《现代控制理论基础》第八章(5)

6 2 5 3 1 1 C 6 3 5 4 1 1
0 0 0 B 0 1 0
0 0 0 0 0 1
1 0 D 1 1
28
判断该能控规范型实现的状态是否完全能观测：
2 5 3 1 1 6 6 3 5 4 1 1 C 6 6 5 9 1 3 Qo CA 6 6 5 8 1 2 2 CA 6 18 5 27 1 9 6 12 5 16 1 4
2
0m Ao I m 0m
0m 0m Im
0 I m 0 0 6 1 I m 1 0 11 2 I m 0 1 6
24
β0 3 1 Bo β1 1 1 β2 0 0
W (s) C sI A B D
1
1 1 s 1 s 3 1 0 1 1 1 1 s 2 s 1
11
将 C sI A B 写成按
1
s 降幂排列：
1 1 s 1 s3 1 1 s 2 s 1
（1 ）
βn1 , βn2 ,
s n1s
n n 1
, β1 , β0
m r 维矩阵

1s 0
特征多项式
5
W ( s)
当m r 递函数。
严格真有理分式矩阵
1时，它是一个单输入单输出系统的传
6
一. 能控规范型实现
0r Ac 0r 0 I r
2 2 s 5 s 6 s 3s 2 1 3 2 2 2 s 6s 11s 6 ( s 5s 6) ( s 4s 3) 1 1 2 5 3 6 2 1 3 s s 2 s 6s 11s 6 1 1 5 4 6 3
0 0 0 0 0 1
Cc 0
1
6 2 5 3 1 1 2 6 3 5 4 1 1
1 0 D 1 1
14
类似地，得能观规范型的各系数矩阵：
0m Ao I m 0m
0m 0m Im
x Ax Bu y Cx
使 x 的维数小于 x 的维数，则称式（2）的实现为最小 实现。 注： 最小实现与非最小实现的区别
非最小实现的状态向量中存在 着不能控或不能观的状态分量
18
传递函数（矩阵）只能反映系统中能控且能观 子系统的行为 把系统中不能控或不能观的状态分量消去，将 不会影响系统的传递函数（矩阵）
8.5 线性系统的实现
实现问题 如何根据一个传递函数（矩阵）写出状 态空间表达式的问题。
有理分式矩阵 G ( s) 必须满足物理可实现的条件：
（ 1） 传递函数矩阵 G ( s) 中的每一个元素 Gij ( s) 的分 子分母多项式的系数均为实常数。 （ 2） 传递函数矩阵 G ( s) 的每一个元素 Gij ( s) 必须是
系统的情形； （3 ） 多输入多输出系统的能观规范型并不是能控规范型 的转置，这一点和单输入单输出系统有所不同。
10
[例17]
试求
s 2 s 1 W (s) s s 1
1 s 3 s 1 s 2
的能控规范型和能观规范型。 [解] 首先将 W ( s) 化为严格的真有理分式。
30
变换阵 Ro 的构造方法：
R1 R 2 1 1 Ro Rn R n1 1 Rn
, R2 , 其中前 n1 行向量 R1
1 是能观性矩阵中的 n1 , Rn
1
1 , 个线性无关的行，另外的 (n n1 ) 行向量 Rn
rankQo 3 n 6
状态不完全能观。
所以该能控规范型不是最小实现，因此必须按照 能观性进行结构分解。
29
对系统
x Ax Bu y Cx
按照能观性进行结构分解需要引入如下线性变换：
x Ro x
变换后的系统变为
x Ax Bu y Cx
1 3 1 1 s 3 1 2 s 6s 11s 6
即
0 6
β0 3 1
1 11
2 6
β2 0 0
23
β1 1 1
由于W ( s) 是一个 1 2 的矩阵，故 输出向量的维数：m 1
输入向量的维数：r
先采用能观规范型实现：
12
因此
0 6, 1 11, 2 6
5 3 1 5 4 1 1 2 1 1
6 2 0 6 3
得能控规范型的各系数矩阵：
0r Ac 0 r 0 I r Ir 0r 1 I r
3
8.5.1 能控规范型实现与能观规范型实现
对于单输入单输出系统，一旦给出传递函数，就 能写出能控规范型和能观规范型实现。 推广
m r
维的传递函数矩阵 W ( s) 的实现问题。
将矩阵W ( s) 写成单输入单输出传递函数的形式：
4
n1s n1 βn2 s n2 β1s β0 W ( s) n n 1 s n1s 1s 0
2） 对上一步初选的实现 ( A, B, C )，找出其完全能控 且完全能观部分 ( A1 , B1 , C1 ) ，则这个能控能观部 分就是W ( s)的一个最小实现。
21
[例18]
求传递函数矩阵
1 W ( s) ( s 1)( s 2)
的最小实现。 [解]
1 ( s 2)( s 3)
, Rn
31
在确保 Ro 为非奇异的前提下，是完全任意选择的。 对本例而言，选取变换阵如下
1
6 2 5 3 1 1 6 3 5 4 1 1 6 6 5 9 1 3 1 Ro 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
β0 β 1 Bo βn 2 βn 1
Co 0m
其中
0m
Im
m
输出向量的维数
om
Im
m m 阶零矩阵 m m阶单位矩阵
9
注：
（1） 这个实现的维数为 nm维；
（2 ） 当
m r 1 时，上述形式简化为单输入单输出 n 维
19
二. 寻求最小实现的步骤
[定理] 传递函数矩阵 W ( s) 的一个实现
x Ax Bu : y Cx
为最小实现的充分必要条件是：
( A, B, C ) 既能控又能观
证明从略。
20
[求解最小实现的步骤]
1） 对给定的传递函数矩阵W ( s) ，先初步选出一种实 现 ( A, B, C ) ，通常最方便的是选取能控规范型 实现或能观规范型实现。
应的能控规范型（或能观规范型）。本题的能控规范型 已在例17中求得，即为：
27
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 A 0 0 0 1 0 0 6 0 11 0 6 0 0 6 0 11 0 6
25
rankQc 3 n
所以 ( Ao , Bo , Co ) 能控且能观，即为最小实现。
26
[例19]
求传递函数矩阵
s 2 s 1 W (s) s s 1
的最小实现。 [解]
1 s 1 s 1 s 2
将 W ( s) 化成严格的真有理分式，然后写出相
r
输入向量的维数
7
注：
（1） 这个实现的维数为 nr 维；
（2 ） 当
m r 1 时，上述形式简化为单输入单输出 n 维
系统的情形。
8
二. 能观规范型实现
0m I m Ao 0m 0m
0m Im 0m 0m Im
0 I m 1 I m n 1 I m
16
8.5.2 最小实现
一个可实现的传递函数矩阵拥有无穷多个状态空间 表达式与之对应。 从工程角度出发，寻求维数最小的实现具有重要的 现实意义。 一. 最小实现的定义 传递函数矩阵 W ( s) 的一个实现为
x Ax Bu y Cx
（2）
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如果W ( s) 不存在其它实现
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0r 0 0 0 0 1 0 Ir 0 0 0 0 0 1 2 I r 6 0 11 0 6 0 0 6 0 11 0 6
13
0 0 0r 0 Bc 0r 0 Ir 1 0
s 的真有理分式函数。
1
真有理分式函数
分母多项式的次数。 严格真有理分式 分母多项式的次数。
分子多项式的次数不高于
Gij ( s) 分子多项式的次数小于
G ( s) 的所有元素均为严格真有理分式
实现具有形式 ( A, B, C )
2
G ( s) 中存在某元素，其分子分母多项式的次数相等
实现具有形式 ( A, B, C , D) 一般情况下，均研究严格真有理分式矩阵的实现 问题。
Co 0m 0m I m 0 0 1
检验所求的能观测实现 ( Ao , Bo , Co ) 是否能控。
Qc Bo
Ao Bo
A Bo
2 o