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f ′′( x0 ) = 0, 而 f ′′′( x0 ) ≠ 0 , 那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y = f ( x ) 的拐点.
例3 求曲线 y = sin x + cos x ([0,2π ]内) 的拐点. 解 y′ = cos x − sin x , y′′ = − sin x − cos x ,
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 注意 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 2.拐点的求法 2.拐点的求法
( 理2 定 2 如 f (x)在 x0 − δ , x0 + δ )内 在 阶 理 果 存 二 导
( x0 , f ( x0 ))是拐点的必要条件是f "( x0 ) = 0. 数则 , 点
一、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向 问题 如何研究曲线的弯曲方向? 如何研究曲线的弯曲方向
y
C
B
A
o
x
y
y = f (x)
y
y = f (x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
( 定义 设f ( x)在 a, b)内连续, 如果对(a, b)内任意 x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )< , 两点x1, x2 , 恒有 f ( 2 2 ( 那末称 f ( x)在 a, b)内的图形是凹的; 如果对 a, b)内任意两点 x1, x2 , 恒有 ( x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) f( )> , 2 2 ( 那末称 f ( x)在 a, b)内的图形是凸的;
当x < 0时， y′′ < 0,
∴曲线 在(−∞ ,0]为凸的； −∞ 为凸的；
当x > 0时， y′′ > 0,
为凹的； ∴曲线 在[0,+∞ )为凹的；
注意到, 注意到 点( 0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
三、曲线的拐点及其求法
1.定义 1.定义
续 线 凹 的 界 称 曲 的 点 连 曲 上 凸 分 点 为 线 拐 .
3 2
Q D : ( −∞ ,+∞ )
x
f ′′( x )
(−∞ ,0) −∞
+
凹的
0 0
拐点
( 0, 2 ) 3 −
凸的
2
3 0
( 2 ,+∞ ) 3 +
凹的
f ( x)
(0,1)
拐点 ( 2 ,11 ) 3 27
凹凸区间为 ( −∞ ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,+∞ ). 3
方法2: 方法2: 设函数 f ( x ) 在 x 0 的邻域内三阶可导 , 且
∴ 点(0,0)是曲线 y = 3 x的拐点.
四、小结
曲线的弯曲方向——凹凸性 凹凸性; 曲线的弯曲方向 凹凸性 凹凸性的判定. 凹凸性的判定 改变弯曲方向的点——拐点 拐点; 改变弯曲方向的点 拐点 拐点的求法1, 拐点的求法 2.
思考题
内二阶可导， 设 f ( x ) 在( a , b ) 内二阶可导，且 f ′′( x 0 ) = 0 ， 其中 x 0 ∈ (a , b ) ，则( x 0 , f ( x 0 ))是否一定为 的拐点？举例说明. 曲线 f ( x ) 的拐点？举例说明
证 Q f ( x ) 二阶可导, ∴ f ′( x ) 存在且连续 ,
又 Q ( x0 , f ( x0 ) )是拐点,
则 f ′′( x ) = [ f ′( x )]′在x0两边变号 ,
∴ f ′( x )在x0取得极值 ,由可导函数取得极值的 条件,
∴ f ′′( x ) = 0.
方法1: 方法1: 设函数 f ( x )在x0的邻域内二阶可导 , 且f ′′( x0 ) = 0,
练习题
填空题： 一、填空题： 可导， 1 、若函数 y = f ( x ) 在 a, b ） ， （ 可导 则曲线 f ( x ) 在(a, b ) 内取凹的充要条件是____________. 内取凹的充要条件是____________. 曲线上____________的点， ____________的点 2 、曲线上____________的点，称作曲线的拐点 . 的拐点为__________. 3 、曲线 y = ln(1 + x 2 ) 的拐点为__________. 拐点为_______. 4 、曲线 y = ln(1 + x ) 拐点为_______. arctan x 二 、 求曲线 y = e 的拐点及凹凸区间 .
利用函数图形的凹凸性，证明不等式： 三 、 利用函数图形的凹凸性，证明不等式：
e +e ( x ≠ y ). >e 2 x = 2a cot θ 四、求曲线 的拐点 . 2 y = 2a sin θ
x y
x+ y 2
x −1 五、试证明曲线 y = 2 有三个拐点位于同一直线 x +1 上 . 为何值时， (1,3)为曲线 六、问 a 及 b 为何值时，点(1,3)为曲线 y = ax 3 + bx 2 的拐点？ 的拐点？ 的值, 七、试决定 y = k ( x 2 − 3) 2 中 k 的值 , 使曲线的拐点处 的法线通过原点 .
[ 如果f ( x)在 a, b] 内连续,且在(a, b)内的图形是凹 (或凸的 那末称 f ( x)在[a, b]内的图形是凹 或凸的; ) , ( )
二、曲线凹凸的判定
y
y = f (x)
A
B
y
y = f (x)
B
A o
a
b
x
o
a
f ′(x) 递增
y′′ > 0
f ′(x) 递减
b x y′′ < 0
y′′′ = − cos x + sin x . 3π 7π , x2 = . 令 y′′ = 0, 得 x1 = 4 4 7π 3π f ′′′( ) = 2 ≠ 0, f ′′′( ) = − 2 ≠ 0, 4 4
∴ 在[0,2π]内曲线有拐点为
3π 7π ( ,0), ( ,0). 4 4
注意: 注意: 若 f ′′( x 0 ) 不存在, 点 ( x 0 , f ( x0 )) 也可能
思考题解答
因为 f ′′( x 0 ) = 0 只是( x 0 , f ( x 0 )) 为拐点 的必要条件， 必要条件，
不一定是拐点. 故( x 0 , f ( x 0 ))不一定是拐点
例 f ( x) = x4
x ∈ ( −∞ ,+∞ )
f ′′(0) = 0
的拐点. 但( 0,0)并不是曲线 f ( x ) 的拐点
练习题答案
一、1、 f ′( x )在(a , b ) 内递增或 x ∈ (a , b ), f ′′( x ) > 0 ； 2、凹凸部分的分界点； 2、凹凸部分的分界点； 2 4、 − 3、( 2, 2 ), [2,+∞ ), ( −∞ ,2]； 4、(−1, ln 2), (1, ln 2) . e 1 1 1 arctan 2 二、拐点( , e ) ,在(−∞ , ] 内是凹的, −∞ 内是凹的, 2 2 1 内是凸的. 在[ ,+∞ ) 内是凸的. 2 2 3 3 2 3 3 a , a ) 及( − a, a). 四、拐点( 3 2 3 2 1− 3 1+ 3 ), ( 2 + 3 , ). 五、( −1,−1), ( 2 − 3 , 4( 2 − 3) 4( 2 + 3 )
3 9 六、 a = − , b = . 2 2 2 . 七、 k = ± 8
定理1 定理1 如果 f ( x) 在[a, b] 上连续,在(a, b) 内具有
二阶导数 ,若在(a, b) 内 (1) f ′′( x) > 0,则 f ( x) 在[a, b] 上的图形是凹的; (2) f ′′( x) < 0,则 f ( x) 在[a, b] 上的图形是凸的.
例1 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 . 解 Q y′ = 3 x 2 , y′′ = 6x ,
是连续曲线 y = f ( x ) 的拐点.
例4
求曲线 y = 3 x 的拐点.
2 5
1 −3 4 −3 解 当x ≠ 0时, y′ = x , y′′ = − x , 时 3 9 x = 0是不可导点 , y′, y′′均不存在 .
但在( −∞ ,0)内, y′′ > 0, 曲线在( −∞ ,0]上是凹的; 在(0,+∞ )内, y′′ < 0, 曲线在[0,+∞ )上是凸的 .
(1) x0两近旁 f ′′( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点; ( 2) x0两近旁 f ′′( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例2 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及
凹、凸的区间.
解
2 y′′ = 36 x ( x − ). y′ = 12 x − 12 x , 3 2 令y′′ = 0, 得 x1 = 0, x2 = . 3
