20182019学年高中数学第一章三角函数章末复习课学案北师大版必修4

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5.2 正弦函数的性质学习目标1。

理解、掌握正弦函数的性质。

2。

会求简单函数的定义域、值域.3.能利用单调性比较三角函数值的大小.知识点正弦函数的性质思考1 对于x∈R，sin(－x）＝－sin x，这说明正弦函数具有怎样的性质？答案奇偶性。

思考2 正弦函数取得最大值、最小值时x的值是什么？答案对于正弦函数y＝sin x，x∈R有：当且仅当x＝π2＋2kπ，k∈Z时,取得最大值1；当且仅当x＝－π2＋2kπ，k∈Z时,取得最小值－1.思考3 正弦函数的单调区间是什么？答案y＝sin x的递增区间为错误!，k∈Z，递减区间为错误!,k∈Z.梳理函数正弦函数y＝sin x，x∈R图像定义域R值域［－1,1]最值当x＝错误!＋2kπ(k∈Z)时,ymax＝1；当x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，y min＝－1周期性是周期函数，周期为2kπ（k∈Z，k≠0），2π是它的最小正周期奇偶性奇函数，图像关于原点对称单调性在区间错误!（k∈Z）上是增加的；在区间错误!(k∈Z）上是减少的对称轴x＝错误!＋kπ，k∈Z对称中心(kπ，0）,k∈Z1.正弦函数在定义域上是单调函数.( ×）提示正弦函数不是定义域上的单调函数.2.已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1。

§7 正切函数［学习目标］1.理解任意角的正切函数的定义2 能画出y=tan x x€ R, x工亍+ k n , k € Z 的图像.3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间i —y , -2内的单调性.4.正切函数诱导公式的推导及应用.预习新知劳实基础问题导学知识点一正切函数的定义思考1设角a的终边与单位圆交于点P(a, b)，那么b何时有意义？a答案当a^0时，b有意义.a思考2正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？“宀sin a f n 、答案tan a = a € R, a 工石+ k n , k€ Z .COS a k 2 J梳理(1)任意角的正切函数n .如果角a满足：a € R, a — + k n (k € Z)，那么，角a的终边与单位圆交于点P( a, b),b n唯一确定比值=,我们把它叫作角a的正切函数，记作y = tan a ,其中a € R, a工=+ k n ,a 2(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系sin a根据疋乂知 tan a= COS =T (a € R(3)正切值在各象限的符号根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时」 值为负• 知识点二 正切线思考 正切线是过单位圆上哪一点作出的？ 答案过单位圆与x 轴的非负半轴的交点 A (1 , 0).梳理 如图所示，线段 AT 为角a 的正切线.知识点三正切函数的图像与性质 思考1正切函数的定义域是什么？r 'n答案 c x x € R, X M"2"+ k n , k € Z :思考2能否说正切函数在整个定义域内是增函数? 答案不能•n n I k n —, k n +~2 (k € Z)上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数 梳理解析式y = tan X(na 丰—--F k n , k € Z).知识点四正切函数的诱导公式n思考前面我们学习过n ± a，—a , ~2 ± a , 2 n± a等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀•对正切函数能适用吗？答案因为tan a = Sin a € R, a 工k n , k € Z ,cos a k 2 丿所以口诀对正切函数依然适用•梳理题型探究类型一正切函数的概念 例1 若角0的终边经过点4 口 3 nt A — 5, m ，且 tan 0 = 4，贝m=考点 正切函数的定义题点 已知正切值求参数答案 3—5解析 由正切函数的定义得，m 33 —,解得m=•4 4 5—5反思与感悟 (1)解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即 tan a = ba(2)已知角终边上的一点 Ma , b )( a *0)，求该角的正切函数值，或者已知角 a 的正切值，求角a 终边上一点的坐标， 都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置•跟踪训练1已知点P ( — 2a , 3a )( a *0)是角0终边上的一点，求tan 0的值考点 正切函数的定义题点由定义求正切值,3a3解 由于 a *0,…tan 0 ——2a2类型二 正切函数的图像及性质例2 画出函数y — |tan x |的图像, 并根据图像判断其单调区间、奇偶性、 周期性 考点 正切函数的图像及性质题点 正切函数的图像及性质综合解 由 y — |tan x |，得tan x , k nw x <k n+~^ k € Z ,y =n—tan x , - — + k n <x <k n k € Z ,其图像如图所示肿/M .启迪思维探究垂点_0 ；卫F ：加X2i ：幺H Ii q 律1 2 1 1由图像可知，函数y= |tan x|是偶函数，递增区间为［k n , k n + -2 ( k € Z)，递减区间为1一-2 + k n , k n (k€ Z)，周期为n .反思与感悟(1)作出函数y=|f(x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：①保留函数y = f(x)图像在x轴上方的部分；②将函数y= f (x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可跟踪训练2 将本例中的函数y =|tan x|改为y = tan| x|，回答同样的问题，结果怎样？考点正切函数的图像及性质题点正切函数的图像及性质综合tan x(x i解由于y= tan| x| = ctan ( —x jx<0)其图像如下：由图像可知，函数y=tan| x|是偶函数，I n i n n递增区间为0, 2 , n —2，k n+~2j(k为正整数)，递减区间为i k n —2，k n +专(k为负整数)和一专,0 ,不是周期函数.类型三正切函数诱导公式的应用例3求下列各式的值.(1)7cos 270 ° + 3sin 270 ° + tan 765 ° ;tan 225 °+ tan 750 ° ⑵ tan( —30° 一tan ( —45° j考点正切函数的诱导公式题点利用诱导公式求值解⑴原式=7cos(180 ° + 90° ) + 3sin(180 ° + 90° ) + tan(2 X 360°+ 45°)=—7cos 90 °—3sin 90 ° + tan 45 ° = 0—3X 1+ 1 = —2.tan ( 180°+ 45°” tan (2X 360°+ 30°)tan 45 ° + tan 30—tan 30 ° + tan 45 °tan 45 ° — tan 30(1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键 • (2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角 函数值•亠亠 cos 190 ° • sin f — 210° \ 跟踪训练3 •cos ( — 350 )• tan (— 585 ) 考点同名诱导公式的综合应用题点同名诱导公式的综合应用 解 原式=cos (180°+ 10°)• [ — si n (180+ 30°)八 cos — 360°+ 10°• [ — tan 360°+ 225° ]—cos 10 ° • sin 30 °— sin 30 °1=cos 10 °・[—tan (180°+ 45°[ =— tan 45 ° =2.达标检测答案2. 函数 f (x ) = tan x + 亍 I1 +捋 1二=2 +3(2)原式=,3. 反思与感悟 检测评价达标过关1.函数 y = tan2x + -6的最小正周期是(A. n nB.2 nC. 一D.考点正切函数的周期性 题点 求正切函数的周期 解析n n最小正周期为T =両=亍(n n ik n ——, k n +~2 , k€ ZC3n , n)C.i k n —〒,k n +"4 , k € Z 考点正切函数的单调性题点求正切函数的单调区间答案C B.( k n , (k+ 1) n ) , k€ Z D. k n —-4, k n + 乎,k€ ZA. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数 考点 正切函数的周期性、对称性 题点正切函数的奇偶性 答案 A解析 函数的定义域是j xx 工1k n , k € Z 鳥 □i i C1且 tan( — x ) +=— tan x —=— j tan x +tan — xtan xtan x '所以函数y = tan x +是奇函数.tan x5.将tan 1 , tan 2 , tan 3按大小排列为 .(用" <”连接)考点正切函数的单调性 题点正切函数单调性的应用答案 tan 2<ta n 3<ta n 1解析 tan 2 = tan(2 — n ) , tan 3 = tan(3 — n ),••• tan(2 — n )<tan(3 — n )<tan 1 ,詐--n <3— n <1<—,x 在—2,专上是增加的,A. y = tan x xc.y =tan2考点正切函数的性质 题点正切函数性质的综合 答案 c D.y =— tan x且 y = tan4.函数 y = tan3.在下列函数中同时满足：①在 2n 为周期；③是奇函数的是B.y = cos x即tan 2<tan 3<tan 1.r-规律与育法 ---- -------------- 1. 正切函数的图像正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 X = k n+卡,k € Z ,相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且是增加的. 2.正切函数的性质(1)正切函数y = tan x 的定义域是jx x 丰k n +今,k € Z r ，值域是 R.⑵ 正切函数y = tan x 的最小正周期是n ，函数y = A tan( w x +)( A , w 丰0)的周期为T =nrwr.( n n(3)正切函数在 一2 + k n , "2 + k n ( k € Z)上是增加的，不能写成闭区间，正切函数无递减 区间•课时对点练、选择题1.函数y = tan i x +专,x € R 且x 丰^n + k n , k € Z 的一个对称中心是(2.函数 f (x ) = 2tan( — x )是( )A.奇函数考点正切函数的奇偶性 题点正切函数的奇偶性 答案 A解析 因为f (— x ) = 2tan x = — 2tan( — x ) =— f (x )，且f (x )的定义域关于原点对称，所以 函数f (x ) = 2tan( — x )是奇函数. 3.满足tan A >— 1的三角形的内角A 的取值范围是( )A.(0 , 0)4c. 5n,0考点 正切函数的对称性 题点 求正切函数的对称中心答案 CD.( n , 0)C.奇函数，也是偶函数D.非奇非偶函数B.偶函数4• f (x ) = tan 4 x ,n = 0.6.下列关于函数 y = tan x +才的说法正确的是(4.下列各点中，不是函数 y=tan 4 — 2x 的图像的对称中心的是()n c nc3¥，0 C.a ,0D.—8 n，0考点正切函数的对称性 题点求正切函数的对称中心 答案 Cn k n小 n k n解析 令丁 — 2x = , k € Z ,得 x = ——-(k € Z).4 2 o 4n令 k = 0，得 x = $; 令 k =1，得 x =—-8 ；3 n令k = 2，得x = — -^.故选C.值是()nA.0B.1C. —1D.匸 考点正切函数的图像及应用 题点 正切函数的图像及应用 答案 An n解析 由题意，得T = —= 丁，••• 3 = 4.3 4A. 0,B.o ，nC. 3n, nD.考点 正切函数的单调性题点 利用正切函数的单调性解不等式 答案解析 因为A 为三角形的内角，所以 0<A <n . 又tanA >— 1，结合正切曲线得 A € 0 ,才「比5.函数f (x ) = tan 3 x ( 3 >0)的图像的相邻两支截直线y =n 所得的线段长为n ，则f nn 的Tt 32，4n2.13C.图像关于点［才，0成中心对称nD.图像关于直线x = 成轴对称6 考点正切函数的图像及应用题点正切函数的图像与性质的综合问题 答案 Bn n n 5 n n in 5 n ' \解析 令 k n --2<x +"3<k n +~2,解得 k n --^<x <k n +百,k € Z ,显然 一石,~6 不满 足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为n ，故B 正确；令x +n =k n ，解得x =宁-专，k € Z ,任取k 值不能得到x =子，故C 错误；正切函数曲线没有对称轴，因此234函数y =tan i x +才 的图像也没有对称轴，故 D 错误.故选A.在区间冗 ~6，5n 上是增加的B.最小正周期是7tB.2.14二、填空题考点正切函数的对称性7.已知 1 A. 2 B.考点 题点 答案解析 所以 sin n — a cos 2n — a tanCOs — n — a一1 C 迈D 一迪 2 2 D. 2 三角函数的诱导公式 利用诱导公式求值 由于,■ 3n tan i — a +"2Sin a COs asin3n—a +~2f ( a )—COS a31 I 3 n丿——COs3n 、 -a+〒31~3n的值为（ —COs acos —a+ 3nCOs a—sincos a a ，sin sin a =—COs a , 313n=—cos_ 7t3 =— COs弓18.函数 y = 3tan 3x + -4 f 【勺对称中心的坐标是题点求正切函数的对称中心 答案 \~6~—12，0（M Z ）k n k n解析由 3x +4 = -n （k € Z ），得 x = ~f- $（k € Z ）,所以对称中心的坐标为-g —12， 0（k € Z ）.9.函数y —屏x + 4tan x + 1, x € [-了，屮的值域为 考点正切函数的值域 题点正切函数的值域 答案 [—4, 4]片 f l7C7C解析•••— - < X < - ,•••— 1< tan X <1.令 tan x = t ，贝U t € [ — 1, 1], • y = — t 2+ 4t + 1 = — (t — 2)2+ 5.%••当 t = — 1，即 X = — "4时，y min = — 4 ,jr当 t = 1，即 x =—时，y max = 4. 故所求函数的值域为[—4, 4].10.函数y = 3tan w x +"g 的最小正周期是 专，贝卩®= 一一 考点正切函数的周期性 题点求正切函数的周期 答案 ±2三、解答题tan x + 1"判断函数f （x ）= ©kl 的奇偶性. 考点正切函数的奇偶性 题点判断正切函数的奇偶性解析T = —n —=—I 3 I = 2， w =± 2.由t-ta nx + 1 x —1 >0,得 tan x >1 或 tan x <— 1.•函数定义域为 k n —专,k n — "4 Unn ik n + —, k n + — (k € Z)，关于原点对称y = _5 = 3|O^ = ~T = —5.r r tan f—x 计1 tan x+ 1 (— tan x+1f ( —x) + f (x) = Ig + Ig = Ig -tan —x —1 tan x—1 —tan x—1 ••• f ( —x) =—f (x)，二f (x)是奇函数.12.求函数y = tan —的定义域、周期、单调区间和对称中心y 3丿考点正切函数的图像及应用题点正切函数的图像与性质的综合问题x n n 十 5 n解①由2一~3 中 k n+ , k€ Z,得X^2k n + , k€ Z.•••函数的定义域为jX x€ R且x M2k n+ , k € Z 二② T T= -1 = 2 n ,21 = 0. tan x —1③由心-H■一亍“+寺,k € Z，一n 5 n解得2k n ——<x<2k n + -^, k € 乙•函数的递增区间为2k n —n3, 2k n + 罟,k €乙x n k n ,口 2 n④由2—3 = ~2，k € Z,得x = k n + ~3-, k€ 乙•函数的对称中心是2nkn+ T，0 , k€ Z.13.已知角a的终边经过点P：3.(1)求sin a的值;sin ⑵求n2 — asin a + n 考点tan a —cos 3 n -三角函数定义与诱导公式匹一的值. a题点三角函数定义与诱导公式• sin a解(1)T|OP =sin acos a⑵原式一—sin atan a tan a cos a 1—cos a sin a sin a cos a '由余弦函数的定义得 COs a 4一 5，5故所求式子的值为匸.四、探究与拓展14.函数 y 一 sin x 与 y =tan x 的图像在区间［0 , 2n ］上交点的个数是多少?考点正切函数的图像题点 正切函数的图像解 因为当x € 0,手 时，tan x >x >sin x , k 2丿在区间［0 , 2n ］内的图像如图所示,点的距离为-2，且图像关于点 M —；，0对称，求f (x )的解析式. 考点正切函数综合问题 题点正切函数综合问题n解 由题意可知，函数f (x )的最小正周期T =~2, 即—=n,- 3=2.32从而 f (x ) = tan(2 x + 0 )••••函数y =f (x )的图像关于点 M —〒，0对称，n 3 n即 0 = k n + ；或 0 = k n + 二~( k € Z).44所以当x € 0, -n E寸，y = sin x 与y = tan x 没有公共点，因此函数 y = sinx 与 y = tan x观察图像可15.设函数 f (x ) = tan( 3 x +0 )3 >0, o<o <专，已知函数 y = f (x )的图像与x 轴相邻两交2X f +0= k n8 k €Z ,］上有3个交点.n••• 0< 0 <-2,n0 只能取〒.4故f (x) = tan)2x+ -4 .。

5．1正弦函数的图像内容要求 1.能用“五点法”画正弦函数在[0,2π]上的图像(重点).2.理解正弦曲线的意义(难点)．知识点1正弦线如图所示，设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 相交于点P (x ，y )，过P 点作x 轴的垂线，垂足为M .我们称MP 为角α的正弦线，P 叫正弦线的终点．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在正弦线的定义中MP 也可以写成PM 的形式．(×)(2)正弦线是一条有方向的有向线段．(√)知识点2正弦函数图像的画法(1)几何法利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像的过程如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示．②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图像越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π2，…，2π等角的正弦线．③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份．④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合．⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像．(2)“五点法”在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像上，起关键作用的点有以下五个：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．事实上，找出这五个点后，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就可以得到函数的简图．这种方法称为“五点法”．【预习评价】1．函数y ＝sin x 在[0,2π]上的单调减区间为________，最大值为________．答案[π2，3π2]12．利用五点法作函数y ＝A sin x (A ＞0)的图像时，选取的五个关键点是什么？提示依次是(0,0)，(π2，A )，(π，0)，(3π2，－A )，(2π，0)．题型一“五点法”作函数的图像【例1】利用“五点法”作出y ＝－1＋sin x (x ∈[0,2π])的简图．解按五个关键点列表：x0π2π3π22πsin x010－10－1＋sin x －10－1－2－1描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图所示)．规律方法“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分，分别找出图像的最高点、最低点及图像与x 轴的交点等五个关键点，由这五个点大致确定图像的位置和形状．【训练1】(1)作出函数y ＝2sin x (0≤x ≤2π)的图像．(2)用“五点法”画出函数y ＝sin 2x (0≤x ≤π)的图像．解(1)列表：x0π2π3π22πsin x010－102sin x020－20描点作图：(2)列表：x0π4π23π4π2x 0π2π3π22πsin 2x 010－10描点得y ＝sin 2x (0≤x ≤π)的简图，如图：方向1解不等式【例2－1】利用y ＝sin x 的图像，在[0,2π]内求满足sin x ≥－12的x 的范围．解列表：x0π2π3π22πsin x 010－10描点，连线如图，同时作出直线y ＝－12的图像．由图像可得sin x ≥－12的范围0，7π6∪11π6，2π.方向2判断方程解的个数【例2－2】(1)方程|sin x |＝12的根中，在[0,2]内的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析如图所示，在区间[0，π]内|sin x |＝12的两个根为π6和5π6，又因为2＜5π6，所以在区间[0,2]内|sinx |＝12只有一个根π6.答案A(2)求方程lg x ＝sin x 的实数解的个数．解作出y ＝lg x ，y ＝sin x 在同一坐标系内的图像，则方程根的个数即为两函数图像交点的个数，由图像知方程有三个实根．方向3求参数的取值范围【例2－3】函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求实数k 的取值范围．解y 3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π＜x ≤2π.作出图像分析(右图)，∵f (x )图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同交点．∴1＜k ＜3.故实数k 的取值范围是(1,3)．规律方法 1.三角函数的图像是研究函数的重要工具，通过图像可较简便地解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．2．一般地，函数y ＝|f (x )|的图像可将函数y ＝f (x )的图像作如下变换得到：在x 轴下方的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，x 轴上方的部分保持不变.课堂达标1．函数y ＝sin x (x ∈R )图像的一条对称轴是()A．x 轴B．y 轴C．直线y ＝xD．直线x ＝π2答案D2．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像时，下列哪个点不是关键点()A．(π6，12)B．(π2，1)C．(π，0)D．(2π，0)解析易知(π6，12)不是关键点．答案A 3．在[0,2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值范围为________．解析画出y ＝sin x 的图像（图像略）可得．答案[π4，3π4]4．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝－12的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝________.解析如图所示，x 1＋x 2＝2×3π2＝3π.答案3π5．在[0,2π]内，用五点法作出函数y ＝2sin x －1的图像．解(1)列表：x 0π2π3π22πsin x 010－102sin x －1－11－1－3－1(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，－1)，(π2，1)，(π，－1)，(3π2，－3)，(2π，－1)．(3)连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y ＝2sin x －1，x ∈[0,2π]的简图，如图所示．课堂小结1．“五点法”是我们画y ＝sin x 图像的基本方法，在区间[0,2π]上，其横坐标分别为0，π2，π，3π2，2π的五个点分别是最高点、最低点以及与x 轴的交点，这五个点在确定函数的图像形状时起到关键作用，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，再将曲线向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)，就得到正弦函数的简图．2．作图像时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数.基础过关1．函数y ＝－sin x ，x ∈－π2，3π2的简图是()答案D2．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图像()A．重合B．形状相同，位置不同C．关于y 轴对称D．形状不同，位置不同解析根据正弦曲线的作法可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图像只是位置不同，形状相同．答案B3．y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝2的交点的个数是()A．0B．1C．2D．3解析由1＋sin x ＝2，得sin x ＝1，∵x ∈[0,2π]，只有当x ＝π2时，sin x ＝1.答案B4．函数y ＝sin x ，x ∈－π2，π2的图像与函数y ＝x 的图像交点个数是________．解析在同一坐标系内画出图像．答案15．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．解析所描五个点为(0,0)，(π2，1)，(π，0)，3π2，－10＋π2＋π＋3π2＋2π＝5π.答案5π6．用五点法作函数y ＝2＋12sin x ，x ∈[0,2π]的图像．解列表如下：x0π2π3π22πsin x010－102＋12sin x 2522322描点作图，如图所示：7．求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域．解由题意，x sin x >0，16－x 2≥0，－4≤x ≤4，sin x >0，作出y ＝sin x 的图像，如图所示．结合图像可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．能力提升8．方程sin x ＝x 10的根的个数是()A．7B．8C．9D．10解析在同一坐标系内画出y ＝x 10和y ＝sin x 的图像如图所示：根据图像可知方程有7个根．答案A9．已知函数y ＝2sin x π2≤x ≤5π2的图像与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为()A．4B．8C．4πD．2π解析数形结合，如图所示．y ＝2sin x ，x ∈π2，5π2y ＝2围成的封闭平面图形面积相当于由x ＝π2，x ＝5π2，y ＝0，y ＝2围成的矩形面积，即S ＝5π2－π2×2＝4π.答案C10．函数y ＝log 12sin x 的定义域是__________________．解析由log 12sin x ≥0知0<sin x ≤1，由正弦函数图像知2k π<x <2k π＋π，k ∈Z .答案(2k π，2k π＋π)，k ∈Z11．如果直线y ＝a 与函数y ＝sin x ，x ∈0，32π的图像有且只有一个交点，则a 的取值范围是________．答案[－1,0)∪{1}12．函数f (x )＝2sin x ＋|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝m ＋1有且仅有两个交点，求m 的范围．解∵f (x )＝2sin x ＋|sin x |3sin x ，x ∈[0，π]，sin x ，x ∈[π，2π].作出图像分析，由有且仅有两个交点，可得0＜m＋1＜3或－1＜m＋1＜0，即－1＜m＜2或－2＜m＜－1，即m的范围为{m|－2＜m＜2且m≠－1}．13．(选做题)判断方程x2－sin x＝0的根的个数．解设f(x)＝x2，g(x)＝sin x，在同一直角坐标系中画出它们的图像，如图所示．由图知f(x)和g(x)的图像有两个交点，即方程x2－sin x＝0有两个根.。

章末复习课网络构建核心归纳1．三角函数的概念：重点掌握以下两方面内容：（1）理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．2．诱导公式：能用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．3．三角函数的图像与性质4.(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图像归纳出函数的性质．(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答．要点一 任意角的三角函数的定义有关三角函数的概念主要有以下两个方面：(1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．(2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．【例1】已知cos θ＝m，|m|≤1，求sin θ，tan θ的值．解(1)当m＝0时，θ＝2kπ±π2，k∈Z；当θ＝2kπ＋π2时，sin θ＝1，tan θ不存在；当θ＝2kπ－π2时，sin θ＝－1，tan θ不存在．(2)当m＝1时，θ＝2kπ，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0.当m＝－1时，θ＝2kπ＋π，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0.(3)当θ在第一、二象限时，sin θ＝1－m2，tan θ＝1－m2 m.(4)当θ在第三、四象限时，sin θ＝－1－m2，tan θ＝－1－m2 m.【训练1】已知角θ的终边经过点P(－3，m) (m≠0)且sin θ＝24m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．解由题意，得r＝3＋m2，所以sin θ＝m3＋m2＝24m.因为m≠0，所以m＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， 所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153； 当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.要点二 诱导公式的应用(1)对于π±α，－α，2π±α记忆为“函数名不变，符号看象限”． (2)对于π2±α记忆为“函数名改变，符号看象限”． 注意：①名改变指正弦变余弦或余弦变正弦，正切与余切之间变化． ②“符号看象限”是指把α看作锐角时原函数值的符号． ③其作用是“负角变正角，大角变小角，小角变锐角”．【例2】 (1)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)，则1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ(2)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β， a ，b 均为非零实数，若 f (2 016)＝－1，则f (2 017)等于________． 解析 (1)1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ＞0，故原式＝sin θ－cos θ.(2)由诱导公式知f (2 016)＝a sin α＋b cos β＝－1， ∴f (2 017)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β) ＝－(a sin α＋b cos β)＝1. 答案 (1)A (2)1【训练2】 已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值．解 (1)∵|OP |＝1， ∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35. (2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α ＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54. 要点三 三角函数的图像及变换1．用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，32π，2π.2．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h ，应明确A 、ω决定“变形”，φ、h 决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A 、ω、φ影响单调性．针对x 的变换，即变换多少个单位，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．【例3】 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图像如图．。

7.3正切函数的诱导公式内容要求1.借助单位圆中的三角函数线推导出正切函数的诱导公式π2±α，π±α数的诱导公式(难点)．知识点1正切函数的诱导公式函数角y ＝tan x 记忆口诀k π＋αtan α函数名不变，符号看象限2π＋αtan α－α－tan απ－α－tan απ＋αtan απ2＋α－cot α函数名改变，符号看象限π2－αcot α【预习评价】1．下列诱导公式中错误的是()A．tan(π－α)＝－tan αB．cos π2＋α＝sin αC．sin(π＋α)＝－sin αD．cos(π－α)＝－cos α答案B2．tan 3π2＋α)A．－cot αB．cot αC．tan αD．－tan α答案A题型一三角函数间关系的应用【例1】已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (3，y )，且tan α＝－43.(1)求sin α＋cos α的值；(2)求sinπ－α＋2cosπ＋αsin 3π2－α－cos 3π2＋α的值．解(1)因为tan α＝y 3＝－43，所以y ＝－4，则r ＝5.∴sin α＝－45，cos α＝35，则sin α＋cos α＝－15.(2)原式＝sin α－2cos α－cos α－sin α＝tan α－2－1－tan α＝－43－2－1＋43＝－10313＝－10.规律方法三角函数之间关系的应用利用三个三角函数之间的关系：tan α＝sin αcos α进行弦切互化：正用可以做到切化弦，逆用可以做到弦化切．【训练1】已知α为第二象限角，且tan α－1tan α＝154，求sin π2＋α－sinπ＋αsin π2－α－sinπ－α的值．解由tan α－1tan α＝154，得4tan 2α－15tan α－4＝0，得tan α＝－14或tan α＝4.又α为第二象限的角，所以tan α＝－14.故sin π2＋α－sinπ＋αsin π2－α－sinπ－α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝35.题型二利用诱导公式求值【例2】求以下各式的值：(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°；(2)tan 225°＋tan 750°tan －30°－tan －45°.解(1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2.(2)原式＝tan180°＋45°＋tan 2×360°＋30°－tan 30°＋tan 45°＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3.规律方法(1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键．(2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值．【训练2】(1)tan 476π＋tan －316π)A．－33B．0C.233D．－233(2)若f (x )＝tan x ，则f (600°)的值为()A.33B．－33C.3D．－3解析(1)tan 476π＋tan－31π6＝tan7π＋56π＋tan －5π－π6＝tan 5π6－tanπ6＝－33－33＝－233，故选D.(2)f (600°)＝tan 600°＝tan(720°－120°)＝tan(－120°)＝ 3.答案(1)D(2)C方向1化简【例3－1】(1)化简：tan 540°－αtan α－270°tan α＋180°tan α－180°tan 810°＋αtan －α－360°；(2)若a ＝cos α＋πsin 23π＋αtan 4π＋αtanπ＋αcos 3－α－π，求a 2＋a ＋1的值．解(1)tan 540°－αtan α－270°tan α＋180°tan α－180°tan 810°＋αtan －α－360°＝tan －αtan α－90°tan αtan αtan 90°＋αtan－α＝－tan α－cot αtan αtan α－cot α－tan α＝tan α·cot α·tan αtan α·cot α·tan α＝1(2)a ＝cos α＋πsin 23π＋αtan4π＋αtanπ＋αcos 3－α－π＝－cos αsin 2αtan α·tan α－cos 3α＝－cos α·sin 2αsin αcos α·sin αcos α·－cos 3α＝－cos 3αsin 2αsin 2α－cos 3α＝1，∴a 2＋a ＋1＝1＋1＋1＝3.方向2证明【例3－2】tan2π－αcos 3π2－αcos 6π－αsin α＋3π2cos α＋3π2＝－tan α.证明左边＝tan －α·－sin α·cos －αsin 2π－π2－α·cos 2π－π2－α＝－sin α·－sin αsin －π2－αcos －π2－α＝sin 2α－sin π2－αcos π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝sin α－cos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．方向3化简并求值【例3－3】已知α是第三象限角，且f (α)＝sin －α－πcos 5π－αtan 2π－αcos π2－α－α－π.(1)化简f (α);(2)若tan(π－α)＝－2，求f (α)的值;(3)若α＝－120°，求f (α)的值．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解(1)f (α)＝sin －α－πcos 5π－αtan 2π－αcos π2－α－α－π＝sin α－cos α－tan αsin α－tan α＝－cos α.(2)因为tan(π－α)＝－2，所以tan α＝2.所以sin α＝2cos α，所以(2cos α)2＋cos 2α＝1，即cos 2α＝15.因为α是第三象限角，所以cos α＝－55，所以f (α)＝55.(3)因为cos(－120°)＝cos 120°＝－cos 60°＝－12，所以f (α)＝－cos α＝12.规律方法1.三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．2．三角恒等式的证明策略在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法．课堂达标1．tan 300°＋sin 450°的值为()A．1＋3B．1－3C．－1－3D．－1＋3解析tan 300°＋sin 450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝－tan 60°＋sin 90°＝1－ 3.答案B2．公式tan(π－α)＝－tan α成立的条件是()A．α为锐角B．α为不等于π2的任意角C．α为任意角D．α≠k π＋π2(k ∈Z )解析由正切函数的定义可知α≠k π＋π2(k ∈Z )．答案D3．已知tan π4＋α＝32，则tan 3π4－α解析3π4－α＝tan π－π4＋α＝tan －π4＋α＝－tan π4＋α＝－32.答案－324．tan π5＋tan 2π5＋tan 3π5＋tan 4π5的值为________．解析原式＝tan π5＋tan 2π5＋tanπ－2π5＋tan π－π5＝tan π5＋tan 2π5－tan 2π5－tan π5＝0.答案5．已知角α的终边经过点P (4，－3)，(1)求sin α，cos α，tan α的值;(2)求sin π2－αsinπ＋α·tanπ－αcos α＋π的值．解(1)因为r ＝42＋－32＝5，所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－34.(2)sin π2－αsinπ＋α·tanπ－αcos α＋π＝cos α－sin α·－tan α－cos α＝－tan αsin α＝－－34－35＝－54.课堂小结(1)正切函数的诱导公式在记忆时可简单记为“奇变偶不变，符号看象限”，即k ·π2±α中，如果k 为奇数，则正切变余切，至于符号取决于角k ·π2±α所在的象限．(2)在对三角式进行化简、求值、证明中，要遵循诱导公式先行的原则．特别提醒应用正切函数的诱导公式时，必须等式两边都有意义.基础过关1．tan 31π3的值为()A.33B．－33C.3D．－3解析tan 31π3＝tan10π＋π3＝tan π3＝ 3.答案C2．已知角α终边上有一点P (5n,4n )(n ≠0)，则tan(180°－α)的值是()A．－45B．－35C．±35D．±45解析∵角α终边上有一点P (5n,4n )，∴tan α＝45，tan(180°－α)＝－tan α＝－45.答案A3．已知tan(－80°)＝k ，那么tan 100°的值是()A．－kB．kC.k1－k2D.－k 1－k2解析tan(－80°)＝－tan 80°＝k ，则tan 80°＝－k .tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝k .答案B4．函数f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋2，且f (－3)＝5，则f (3)等于________．解析∵f (－3)＝a sin(－6)＋b tan(－3)＋2＝5，∴－a sin 6－b tan 3＝3，即a sin 6＋b tan 3＝－3.∴f (3)＝a sin 6＋b tan 3＋2＝－3＋2＝－1.答案－15．已知tan 2π3－α＝33，则tan 4π3＋α解析4π3＋α＝tan 2π－2π3－α＝－tan 2π3－α＝－33.答案－336．求下列各式的值：(1)sin π4cos 19π6tan 21π4；(2)3sin(－1200°)tan 19π6－cos 585°tan－37π4解(1)原式＝sin π4cos2π＋7π6tan 5π＋π4＝22cos 7π6tan π4＝22cosπ＋π6＝22－cosπ6＝－22×32＝－64.(2)原式＝－3sin(4×360°－240°)tan 3π＋π6－cos(360°＋225°)－tan37π4＝－3sin(－240°)tan π6－cos 45°tan9π＋π4＝3×33sin(180°＋60°)－22tan π4＝－sin 60°－22＝－3＋22.7．已知角α的终边与单位圆交于点32，－12试求sin 2π－αtanπ＋αtan π2＋αtan －αtan π2－α－αtan3π－α的值．解原式＝－sin α·tan α·－cot α·－tan αcot α·－cos α·－tan α＝－sin α·tan αcos α＝－tan 2α.∵角α的终边与单位圆交于点32，－12，∴tan α＝－33.∴原式＝－13.能力提升8．已知tan(π－α)＝－12，则cos π2＋α＋cos α2cos α－sin α的值是()A.15 B.13C.35D．1解析由tan(π－α)＝－12得tan α＝12.∴cos π2＋α＋cos α2cos α－sin α＝－sin α＋cos α2cos α－sin α＝－tan α＋12－tan α＝13.答案B9．化简tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)的结果为()A．1B．－1C．2D．－2解析原式＝tan[90°－(63°＋α)]·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(90°＋49°－β)＝cot(63°＋α)·tan(63°＋α)·tan(49°－β)·[－cot(49°－β)]＝－1.答案B10．已知tan(π－x )＝13，则tan(x －3π)＝________.解析由tan(π－x )＝13，知tan x ＝－13，故tan(x －3π)＝－tan(3π－x )＝－tan(π－x )＝tan x ＝－13.答案－1311．已知cos(α＋β)＝－1，且tan α＝2，则tan β＝________.解析由cos(α＋β)＝－1，知α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )，∴β＝2k π＋π－α，k ∈Z .∴tan β＝tan(2k π＋π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－2.答案－212．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin－α－32πcos 32π－αcos π2－αsin π2＋α·tan 2(π－α)的值．解方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，由α是第三象限角，得sin α＝－35，则cos α＝－45，∴sin －α－32πcos 32π－αcos π2－αsin π2＋α·tan 2(π－α)＝sin π2－α·cos π2＋αsin α·cos α·tan 2α＝cos α·－sin αsin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α＝－916.13．(选做题)设tan α＋8π7a ，求sin 15π7＋α＋3cos α－13π7sin 20π7－α－cos α＋22π7的值．解原式＝sin π＋α＋8π7＋3cos －3π＋α＋8π7sin 4π－α＋8π7－cos 2π＋α＋8π7＝－sin α＋8π7－3cos α＋8π7－sin α＋8π7－cos α＋8π7＝tan α＋8π7＋3tan α＋8π7＋1＝a ＋3a ＋1.。

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§3弧度制学习目标 1.理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数（重点)。

2。

掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题（难点)．知识点1 弧度制（1)角度制与弧度制的定义角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,规定1度的角等于周角的错误!弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制（2如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝错误!.【预习评价】（正确的打“√”，错误的打“×”)（1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位（√）(2)1°的角是周角的错误!,1 rad的角是周角的错误!（√)(3）1°的角比1 rad的角要大（×）(4）1 rad的角的大小和所在圆的半径的大小有关（×）知识点2 角度制与弧度制的换算常见角度与弧度互化公式如下：角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝错误!rad≈0。

§9 三角函数的简单应用内容要求 1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型(重点).2.初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题(难点)．知识点1 利用三角函数模型解决实际问题在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化，而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型．利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下： (1)收集数据，画出“散点图”；(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析． 【预习评价】 求下列函数的周期(1)y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|；(2)y ＝A cos(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|；(3)y ＝A tan(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝π|ω|.知识点2 三角函数模型在物理学中的应用在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)来表示运动的位移y 随时间x 的变化规律，其中：(1)A 称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移； (2)T ＝2πω称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f ＝1T ＝ω2π称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．【预习评价】在函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)中，A ，b 与函数的最值有何关系？ 提示 A ，b 与函数的最大值y max ，最小值y min 关系如下： (1)y max ＝A ＋b ，y min ＝－A ＋b ； (2)A ＝y max －y min2，b ＝y max ＋y min2.题型一 已知解析式求周期最值【例1】 交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求： (1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 解 (1)当t ＝0时，E ＝1103(V)． 即开始时的电压为110 3 V.(2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V.当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．规律方法 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键． 【训练1】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系为s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6.(1)作出它的图像；(2)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？ (3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ (4)单摆来回摆动一次需要多少时间？ 解 (1)图略． (2)当t ＝0时，s ＝6sin π6＝6×12＝3，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm.(3)s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm. (4)s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1 s. 题型二 已知模型求解析式【例2】 如图所示，表示电流I 与时间t 的关系式：I ＝A sin(ωt ＋π)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内的图像．根据图像写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式．解 由图像可知A ＝300，又T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1150－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300＝150，∴ω＝2πT ＝100π. 又∵t ＝－1300时，ωt ＋φ＝0，∴100π(－1300)＋φ＝0即φ＝π3， ∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3.规律方法 将实际问题的“条件”与函数模型“y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ”中A ，ω，φ，B 的意义对照，转化为数学问题是解决应用题的关键．【训练2】 如下图所示，是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式为________．解析 设该振子振动的函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，由图可知，该振子作简谐运动的图像的平衡位置是t 轴，振幅A 为2，周期T ＝2×(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝2π0.8＝5π2，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2x ＋φ.将点(0.1,2)代入，得φ＝π4. 故该振子振动的函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2x ＋π4.答案 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2x ＋π4【例3】 据市场调查，某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋7⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2来表示(x 为月份)，已知3月份达到最高价9万元，7月份价格最低，为5万元，则国庆节期间的价格约为( ) A ．4.2万元 B ．5.6万元 C ．7万元D ．8.4万元解析 由题知A ＝2，T ＝2×(7－3)＝8， ∴ω＝π4，φ＝－π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7，把x ＝10代入得y ＝7＋2≈8.4万元． 答案 D【迁移1】 例3改为问：在一年内商品价格不低于8万元的时间持续多长？ 解 由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7≥8易知有5个月的时间满足条件．【迁移2】 例3中当价格低于7万元时销量大增，需要安排加班生产，问何时应该开始加班？何时加班结束？解 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7＜7得5＜x ＜9，所以应该在5月份开始加班，直到9月份加班结束．规律方法 三角函数的应用在生产生活中的求解框图课堂达标1．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于( ) A.g π B.g 2π C.g π2 D.g4π2解析 T ＝2πgl，所以，g l ＝2πT ＝2π，则l ＝g 4π2. 答案 D2.函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x ＋sin xB ．f (x )＝cos xxC ．f (x )＝x cos xD ．f (x )＝x ·⎝⎛⎭⎪⎫x －π2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2解析 观察图像知，函数为奇函数，排除D ；又函数在x ＝0处有定义，排除B ；令x ＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，A 不合适，故选C. 答案 C3.如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π2，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是________．解析 t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式知单摆周期T ＝2π2＝π，频率为1π.答案1π4．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －(x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃. 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋A ＝28，a －A ＝18，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －， 当x ＝10时，y ＝23＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝20.5. 答案 20.55．如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处．这时此人所转过的角为2π30 t ＝π15t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h ＝10sin π15t ＋12(t ≥0)．(2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252.故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.课堂小结1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理 、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用． 2．三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.基础过关1．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析 该题目考察了最值与周期间的关系；相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，选C. 答案 C2．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．5 3 安D ．10安解析 由图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．(1300，10)为五点中的第二个点， ∴100π×1300＋φ＝π2.∴φ＝π6，∴I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 答案 A3．若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间T 为( )A ．24.5天B ．29.5天C ．28.5天D ．24天解析 由题图知，地球从E 1到E 2用时29.5天，月球从月、地、日一条线重新回到月、地、日一条线，完成一个周期． 答案 B4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，34内，则正整数m 的值是________．解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34，∴8π<m <9π，且m ∈Z ， ∴m ＝26,27,28. 答案 26,27,285．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标有12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0,60]．解析 将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)的形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt60.答案 10sin πt606.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (0<φ<π2)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式． 解 (1)最大用电量为50万kW·h， 最小用电量为30万kW·h.(2)观察图像可知从8～14时的图像是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图像， ∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6. ∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，又∵0<φ<π2，∴解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．7.如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中圆心O 距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y (米)与时间t (分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？解 (1)由已知可设y ＝40.5－40cos ωt ，t ≥0，由周期为12分钟可知，当t ＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝π6.所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0)．(2)设转第1圈时，第t 0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝4或t 0＝8.所以t ＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．能力提升8．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )＝50＋4sin t2(其中0≤t ≤20)给出，F (t )的单位是辆/分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( ) A ．[0,5] B ．[5,10] C ．[10,15]D ．[15,20]解析 由－π2＋2k π≤t 2≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π＋4k π≤t ≤π＋4k π，k ∈Z ，当k ＝1时，3π≤t ≤5π. 答案 C9.如图所示，某风车的半径为2 m ，每12 s 旋转一周，它的最低点O 距离地面0.5 m ．风车圆周上一点A 从最低点O 开始，运动t (s)后与地面的距离为h (m)．则h 与t 满足的函数关系为()A ．h ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋3π2＋2.5B ．h ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋1.5 C ．h ＝－2cos π6t ＋2.5D ．h ＝2cos π6t ＋2.5解析 最大值M ＝4.5 m ，最小值m ＝0.5 m ，所以A ＝M －m2＝2，b ＝M ＋m2＝2.5，因为T ＝12，所以ω＝2π12＝π6，又风车从最低点开始运动，所以π6×0＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，不妨设φ＝3π2，所以h 与t 满足的函数关系为h ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋3π2＋2.5＝－2cos π6t ＋2.5.答案 C10．弹簧振子以O 点为平衡位置，在B 、C 间做简谐振动，B 、C 相距20 cm ，某时刻振子处在B 点，经0.5 s 振子首次达到C 点，则振子在5秒内通过的路程及5 s 末相对平衡位置的位移大小分别为________cm ，________cm.解析 振幅A ＝10，T ＝0.5×2＝1，每个周期通过的路程为40 cm,5秒内通过 200 cm ；经过5个周期仍回到初始位置B ，位移为10 cm. 答案 200,1011．已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，则ω＝________.解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin(π4·ω＋π3)＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，因为f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，所以π3－π4<πω，即ω<12，令k ＝0，得ω＝143. 答案14312．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 解 (1)由表中数据知周期T ＝12， ∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5. 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题意知，当y >1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1， ∴cos π6t >0，∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z .①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2， 得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.13．(选做题)如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6. 则OP 在时间t (s)内所转过的角为π6t .由题意可知水轮逆时针转动， 得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2.当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π6＝1，令π6t －π6＝π2，得t ＝4，故点P 第一次到达最高点大约需要4 s ．。