C. 8 π - 4弧长与扇形面积一、选择题1．（2018•ft西•3分）如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，⊙O 的半径为 2 ，以点 A 为圆心，以AC为半径画弧交 AB 的延长线于点 E，交 AD 的延长线于点 F，则图中阴影部分的面积是（）A. 4π- 4B. 4 π-8 D.8 π - 8【答案】A【考点】扇形面积，正方形性质【解析】∵ 四边形 ABCD 为正方形，∴ ∠BAD= 90 °，可知圆和正方形是中心对称图形，2．（2018•ft东淄博•4分）如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC 的长为（）A．2πC．D．【考点】MN：弧长的计算；M5：圆周角定理．【分析】先连接 CO ，依据∠BAC=50°，AO=CO=3 ，即可得到∠AOC=80°，进而得出劣弧 AC 的长为= ．【解答】解：如图，连接CO，∵∠BAC=50°，AO=CO=3，∴∠ACO=50°，∴∠AOC=80°，∴劣弧AC 的长为=，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键．3.（2018•四川成都•3 分）如图，在中，，的半径为 3，则图中阴影部分的面积是（）A. B.C.D. [w& ww.z*zste%^~]【答案】C【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD∴A B∥DC∴∠B+∠C=180°∴∠C=180°-60°=120°∴阴影部分的面积=120×32÷360=3故答案为：C【分析】根据平行四边形的性质及平行线的性质，可求出∠C 的度数，再根据扇形的面积公式求解即可。
4.（2018•ft东滨州•3分）已知半径为5 的⊙O是△ABC的长为（）A．B．C．D．【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可．【解答】解：如图：连接AO，CO，∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°，∴劣弧，故选：C．【点评】此题考查三角形的外接圆与外心，关键是根据圆周角定理和弧长公式解答．5.（2018·ft东威海·3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB=12，点 E 为 BC 的中点，以 CD 为直径作半圆CFD，点F 为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（）A．18+36πB．24+18πC．18+18πD．12+18π【分析】作FH⊥BC 于 H，连接 FH，如图，根据正方形的性质和切线的性质得 BE=CE=CH=FH=6，则利用勾股定理可计算出，通过Rt△ABE≌△EHF 得∠AEF=90°，然后利用图中阴影部分的面积=S 正方形ABCD+S 半圆﹣S△ABE﹣S△AEF 进行计算．【解答】解：作FH⊥BC于H，连接FH，如图，∵点E 为BC 的中点，点F 为半圆的中点，[中国教育@出~^版*&网]∴BE=CE=CH=FH=6，，易得Rt△ABE≌△EHF，∴∠AEB=∠EFH，而∠EFH+∠FEH=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°，[ ]∴∠AEF=90°，∴图中阴影部分的面积=S 正方形 ABCD+S 半圆﹣S△ABE﹣S△AEF=12×12+•π×12×6﹣•6×6=18+18π ．故选：C．【点评】本题考查了正多边形和圆：利用面积的和差计算不规则图形的面积．6. （2018·台湾·分）如图，△ABC中，D 为BC 的中点，以D 为圆心，BD 长为半径画一弧交AC 于E 点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE 的面积为何？（）A．B．C．D．【分析】求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题；【解答】解：∵∠A=60°，∠B=100°，∴∠C=180°﹣60°﹣100°=20°，∵DE=DC，∴∠C=∠DEC=20°，∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°，∴S 扇形=π ．故选：C．【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式：．7．（2018•湖北黄石•3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（）A．B．C．2πD．【分析】先计算圆心角为，可得结果．【解答】解：连接OD，∵∠ABD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°，∴∠BOD=120°，∴的长==，故选：D．【点评】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题．8．（2018·浙江宁波·4 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交边AB 于点的长为（）A．π π π π【考点】弧长公式【分析】先根据ACB=90°，AB=4，∠A=30°，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD 的长．【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=4，∠A=30°，∴∠B=60°，BC=2∴的长为= ，故选：C．【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30 度角的性质，解题时注意弧长公式为：l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．9.（2018·浙江衢州·3 分）如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面半径，已知 BC=6cm，圆锥的侧面积为 15π cm2，则sin∠ABC的值为（）A．B．C．D．【考点】圆锥侧面积公式【分析】先根据扇形的面积公式L•R求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：设圆锥的母线长为R，由题意得15π =π ×3×R，解得R=5，∴圆锥的高为．故选B．【点评】本题考查了圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比．10.(2018 四川省绵阳市)如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2 ，圆柱高为3m，圆锥高为2m 的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A.B.40π m2C.D.55πm2【答案】A【考点】圆锥的计算，圆柱的计算【解析】【解答】解：设底面圆的半径为r，圆锥母线长为l，依题可得：π r2=25π ，∴r=5，∴圆锥的母线 l= = ，∴圆锥侧面积 S = ·2π r·l=π rl=5 π （m2）,圆柱的侧面积 S =2π r·h=2×π ×5×3=30π （m2），∴需要毛毡的面积=30π +5 π （m2），故答案为：A.【分析】根据圆的面积公式求出底面圆的半径，由勾股定理得圆锥母线长，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，圆柱的侧面展开图为矩形或者正方形，根据其公式分别求出它们的侧面积，再求和即可得出答案.二.填空题1.（2018·重庆(A)·4 分）如图，在矩形ABCD 中，AB = 3，AD = 2，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．D CA E B【考点】及割补法的基本应用、扇形的面积公式.【解析】S阴= 2 ⨯ 3 - 90360∙π∙ 22 = 6 -π【点评】此题考查扇形、四边形面积的计算，及割补法的基本应用，属于基础题2.（2018·广东·3分）如图，矩形ABCD 中，BC=4，CD=2，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为π．（结果保留π）2【分析】连接 OE，如图，利用切线的性质得 OD=2，OE⊥BC，易得四边形 OECD 为正方形，先利用扇形面积公式，利用 S 正方形 OECD﹣S 扇形 EOD 计算由弧 DE、线段 EC、CD 所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．【解答】解：连接OE，如图，∵以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E，∴OD=2，OE⊥BC，易得四边形OECD 为正方形，∴由弧DE、线段EC、CD 所围成的面积=S 正方形OECD﹣S 扇形EOD=2 =4﹣π，∴阴影部分的面积=×2×4﹣（4﹣π ）=π ．故答案为π．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形的面积公式．3．（2018•湖北荆门•3 分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点E，则阴影部分的面积为．【分析】连接半径和弦 AE，根据直径所对的圆周角是直角得：∠AEB=90°，可得 AE 和 BE 的长，所以图中弓形的面积为扇形 OBE 的面积与△OBE面积的差，因为 OA=OB，所以△OBE的面积是△ABE 面积的一半，可得结论．【解答】解：连接OE、AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，∴AE=AB=2，BE= =2 ，∵OA=OB=OE，∴∠B=∠OEB=30°，∴∠BOE=120°，∴S阴影=S 扇形 OBE﹣S△BOE，=﹣×，=﹣，=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，直角三角形中 30 度角等知识点，能求出扇形OBE的面积和△ABE的面积是解此题的关键．4．（2018•湖北恩施•3分）在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠A BC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l 无滑动地滚动至R t△DEF，则点B 所经过的路径与直线l 所围成的封闭图形的面积为π．（结果不取近似值）【分析】先得到∠A CB=30°，BC=，利用旋转的性质可得到点 B 路径分部分：第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心，为半径，圆心角为150°的弧长；第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心，1 为半径，圆心角为120°的弧长，然后根据扇形的面积公式计算点B 所经过的路径与直线l 所围成的封闭图形的面积．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，∴∠A CB=30°，BC=，将Rt△ABC沿直线l 无滑动地滚动至Rt△DEF，点B 路径分部分：第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心，为半径，圆心角为150°的弧长；第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心，1 为半径，圆心角为120°的弧长；∴点B 所经过的路径与直线l +=．故答案为π．【点评】本题考查了轨迹：利用特殊几何图形描述点运动的轨迹，然后利用几何性质计算相应的几何量．5.（2018•河南•3分）如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=2.将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A'B'C'，其中点B的运动路径为B¼B'，则图中阴影部分的面积为 .6. （2018·新疆生产建设兵团·5分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴阴影部分的面积是=π，故答案为：【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键．7.（2018·ft东青岛·3 分）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O 为 AC 上一点，OA=2，以 O 为圆心，以OA 为半径的圆与CB 相切于点E，与AB 相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是﹣π．【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案．【解答】解：∵∠B=90°，∠C=30°，∴∠A=60°，∵OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠COF=120°，∵OA=2，∴扇形OGF 的面积为：=∵OA为半径的圆与CB 相切于点E，∴∠OEC=90°，∴OC=2OE=4，∴AC=OC+OA=6，∴AB=AC=3，∴由勾股定理可知：BC=3∴△ABC×3×3=∵△OAF×2×= ，∴阴影部分面积为：﹣π= π故答案为：π【点评】本题考查扇形面积公式，涉及含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高．8.（2018•湖南省永州市•4 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的长为．【分析】由点A（1，1），可得OA==，点A 在第一象限的角平分线上，那么∠AOB=45°，再根据弧长公式计算即可．【解答】解：∵点A（1，1），∴OA== ，点A 在第一象限的角平分线上，∵以点O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的位置，∴∠AOB=45°，∴=．故答案为．【点评】本题考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），也考查了坐标与图形变化﹣旋转，求出OA=以及∠AOB=45°是解题的关键．9.（2018 年江苏省宿迁）已知圆锥的底面圆半价为 3cm，高为 4cm，则圆锥的侧面积是cm2. 【答案】15π【考点】圆锥的计算【解析】【解答】解：设圆锥母线长为l，∵r=3，h=4，,∴母线 l= =5，∴S 侧= ·2π r×5= ×2π ×3×5=15π .故答案为：15π.【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.10.（2018 年江苏省宿迁）如图，将含有30°角的直角三角板 ABC 放入平面直角坐标系，顶点 AB 分别落在x、y 轴的正半轴上，∠OAB＝60°,点A 的坐标为（1,0），将三角板ABC 沿x 轴右作无滑动的滚动（先绕点A 按顺时针方向旋转60°，再绕点C 按顺时针方向旋转90°，…）当点B 第一次落在 x 轴上时，则点 B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是.【答案】+ π【考点】三角形的面积，扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质【解析】【解答】解：在R t△A OB 中，∵A（1,0），∴OA=1,又∵∠OAB＝60°，∴cos60°=,∴AB=2,OB=,∵在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，∴点B 运动的路径与坐标轴围成的图形面积为：== + π.故答案为: + π.【分析】在Rt△AOB中，由A 点坐标得OA=1,根据锐角三角形函数可得AB=2，OB= ,在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点 B 运动的路径与坐标轴围成的图形面积为： =，计算即可得出答案.11.（2018•江苏扬州•3 分）用半径为 10cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为cm．【分析】圆锥的底面圆半径为 r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得2π，解得cm．故选：．【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．12.（2018•江苏盐城•3分）如图，左图是由若干个相同的图形（右图）组成的美丽图案的一部分.右图中，图形的相关数据：半径，.则右图的周长为（结果保留）．2 2 2 15.【答案】【考点】弧长的计算【解析】【解答】解： 由第一张图可知弧 OA 与弧 OB 的长度和与弧 AB 的长度相等，则周长为cm故答案为：【分析】仔细观察第一张图，可发现单个图的左右两条小弧的长度之和是弧 AB 的度，则根据弧长公式即可求得。
