用导数处理实际问题中的最优化问题

利用导数解决生活中的优化问题导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

一．解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．二．利用导数解决优化问题的基本思路：三、应用举例例1（体积最大问题）用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 解：设长方体的宽为(m)x ，则长为2(m)x ，高为181234.53(m)042x h x x -⎛⎫==-<< ⎪⎝⎭．故长方体的体积为 22323()2(4.53)96(m )02V x x x x x x ⎛⎫=-=-<<⎪⎝⎭． 从而2()181818(1)V x x x x x '=-=-． 令()0V x '=，解得0x =（舍去）或1x =，因此1x =．当01x <<时，()0V x '>；当312x <<时，()0V x '<． 故在1x =处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值．从而最大体积233(1)91613(m )V V ==⨯-⨯=，此时长方体的长为2m ，高为1.5m ． 答：当长方体的长为2m ，宽为1m ，高为1.5m 时，体积最大，最大体积为33m ． 点评：用导数来解决实际问题时，一般首确定自变量，选定了自变量，要搞清自变量的范围，再列出关系式，对关系式进行求导，最后求出最值来。

高等数学是我国高校教育的必修课程,之所以要让学生学习和掌握高等数学,是因为高等数学的很多知识内容都可以应用在实际生活中,能够帮助学生更好的应对生活和工作中的难题。

其中导数就是这样一种具有很大实际应用价值的高等数学内容,其产生形成的原因和作用是为了满足生产技术与自然科学的发展需求。

目前,导数已经在很多工农业生产领域和生活领域中发挥巨大作用,尤其是在解决最优化、最大值和最小值的问题时,导数更是起到关键作用。

那么导数的最优化问题是如何解决的,其在实际生活中的应用又有哪些呢?以下笔者就几个实例来进行分析探讨。

1导数的基本概念分析1.1导数的起源所谓导数,是指一个函数的因变量对于自变量的变化率,即当自变量的增量趋于零时,因变量的增强和自变量的增量之商的极限就是导数。

其是微积分中的一个重要基础概念。

但是导数并非是与普通数学一起兴起和形成的,其是在17世纪20年代末,由法国数学家费马率先提出的一个新数学概念,最初的导数概念主要是指最大值和最小值的求值方法,并没有一个很系统的概念,直到19世纪60年代,魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言,才使导数形成了今天的表达形式,并被广泛接受认同。

可以说,导数是源于生活而服务于生活的,其在很大程度上促进了生产技术与自然科学的快速发展,因为在自然现象中,有很多事物的数量关系并不能用一个准确的数值来表示,这会给研究带来一定的不便。

而通过利用导数来表达其变化率结构,则可以很好的解决这一问题,也正因为导数的这一应用优势,使得其在很多科研领域和生活生产领域中有了广泛应用。

例如经济学中利润的变化率、物理运动的瞬时速度、人口增长率研究等等,这些问题都可以用导数来解决。

1.2导数的最优化问题一般来讲,若一个函数存在导数,那么该函数就一定可导或可微分,这是其解决最优化问题的基本前提。

在实际的生活中,导数的最优化问题比比皆是,随处可见。

例如如何用料最省,如何生产效率最高等等,都是最优化问题,都可以用导数来加以解决。

高中数学教案应用导数解决最优化问题尊敬的教师：在高中数学教育中，了解和应用导数的概念及其相关知识是十分重要的。

导数在数学和实际应用中具有广泛的作用，其中之一就是解决最优化问题。

本教案旨在帮助学生理解导数的概念，并通过实际问题引导他们应用所学知识来解决最优化问题。

1. 引言最优化问题是在给定条件下，寻找函数取得最大值或最小值的问题。

数学上，我们可以通过导数的求解来解决这类问题。

本教案将通过几个实际问题，引导学生应用导数来解决最优化问题。

2. 导数的基本概念回顾在开始解决最优化问题前，我们需要对导数的基本概念进行回顾。

导数可以理解为函数的变化率，表示了函数在某一点处的斜率。

学生需要掌握导数的定义、求导法则和求导技巧，以便在解决最优化问题时能够灵活应用。

3. 最小路径问题问题描述：一个人在一座公园中从点A到达点B，公园中有一条弯曲的小路连接着这两个点。

他想找到一条路径，使得他走过的总路程最短。

如何确定这条最短路径？解决思路：假设小路的形状可以用一条函数曲线来表示，我们可以建立一个数学模型来描述这个问题。

引导学生根据问题描述，设定坐标系，并表示小路的形状函数。

然后，通过导数的求解找到函数取得最小值的情况，得出最短路径。

4. 最大盒子问题问题描述：一个制作盒子的工厂打算生产一种长方体盒子，该盒子的体积为固定值V。

为了节省材料成本，工厂希望制作的盒子表面积最小。

如何确定这样的盒子的尺寸？解决思路：引导学生设立长方体的长、宽、高分别为x、y、z，建立体积V与表面积S的函数关系式。

然后，通过导数的求解找出函数的极值，从而得到表面积的最小值。

引导学生通过求解极值问题，确定最优的盒子尺寸。

5. 最大收益问题问题描述：一个农民种植苹果，他希望通过调整种植面积来最大化收益。

他已经对不同种植面积下的苹果产量与售价进行了调查。

如何确定最佳的种植面积，使得收益最大化？解决思路：引导学生对问题进行数学建模，设定种植面积为x，通过导数的求解找出收益函数的极值。

导数与微分在实际问题中的作用导数与微分是微积分的两个基本概念，它们不仅是高等数学中的重要内容，更是应用数学和理工科学习的重要工具。

在实际问题中，导数与微分具有广泛的应用，下面将从几个实际问题中探讨导数与微分的作用。

1. 最优化问题中的应用最优化问题是在给定的条件下寻找最佳解决方案的问题，例如最大化利润、最小化成本等。

导数与微分在最优化问题中发挥关键作用。

通过求解函数的导数可以找到其最大值或最小值的位置，并结合边界条件和约束条件，可以确定最优解。

例如，在经济学中，生产函数的边际产出可以通过导数来计算，而边际成本则可以通过微分来计算，进而确定最大利润的生产量。

2. 运动学问题中的应用导数与微分在运动学分析中扮演重要角色。

运动学研究物体的运动轨迹、速度和加速度等问题。

对于给定的位移函数，通过求导可以得到物体的速度函数，通过再次求导可以得到物体的加速度函数。

这些导数函数可以使我们更好地理解物体的运动规律，并能够解决与运动相关的实际问题，如交通流量研究、车辆行驶路径规划等。

3. 物理学问题中的应用导数与微分在物理学中也有广泛的应用。

物理学研究自然界中物体的运动、力学、能量、电磁学等问题。

在这些研究中，导数和微分的概念是无法忽视的。

例如，在力学中，通过对位移函数和速度函数求导，可以确定物体的加速度，从而研究物体受力和动量的变化。

在电磁学中，通过对电流的微分可以得到电场，进而研究电磁波的传播和电路的特性。

4. 经济学问题中的应用导数与微分在经济学中也有重要应用。

经济学研究资源的分配、供需关系、市场行为等问题。

通过导数和微分，经济学家可以分析价格的变化对需求和供给的影响，并确定市场均衡点。

此外，在经济学中，边际效益和边际成本的概念是基于导数和微分的，它们帮助经济学家决策和优化资源配置。

5. 生物学问题中的应用导数与微分在生物学中也有着广泛的应用。

生物学研究生物体的生命周期、进化、遗传等问题。

如在生物进化研究中，通过微分方程模型可以描述物种的数量变化，通过求解微分方程可以预测物种的演化轨迹。

导数与函数的最优化问题关系解析与归纳随着数学的发展，导数的概念被广泛应用于各个领域，特别是在函数的最优化问题中扮演着重要的角色。

本文将对导数与函数的最优化问题之间的关系进行解析与归纳，探讨它们之间的内在联系，以及在实际问题中的应用。

1. 导数与最优化问题的关系导数是函数在某一点处的变化率，它描述了函数在该点的切线斜率。

而最优化问题则是求解函数取得极大值或极小值的问题。

这两个概念的联系在于，在最优化问题中我们通常需要找到函数的极值点，而这些点往往对应着导数为零的点。

具体而言，对于一个一元函数f(x)，如果它在某点x0处的导数f'(x0)为零，那么我们称x0为函数的驻点。

在最优化问题中，我们希望找到函数的驻点，因为极值点通常出现在驻点附近。

2. 导数与最优化问题的应用导数在最优化问题中有着广泛的应用。

一方面，通过对函数求导，我们可以得到函数的驻点，进而找到极值点。

这在实际问题中具有很大的实用价值。

比如，在经济学中，我们希望通过最大化或最小化某些指标来实现最优资源配置。

这些指标往往可以通过函数来表达，然后通过求导的方法找到使函数取得极值的点，从而得到最优解。

另一方面，导数还可以帮助我们确定函数的增减性和凸凹性，进一步帮助我们分析最优化问题。

通过函数的导数，我们可以判断函数在某个区间内的增减情况，这对于确定函数的极值点非常有帮助。

同时，通过函数的二阶导数，我们还可以判断函数的凸凹性，从而更好地理解函数的性质。

3. 导数与最优化问题的解析与归纳通过以上的分析，我们可以得出一些关于导数与最优化问题的解析与归纳：首先，导数为零的点往往对应着函数的驻点，极值点通常出现在这些驻点附近。

因此，在解决最优化问题时，我们可以通过求导并令导数为零来找到函数的驻点，进而寻找极值点。

其次，函数的增减性和凸凹性对于解决最优化问题非常重要。

通过函数的导数我们可以判断函数在某个区间内的增减情况，进而确定函数的极值点。

而通过函数的二阶导数，我们可以进一步判断函数的凸凹性，帮助我们更好地理解函数的特性。

导数的应用于最优化问题导数是微积分中的一个重要概念，用来衡量函数在某个点的变化率。

在数学中，导数在求解最优化问题时起着至关重要的作用。

本文将介绍导数的应用于最优化问题，并详细解释其原理和算法。

一、最优化问题简介最优化问题是在给定的约束条件下，寻找使某个目标函数达到最小或最大值的解。

在实际生活中，最优化问题的应用非常广泛，如经济学中的成本最小化问题，物理学中的能量最小化问题等。

最优化问题可以分为线性和非线性两种情况，本文将重点介绍非线性最优化问题。

二、导数在最优化问题中的应用1. 最小值问题在计算目标函数的导数时，可以得到函数曲线的斜率。

根据导数的性质，当导数为零时，函数达到极值点，即局部最小值或最大值。

因此，最优化问题可以通过求解目标函数的导数为零的点来获得极值点的位置。

2. 梯度下降法梯度下降法是一种常用的最优化算法，它利用目标函数在当前点的导数方向来更新解的位置，从而逐步接近最小值点。

梯度下降法的思想是根据导数的方向选择合适的步长，以便使得目标函数在每一步的迭代过程中逐渐趋于最小值。

3. 牛顿法牛顿法是一种迭代求解最优化问题的方法，其基本思想是利用目标函数的导数和二阶导数来逼近函数的局部极小值点。

牛顿法的优势在于收敛速度较快，但同时也存在一些局限性，如对初始点的选择较为敏感。

4. 拟牛顿法拟牛顿法克服了牛顿法对初始点选择的敏感性，它通过近似目标函数的Hessian矩阵来逼近真实的二阶导数。

拟牛顿法的核心思想是利用历史的迭代信息来更新目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵，从而提高算法的效率和稳定性。

三、导数在最优化问题中的应用举例为了更好地理解导数在最优化问题中的应用，我们以求解一元二次函数的最小值为例进行说明。

假设有一元二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望找到使函数f(x)取得最小值的点。

首先，我们计算函数f(x)的一阶导数f'(x) = 2ax + b。

然后，令导数f'(x)为零，解得x = -b/(2a)。

1.4第一课时 生活中的优化问题举例一、课前准备 1．课时目标（1）了解函数极值和最值的基本应用. （2）会用导数解决某些实际问题. 2．基础预探利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的 ，写出实际问题中变量之间的 ，根据实际意义确定定义域.(2) 求函数()y f x =的导数f '(x )，解方程f '(x )＝0,求定义域内的根，确定 . (3) 比较函数在 和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值. (4) 还原到原 中作答. 三、学习引领1. 常见的优化问题主要有几何方面的应用，物理方面的应用，经济方面的问题等.例如，使经营利润最大、生产效率最高，或使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的基本方法之一. 2.解决优化问题的方法首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 解决优化问题的基本程序是：读题 建模 求解 反馈 （文字语言） （数学语言） （导数应用） （检验作答）3. 需要注意的几个问题(1) 目标函数的定义域往往受实际问题的具体意义约束,所以在建立目标函数时,需要注意定义域的确定,并注意定义域对函数最值的影响.(2) 如果实际问题中的目标函数在定义域上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较,但要注意说明极值点的唯一性. 四、典例导析题型一 几何图形中的优化问题例1请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE =FB =x cm（1）某广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？（2）某广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.思路导析:明确平面图形中切割的规则,即弄清平面图形中的位置关系和数量关系,确定包装盒中位置关系和数量关系以及与平面图形的联系.问题（1）中,用底面边长把包装盒侧面积表示出来,观察其特点,用一元二次函数最值解决问题.问题(2)中,建立目标函数,依据目标函数的特征,通过求导,研究函数性质,求相应最值.解：设该盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），由已知得.300),30(22260,2<<-=-==x x xh x a（1）由题意包装盒侧面积,1800)15(8)30(842+--=-==x x x ah S 所以当15=x 时，S 取得最大值.（2）由题意知,)20(26),300(),30(22322x x V x x x h a V -='<<-==.由0='V 得0=x （舍）或20=x .由于当)20,0(∈x 时，0)30,20(;0<'∈>'V x V 时当,所以当20=x 时，V 取得极大值，而且为唯一极大值,故也是最大值,此时12h a =该盒的高与底面边长的比值为1.2规律总结：几何图形中的优化问题,包括平面几何和空间几何体的问题,主要是对面积和体积最大或最小的优化设计.构造函数关系式,需要依据平面几何知识或空间几何特征,借助相应的公式进行. 上述题中,两个目标函数皆未给出,因此建立两个函数关系式是关键之一.建立函数关系式需要充分利用正四棱柱的几何特征,从而选定侧面积和体积的计算公式,.利用空间图形与平面图形数量关系的联系,进行具体计算. 因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.正确求导,并研究函数的性质,是解决该最值问题关键之二.变式训练1今有一块边长a 的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x 值应为多少？题型二 费用最省问题例3某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度,长度单位：米）,其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且r l 2≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为)3(,>c c .设该容器的建造费用为y 千元.（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r .思路导析:该几何体由一个圆柱和两个半球组成,而且只涉及表面积问题,所以将圆柱的侧面积和两个半球的表面积,分别用半径表示,再表示建造费用,建立函数关系式.解:（Ⅰ）因为容器的体积为803π立方米，所以3243r r l ππ+=803π,解得280433r l r =-,所以圆柱的侧面积为2rl π=28042()33r r r π-=2160833r r ππ-,两端两个半球的表面积之和为24r π,所以y =21608r r ππ-+24cr π,定义域为(0,2l).（Ⅱ）因为'y =216016r r ππ--+8cr π=328[(2)20]c r r π--,所以令'0y >得:r >令'0y <得:0r <<所以r =, 该容器的建造费用最小. 规律总结:由于所得函数解析式为非基本初等函数,所以要求其最小值,需要利用函数的导数,先求函数的极值,再判断函数的最值.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.变式训练2 设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B 为100km 处有一原料供应站C,现要在铁路BC 之间某处D 修建一个原料中转车站,再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省? 题型三 利润最大问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中63<<x ，a 为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. （I ）求a 的值;（II ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.思路导析:问题（I ）,由题设中的具体情形,代入函数解析式,解方程,求a 的值.问题（II ）,用x 表示该商场每日销售该商品所获得的利润,得函数关系式,对所得函数关系式求导,讨论极值和最值的情况,最后确定利润最大的时刻.解: （I ）因为当5=x 时,11=y ,代入210(6)3a y x x =+--得,2,11102==+a a. （II ）由（I ）知,该商品每日的销售量为2)6(1032-+-=x x y ,所以商场每日销售该商品所获得的利润为22)6)(3(102])6(1032)[3()(--+=-+--=x x x x x x f )3612)(3(1022+--+=x x x ,)63(<<x .所以,)6)(4(30)6)(3(20)6(10)(2--=--+-='x x x x x x f .于是,当x 变化时,)(),(x f x f '的变化情况如下表:由上表可知,4=x 是函数)(x f 在)6,3(上的极大值点,而且为唯一极大值点,即是最大值点,所以当4=x 时,函数)(x f 取得最大值,最大值为42.答:当销售价格为4元/千克时, 商场每日销售该商品所获得的利润最大.规律总结: 在上述问题中,首先需要建立利润的数学模型,即写出利润关于销售价格的函数关系式.由于所求得的函数解析式为非基本初等函数,所以为了求其最大值,需要利用函数的导数,先求函数的极值,再判断函数的最值情形.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.变式训练 3 甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系，t x 2000=.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）.（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y =0.002t 2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？五、随堂练习1. 要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积为最大,则高为( )cm. A.33B.3310C.3316D.3320 2. 以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为 ( ) . A.10 B.15 C.25 D.503. 若一球的半径为r ,作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为 ( ) .A.22r πB.2r πC.24r π D.221r π 4. 要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m ，长和宽的和为20m ，则仓库容积的最大值为 .5. 统计结果表明,某种新型号的节能汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升),关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：)1200(880312800013≤<+-=x x x y ，已知甲乙两地相距100千米.当汽车以 (千米/小时)速度行驶时,从甲地到乙地耗油最少?6. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？ 六、课后作业1. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ,那么其表面积最小时,底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D.32V2. 制作一个圆柱形锅炉,容积为V 两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积价格为b 元,当造价最低时,锅炉底面半径与锅炉高的比是（ ）A. b a 2B.b a 22C. a b 2D. ab 223. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是π27,且用料最省则圆柱的底面半径为 .4. 去年初,某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品．若该商品零售价定为p 元，则销售量q (件)与零售价p (元)有如下关系21708300p p q --=．那么该商品零售价为 元时,毛利润最大?(毛利润=销售收入一进货支出)5. 现有10000元资金可用于广告宣传或产品开发．当投入广告宣传和产品开发的资金分别为x 和y 时，得到的回报是3231y x P =．求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大的回报.6．如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（1）求面积S 以x 为自变量的函数式,并写出其定义域; （2）求面积S 的最大值．1.4第一课时 生活中的优化问题答案及解析一、2. 基础预探（1）数学模型；函数关系（2）极值点 （3）区间短点 （4）实际问题 三、变式练习1. 解：折成盒子后底面正三角形的边长为2(0)2a a x x -<<，高为tan 303h x x =⋅︒=设：容积为V ，则21(2)sin 602V sh a x ==- 2324a x ax x =-+.函数求导得:22324a V x ax '=-+,令0V '=得,62a a x x ==（舍去）,当06a x <<时，0V '>；当6a x >时，0V '<,所以当a x b =时，333334216362421654a a a a a V =-+==最大. 答：x 为6a 时，盒子的容积最大为354a2.解 ： 设BD 之间的距离为x km,则|AD|=2220+x ,|CD|=x -100.如果公路运费为a 元/km,那么铁路运费为53a元/km.故从原料供应站C 途经中转站D 到工厂A 所需总运费y 为:=y )100(53x a -+a4002+x ,(1000≤≤x ).对该式求导,得:y '=53a -+4002+x ax =4005)40035(22++-x x x a ,令0='y ,即得252x =9(2x 400+),解之得1x =15,2x =-15(不符合实际意义,舍去).且1x =15是函数y 在定义域内的唯一极小值点,所以1x =15是函数y 的最小值点.由此可知,车站D 建于B,C 之间并且与B 相距15km 处时,运费最省.3. 解：（I ）因为赔付价格为s 元/吨，所以乙方的实际年利润为： )0(2000≥-=t st t w因为ss t s st t w 221000)1000(2000+--=-=， 所以当21000()t s =时，w 取得最大值. 所以乙方取得最大利润的年产量21000()t s=吨 . （II ）设甲方净收入为v 元，则20.002v st t =-，将21000()t s=代入上式，得到甲方纯收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式：234100021000v s s ⨯=-， 又23232551000810001000(8000)s v s s s ⨯-'=-+=，令'0v =得20s =,当20s <时，'0v >；当20s >时，'0v <.所以20s =时，v 取得最大值.所以甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是20元. 四、随堂练习1. 答案：D. 解析：设圆锥的高为h ,则体积)200(,)400(312<<-=h h h V π, 034002=+-='ππh V ,解得3320=h ,由导数的意义,当3320=h 时,V 取极大值且唯一,故为最大值.故选D.2. 答案:D.解析:设圆的内接矩形的一边长为x ,则另一边长为2100x -,内接矩形的面积2100x x S -=,24222100)100(x x x x S +-=-=,02004)(32=+-='x x S ,解得0=x (舍去),50=x ,根据导数的意义知，内接矩形面积的最大值为50.3. 答案：A.解析:设内接圆柱的底面半径为)0(,r x x <<，则圆柱的侧面积224x r x S -=π，)(1622222x r x S -=π，求导，判断极大值点r x 22=,其侧面积最大为22r π. 4. 答案:300m 3解：设长为xm ，则宽为(20)x m -，仓库的容积为V,则2(20)33+60V x x x x =-⋅=-.660V x '=-+，令0V '=得10x =,当010x <<时，0V '>；当10x >时，0V '<,∴10x =时，3300()V m =最大.5.答案:80.解析;由题意可知,以速度x (千米/小时)从甲地到乙地耗油量为:=⋅=x y W 100415800128012-+x x ,08006402=-='xx W ,解得80=x ,且为唯一极小值点,所以80=x 为最小值点.6. 解:设船速度为(0)x x >时，燃料费用为Q 元，则3Q kx =，由3610k =⨯可得3500k =，∴33500Q x =，∴总费用3231396(96)500500y x x x x =+⋅=+，2696500y x x'=-，令0y '=得20x =，当(0,20)x ∈时，0y '<，此时函数单调递减，当(20,)x ∈+∞时，0y '>，此时函数单调递增，∴当20x =时，y 取得最小值，∴此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小． 五、课后作业1. 答案: C.解析:设底面等边三角形的边长为0,>x x ,直棱柱的高为h ,则h x V ⋅=432,所以234x Vh =.表面积x Vx x xV x S 3423343432222+=⋅⋅+⋅=,03432=-='x V x S ,解得34V x =,S 取极小值且唯一,即最小,故选C.2. 答案 C. 解析：设锅炉底面半径和高分别为h r ,,则22,rVh h r V ππ==,总造价r bV r a r V r b r a y 2222222+=⋅+=ππππ,0242=-='r bV r a y π,得b r Var ⋅=22π即ab h r 2=时取极大值,即最大值.故选C. 3. 答案：3.解析：设圆柱的底面半径为r ,高为h ,则2227,27rh h r ==ππ.无盖圆柱形水桶表面积r r r r r S ππππ54272222+=⋅+=,05422=-='rr S ππ,解得:3=r ,为唯一极小值点,即最小值点.4 .答案:30.解析:设毛利润y ,则q q p y 20-⋅==)20(-p q =)20)(1708300(2---p p p=1660001170015033-+--p p p ,所以01170030032=+--=p p y ,解得30=p或130-=p （舍去）. 根据导数的意义知，当30=p 时,y 最大.5. 解：由于10000=+y x ，所以100000,)10000(32313231≤≤-==y y y y x P ．考虑23)10000(y y P -=，由0320000)(23=-='y y P 得320000,021==y y ， 由于当320000<y 时，0)(3>'P ；当320000>y 时，0)(3<'P ， 所以3200002=y 是3P 的极大值点，从而也是P 的极大值点．故当投到产品开发的资金为320000元时，得到的回报最大.6． 解: 以AB 所在的直线为x 轴,以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系．椭圆方程为222214y x r r+= 设(,)C x y 则y =（1） 1(22)2(2S x r r x =+⋅=+ 定义域为 {}0x x r <<．（2） 由（1）知2(S r x =+=.设222g(x)=(r+x)(r -x ) 则22()(2)g (x)x r x r '=-+-. 由0g (x)'=得2rx =当02r x <<0g (x)'> 当2r x r << 0g (x)'<,∴当2rx =时g(x)取最大值,S 取最大值,．。

科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 3.5导数在函数中的应用（优化问题）考纲定位 会利用导数求生活实际中的优化问题.【典型例题】一、利用导数求生活实际中的优化问题1、（2006 福建）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：)1200(880312800013≤<+-=x x x y 已知甲、乙两地相距100千米。

（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？2、（2009 湖南）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x x +万元。

假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为y 万元。

（Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？3、（2013 湖南）京广高铁于2012年12月26日全线开通运营，G808次列车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程S （t ）（单位：m ）和时间t （单位：s ）的关系为：．（1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间；（2）求列车正常行驶的速度；（3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值．【上本作业】《胜券在握》P32页第3题：某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：kg ）与销售价格x （单位：元/kg ）满足关系式2()10(6),(36)3a f x x x x =+-<<-，已知销售价格为5元/kg 时，每日可销售出该商品11 kg.（1）求实数a 的值；（2）若该商品的成本为3元/kg ，试确定销售价格x 的值使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【课后反思】答案解析1、（2006 福建）解：（1）当x=40千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100=小时 要耗油5.175.2)840803401280001(3=⨯+⨯-⨯（升） 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

生活中的优化问题举例1、如图所示，设铁路50=AB ，C B 、之间的距离为10， 现将货物从A 运往C ，已知单位距离铁路费用为2，公路 费用为4，问在在AB 上何处修筑公路至C ，可使运费由A 至C 最省？2、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为10海里/小时，燃料费每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？3、已知B A 、两地相距200km ，一条船从A 地逆水到B 地，水速为h km /8，船在静水中的速度为()08/v v h vkm ≤<，若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当h km v /12=时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？4、已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线24x y -=在x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长。

5、扇形AOB 中，半径2,1π=∠=AOB OA ，在OA 的延长线上有一动点C ，过C 点作CD 与弧AB 相切于点E ，且与过点B 所作的OB 的垂线交于点D ，问当点C在什么位置时，直角梯形OCDB 的面积最小？6、从长为32cm 、宽为20cm 的矩形薄铁板的四角剪去边长相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？7、某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为t t 52+-(百万元)()50≤≤t(1)、若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)、现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额约为x x x 33123++-(百万元)；请设计一个资金分配方案，使公司由此获得的收益最大。

应用导数解决经济优化问题在经济学中，优化问题是一种常见的数学建模方法，用于找到经济系统中最优的决策策略。

导数是微积分的重要概念，可以应用于经济优化问题中，帮助我们找到最优解。

本文将介绍如何使用导数解决经济优化问题，并提供一些实际应用的示例。

1. 导数及其应用导数是函数的变化率，用于描述函数在某一点上的斜率。

在经济学中，我们经常关注的是一些特定函数的最大值或最小值，而导数可以帮助我们找到这些极值点。

为了理解导数的应用，我们先来看一个简单的例子。

假设我们有一个能源公司，该公司生产的能源产品销售价格为P，生产量为Q。

总成本（TC）可以表示为：TC = C(Q)其中C(Q)是与生产量Q相关的成本函数。

我们的目标是在最小化总成本的同时，确定最优的生产量。

为了解决这个问题，我们可以使用导数。

我们需要找到总成本函数C(Q)的导数，即C’(Q)，然后将其设置为零，以找到导数为零的点。

这些点就是总成本函数的极小值或极大值。

通过求导过程，我们可以得到如下等式：C’(Q) = 0找到这样的Q值后，我们可以计算出对应的总成本TC，从而得到经济系统中的最优解。

2. 经济优化问题示例接下来，我们将通过一些实际的经济优化问题示例来演示如何应用导数解决这些问题。

2.1 售价优化假设我们是一家电子产品制造商，我们生产的某个产品的成本函数为C(Q) = 1000Q + 10000，其中Q是生产量。

我们希望以最低的总成本来确定最优的出售价格P。

我们先来找到总成本函数C(Q)的导数：C’(Q) = 1000将导数设置为零，我们可以得到Q = 0。

这意味着当生产量为0时，成本函数取得最小值。

通过计算总成本函数C(Q)在Q = 0处的值，我们可以得到最低的总成本。

根据成本函数C(Q) = 1000Q + 10000，我们可以计算得到最低总成本为10000。

接下来，我们将最低总成本代入产品的成本函数中，得到出售价格P：P = C(Q) / Q = (1000Q + 10000) / Q = 1000 + 10000 / Q通过这个公式，我们可以确定在最低总成本的情况下，最优的出售价格。

导数的应用速度加速度最优化等实际问题导数的应用：速度、加速度、最优化及其他实际问题在数学中，导数是描述函数变化率的一个重要概念。

它在实际问题中有着广泛的应用，其中包括速度、加速度和最优化等方面。

本文将探讨导数在这些实际问题中的具体应用，介绍相关概念，并给出相应的数学模型和解决方法。

一、速度的优化在物理学和工程学中，优化速度是一个常见的实际问题。

比如，一辆车以恒定的加速度起步后，如何调整车速以在最短的时间内到达目的地？假设汽车的加速度为$a$，初始速度为$v_0$，目标速度为$v_f$，最需要的时间为$t$。

我们可以使用导数的概念来解决这个问题。

首先，我们可以根据速度的定义，将速度$v$表示为时间$t$的函数：$v(t)=v_0+at$。

接下来，我们需要找到最短时间$t$的条件。

根据题目要求，我们要满足以下两个条件：1. 从初始速度$v_0$开始，加速到目标速度$v_f$；2. 加速度保持恒定，不变化。

带入第一个条件，我们可以得到一个方程：$v(t)=v_0+at=v_f$。

解这个方程，我们可以求得达到目标速度所需的时间$t$。

带入第二个条件，我们可以求得相应的加速度$a$。

通过求解这个问题，我们可以得到达到最优速度的方案，并计算出相应的时间和加速度。

二、加速度的优化在很多实际问题中，如机械工程和物理学中，通过优化加速度可以实现更高的效率或更好的性能。

例如，如果我们要研究一个物体在重力作用下的下落过程，我们想要找到使得物体下落时间最短的加速度。

假设物体的初始高度为$h$，重力加速度为$g$，加速度为$a$。

我们可以使用导数的概念来求解这个问题。

首先，我们可以根据加速度、初速度和距离之间的关系，得到物体下落所需时间$t$的方程：$t=\sqrt{\frac{2h}{g+a}}$。

接下来，我们需要求解加速度$a$，使得$t$最小。

通过对方程求导，并令导数等于零，我们可以得到最小时间$t$对应的加速度$a$。

高二数学学案 序号 105-106 高二年级 班 教师 毕 环 学生复习三十一 导数的应用——生活中的优化问题【考纲导学】会利用导数解决某些实际问题。

【基础知识】1、生活中的求利润最大、用料最省、效率最高等问题成为优化问题。

这类问题可归结为函数最值问题，从而可用导数来解决。

2、利用导数解决生活中的优化问题应注意：1）要把问题中涉及的变量关系用函数表示，并确定函数的定义域；2）若函数定义域内只有一个点使()0f x '=，且该点是极值点，则在该点处取得最大（小）值； 3）要考虑实际问题的实际意义，不符合实际意义的解应舍去。

【典型例题】例1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是28.0r ⋅π分，其中r 是瓶子 的半径，单位是厘米，已知每出售1ml 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商制作的瓶子的最大半径为6cm ，问：①瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ ②瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？例2、已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系为q C 4100+=，单价p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=，求产量q 为何值时，利润L 最大？例3、某物流公司购买了一块长AM=30米，宽AN=20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图 中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车产，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 长度为x 米，（1）要使仓库占地ABCD 的面积小于144平方米，AB 长度应在什么范围内？（2）若规划建设的仓库是高度与AB 长度相同的长方体建筑，问AB 长度为多少时仓库的 库容量最大？（墙体及楼板所占空间忽略不计）例4．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。

某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。

该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35kx x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。

利用导数解决最优化问题在数学中，最优化问题是指在一定的约束条件下，寻找函数的最大值或最小值的问题。

它在各个领域中都有广泛的应用，比如经济学、物理学和工程学等。

而利用导数解决最优化问题的方法，可以为我们提供一种高效而快捷的解决方案。

本文将介绍导数在最优化问题中的应用，并通过具体的例子来进一步说明其原理和方法。

首先，导数是描述函数变化率的工具。

对于一个函数f(x)，导数可以衡量函数在某一点x0处的变化速率。

利用导数求解最优化问题的基本原理是，我们希望在函数的变化率最小或最大的点找到最优解。

因此，我们需要通过求导来确定函数在各个点的斜率，进而找到变化率最小或最大的点。

其次，导数的求解过程中，我们可以利用一些基本的求导规则来简化计算。

比如，对于多项式函数，我们可以利用幂函数求导法则来求取导数。

而对于复合函数，则可以应用链式法则。

除此之外，还有一些常用的函数的导数公式，如指数函数、对数函数以及三角函数等。

通过灵活运用这些求导规则，我们可以大大简化求解最优化问题的过程。

接下来，我们通过一个具体的最优化问题来说明导数在解决最优化问题中的应用。

假设我们要求解一个函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1 的最小值。

首先，我们需要求出函数f(x)的导数。

根据幂函数求导法则，我们可以得到f'(x) = 4x - 3。

接下来，我们将f'(x) = 0，得到 x = 3/4。

这个x的取值使得函数的斜率为零，因此可能是函数的最小值点。

为了验证这一点，我们需要求出 f''(x) = 4。

根据导数的二阶导数定义，如果 f''(x) > 0，则说明在该点处存在极小值。

而 f''(x) < 0 则说明在该点处存在极大值。

所以在我们的例子中，f''(x) > 0，表明我们求的是函数的最小值。

最后，我们带入 x = 3/4 到原函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1 中，可以得到最小值 f(3/4) = 1/8。