30度,45度、60度的三件函数值

第二十一章解直角三角形 21.2 30°、45°、60°角的三角函数值 第1课时 教学目标1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数。

2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 重点：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 难点：30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程 教学过程 一、复习引入还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即01sin 302=，0sin 452=你还能推导出0sin 60的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？二、实践探索让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sin30°、 cos45°、 tan60° 归纳结果三、例题讲解：例1、求下列各式的值：（1）sin30cos60cos30sin 60⨯+⨯；（2）tan 60tan 301sin 45cos 45⨯-+.例2、求适合下列条件的锐角α：10α-=; (2)2cos 112α+=; (3) 3tan α=注意：互余两角的三角函数关系（A 为锐角）：SinA=cos(90°-A)，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；cosA=sin(90°-A)，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.四、随堂练习：1、计算下列各式的值：（1）2tan30sin 45cos60+-； （2）22sin 30cos 30+；（3）1tan 601tan 30-+； （4）tan 45sin 30cos30tan 30++.2、求适合下列条件的锐角α：10α-=; (2) 3tan 0α=; (3) 3α=.五、拓展提高：1、求下列各式的值：（1）02245sin 30sin 245cos 60cos ++ （2）00000000cos60sin 45cos60cos 45cos60sin 45sin 30cos 45+-+-+解 （1）原式=22212222122⨯⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛45212141=++=（2）原式=22321212221222122212221--=-+=+-+-+说明：本题主要考查特殊角的正弦余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值。

§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值结论：(1)sin30°+cos45°； (2)sin 260°+cos 260°-tan45°.[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)三、随堂练习 1.计算：(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；(3) 22sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷13230sin 1+-︒；⑸(2+1)-1+2sin30°-8； ⑹(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1；⑺sin60°+︒-60tan 11； ⑻2-3-(0032+π)0-cos60°-211-.2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)四、课后练习：1、Rt △ABC 中，8,60=︒=∠c A ，则__________,==b a ； 2、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ； 3、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） （A ）600（B ）900（C ）1200（D ）1505、有一个角是︒30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ） （A ）cm 41 （B ）cm 21 （C ）cm 43 （D ）cm 23 6、在ABC ∆中，︒=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）． （A ）3 （B ）33（C ）23 （D ）217、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）1 8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元9、计算：⑴、︒+︒60cos 60sin 22⑵、︒︒-︒30cos 30sin 260sin⑶、︒-︒45cos 30sin 2⑷、3245cos 2-+︒⑸、045cos 360sin 2+ ⑹、 130sin 560cos 30-⑺、︒30sin 22·︒+︒60cos 30tan tan60° ⑻、︒-︒30tan 45sin 2210、请设计一种方案计算tan15°的值。

特殊角度的三角函数值对照表特殊角度三角函数值对照表是数学中的一个工具，它帮助我们快速计算特殊角度的正弦、余弦和正切值。

特殊角度是指能够被简化为一个特定比值的角度，例如30°、45°、60°等。

这些特殊的角度在几何和三角函数的计算中经常出现，所以熟悉它们的三角函数值是很有用的。

在特殊角度三角函数值对照表中，通常包括角度的度数和弧度两种表示方法，以及对应的正弦、余弦和正切值。

下面是一个1200字以上的特殊角度三角函数值对照表。

#角度度数与弧度的对照角度(度) 弧度(rad)0030π/645π/460π/390π/2180π2703π/23602π#三角函数值对照角度(度) 正弦(sin) 余弦(cos) 正切(tan)0010301/2√3/21/√3451/√21/√2160√3/21/2√39010无穷大1800-10270-10无穷大360010对于角度为0度，它的正弦值为0，余弦值为1，正切值为0。

这是因为在单位圆上，角度为0度时，对应的终边在横轴上。

而在特殊角度30度、45度和60度对应的正弦、余弦和正切值是根据三角函数的定义和三角恒等式计算得出的。

例如，当角度为30度时，它的正弦值为1/2，余弦值为√3/2，正切值为1/√3、这是因为在单位圆上，角度为30度时，对应的终边与x轴正向和y轴正向的夹角都是30度，所以正弦值为终边的y坐标除以半径，即1/2；余弦值为终边的x坐标除以半径，即√3/2；正切值为终边的y坐标除以终边的x坐标，即1/√3类似地，当角度为45度时，它的正弦值和余弦值都是1/√2，正切值是1、这是因为在单位圆上，角度为45度时，对应的终边与x轴正向和y轴正向的夹角都是45度，所以正弦值和余弦值都是终边的y坐标和x坐标除以半径的比，即1/√2；正切值是终边的y坐标和终边的x坐标的比，即1同样地，当角度为60度时，它的正弦值为√3/2，余弦值为1/2，正切值为√3、这是因为在单位圆上，角度为60度时，对应的终边与x轴正向和y轴正向的夹角都是60度，所以正弦值为终边的y坐标除以半径，即√3/2；余弦值为终边的x坐标除以半径，即1/2；正切值为终边的y 坐标除以终边的x坐标，即√3当角度为90度时，它的正弦值为1，余弦值为0，正切值不存在。

30, 45, 60, 90度正弦, 余弦, 正切值在数学中，三角函数是非常重要的概念，而正弦、余弦和正切值则是三角函数中的基本内容之一。

它们分别代表着角度的不同变化和对应的数值关系。

今天，我们将深入探讨30、45、60和90度角的正弦、余弦和正切值，以使我们更好地理解这些数学概念。

1.30度让我们来看看30度角的正弦、余弦和正切值。

在三角函数中，30度角是一个相对较小的角度，其正弦、余弦和正切值分别为1/2、√3/2和1/√3。

这些数值表示了30度角的边长比例关系，可以帮助我们在实际问题中求解各种三角形相关的数值。

2.45度接下来，我们来考虑45度角的正弦、余弦和正切值。

在三角函数中，45度角是一个特殊的角度，其正弦、余弦和正切值均为1/√2。

这意味着在45度角的直角三角形中，两条直角边的长度相等时，斜边的长度为其平方根的一半。

3.60度让我们关注60度角的正弦、余弦和正切值。

在三角函数中，60度角是一个相对较大的角度，其正弦、余弦和正切值分别为√3/2、1/2和√3。

这些数值的变化显示了60度角的特性，可以帮助我们更好地理解等边三角形和正六边形等图形的性质。

4.90度我们来看看90度角的正弦、余弦和正切值。

在三角函数中，90度角是一个直角，其正弦、余弦和正切值分别为1、0和不存在。

这意味着在直角三角形中，直角边的长度与斜边的长度之间的关系。

总结通过对30、45、60和90度角的正弦、余弦和正切值的分析，我们可以更深入地理解三角函数中角度和边长之间的关系。

这些数学概念不仅在学校的数学课程中有重要的应用，还在日常生活和工程技术中发挥着重要作用。

个人观点从个人观点来看，三角函数中的正弦、余弦和正切值是非常有趣且实用的数学概念。

它们不仅帮助我们理解三角形的性质，还能够在物理学、工程学和计算机图形学等领域中得到广泛的应用。

我们应该深入学习和理解这些数学概念，以便更好地应用于实际问题的求解和解决。

通过本文的分析和总结，相信读者已经对30、45、60和90度角的正弦、余弦和正切值有了更深入的理解。

三角形特殊角的函数值特殊角是指在三角函数中具有特殊取值的角度，例如30度、45度、60度等。

这些角度在三角函数中有着特殊的函数值，对于解决各类数学问题具有重要的作用。

下面我将以人类的视角，为您描述一些特殊角的函数值和它们的应用。

一、30度角30度角是一个相对较小的角度，它的正弦值、余弦值和正切值都可以用简单的分数表示。

正弦30度等于1/2，余弦30度等于√3/2，而正切30度则等于1/√3。

这些简单的函数值使得30度角在三角函数的计算中十分常见。

例如，在直角三角形中，当一个角为30度时，可以利用正弦函数求解对边与斜边的比值。

当我们已知一个角为30度，且斜边长度为2时，可以通过正弦函数求解对边的长度：sin(30°) = 对边/斜边，即1/2 = 对边/2，解得对边长度为1。

这样，我们就可以利用30度角的函数值，求解三角形中各边的长度。

二、45度角45度角是一个非常特殊的角度，它的正弦值和余弦值相等，均为√2/2。

这个特殊的函数值使得45度角在许多几何问题中十分方便。

例如，在等腰直角三角形中，当两个锐角均为45度时，利用45度角的函数值可以轻松求解等腰直角三角形的各边长度。

根据勾股定理，我们知道等腰直角三角形的两条直角边的长度相等，假设为a，斜边长度为c，则根据余弦函数可得：cos(45°) = a/c，即√2/2 = a/c，解得a = c/√2。

这样，我们就可以利用45度角的函数值，求解等腰直角三角形中各边的长度。

三、60度角60度角是一个较大的角度，它的正弦值、余弦值和正切值也可以用简单的分数表示。

正弦60度等于√3/2，余弦60度等于1/2，而正切60度则等于√3。

这些简单的函数值使得60度角在三角函数的计算中也十分常见。

例如，在等边三角形中，每个内角都为60度。

根据正弦函数，我们可以求解等边三角形的边长。

假设等边三角形的边长为a，则sin(60°) = (边长的一半)/边长，即√3/2 = a/2a，解得 a = √3。

§1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 教学目标 （一）知识与技能 1．经历探索 30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能 够实行相关的推理，进一步体会三角函数的意义． 2．能够实行 30°、45°、60°角的三角函数值的计算． 3．能够根据 30°、45°、60°的三角函数值说明相对应的 锐角的大小． 1．经历探索 30°、45°、60°角的三角函数值的过程，培 养学生观察、分析、发现的水平． 2．培养学生把实际问题转化为数学问题的水平． （三）情感与价值观 1．积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生独立 思考问题的习惯． 2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志， 建立自信心． 教学重点 1．探索 30°、45°、60°角的三角函数值． 2．能够实行含 30°、45°、60°角的三角函数值的计算． 3．比较锐角三角函数值的大小． 教学难点进一步体会三角函数的意义． 教学方法 自主探索法 教学过程 一．创设问题情境，引入新课 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：① 含 30°和 60°两个锐角的三角尺；②皮尺．请你设计一个测量 方案，能测出一棵大树的高度． [生]我们组设计的方案如下：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置 B 处，使这位同 学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢 C 点，30°的 邻边和水平方向平行，用卷尺测出 AB 的长度，BE 的长度，因为 DE＝AB，所以只需在 Rt△CDA 中求出 CD 的长度即可．[生]在 Rt△ACD 中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE 是已知的， 设 BE＝a 米，则 AD＝a 米，如何求 CD 呢？[生]含 30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的 角所对的边等于斜边的一半，即 AC＝2CD，根据勾股定理，(2CD)2 ＝CD2＋a2，CD＝ 3 a．3则树的高度即可求出． [师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确 定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出 30° 的正切值，在上图中，tan30°＝ CD CD ，则 CD＝atan30°，岂AD a不简单． 你能求出 30°角的三个三角函数值吗？ 二．讲授新课 1．探索 30°、45°、60°角的三角函数值． [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？ [生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是 30°、60°、45°、45°． [师]sin30°等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流． [生]sin30°＝ 1 ．sin30°表示在直角三角形中，30°角的对2边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关．我们不妨设 30°角 所对的边为 a(如图所示)，根据“直角三角形中 30°角所对的边 等于斜边的一半”的性质，则斜边等于 2a．根据勾股定理，可知 30°角的邻边为 3 a，所以 sin30°＝ a 1 ．2a 2[师]cos30°等于多少？tan30°呢？[生]cos30°＝ 3a 3 ．2a 2tan30°＝ a 1 3 ．3a 3 3[师]我们求出了 30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角— —45°、60°，它们的三角函数值分别是多少？你是如何得到的？[生]求 60°的三角函数值能够利用求 30°角三角函数值的三 角形．因为 30°角的对边和邻边分别是 60°角的邻边和对边．利 用上图，很容易求得sin60°＝ 3a 3 ，2a 2cos60°＝ a 1 ，2a 2tan60°＝ 3a 3 ．a[生]也能够利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于 它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦．可知sin60°＝cos(90°－60°)＝cos30°＝ 3 ，2cos60°＝sin(90°－60°)＝sin30°＝ 1 ．2[师生共析]我们一同来求 45°角的三角函数值．含 45°角的直角三角形是等腰直角三角形．(如图)设其中一条直角边为 a，则 另一条直角边也为 a，斜边为 2 a．由此可求得sin45°＝ a 1 2 ，2a 2 2cos45°＝ a 1 2 ，2a 2 2tan45°＝ a ＝1．a[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)30°、45°、60°角的三角函数值三角函数角sctinosanααα130°2245°21360°2这个表格中的 30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另 一方面，要能够根据 30°、45°、60°角的三角函数值，说出相 应的锐角的大小．为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点．先看第 一列 30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢？[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为 2，分子从小到大 分别为 1， 2 ， 3 随着角度的增大，正弦值在逐渐增大．[师]再来看第二列函数值，有何特点呢？ [生]第二列是 30°、45°、60°角的余弦值，它们的分母也 都是 2，而分子从大到小分别为 3 ， 2 ，1，余弦值随角度的增 大而减小． [师]第三列呢？ [生]第三列是 30°、45°、60°角的正切值，首先 45°角是 等腰直角三角形中的一个锐角，所以 tan45°＝1 比较特殊． [师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了．下面同桌之 间可互相检查一下对 30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情 况．相信同学们一定做得很棒． 2．例题讲解(多媒体演示) [例 1]计算： (1)sin30°＋cos45°； (2)sin260°＋cos260°－tan45°．分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值， 另外 sin260°表示(sin60°)2，cos260°表示(cos60°)2．解：(1)sin30°＋cos45°＝ 1 2 1 2 ；222(2)sin260°＋cos260°－tan45°＝( 3 )2＋( 1 )2－122＝ 3 1 －144＝0．[例 2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为 60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差．(结果精确到0.01m) 分析：引导学生根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 解：根据题意(如图)可知，∠BOD＝60°，OB＝OA＝OD＝2.5m，∠AOD＝ 1 ×60°＝30°，∴OC＝OD·cos30°＝2.5× 322≈2.165(m)．∴AC＝2.5－2.165≈0.34(m)． 所以，最高位置与最低位置的高度约为 0.34m． 三．随堂练习多媒体演示 1．计算： (1)sin60°－tan45°； (2)cos60°＋tan60°；(3) 2 sin45°＋sin60°－2cos45°．2解：(1)原式＝ 3 －1＝ 3 2 ；22(2)原式＝ 1 3 1 2 3 ；22(3)原式＝ 2 2 3 2 2 ；22 22＝1 3 2 2 ．22．某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 30°，高为 7m，扶梯的长度是多少？ 解：扶梯的长度为 7 7 ＝14(m)，sin 30 1 2所以扶梯的长度为 14m． 四．课堂小结 本节课总结如下：(1)探索 30°、45°、60°角的三角函数值．sin30°＝ 1 ，sin45°＝ 2 ，sin60°＝ 3 ；222cos30°＝ 3 ，cos45°＝ 2 ，cos60°＝ 1 ；222tan30°＝ 3 ，tan45°＝1，tan60°＝ 3 ．3(2)能进行含 30°、45°、60°角的三角函数值的计算． (3)能根据 30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角 的大小．五．课后作业 习题 1．3 第 1、2 题 课后反思。