基本不等式及其应用
1．基本不等式
若a>0,，b>0，则
a ＋
b 2
≥ab ，当且仅当 时取“＝”．
这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数．
注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：
(1)各项或各因式均正；（一正）
(2)和或积为定值；（二定）
(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）
2．常用不等式
(1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )．
2
a b
+()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和
2
b
a +≥a
b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2
b a +）2
.
(3)ab ≤2
2⎪⎭
⎫
⎝⎛+b a (a ，b ∈R )．
(4)b a ＋a b
≥2(a ，b 同号且不为0)．
(5)22⎪⎭
⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2＋b 2
2(a ，b ∈R ).
（6）
b
a a
b b a b a 112
2222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc ≤
a 3＋
b 3＋
c 3
3
;(),,0a b c >
(8)
a ＋
b ＋
c 3
≥3
abc ；(),,0a b c >
3．利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有 ，即a ＋b ≥ ，
a 2＋
b 2≥ .
(2)求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即 ；或a 2＋b 2
为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即 .
设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )
A.6
B.42
C.2 2
D.26
解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a
＝b＝3
2
时取等号，故选B.
若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )
A.1
2
B.1
C.2
D.4
解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1
2
.当且仅当a＝1，b＝
1
2
时等号成立.故选A.
小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )
A.a＜v＜ab
B.v＝ab
C.ab＜v＜a＋b
2
D.v＝
a＋b
2
解：设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a＜b，∴v＝
2s
s
a
＋
s
b
＝
2ab
a＋b
＜
2ab
2ab
＝ab.
又v－a＝2ab
a＋b
－a＝
ab－a2
a＋b
＞
a2－a2
a＋b
＝0，∴v＞a.故选A.
(2014·上海)若实数x，y满足xy＝1，则x 2＋2y2的最小值为________.
解：由xy ＝1得x 2
＋2y 2
＝x 2
＋2
x
2≥22，当且仅当x ＝±4
2时等号成立.故填22.
点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值
是________.
解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，
所以mn ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫m ＋n 22＝1
4， 当且仅当m ＝n ＝1
2
时取等号，
∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 21
4
＝－2，故填－2.
类型一 利用基本不等式求最值 (1)求函数y ＝
（x ＋5）（x ＋2）
x ＋1
(x ＞－1)的值域.
解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝
（m ＋4）（m ＋1）
m
＝m ＋4m
＋
5≥2
m ·4
m
＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9. 又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).
(2)下列不等式一定成立的是( )
A.lg ⎝
⎛⎭⎪⎫
x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )
C.x 2＋1≥2||x (x ∈R )
D.
1
x 2＋1
>1(x ∈R ) 解：A 中，x 2＋14≥x (x ＞0)，当x ＝12时，x 2＋1
4
＝x.
B 中，sin x ＋
1
sin x
≥2(sin x ∈(0，1])； sin x ＋
1
sin x
≤－2(sin x ∈[－1，0)). C 中，x 2－2|x |＋1＝(|x |－1)2≥0(x ∈R ).
D 中，
1
x 2＋1
∈(0，1](x ∈R ).故C 一定成立，故选C. 点拨：
这里(1)是形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c
x ＋d 的最值问题，只要分母x ＋d ＞0，都可以将f (x )转化
为f (x )＝a (x ＋d )＋
e x ＋d
＋h (这里ae ＞0；若ae ＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，
再利用基本不等式求其最值.
