基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题含答案

基本不等式及其应用

1．基本不等式

若a>0,，b>0，则a＋b2≥ab，当且仅当 时取“＝”．

这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数．

注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：

(1)各项或各因式均正；（一正）

(2)和或积为定值；（二定）

(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）

2．常用不等式

(1)a2＋b2≥ab2(a，b∈R)．

(2)2abab0,ba

注：不等式a2＋b2≥2ab和2ba≥ab它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.其等价变形：ab≤（2ba）2.

(3)ab≤22ba (a，b∈R)． (4)ba＋ab≥2(a，b同号且不为0)．

(5)22baa2＋b22(a，b∈R).

（6）baabbaba11222220,ba

(7)abc≤a3＋b3＋c33;,,0abc

(8)a＋b＋c3≥3abc；,,0abc

3．利用基本不等式求最大、最小值问题

(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有 ，即a＋b≥ ，a2＋b2≥ .

(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即 ；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即 .

设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )

A.6 B.42 C.22 D.26 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝32时取等号，故选B.

若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )

A.12 B.1 C.2 D.4

解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立.故选A.

小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )

A.a＜v＜ab B.v＝ab

C.ab＜v＜a＋b2 D.v＝a＋b2

解：设甲、乙两地之间的距离为s.

∵a＜b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.

又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b＞a2－a2a＋b＝0，∴v＞a.故选A.

(2014·上海)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________. 解：由xy＝1得x2＋2y2＝x2＋2x2≥22，当且仅当x＝±42时等号成立.故填22.

点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________.

解：由条件知，m＞0，n＞0，m＋n＝1，

所以mn≤m＋n22＝14，

当且仅当m＝n＝12时取等号，

∴log2m＋log2n＝log2mn≤log214＝－2，故填－2.

类型一 利用基本不等式求最值

(1)求函数y＝（x＋5）（x＋2）x＋1(x＞－1)的值域.

解：∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0，且y＝（m＋4）（m＋1）m＝m＋4m＋5≥2m·4m＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故ymin＝9.

又当m→＋∞或m→0时，y→＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).

(2)下列不等式一定成立的是( )

A.lgx2＋14>lgx(x>0) B.sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)

C.x2＋1≥2||x(x∈R) D.1x2＋1>1(x∈R)

解：A中，x2＋14≥x(x＞0)，当x＝12时，x2＋14＝x.

B中，sinx＋1sinx≥2(sinx∈(0，1])；

sinx＋1sinx≤－2(sinx∈[－1，0)).

C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).

D中，1x2＋1∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C.

点拨：

这里(1)是形如f(x)＝ax2＋bx＋cx＋d的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋ex＋d＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值. (2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.

(1)已知t＞0，则函数f(t)＝t2－4t＋1t的最小值为 .

解：∵t＞0，∴f(t)＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥－2，

当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.

(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：

(Ⅰ)xy的最小值；

(Ⅱ)x＋y的最小值.

解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝1，又x＞0，y＞0，

则1＝8x＋2y≥28x·2y＝8xy，得xy≥64，

当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.

(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝8yy－2，∵x＞0，∴y＞2，

则x＋y＝y＋8yy－2＝(y－2)＋16y－2＋10≥18， 当且仅当y－2＝16y－2，即y＝6，x＝12时等号成立.

解法二：由2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝1，

则x＋y＝8x＋2y·(x＋y)＝10＋2xy＋8yx≥10＋22xy·8yx＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立.

类型二 利用基本不等式求有关参数范围

若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有( )

A.2∈M，0∈M B.2?M，0?M

C.2∈M，0?M D.2?M，0∈M

解法一：求出不等式的解集：(1＋k2)x≤k4＋4?x≤k4＋4k2＋1＝(k2＋1)＋5k2＋1－2?x≤（k2＋1）＋5k2＋1－2min＝25－2(当且仅当k2＝5－1时取等号).

解法二(代入法)：将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R.

故选A.

点拨： 一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：

(1)a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min；

(3)a＞f(x)有解?a＞f(x)min； (4)a＜f(x)有解?a＜f(x)max.

已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式

mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围.

解：由条件知m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立.

令t＝ex(x＞0)，则t＞1，且m≤－t－1t2－t＋1＝ －1t－1＋1t－1＋1对任意t＞1成立.

∵t－1＋1t－1＋1≥2（t－1）·1t－1＋1＝3，

∴－1t－1＋1t－1＋1≥－13，

当且仅当t＝2，即x＝ln2时等号成立.

故实数m的取值范围是－∞，－13. 类型三 利用基本不等式解决实际问题

围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).

(1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m，

则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.

由已知xa＝360，得a＝360x，

所以y＝225x＋3602x－360(x≥2).

(2)∵x≥0，∴225x＋3602x≥2225×3602＝10800，

∴y＝225x＋3602x－360≥10440，

当且仅当225x＝3602x，即x＝24时等号成立. 答：当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计).

解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，

根据题意可知：y＝kab，其中k是比例系数且k＞0.

依题意要使y最小，只需ab最大.

由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，

即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0).

∵a＋2b≥22ab，

∴22·ab＋ab≤30，得0＜ab≤32.

当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3.

故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少. 解法二：同解法一得b≤30－aa＋2，代入y＝kab求解.

1.若a＞1，则a＋1a－1的最小值是( )

A.2 B.a C.3 D.2aa－1

解：∵a＞1，∴a＋1a－1＝a－1＋1a－1＋1≥2（a－1）·1a－1＋1＝2＋1＝3，当a＝2时等号成立.故选C.

2.设a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，则下列各式正确的是( )

A.ab＜1＜a2＋b22 B.ab＜1≤a2＋b22 C.1＜ab＜a2＋b22 D.ab≤a2＋b22≤1

解：运用不等式ab≤a＋b22?ab≤1以及(a＋b)2≤2(a2＋b2)?2≤a2＋b2(由于a≠b，所以不能取等号)得，ab＜1＜a2＋b22，故选A.

3.函数f(x)＝5－4x＋x22－x在(－∞，2)上的最小值是( )

A.0 B.1 C.2 D.3

解：当x＜2时，2－x＞0，因此f(x)＝1＋（4－4x＋x2）2－x＝12－x＋(2－