数列求和学案
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数列的求和的学案知识梳理：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2．熟记一些常用的数列的和的公式．3．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算。
常见方法：1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
①等差：2111()(1)()()2222n n n a a n n d dS na d n a n f n +-==+=+-=，n S 为关于n 的函数（最高为二次）且常数项为0。
②等比：11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（公比含字母时一定要讨论），常将11ab q =-视为整体即(1)(1)n n S b q q =-≠。
2．公式法：1(1)122nk n n k n =+=+++=∑ ；22221(1)(21)126nk n n n k n =++=+++=∑ ； 233331(1)122nk n n k n =+⎡⎤=+++=⎢⎥⎣⎦∑ 3．分组求和法：已知通项可分拆通项。
4．合并求和法：已知数列，将数列的多项看成一项使数列变为可求和数列。
例1.①求22222210099989721-+-++- 的和；②求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和；③22222111()()()n n n S x x x xx x=++++++点评：①分组求和法与合并求和法，实际上就是通项分析法，数列求和关键是看数列的通项公式；②运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11q q =≠或讨论。
5．错位相减法：形如{}{}1122,,.n n n n n a b a b a b a b =+++ 等差等比求S 的和 例2.求和：2311357(21)n n S x x x n x -=++++⋅⋅⋅+-6．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
例3.求和22224(2)1335(21)(21)n n S n n =+++⋅⋅-+点评：分式求和可用裂项相消法；常见拆项公式：111(1)1n n n n =-++ ； 1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+ ； 212112()(1)1n C n n n n ==---；；11(1)!!(1)!n n n n =-++；!(1)!!n n n n ⋅=+- ； 7．倒序相加法：倒序相加后，各项和的系数相同为研究对象。
例4. 求证：01235(21)(1)2n n n nn n C C C n C n +++++=+ 思路分析：由m n m n n C C -=可用倒序相加法求和。
点评：①求数列的和注意方法的选取；②求和过程中注意分类讨论思想的运用和转化思想的运用；8.综合应用：例5.已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为()a a R ∈，设数列的前n 项和为n S ，且124111,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式及n S ； （2）记2-11212221111111=+++,=++++n n n n A B S S S a a a a ，当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大小.例6：已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项的和为S n ,且对任意的n ∈N *,都有2S n =n n a a +2。
(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b 1=1,2b n+1－b n =0(n ∈N*)。
若c n =a n b n ,求数列{c n }的前n 项的和T n ； (3)在(2)的条件下，问是否存在整数m ，使得对任意的正整数n ，都有m －2<T n <m+2。
若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由。
数列求和练案（1）一、选择题1、数列{}n a 的通项公式为a n =2n +2n －1，则数列{}n a 的前n 项和为（ ） A 、2n +n 2－1B 、2n+1+n 2－1C 、2n+1+n 2－2D 、2n +n －22、数列1，111,,...,12123123...n +++++++的前n 项和为95，则正整数n 的值为（ ） A 、6B 、8C 、9D 、103、设数列{}n x 满足lnx n+1=1+lnx n ，且x 1+x 2+x 3+…+x 10=10.则x 21+x 22+x 23+…+x 30的值为（ ） A 、11·e 20B 、11·e 21C 、10·e 21D 、10·e 204、1－4+9－16+…+(－1)n+1n 2等于（ ） A 、(1)2n n + B 、－(1)2n n +C 、(－1)n+1(1)2n n + D 、以上答案均不对 5、已知整数以按如下规律排成一列：(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),……，则第60个数对是（ ） A 、(10,1)B 、(2,10)C 、(5,7)D 、(7,5)6、数列{}n a 的通项公式为a n =(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于（ ） A 、200B 、－200C 、400D 、－4007、设f(n)=2+24+27+…+23n +…+23n+10(n ∈N)则f(n)等于（ ） A 、2(81)7n- B 、12(81)7n +- C 、32(81)7n +- D 、42(81)7n +- 8、若数列{}n a 的前n 项和为S n ，且满足S n =32a n －3，则数列{}n a 的前n 项和S n 等于（ ） A 、3n+1－3B 、3n －3C 、3n+1+3D 、3n +39设f(x)是定义在R 上恒不为0的函数，对任意x,y ∈R ，都有f(x)·f(y)=f(x+y)，若a 1=12,a n =f(n)(n 为常数)，则数列{}n a 的前n 项和S n 的取值范围是（ ） A 、1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B 、1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C 、1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题10、在正项等比数列{}n a 中，a 3a 7=4，则数列{}2log n a 的前9项之和为_____________.11、已知数列{}n a 的前n 项和S n =2n －1，则22212...na a a +++=_____________. 12、首项为a 1，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，满足S 5S 6+15=0，则d 的取值范围是_____________.13、对于一切实数，令[x]为不大于x 的最大整数，则函数f(x)=[x]称为高斯函数或取整函数，计算f(－0.3)+f(1)+f(1.3)=_____________；若a n =()3nf , n ∈N*，S n 为数列{}n a 的前n 项和，则S 30=_____________.14、设1=a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1,a 3,a 4,a 7成公比为q 的等比数列，a 2,a 4,a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是____________. 三、解答题15、正项数列{}n a 满足a n 2－(2n －1)a n －2n=0. （1）求数列{}n a 的通项公式a n ； （2）令b n =1(1)nn a +，求数列{}n b 的前n 项和T n .16、设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为S n ，满足4S n =21n a +－4n －1,n ∈N*，且a 2,a 5,a 14构成等比数列. （1）证明：2a =（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有122311111 (2)n n a a a a a a ++++<.数列求和练案（2）一、选择题1、求和：3+33+333+3333+…+33…3个等于（ ）A 、11010273n n+-- B 、10193n n-- C 、1019n n --D 、109n2、已知数列{}n a 的前n 项和S n =n 2－6n ，则数列{}n a 的前n 项和T n 等于（ ）A 、6n －n 2B 、n 2－6n+18C 、226(13)618(3)n n n n n n ⎧-≤≤⎪⎨-+>⎪⎩D 、226(13)6(3)n n n n n n ⎧-≤≤⎪⎨->⎪⎩3、设数列{}n a 是首项为1、公比为3的等比数列，把{}n a 中的每一项都减去2后，得到一个新数列{}n b ，{}n b 的前n 项和为S n ，对任意的n ∈N*，下列结论正确的是（ ）A 、b n+1=3b n ，且S n =12(3n －1) B 、b n+1=3b n －2，且S n =12(3n －1) C 、b n+1=3b n +4，且S n =12(3n －1)－2n D 、b n+1=3b n －4，且S n =12(3n －1)－2n4、设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若2a 8=6+a 11，则S 9等于（ ）A 、54B 、45C 、36D 、275、一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为（ ） A 、14 B 、16 C 、18 D 、206、在等差数列{}n a 中，a 1=－2008，其前n 项的和为S n ，若20072005220072005S S -=，则S 2008等于（ ） A 、－2007B 、－2008C 、2007D 、20087、等差数列{}n a 的通项公式a n =2n －1，若11n n n b a a +=，{}n b 的前n 项和为S n ，则S n 等于（ ）A 、221nn +B 、21nn +C 、21nn - D 、以上都不对 8、等差数列{}n a 的通项a n =2n+1，若12...+nn a a a b n++=，则数列{}n b 的前n 项和是（ ）n 个A 、n(n+2)B 、12n(n+4) C 、12n(n+5) D 、12n(n+7) 二、填空题9、若数列{}n a 的前n 项和S n =n 2+2n+5，则a 5+a 6+a 7=_____________.10、数列1×4，2×5，3×6，…，n×(n+3)，…则它的前n 项和S n =_____________.11、等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为_____________. 12、已知数列{}n a 的通项公式为a n =21log (*)2n n N n +∈+，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n 的最小值是_____________.13、对于数列{}n a ，定义数列{}1n n a a +-为数列{}n a 的“差数列”，若a 1=2， {}n a 的“差数列”的通项为2n ，则数列{}n a 的前n 项和S n =_____________. 14、已知函数f(x)=sinx+tanx ，项数为27的等差数列{}n a 满足a n ∈(,)22ππ-，且公差d≠0，若f(a 1)+f(a 2)+…+f(a 27)=0，则当k=__________时，f(a k )=0. 三、解答题15、{}n a 满足a 1+3a 2+32a 3+…+3n －1a n =3n，n ∈N*. （1）求数列{}n a 的通项； （2）设b n =nna ，求数列{}nb 的前n 项和S n .16、已知数列{}n a 的首项a 1=23,a n+1=21n n a a + （1）证明：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和S n .。
