第3章量纲分析

量纲分析法量纲分析法是科学研究和工程实践中一种常用的方法，用于简化和分析复杂的物理方程。

通过引入合适的量纲和无量纲量，可以减少物理方程的数量和复杂性，从而更容易理解和应用。

量纲是衡量物理量的属性，可以理解为物理量的尺度或单位。

常见的量纲有长度、质量、时间、温度等。

在科学领域，量纲的统一是一项基本原则，它要求所有参与物理方程运算的物理量必须具有相同的量纲。

例如，在牛顿定律中，质量的量纲是质量，加速度的量纲是长度除以时间的平方，力的量纲是质量乘以加速度。

无量纲量是指除去量纲后的物理量。

通过合适的变量代换和无量纲化操作，可以将含有多个物理量的复杂方程转化为只涉及少数几个无量纲量的简化形式。

这样做的好处是降低了方程的复杂性，使得我们可以更清晰地理解和研究方程的行为。

量纲分析法的基本思想是通过量纲的统一和无量纲化的技巧，将物理方程从具体的数值问题转化为一般的函数关系问题。

这样一来，可以用较少的实验和计算来研究和验证一类问题的特性，从而节省时间和资源。

量纲分析法在研究新领域的物理学问题、模拟和优化工程设计等方面发挥了重要作用。

量纲分析法的步骤通常包括以下几个方面：第一步是选择物理量，并通过其量纲建立物理方程。

在建立方程时，需要确保所选物理量之间的关系是正确的，并符合基本的物理定律。

第二步是确定主要影响因素，即哪些物理量对方程起主导作用。

对于复杂的问题，这一步可能会需要经验和专业知识的支持。

第三步是进行量纲分析，即将方程中的各个物理量转化为无量纲形式。

这一步需要根据物理量的量纲关系进行变量代换和无量纲化运算。

第四步是根据无量纲方程进行简化和分析。

通过缩小问题的数量级和去除复杂的单位，我们可以更容易地理解方程，并得到问题的一般解。

第五步是进行数值模拟和实验验证。

通过选择合适的数值和实验条件，我们可以验证和应用无量纲方程，并得到具体问题的解。

总的来说，量纲分析法是一种简化和分析物理方程的有效方法。

通过量纲的统一和无量纲化的技巧，我们可以将复杂的问题转化为一般的函数关系问题，从而更容易理解和应用。

第一节量纲分析方法1.1量纲当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。

概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。

它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。

在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J 速度v = ds/dt 量纲： = 加速度a = dv/dt 量纲： 力F = ma 量纲： 压强P = F/S 量纲：实际中，也有些量是无量纲的，比如等，此时记为。

有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。

模型所描述的规律应该独立于量纲的影响。

机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响，因此机理模型需要无量纲化。

使用无量纲量来描述客观规律。

在量纲表达式中,其基本量量纲的全部指数均为零的量，即无量纲量，也称纯数。

1.无量纲量具有数值的特性，它可以通过两个量纲相同的物理量相除得到，也可由几个量纲不同的物理量通过乘除组合得到。

2.无量纲量具有这样一些特点：①无量纲数既无量纲又无单位，因此其数值大小与所选单位无关。

即无论选择什么单位制计算，其结果总是相同的。

当然，同一问题必须用同一单位制进行计算。

②对数、指数、三角函数等超越函数的运算往往都是对无量纲量来讲的。

③一个力学方程，如果用无量纲数表示的话，它的应用就可以不受单位制的限制。

要正确反映一个物理现象所代表之客观规律，当用数学公式描述已物理量时，等号两端就必须保持量纲的一致性和单位的一致性，即其所遵循的物理方程式各项的量纲必须一致，可以用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。

量纲分析就是基于量纲一致的原则来分析物理量之间关系的一种方法。

量纲分析量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。

为了能够应用数学来描述物理对象，我们需要对其定量化。

物理对象的定量化需要有单位和数值，单位是作为度量标准的某个物理量。

被测物理量的数值大小不仅取决于其本身，而且取决于所选用的单位。

例如为了描述一块地的范围，需要确定其面积的单位和数值的大小。

我们可以说这是块大小为1平方公里的地，也可以说这是块大小为1000000平方米的地。

离开了单位，仅根据数值我们无法判断一块地的大小。

单位的选取往往带有任意性，比如说度量长短可以选用米为单位，也可以选用厘米、分米、公里甚至光年为单位。

然而这些单位都是用来度量同一个物理量—长度的，它们之间可以相互换算，具有某种统一性。

我们把这种统一性称为量纲。

单位：物理量的大小；量刚：物理单位的种类。

m 、cm、mm 长度类用L表示分、小时、秒时间类用T表示公斤、克质量用M表示一般来说，测量同一个物理量可以有不同的单位，但是它的量纲是唯一的。

例如，测量长度可以用厘米、分米、公里甚至光年为单位，量刚只能用L来表示。

通常用［量］来表示物理量的量纲，不同的物理量往往有不同的量纲：长度的量纲记为L，时间的量纲记为T，质量的量纲记为M，无单位的物理量的量纲记为1。

一个具体的物理对象往往要有许多不同的物理量来描述其不同的特性，我们可以把其中的一些看成是基本量，其他的是导出量。

基本量的量纲称为基本量纲，互不依赖，互相独立的，不能从其他量纲推导出来量纲。

在国际单位制中有7个基本量纲：质量[M]、长度[L]、时间[T] 、电流[I]、热力学温度[Θ]、物质的量[N]、发光强度[J]其他量的量纲可以由基本量纲导出。

导出量纲：可用基本量纲推导出来的量纲例如，我们取基本的量纲为L、T和M，那么面积的量纲为L2，速度的量纲为LT1，加速度的量纲为LT2。

第三节 量纲分析法量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。

3.1 量纲齐次原则与Pi 定理许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。

例如在动力学中，把长度l , 质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记为[][][]T t M m L l ===,,; 而速度f v ，力的量纲可表示为[][]21,--==MLT f LT v .在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L 、M 、T 、I 、Θ、J 、和N ；称为基本量纲。

任一个物理量q 的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，[]ηξεδγβαJ N I T M L q Θ=量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。

量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。

例3—1： 单摆运动，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期t 的表达式。

解：在这个问题中有关的物理量有g l m t ,,,设它们之间有关系式3211αααλg l m t =---------------（3.1）其中32,,ααα为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（3．1）式的量纲表达式有[][][][]321αααg l m t = 整理得：33212αααα-+=T LM T --------------（3.2）由量纲齐次原则应有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=12003321αααα ---------------（3.3）解得：,21,21,0321-===ααα 代入（3．1）得 glt λ= -------（3.4）（3.4）式与单摆的周期公式是一致的下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理，定理：设n 个物理量n x x x ,,,21 之间存在一个函数关系()0,,,21=n x x x f --------------（3.5）[][]m x x 1为基本量纲，n m ≤。

量纲分析摘要物理问题的分析与研究过程，即为准确地认识与度量该物理问题涉及的物理量，寻找并建立这些物理量之间的内在联系和定量的函数关系；从某种意义上讲，对物理量或物理规律的认识最关键的一步就是对物理量或物理量之间的内在联系进行定量的描述。

无论物理问题形式如何，其必须满足量纲一致性法则，即只有量纲相同的物理量或物理量组合才能进行对比或加减运算，因此对于任何一个物理问题或规律，其函数关系中等式两端的量纲应该完全一致；也就是说，姑且不论等式两端数值是否相等，但其量纲必定相同。

换一个角度看，我们即使不知道函数中物理量的具体数值，纯粹从量纲上进行运算和转换也可对该物理问题或规律进行初步分析；反之，我们也可以根据量纲的一致性对所给出的函数关系的正确性进行预判。

这种多个物理量量纲之间的运算包含基础衍生量纲的展开、导出独立量纲向基本量纲的转换及其基本量纲之间的运算，这种分析过程即为量纲分析。

当前物理问题涉及的量纲有很多，如不考虑无量纲物理量，物理量量纲整体可以分为三类：基本量纲(7个)、导出独立量纲(20个)和衍生量纲。

衍生量纲与基本量纲之间的联系是通过衍生量纲对应的物理量定义来建立的，如加速度量纲展开为长度量纲与时间量纲的平方之商，就利用到加速度的定义；导出独立量纲与基本量纲之间的联系则是通过应用某个物理定律来建立的，如力的量纲转换为质量量纲与加速度量纲的乘积，就应用了牛顿运动定律。

因此，量纲分析的过程也是一系列物理量定义与定律的使用及运算过程，从某种程度上讲，这是量纲分析的一个物理本质。

当前，度量单位特别是国际标准度量单位的出现，极大程度地促进了科技交流和发展，但有时也使得物理规律分析更为复杂，因为这相当于在复杂的物理问题中引入了外部基准量；对于特定物理问题而言，如果我们不采用这些基准量，而直接采用物理问题所包含的某个物理量或某几个物理量组合为度量单位，则可在一定程度上简化物理问题的分析过程。

因此，量纲分析也是排除外部基准度量单位而利用物理问题或规律涉及的物理量或物理量的组合为度量单位的一个过程，这是量纲分析的另一个物理本质。

量纲分析量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。

为了能够应用数学来描述物理对象，我们需要对其定量化。

物理对象的定量化需要有单位和数值，单位是作为度量标准的某个物理量。

被测物理量的数值大小不仅取决于其本身，而且取决于所选用的单位。

例如为了描述一块地的范围，需要确定其面积的单位和数值的大小。

我们可以说这是块大小为1平方公里的地，也可以说这是块大小为1000000平方米的地。

离开了单位，仅根据数值我们无法判断一块地的大小。

单位的选取往往带有任意性，比如说度量长短可以选用米为单位，也可以选用厘米、分米、公里甚至光年为单位。

然而这些单位都是用来度量同一个物理量—长度的，它们之间可以相互换算，具有某种统一性。

我们把这种统一性称为量纲。

单位：物理量的大小；量刚：物理单位的种类。

m 、cm、mm 长度类用L表示分、小时、秒时间类用T表示公斤、克质量用M表示一般来说，测量同一个物理量可以有不同的单位，但是它的量纲是唯一的。

例如，测量长度可以用厘米、分米、公里甚至光年为单位，量刚只能用L来表示。

通常用［量］来表示物理量的量纲，不同的物理量往往有不同的量纲：长度的量纲记为L，时间的量纲记为T，质量的量纲记为M，无单位的物理量的量纲记为1。

一个具体的物理对象往往要有许多不同的物理量来描述其不同的特性，我们可以把其中的一些看成是基本量，其他的是导出量。

基本量的量纲称为基本量纲，互不依赖，互相独立的，不能从其他量纲推导出来量纲。

在国际单位制中有7个基本量纲：质量[M]、长度[L]、时间[T] 、电流[I]、热力学温度[Θ]、物质的量[N]、发光强度[J]其他量的量纲可以由基本量纲导出。

导出量纲：可用基本量纲推导出来的量纲例如，我们取基本的量纲为L、T和M，那么面积的量纲为L2，速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为LT-2。