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电路(第五版).-邱关源原著-电路教案--第8章相量法第8章 相量法● 本章重点1、正弦量的两种表示形式；2、相量的概念；3、KVL 、KCL 及元件VCR 的相量形式。
● 本章难点1、 正确理解正弦量的两种表示形式的对应关系；2、 三种元件伏安关系的相量形式的正确理解。
● 教学方法本章是相量法的基础，对复数和正弦量两部分内容主要以自学为主，本章主要讲授相量法的概念、电路定律的相量形式以及元件V AR 的相量形式。
讲述中对重点内容不仅要讲把基本概念讲解透彻，而且要讲明正弦量的相量与正弦时间函数之间的对应关系；元件V AR 的相量形式与时域形式之间的对应关系，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。
本章对元件的功率和能量这部分内容作了简单讲解，以便为下一章的学习打下基础。
本章共用4课时。
● 授课内容8.1复数1. 复数的三种表示bj a A += 直角坐标=θ∠r 极坐标 =θj re 指数形式θθθsin cos 22r b r a ab arctgb a r ==⇒=+=⇒直极极直θθsin cos jr r A += 三角表示形式欧拉公式：θθθsin cos j e j +=2. 复数的运算已知：11111θ∠=+=r jb a A ，22222θ∠=+=r jb a A求：212121,,A AA A A A ⋅±i()()212121b b j a a A A ±+±=±212121212121θθθθ+∠=+∠=⋅r r A A r r A A 8.2正弦量一、正弦量：随时间t 按照正弦规律变化的物理量，都称为正弦量，它们在某时刻的值称为该时刻的瞬时值，则正弦电压和电流分别用小写字母i 、u 表示。
周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。
周期T ：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S ）； 频率f ： 是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz ）。
显然，周期和频率互为倒数，即f =1/T。
交变量：一个周期量在一个周期内的平均值为零。
可见，正弦量不仅是周期量，而且还是交变量。
二、正弦量的表达式 1. 函数表示法：m ()cos(f t F t ωψ=+m F —t ωψ+—相位，反映正弦量变动的进程；ω—角频率（rad /s ），反映正弦量变化的快慢。
22,2T f Tπωπωπ=== ()ψπψπ-≤≤—初相位，反映正弦量初值的大小、正负。
m F ，ω，ψ—正弦量的三要素。
已知m 10A,50Hz,15o I f ψ===-， 则()10cos(31415)A o i t t =-。
2. 波形表示法0t ωψ+=， t ωψ=-。
当0>ψ时，最大值点由坐标原点左移ψ。
如下图。
t这样正弦量的数学表达式写为 ()cos()f t t ωψ+。
因此，正弦量的有效值可以代替最大值作为它的一个要素。
对于正弦电流i ＝I m cos(ωt+φi ) 的有效值为I =I m /2=0.707I m同理，正弦电压u ＝U m cos(ωt+φu )的有效值为U ＝U m /2＝0.707U m在工程上，一般所说的正弦电压、电流的大小都是指有效值。
例如交流测量仪表所指示的读数、交流电气设备铭牌上的额定值都是指有效值。
我国所使用的单相正弦电源的电压U =220V ，就是正弦电压的有效值，它的最大值U m ＝2U ＝1.414×220＝311V 。
应当指出，并非在一切场合都用有效值来表征正弦量的大小。
例如，在确定各种交流电气设备的耐压值时，就应按电压的最大值来考虑。
8.3 相量法的基本概念一、 相量：可以表示一个正弦量的复值常数称为相量。
令正弦量m ()cos()cos()f t F t t ωψωψ=++，根据欧拉公式，可知 j e cos jsin x x x =+，取x t ωψ=+ 则 ()cos()jsin()j t e t t ωψωψωψ+=+++j()cos()Re t t e ωψωψ+⎡⎤+=⎣⎦ j ()sin()Im t t e ωψωψ+⎡⎤+=⎣⎦于是 j()j()m m ()Re Re t t f t F e F e ωψωψ++⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦j j j m m Re Re t t F e e F e ψωω⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎣⎦j m m m F F e F ψψ==∠ —最大值相量。
m ()30)V 220230V u t t U =+⇔=∠ F F ψ=∠ —有效值相量 m 2F F =上述表明，可以通过数学的方法，把一个实数域的正弦时间函数与一个复数域的复指数函数一一对应起来，而复指数函数的复常数部分是用正弦量的有效值（最大值）和初相结合成一个复数表示出来的。
运用相量进行正弦稳态电路的分析和计算，可同时将正弦量（最大值）的有效值和初相计算出来。
有效值（最大值）上方加的小圆点是用来与普通复数相区别的记号，在数学运算上与一般复数的运算并无区别。
相量既然是复数，它也可以在复平面上用一条有向线段表示。
如下图所示为正弦电流i ＝2I cos (ωt +Ψi )的相量，其中Ψi ＞0。
相量。
I 的长度是正弦电流的有效值I，相量。
I与正实轴的夹角是正弦电流的初相。
这种表示相量的图称为相量图。
为了简化起见，相量图中不画出虚轴，而实轴改画为水平的虚线，如下图所示。
iI I ψ=∠二、旋转因子j teω复指数函数的另一部分e jωt，是一个随时间变化的旋转因子，它在复平面上是一个以原点为中心、以角速度ω等速旋转、模为l的复数。
j1()cos jsinte t t tωωωω=∠=+取j2,j2t eππω==；取j()2,j2t eππω-=-=-；于是j,1±-—旋转因子。
三、正弦量为旋转相量在实轴上的投影相量(。
F＝F e jφ)乘以旋转因子e jωt再乘以2，即2。
F e jωt，所以将它称为旋转相量，2。
F称为旋转相量的复振幅相量，如图(a)所示。
jm()Re tf t F eω⎡⎤=⎢⎥⎣⎦旋转相量。
(a) (b)旋转相量与正弦波iψ+1+jIiψ1 +1+jω+1+jI--I--jj II一个正弦量在任何时刻的瞬时值，等于对应的旋转相量该时刻在实轴上的投影。
这个关系可以用图(a)、(b)分别所示的旋转相量2。
F e jωt 和正弦量f (t )的波形图之间的对应关系来说明。
对于任何正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的复指数函数，建立起一一对应关系，从而得到表示这个正弦量的相量。
由于这种对应关系非常简单，因而可以直接写出。
四、 同频率正弦量的相量运算1 同频率正弦量的加减法例1：11m 1()cos()u t U t ωψ=+，22m 2()cos()u t U t ωψ=+。
求12()()u t u t +。
解：j 1m 11m 1()cos()Re t u t U t U e ωωψ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦j 2m 22m 2()cos()Re t u t U t U e ωωψ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦j 12m m ()()cos()Re t u t u t U t U e ωωψ⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦j j 1m 2m 12()()()Re Re t t u t u t u t U e U e ωω⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦j j 1m 2m m Re ()Re t t U U e U e ωω⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦m 1m 2m U U U =+上述计算也可以根据平行四边形法则在相量图上进行。
相量的加减法只对应同频率正弦量的加减法。
2相量的微分运算 设m ()cos()f t F t ωψ=+ 则[]m m ()sin()cos(90)df t F t F t dtωωψωωψ=-+=++ 而j m ()Re t f t F e ω⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则 j j j m m m ()(Re )Re ()Re j t t t df t d d F e F e F e dt dt dt ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是 ()m df t j F dtω⇔m (j 90)m F F ωωψ=∠+当()(-1)01-1sm (-1)()()()()cos()n n n n s n n d f t d f t df t a a a a f t U t dt dt dtωψ++++=+ 其中，稳态响应p m ()cos()f t F t ωψ=+ p m m ()f t F F ψ⇒=∠()p m ()(j )k k k d f F dt ω⇒Sm S Sm S ()u t U U ψ⇒=∠ (1)Sm 0m 1m 1m m (j )(j )(j )n n n n a F a F a F a F U ωωω--++++=(1)Sm m 011/[(j )(j )j ]n n n n F U a a a a ωωω--=++++8.4 电路定律的相量形式 一、KCL 的相量形式KCL 时域形式∑=mk 1i k =0当线性正弦稳态电路的电流都是同频率的正弦量时，j m m i ()cos()Re t k k k k i t i t I e ωωψ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦因此，在所有时刻，对任一节点的KCL 可表示为j j j j mm ()Re[]Re[()]Re[2()]Re[0]0t t t t ki t Ie I e I e e ωωωω====⨯=∑∑∑∑于是很容易推导出KCL 的相量形式，即m 0 0k k II ==∑∑ KCL 的相量形式其中 。
Im k = I m kikjeψ= I m k /ψik。
I k = I k ik je ψ = I k /ψik为流出该节点的第k 条支路正弦电流i k 对应的相量。
二、 KVL 的相量形式同理，在正弦稳态电路中，沿任一回路，KVL 可表示为∑=mk 1。
Um k = 0∑=mk 1。
U k = 0 KVL 的相量形式式中。
Um k 、。
U k 为回路中第k 条支路的电压相量。
必须强调指出，KCL 、KVL 的相量形式所表示的是相量的代数和恒等于零，并非是有效值的代数和恒等于零。
三、R 、L 、C 的相量模型在正弦稳态电路中，三种基本电路元件R 、L 、C 的电压、电流之间的关系都是同频率正弦电压、电流之间的关系，所涉及的有关运算都可以用相量进行，因此这些关系的时域形式都可以转换为相量形式。
1、 正弦交流电路中的电阻元件在电压和电流的参考方向关联时，电阻R 的伏安关系的时域形式R R ()()u t R i t =⋅当正弦电流i R ＝2I R cos(ωt +ψi )通过电阻R 时，则 R Rm i u ()cos()cos()Rm u t RI t U t ωψωψ=+=+Rm Rm R R U RI U RI=⎫⎬=⎭电压、电流的最大值(有效值)之间符合欧姆定律；u i u i0ψψϕψψ=⎫⎬=-=⎭R u 与Ri 同相令：R R R i RR R R u R i ()()i t I I u t U U RI R I ψψψ⇒=∠⇒=∠=∠= 则在电压和电流关联参考方向下电阻的伏安关系的相量形式为R R U R I = Rm Rm U R I =线性电阻的相量电路、相量图如下。
