chapter4

x习题4.1解答1. 一只小虫子在1小时之内的爬行速度可按如下速度计算tt v +=11)( 其中时间t 以小时为单位，速度)(t v 以米/小时为单位，试估算这只小虫子在这1小时之内爬行的距离，使得估算距离与实际距离的误差不超过0.1米。

解 设测量速度的时间间隔为h ，由于小虫子在1小时内速度的终值和初值之差为5.0011111-=+-+米/小时，于是总距离s 的最大误差为h ⋅5.0，因此要使估算误差小于0.1，需1.05.0<⋅h解得2.0<h 小时， 即每隔12602.0=⨯分钟测算一次速度，即能满足要求。

得到的最大距离为74563.02.08.0116.0114.0112.0111(=⨯++++++++（米） 最小距离为64563.02.0)1118.0116.0114.0112.011(=⨯+++++++++（米）. 2. 估计图4.1.12所示阴影部分的面积，并进一步分析采用什么方法计算，才能使估计值的精度达到任意要求？解 将区间[0,1]的近似值。

3．分别利用定积分的定义及几何意义两种方法计算⎰+21)12(dx x .解 方法一 利用定积分的定义计算由于积分值是唯一的，且它与积分区间的分割方式、点i ξ的选取方法都没有关系，因此为了计算的方便，对区间]2,1[进行特殊的分割，即将积分区间]2,1[进行n 等分，选取第i 个小区间],[1i i x x -的右（或左）端点作为i ξ，然后对积分和求极限。

第1步 将]2,1[分成n 个等长的小区间]1,11[ni n i +-+),,2,1(n i =，则每个小区间i x ∆的长度为n1；第2步 取各个小区间的右端点为i ξ),,2,1(n i =，即ni i +=1ξ，从而1)1(2)(++⋅=n i f i ξ，则)(x f 在区间]1,0[上相应的积分和为322232)1(21321132)(111++=++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=∆⋅=∑∑∑===nn n n n n n i n n n i x f S ni n i n i i i n ξ第3步 求极限.43222lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛++=∞→∞→n n S n n n . 综上知4)12(21=+⎰dx x .方法二 利用定积分的几何意义即等于梯形的面积。

41)53(21)12(21=⨯+⨯=+⎰dx x4．甲、乙二人参加某次赛车比赛，他们从同一地点沿同一路线同时出发，比赛规则是在规定的时间内，谁行驶的路程最长谁就获胜。

图4.1.13记录了他们在比赛过程中赛车的速度变化情况，其中)(1t v 表示甲赛车在t 时刻的速度，)(2t v 表示乙赛车在t 时刻的速度。

若比赛时间为1小时，他们二人谁会获胜？如果比赛时间为2.5小时，又是谁获胜？解 由于在某段时间内行驶的 路程等于速度函数关于时间的定积 分，又依据定积分的几何意义可知， 所行驶的距离实际上等于由速度曲 线在时间段上围成的曲边梯形的面 积。

因此由图可知若比赛时间为1 小时，甲获胜；若比赛时间为2.5小 时，则乙获胜。

习题4.2解答1. 若)(x f 是区间],[b a 上的非负连续函数，且)(x f 不恒为零，则是否一定有0)(>⎰badx x f ？解 依题设点0x 为区间],[b a 上函数值不等于0的点，即0)(0≠x f ，不妨设0)(0>x f . 由)(x f 在],[b a 上的连续性知)()(lim 00x f x f x x =→，运用极限的保号性：在],[b a 中必存在包含0x 的某区间),(d c ，使得在此区间内)(x f 与)(0x f 同号。

于是由定积分对积分区间的可加性知0)()()()()(>=++=⎰⎰⎰⎰⎰dcb dd cc abadx x f dx x f dx x f dx x f dx x f .2. 计算⎰+1)1(2dx e x .解 原式e e dx e dx e dx x x 2)1(2222221101=-+=+=+=⎰⎰⎰.3. 用几何知识计算⎰-2|1|dx x .解 原式⎰⎰-+-=211)1()1(dx x dx x 12121=+=. 4. 求c 的值，使⎰++102)22(dx c x c e x 最小，并求其最小值。

解 设⎰⎰⎰⎰++=++=112110222)22()(dx c xdx c dx e dx c x c e c f x x ，因此1221)(22-++=++-=e c c c c e c f . 由二次函数的性质知：当1-=c 时，⎰++=12)22()(dx c x c e c f x 的值最小，最小值为2-e .图4.1.135. 在统计学中常常要研究标准正态分布的密度函数2221x e y -=π，其图象如图4.2.10所示。

下表给出了在曲线2221x e y -=π下方从0到b （对不同的b ）围成的曲边梯形的面积.（1）dx ex ⎰-312221π（2）dx ex ⎰--422221π解 由定积分对积分区间的可加性知（1）dx edx edx ex x x ⎰⎰⎰---+=300131222212121πππdx edx ex x ⎰⎰--+-=3010222121ππ=0.4987-0.3413 =0.1574（2）dx edx edx ex x x ⎰⎰⎰-----+=4222422222212121πππdx edx ex x ⎰⎰--+=4222222121ππ（对称性）=0.4772+0.5000 =0.9772.6. 不用计算积分，比较下列各积分值的大小 （1）⎰43ln xdx ，()⎰432ln dx x（2）⎰-0sin πxdx ，⎰2sin πxdx解 （1）因为当43<<x 时，()2ln ln x x <，由性质4.2.6知⎰-b x dx e 02221π b 1 2 3 4 0.3413 0.47720.49870.5000⎰43ln xdx <()⎰432ln dx x .（2）由于⎰-02sin πxdx <0，而⎰20sin πxdx >0，所以⎰-0sin πxdx <⎰0sin πxdx7. 利用定积分的性质估计下列积分值（1）⎰-2143)2(dx x x （2）⎰33arctan xdx x解 （1）函数432x x -在区间]2,1[的最大值与最小值分别为1627及0，所以1627)2(02143≤-≤⎰dx x x ,（2）由性质4.2.6知⎰⎰⎰---≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-3333333333arctan arctan 33arctan xdx xdx x xdx 两边分别积分即可得4arctan 2333ππ≤≤⎰-xdx x . 8. 设函数)(x f 在],[b a 上连续，且恒大于0，求⎰∞→ban n dx x f x )(lim2.解 由于函数)(x f 在],[b a 上连续，因此设)(x f 在],[b a 上的最大值和最小值分别为m 与M ，再利用性质4.2.6得n b a n b a n b a nn M a b dx x M dx x f x dx x m m a b 3)(33322233-=<<=-⎰⎰⎰所以3lim 3)(lim 3lim 3333323333a b m a b dx x f x m a b a b n n b a n n n n -=-<<-=-∞→∞→∞→⎰故⎰∞→b a nn dx x f x )(lim 2333a b -=.9. 设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且M x f ≤')((M 为常数)，0)(=a f ，证明：2)()(a b M dx x f ba-≤⎰.证明 在区间],[x a 上对)(x f 应用拉格朗日中值定理得存在),(x a ∈ξ)())(()()()(a x M a x f a f x f x f -<-'=-=ξ所以运用推论4.2.1有2)()()()(a b M dx a b M dx a x M dx x f bab a ba-=-≤-≤⎰⎰⎰.10. 求极限⎰+∞→an nn dx xx 1sin lim.解 利用积分中值定理有⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎰+ξξ1sin 1sin a dx x x an n， ),(a n n +∈ξ应用重要极限得⎰+∞→an nn dx xx 1sin lim a a =⋅=∞→ξξξ1sin lim .习题4.3解答1. 利用牛顿—莱布尼兹公式计算下列定积分(1) ⎰--13xdx (2)⎰-+3121x dx(3) ⎰πsin 3xdx (4)⎰42xdx (5)⎰-11||dx x x (6)⎰-+011dx e x解 (1) 因为()x x 1||ln ='，所以⎰--13xdx ()3ln ||ln 13-==--x . (2) 因为()211arctan x x +='，所以⎰-+3121x dx ==-31arctan x π127-. (3）因为()x x sin 3cos 3='-，所以⎰πsin 3xdx ()=-=π0cos 3x 6.(4) 因为()x x 12='，所以 ⎰42xdx()==422x224-.(5）因为2331x x ='⎪⎭⎫ ⎝⎛，所以 ⎰⎰⎰+-=--121211||dx x dx x dx x x 0313113013=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x x . (6）因为()11++='x x e e，所以 ⎰-+011dx e x ==-+011x e 1-e .2. “⎰xdt t f 1)(与⎰xdt t f 0)(仅相差一个常数”，这种说法对吗？解 这种说法正确。

因为)()()(01x f dt t f dx d dt t f dx d x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰ 所以它们是同一函数)(x f 的两不同的原函数，仅相差一个常数。

3. 假设函数)(x f 在区间],[b a 上有原函数，那么)(x f 在区间],[b a 上一定可积吗？试举例说明。

解 不一定可积。

例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=≤<-=0,010,1cos 21sin 2)(22x x xx x x x f 在]1,0[上有原函数⎪⎩⎪⎨⎧=≤<=0,010,1sin )(22x x xx x F 但)(x f 在]1,0[上无界，因而在]1,0[上不可积。