图乘法计算结构位移的应用剖析 ---张俊友

第29卷 第1期2008年3月内蒙古农业大学学报Journa l o f Inne r M ongo li a A gr icultural U niversityV o.l29 N o.1M ar.2008图乘法计算结构位移的应用剖析*张俊友1, 李晓飞1, 温艳霞2, 郭 炜3(1. 内蒙古农业大学职业技术学院,呼和浩特 014109;2. 包头市土默特右旗职业技术教育中心,包头 014110;3. 内蒙古农业大学审计处,呼和浩特 010018)摘要: 根据多年的力学教学实践总结,图乘法是结构力学课程里的重点和难点内容,是由静定结构进一步学习超静定结构的核心精华所在,本文就图乘法在计算结构位移的应用方面作了较为细致的概括和总结,多角度、全方位的进行了深入探讨。

关键词: 图乘法; 应用; 计算中图分类号: TU311 文献标识码: A 文章编号:1009-3575(2008)01-0220-04T HE APPL ICAT ION AND ANALYSIS OF CALCULAT ING STRUCTURE S H IFTBY MEANS OF GRAP H MULT IPLICAT ION METHODZHANG Jun-you1, L I X iao-Fe i2, W E N Yan-x ia3, GUO w e i4(1.2. Vocational and technical co llege of Inner M ongoli a Agr icultural uni ver sity,Bao tou014109,China;3. Tu M oT ouYou C ount y vocational and technical education centre of Bao tou C it y,Baotou014109,China;4. D e part m ent responsible for aud iti ng of Inner M ongolia Agr ic u ltural un i ver sit y,H uhho t010018,Chi na)Abstrac:t Based on m y seve ra l yea rs teach i ng exper i ence,it w as seen tha tG raph M ulti p licati on M ethod is an i m portan t and diffi cult content i n S tructure M echan i cs.It i s the co re and m ost i m portant part w hich need to be wo rked on when the study i s promo ti ng from quiescent-fi x ed structure to super quiescen t-fi x ed structure.In t h is paper,t he appli cation o f g raph m ulti p licati on m ethod in ca l cula-t i ng struct ure sh ift is summ arized care f u lly and i s thorough l y d i scussed on m any d i m ensi ons and directi ons.Key words: G raph mu lti plica ti on m ethod; app licati on; ca lcu l a te在结构位移计算中,由虚功原理可确定计算位移的一般公式为: p= N d u+ M d + Q d s- R c i,而当结构在荷载作用下的位移计算公式就可以变为 p= NN p E S d s+ MM p E I d s+ k QQ P GA d s。

这样就已使计算位移方便而明确了,但仍不可避免地必须运用积分的方法才能求解,当实际问题具体到梁、刚架等构件的位移计算时,计算公式进一步简化为: p= MM p E I d s。

略去了剪力、轴力两项位移量,这样做是符合计算精度要求的,当刚架或梁实际构件满足条件:(1)构件轴线为直线;(2)E I沿杆长为常数;(3) M图和M P图中至少有一个为直线图形。

公式 p= MM p EI d s就可以用 p= Ay cE I即构件中某点的位移就可以用整个结构的所有直杆段的弯矩图形的面积与该弯矩图形面积的形心处对应的另一个直线弯矩图形的纵坐标值相乘后除以各段对应的抗弯刚度而求得,这样一来,使得位移计算由积分运算降级为乘法运算,极大地方便了计算并减少了工作量,这就是结构位移计算常用的所谓图乘法 1,2 。

1 应用条件剖析条件(1)杆件轴线为直线。

使ds=dx即沿杆件轴线的微分也就是沿坐标x轴的微分。

因而公式 p =MM pE Ids可改变为p=MM pE Idx=ME Id AM,*收稿日期: 2007-10-21作者简介: 张俊友(1972 ),男,讲师,硕士,主要从事结构动态特性的研究.可得出曲线弯矩图形对y 轴的静矩,当然用静矩公式求解也就成为顺理成章的事了。

条件(2)E I 为常数。

这一点是最容易看得明白的,常数当然可以提到积分号外面去,简化了积分表达式,同样也简化了计算。

条件(3)两弯矩图形中至少有1个为直线图形,推导图乘法公式时应用 M =xtan ,当然所选取的杆件段 M 图为直线图形。

经过剖析可知,上述3个条件缺一不可,它们是图乘法应用的充分必要条件。

2 弯矩图形应用剖析1,3,4首先说明一点,由以上应用条件剖析可知,弯矩图形进行图乘时,必须是围绕上述3个条件进行的。

2.1 当M P 图形为标准曲线图形, M 图形为直线图形时,直接图乘即可;2.2 当M P 图与 M 图均为直线图形时,计算时M P 与 M 可互换角度计算。

即取面积和取竖标可随便进行,不局限必须取M P 图形面积,取 M 图形的竖标。

2.3 当M P 图形为复杂图形时,必须运用叠加法将复杂图形拆分开来,依次与 M 图形进行图乘,当然一定要注意正负符号的选取。

2.4 当 M 图形为折线图形时,一定要在折线图形的转折点处将 M 图形分块,因为直线的tan 不同了,所以图乘法不适用了。

3 复杂图形分解剖析任何复杂图形都可分解成几个简单图形进行图乘。

如图1所示M P 弯矩图可分解成梯形(图2)和标准抛物线(图3),梯形(图2)又可以分解成三角形(图4),所以,这个复杂图形最终分解为三角形图形和标准抛物线图形的叠加。

由此可知,三角形和标准抛物线图形是图乘法中应用最为简单的基本图形,也是任何复杂弯矩图图形分解的基本图形元素 3 。

如何判断标准抛物线图形。

所谓标准抛物线指的是抛物线顶点切线一定平行于杆轴线。

设某一弯矩图形为一抛物线,若在该抛物线顶点所对应截面上的剪力等于零的话,则该抛物线顶点的切线一定平行杆轴线,换句话说,该抛物线一定是标准抛物线图形,如图5所示均布荷载q 作用下弯矩图为标准抛物线,因A 点剪力等于零。

图6所示均布荷载q 和集中力P 作用下弯矩图不是标准抛物线,因A 点剪力不等于零 5-8。

221第1期 张俊友等: 图乘法计算结构位移的应用剖析4 典型例题剖析如上述图6所示计算悬臂梁跨中C点、自由端A点竖向位移。

计算悬臂梁跨中C点竖向位移,须作出荷载作用下的弯矩图M P图和单位荷载在C点沿竖向作用的 M1图,则此两个弯矩图进行图乘计算即可。

由于 M1图中AC段弯矩为零,因而AC段就不用再计算了,但BC段的M P图是复杂图形,可分解为梯形图8和标准抛物线图9,图8和图 M1图进行图乘时,因为图8和图 M1图都是直线型图形,所以取面积时可任意选取其中一个,而图8的形心没有图 M1图的形心容易确定。

所以采用 M1图取面积,图8取竖标要方便些。

当然,图9与图 M1图乘时,图9取面积 M1图计算竖标。

最后,再注意几个计算表达式的正负号选取就行了。

这里还要说明的就是千万注意M P图(即图7)的正确分解,这是本题的关键所在 8,9 。

接下来再来看看自由端A点竖向位移的图乘计算,是荷载作用下的弯矩图M P图和单位荷载在A 点沿竖向作用的 M2图进行图乘,这时的M P图是整个梁的M P图,首先指出M P图不是标准抛物线图形,可千万不可单从形状上误认为是标准抛物线图,因为其梁端A点处的剪力不是零,即看似抛物线顶点处的A点处曲线的切线不是水平的。

这个问题同样是本题的关键,接下来顺理成章的将M P图分解为图10三角形图形和图11标准抛物线图形,将图10和图11分别与 M2图进行图乘后再叠加就求得了自由端A点竖向位移了。

5 几个注意的问题5.1 当两个图形在杆件同侧时,乘积为正,否则为负。

5.2 若杆件中各段的E I不相等,应按照E I分成几部分,分别计算后叠加。

5.3 采用计算抛物线面积和形心位置的公式时,必须正确找出抛物线的顶点。

5.4 如果图形的形心不易确定,可将其分解为几个易确定形心的简单图形,分项计算后进行叠加。

参 考 文 献:[1] 包世华.结构力学(上册)(第二版) M .武汉:武汉理工大学出版社,2003.[2] 关群.结构力学学习辅导 M .合肥:中国科学技术大学出版社,2000.[3] 阮澍铭,于玲玲.结构力学概念题解 M .北京:中国建材工业出版社,2004.[4] 龙驭球,包世华.结构力学( 、 ) M .北京:高等教育出版社,2000.[5] 王军红.用图乘法计算结构位移时常见问题 J .湖南工业职业技术学院学报,2006,1.[6] 王琳鸽.丁凌凌.图乘法疑点探讨 J .平顶山工学院学报,2005,5.[7] 肖芹芳.浅析图乘法 J .武汉工程职业技术学院学报,2001,3.[8] 王小蔚.关于图乘法公式的探讨 J .萍乡高等专科学校学报,2001,4.[9] 梁昌俊.一题多解与力学素质的培养 J .重庆工学院学报,2005,11.222内蒙古农业大学学报 2008年。