情况。

##### 工程设计工程设计也是实际生活中常用到的一个应用，通过计算工程成本函数的导数来求得工程成本随时间变化率，从而得出未来工程成本情况。

##### 社会发展分析社会发展分析也是实际生活中常用到的一个应用，通过计算人口增长函数的导数来求得人口增长随时间变化率，从而得出未来人口增长情况。

1.加速度：在物理学中，速度的导数是加速度。

在现实生活中，当我们在汽车或自行车上加速或减速时，我们可以感受到加速度的变化。

2.利率变化：在经济学中，利率是一个关键变量，它可以表示为借款利率或存款利率的导数。

当利率上升时，我们可以看到贷款成本增加，投资可能会减少，而存款收益可能会增加。

3.生长速度：在生物学和生态学中，物种数量的变化可以表示为种群增长率的导数。

这个概念被用来研究生物多样性、生态系统的稳定性以及种群的变化。

例如，研究一种鸟类或鱼类的种群增长率，可以了解它们是否正常繁殖或受到威胁。

导数在实际生活中的运用1. 引言1.1 导数的概念导数是微积分中的重要概念，是描述函数变化率的数学工具。

在数学上，导数可以理解为函数在某一点处的斜率，也就是函数在该点附近的局部近似线性变化率。

导数的计算可以帮助我们研究函数的几何性质和特征，如最大值、最小值、凹凸性等。

导数的概念最初由牛顿和莱布尼兹在17世纪同时独立发现，是微积分学科的基础之一。

导数在实际生活中扮演着至关重要的角色。

通过导数，我们可以了解事物的变化速率和趋势，从而为我们的决策和行为提供依据。

比如在经济领域，导数可以帮助我们预测股票价格的波动趋势，优化投资组合，分析市场需求和供给关系。

在工程领域，导数可以帮助我们设计建筑的结构稳定性，优化材料的使用效率，提高工程项目的效率和安全性。

在医学领域，导数可以帮助我们分析生物体的生长发育规律，制定治疗方案和药物剂量，提高医疗技术水平和治疗效果。

导数不仅是一种抽象的数学概念，更是一种强大的工具和思维方式，对我们的生活、工作和社会发展有着深远而广泛的影响。

1.2 导数在实际生活中的重要性导数在实际生活中的重要性体现在我们日常生活的方方面面。

导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率，可以帮助我们理解函数的变化规律以及预测未来的趋势。

在金融领域中，导数被广泛应用于投资和风险管理中，帮助分析股票价格的波动性和趋势，提高投资决策的准确性和效益。

在医学领域中，导数可以用来描述人体各种生理指标的变化趋势，帮助医生准确地诊断疾病和制定治疗方案。

在工程领域中，导数可以帮助工程师分析和优化设计方案，提高产品的质量和效率。

在生态学领域中，导数可以帮助科学家研究生态系统的稳定性和变化规律，提高环境保护和生态恢复的效果。

在物理学领域中，导数可以帮助研究人员描述物体的运动和相互作用，推动科学技术的发展和应用。

导数在实际生活中的重要性不言而喻，它不仅拓宽了我们对世界的认识，还促进了人类社会的进步和发展。

2. 正文2.1 金融领域中的应用金融领域中，导数的应用是非常广泛和重要的。

导数在实际生活中的运用
导数是微积分中的重要概念，它代表了一个函数在某一点的局部变化率。

在实际生活中，导数有很多运用，下面我将介绍其中几个常见的应用：
1. 最优化问题：最优化是导数应用的一个重要领域，通过求函数的导数可以找到函
数的最大值或最小值。

在经济学中，市场需求曲线和供给曲线的交点处的价格和数量是市
场的均衡点，通过求导可以找到这个均衡点。

2. 积分求面积和体积：导数与积分是微积分的两大基本运算，导数可以用来求解函
数的变化率，而积分则可以反过来求解函数的变化量。

通过对速度函数求积分可以求得物
体的位移，对密度函数求积分可以求得物体的质量。

3. 实际问题的建模：导数有助于将复杂的实际问题转化为更简单的数学问题。

在物
理学中，当我们知道一个物体的加速度和初始速度时，可以通过对加速度函数积分求得速
度函数，再对速度函数积分求得位移函数，从而得到物体的运动轨迹。

4. 统计分析：导数在统计学中的应用很广泛，在回归分析中，通过求导可以得到最
小二乘法的估计结果，帮助我们找到最佳拟合的直线。

导数还可以用来求解概率密度函数、累积分布函数和概率分布函数等统计量。

5. 金融工程：导数在金融工程中也有重要的应用。

在期权定价模型中，通过对期权
收益率函数求导可以得到期权的风险中性概率，从而推导出期权的定价公式。

导数还可以
用来计算利率衍生品的风险敞口和风险管理。

导数在实际生活中的应用非常广泛，无论是在经济学、物理学、统计学还是金融工程
等领域，都有重要的作用。

掌握导数的概念和运用方法，可以帮助我们更好地理解和解决
实际问题。

谈谈导数在实际生活中的应用导数是高中数学的重要内容，作为工具可以解决有关函数最大值、最小值的实际问题。

标签：导数；实际问题；极值；最值导数作为一种工具，在求解数学问题时显得极为方便，尤其是利用导数判断函数的单调性求极值和最值。

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：（1）与几何有关的最值问题。

（2）与物理有关的最值问题。

（3）与利润及成本有关的最值问题。

（4）效率最值问题。

下面通过两个具体实例谈谈导数在实际生活中的应用。

例1：统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：当x∈（0，80）时，h’（x）0，h（x）是增函数；∴当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25。

因为h（x）在（0，20]上只有一个极值，所以它是最小值。

故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。

例2：甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲的资源，因此甲有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系x=2000〖KF（〗t〖KF）〗。

若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称为赔付价格）。

（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？解析：（1）因为赔付价格为s（元/吨），所以乙方的实际利润为w=2000〖KF （〗t〖KF）〗-st。

所以s=20时，v取最大值，因此甲方向乙方要求赔付价格s=20（元/吨）时，获得最大净收入。

实际应用性问题有时需要先建立函数关系式，然后对函数求导，这种处理方法是常用的解答方法。

____第22课__导数在实际问题中的应用____能够运用所学的函数知识、思想和方法，运用所给的函数模型或构造相应的函数模型，将一些简单的实际问题转化为相应的导数问题，会利用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题.1. 阅读：选修11第93～98页．2. 解悟：①实际生活中通常有哪些应用背景？构造的函数模型有哪些？②总结求解实际问题的一般步骤，其关键步骤是什么？3. 践习：在教材空白处完成教材第96页练习第3、4题.基础诊断1. 如图，将边长为60cm 的正方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起做成一个无盖的方底铁皮盒．当铁皮盒底边长为__40cm __时，盒子的容积最大，最大容积是__16__000cm 3__.解析：设铁皮盒底边长为x cm ，容积为V ， 所以V(x)＝⎝⎛⎭⎫60－x 2x 2＝60x 2－x32(0<x<60)，则V′(x)＝60x －32x 2(0<x<60)．令V′(x)＝60x －32x 2＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝40.因为当x ∈(0，40)时，V′(x)>0；当x ∈(40，60)时，V′(x)<0.所以V(x)在区间(0，40)上为增函数；在区间(40，60)上为减函数，所以V(x)max ＝V(40)＝60×（40）2－4032＝16 000.故当铁皮盒底边长40cm 时，最大容积为16 000 cm 3.2. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为__3__．解析：设圆柱的底面半径为r ，则高为27r 2.所以S 表面积＝πr 2＋2πr ×27r 2＝πr 2＋54πr.令f(r)＝πr 2＋54πr (r>0)，则f′(r)＝2πr ＋－54πr 2＝2π（r 3－27）r 2.令f′(x)>0可得r>3，令f′(x)<0可得0<r<3.所以f(r)在(0，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以f(r)在r ＝3时取得最小值，所以当圆柱的底面半径为3时，用料最省．3. 将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝（梯形的周长）2梯形的面积，则S 的最小值是3．解析：设剪成的小正三角形的边长为x ，则梯形的周长为3－x ，梯形的面积为34(1－x 2)，所以S ＝（3－x ）234（1－x 2）(0<x<1)．令S(x)＝（3－x ）234（1－x 2）(0<x<1)，则S′(x)＝43·－6x 2＋20x －6（1－x 2）2＝43·－2（x －3）（3x －1）（1－x 2）2.令S′(x)>0，得13<x<1，令S′(x)<0得0<x<13，所以当x ＝13时，S(x)取极小值，也是最小值，S ⎝⎛⎭⎫13＝3233，故S 的最小值为3233.范例导航考向❶ 利用导数研究用料最省、费用最低问题例1 如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线l 1排，在路南侧沿直线l 2排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线EF 将直线l 1与l 2接通．已知AB ＝60m ，BC ＝80m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90°的角为α.(1) 求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式； (2) 求排管的最小费用及相应的角α.解析：(1) 如图，过点E 作EM ⊥BC ，垂足为M. 由题意得，∠MEF ＝α⎝⎛⎭⎫0≤tan α≤43， 故MF ＝60tan α，EF ＝60cos α，AE ＋FC ＝80－60tan α， 所以W ＝(80－60tan α)×1＋60cos α×2＝80－60×sin αcos α＋120×1cos α＝80－60×sin α－2cos α(其中0≤α＜α0＜π2，tan α0＝43)．(2) 设f(α)＝sin α－2cos α(其中0≤α＜α0＜π2，tan α0＝43)，则f′(α)＝1－2sin αcos 2α.令f′(α)＝0得sin α＝12，即α＝π6.列表如下：所以当α＝π6时，有f(α)max ＝－3，此时有W min ＝80＋60 3.故排管的最小费用为80＋60 3 万元，相应的角α＝π6.已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250 mL ，则它的底面半径等于π时(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最省．解析：设圆柱的高为h ，表面积为S ，容积为V ，底面半径为r ，则S ＝2πrh ＋2πr 2，V ＝250＝πr 2h ，得h ＝250πr 2，则S ＝2πr·250πr 2＋2πr 2＝500r ＋2πr 2，S′＝－500r 2＋4πr.令S′＝0得r ＝53π2.因为S 只有一个极值，所以当r ＝53π2π时，S 取得最小值，即此时所用材料最省．考向❷ 利用导数研究利润最大问题例2 根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p 与日产量x(件)之间近似地满足关系式p ＝⎩⎨⎧215－x ， 1≤x ≤9，x ∈N *，x 2＋60540， 10≤x ≤20，x ∈N*(日产品废品率＝日废品量日产量×100%)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．该车间的日利润y ＝日正品赢利额－日废品亏损额．(1) 将该车间日利润y (千元)表示为日产量x (件)的函数；(2) 当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？解析：(1) 由题意可知，y ＝2x (1－p )－px ＝⎩⎨⎧24x －2x 215－x， 1≤x ≤9，x ∈N *，53x －x 3180， 10≤x ≤20，x ∈N *.(2) 考虑函数f (x )＝⎩⎨⎧24x －2x 215－x， 1≤x ≤9，x ∈N *，53x －x3180， 10≤x ≤20，x ∈N *，当 1≤x ≤9时，f ′(x )＝2－90（15－x ）2，令f ′(x )＝0，得x ＝15－35；当1≤x <15－35时，f ′(x )>0，函数f (x )在[1，15－35)上单调递增； 当15－35<x ≤9时，f ′(x )<0，函数f (x )在(15－35，9]上单调递减． 所以当x ＝15－35时，f (x )取得极大值，也是最大值． 又x 是整数，f (8)＝647，f (9)＝9，所以当x ＝8时，f (x )有最大值647；当10≤x ≤20时，f ′(x )＝53－x 260＝100－x260≤0，所以函数f (x )在[10，20]上单调减，所以当x ＝10时，f (x )取得最大值1009.由于1009>647，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．故当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是1009千元．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数y 1＝17x 2，生产总成本y 2(万元)也是x (千台)的函数y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产__6__千台．解析：设利润为W 万元，则W (x )＝y 1－y 2＝17x 2－2x 3＋x 2＝18x 2－2x 3，所以W ′(x )＝36x －6x 2.令W ′(x )＝0，解得x ＝6或x ＝0(舍去)．当x ∈(0，6)，W ′(x )>0，W (x )单调递增；当x ∈(6，＋∞)，W ′(x )<0，W (x )单调递减，故当x ＝6时，W (x )取极大值，也是最大值，此时利润最大，即应生产6千台．考向❸ 利用导数研究长度、面积、体积最大(小)问题例3 如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ，其中BMN 是半径为1百米的扇形，∠ABC ＝2π3.管理部门欲在该地从M 到D 修建小路．在MN ︵上选一点P(异于M ，N 两点)，过点P 修建与BC 平行的小路PQ.(1) 设∠PBC ＝θ，试用θ表示修建的小路MP ︵与线段PQ 及线段QD 的总长度l ； (2) 求l 的最小值．解析：(1) 延长QP ，交AB 于点E ， 则MP ︵＝2π3－θ.在△BPE 中，∠EPB ＝θ，∠EBP ＝2π3－θ，∠BEP ＝π3，所以EP ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ，EB ＝23sin θ，所以PQ ＝2－23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ，QD ＝2－23·sin θ， 所以l ＝2π3－θ＋2－23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＋2－23·sin θ＝4－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋2π3－θ⎝⎛⎭⎫0<θ<2π3. (2) l′＝－2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－1，令l′<0， 即－2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－1<0，解得0<θ<π2；令l′>0，即－2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－1>0， 解得π2<θ<2π3.所以当θ＝π2时，l 有最小值4－3＋π6，故l 的最小值为⎝⎛⎭⎫4－3＋π6百米． 自测反馈1. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，当其表面积最小时，底面边长为． 解析：设底面边长为a ，高为h ，表面积为S. V ＝34a 2×h ，所以h ＝43V 3a 2，则表面积S ＝3ah ＋2×34a 2＝32a 2＋43Va，所以S′＝3a －43V a 2.令S′＝3a －43V a 2＝0，解得a ＝34V.当0<a<34V 时，S′<0，当a>34V 时，S′>0，所以当a ＝34V 时，S 取极小值也是最小值，所以底面边长为34V.2. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高度应为3cm __．解析：设圆锥的高为h ，则底面半径为202－h 2，所以其体积V ＝13π(202－h 2)h(0<h<20)，所以V′＝π3(400－3h 2)．令V′＝0，即π3(400－3h 2)＝0，解得h ＝2033或h ＝－2033(舍去)．当0<h<2033时，V′>0；当2033<h<20时，V′<0，所以当h ＝2033时，V 取最大值，故其高度应为2033cm .3. 若球的半径以2cm /s 的速度膨胀，当半径为5cm 时，表面积对时间的变化率是__80π__． 解析：球的表面积为S ＝4πR 2.由题意得ΔR Δt ＝2，所以Δt ＝ΔR 2，所以ΔS Δt ＝ΔS ΔR 2＝2ΔS ΔR，因为ΔS ΔR ＝S′＝8πR ，所以ΔS Δt ＝16πR.当R ＝5时，ΔSΔt ＝80π，所以表面积对时间的变化率为80π.4. 为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进，把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝⎩⎪⎨⎪⎧125x 3＋640， 10≤x<30，x 2－40x ＋1 600， 30≤x ≤50，且每处理1吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品，当处理量为多少吨时，平均每吨的处理成本最少？解析：由题易知，二氧化碳的平均处理成本P(x)＝yx ＝⎩⎨⎧125x 2＋640x ， x ∈[10，30），x ＋1 600x－40， x ∈[30，50].①当x ∈[10，30)时，P(x)＝125x 2＋640x，所以P′(x)＝225x －640x 2＝2（x 3－8 000）25x 2，所以当x ∈[10，20)时，P′(x)<0，函数P(x)在区间[10，20)上单调递减；当x ∈[20，30)时，P′(x)>0，函数P(x)在区间[20，30)上单调递增， 所以当x ＝20时，P(x)取得最小值为P(20)＝20225＋64020＝48.②当x ∈[30，50]时，P(x)＝x ＋1 600x－40≥2x·1 600x －40＝40，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时，P(x)取得最小值为P(40)＝40，因为48>40，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．1. 解决实际问题的一般步骤就是四步八个字：审题、建模、求解、还原．2. 最(极)值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最(极)值，利用导数求解．3. 你还有哪些体悟，写下来：。

导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的运用十分广泛。

在物理学中，导数被应用于描述运动的速度和加速度，帮助工程师设计出更高效的机械系统。

在经济学中，通过导数可以计算出边际效益，指导决策者进行资源配置。

工程学中的优化问题也常常需要用到导数，以找到最优解决方案。

医学领域中的生物动力学则利用导数来研究生物体的运动和力学特性。

而在计算机科学中，算法优化更是离不开导数的帮助。

导数在各个领域中都扮演着重要角色，学习导数对解决实际问题至关重要。

导数的运用不仅使生活更加便利和高效，还推动了科技和社会的发展。

【关键词】导数、实际生活、物理学、运动学、经济学、边际效益、工程学、优化问题、医学、生物动力学、计算机科学、算法优化、重要作用、解决实际问题、便利、高效。

1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用导数在实际生活中的运用广泛而深远，它是微积分的重要概念之一，通过对函数的变化率进行研究，可以帮助我们更好地理解和解决实际生活中的问题。

导数的应用涵盖了物理学、经济学、工程学、医学和计算机科学等多个领域。

在物理学中，导数被广泛运用于运动学的研究中。

通过对位置、速度和加速度的导数进行推导，可以得到物体的运动状态，从而更准确地预测其未来的运动轨迹。

在经济学中，导数被用来研究边际效益。

通过对边际成本和边际收益的导数进行计算，可以帮助企业决定最优化的生产方案，提高效益和降低成本。

在工程学中，导数被广泛应用于优化问题的求解。

通过对函数的导数进行分析，可以找到最优解，实现工程设计和生产过程的高效运行。

在医学中，导数在生物动力学的研究中发挥重要作用。

通过对生物体内部各种生理变量的导数进行分析，可以帮助医生更好地理解疾病的发展过程，并制定更有效的治疗方案。

在计算机科学中，导数被运用于算法优化。

通过对算法的导数进行计算，可以提高算法的效率和准确性，加快计算速度，实现更快速的数据处理和分析。

导数在各个领域中都发挥着重要作用，学习导数对于解决实际问题具有重要意义。

导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的运用非常广泛。

在物体运动中，导数可以帮助我们计算速度和加速度，从而预测物体的运动轨迹。

在最优化问题中，导数也被广泛应用，帮助我们找到函数的最大值和最小值。

在经济学中，导数被用于边际分析，帮助企业和政府做出决策以最大化利润或效益。

在医学领域，导数可以帮助分析身体的变化和疾病的发展趋势。

而在工程领域，导数则被用于解决各种实际问题，例如设计建筑结构和优化生产过程。

导数在不同领域中都起着重要作用，通过综合运用导数，我们能够更好地解决各种实际生活中的问题。

【关键词】导数、实际生活、物体运动、速度、加速度、最优化、边际分析、医学、工程领域、重要作用、解决问题1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用导数在实际生活中的运用是一种重要的数学概念，它广泛应用于各个领域，为解决实际生活中的问题提供了有效的数学工具。

导数是函数在某一点处的变化率，它可以帮助我们理解事物的变化规律，并从中得出一些有用的结论。

在物理学中，导数被用来描述物体的运动速度和加速度，帮助我们预测物体的运动轨迹。

在最优化问题中，导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，从而优化生产和经营活动。

在经济学中，导数被应用于边际分析中，帮助我们确定最优的生产和消费决策。

在医学领域，导数被用来描述生物体的变化规律，帮助医生做出诊断和治疗方案。

工程领域的实际情况中，导数被广泛应用于设计和优化工程系统，提高生产效率和质量。

导数在不同领域中均起着重要作用，综合运用导数能够解决各种实际生活问题，为我们的生活带来更多便利和效率。

2. 正文2.1 物体运动的速度和加速度物体运动的速度和加速度是导数在实际生活中的一个重要应用领域。

在物理学中，我们经常需要研究物体在运动中的速度和加速度变化情况，而导数提供了一种有效的工具来描述这些变化。

我们知道速度是描述物体在单位时间内所经历的位移量，而加速度则是描述速度在单位时间内的改变量。

简单来说，速度是位移关于时间的导数，而加速度则是速度关于时间的导数。