苏教版数学高二-高中数学(苏教版选修1-2学案 推理案例赏析

2．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发展中的作用．[知识链接]1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．由合情推理得到的结论可靠吗？答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．[预习导引]1．归纳推理(1)定义：从个别事实中推演出一般性的结论的推理称为归纳推理．归纳推理的思维过程大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．(2)归纳推理的特点：①归纳推理是从特殊到一般的推理；②由归纳推理得到的结论不一定正确；③归纳推理是一种具有创造性的推理．2．类比推理(1)类比推理的定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．(2)类比推理的思维过程：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论3．合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理是数学活动中常用的合情推理．要点一归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”1 (1)2 2 (2)34 3 (3)477 4 (4)5 11 14 11 5 (5)…………记第n(n＞1)行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．解由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．(1)6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4由此归纳：a n＋1＝a n＋n.规律方法对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪演练1根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a1＝3，a n＋1＝2a n＋1；(2)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n；(3)对一切n ∈N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1. 解 (1)由已知可得a 1＝3＝22－1， a 2＝2a 1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *.(2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a .猜想a n ＝(n －1)－(n －2)a n －(n －1)a (n ∈N *)．(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1， 即2a 1＝a 1＋1，∴a 1＝1. 又2S 2＝a 2＋1， ∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0.∵对一切n ∈N *，a n >0，∴a 2＝3. 同理可求得a 3＝5，a 4＝7， 猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)． 要点二 类比推理的应用 例2如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想． 解如右图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形的类比：跟踪演练2 已知P (x 0，y 0)P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝py ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析 将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：规律方法将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．跟踪演练3类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是________．①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．答案①②③解析由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确.1．下列推理中，是归纳推理的有________．①A ，B 为定点，动点P 满足P A ＋PB ＝2a ＞AB ，得P 的轨迹为椭圆； ②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜出数列的前n 项和S n 的表达式； ③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab ； ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 答案 ②解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n 是从特珠到一般的推理．2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色是________．答案 白色解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色． 3．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 答案 n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1 000解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ， 可以推测：当k 为偶数时， N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k 2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.1.合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明． 2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.一、基础达标1．下面几种推理是合情推理的是________． ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和是180°；③某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n 边形内角和是(n －2)·180°. 答案 ①②④2．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________”，这个类比命题的真假性是__________． 答案 夹在两平行平面间的平行线段相等 真命题 3．观察下列等式：1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n 个等式为________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·(1＋2＋3＋…＋n )4．如图(1)有面积关系：S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′·PB ′P A ·PB ，则图(2)有体积关系：V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝________.答案P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC解析 把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得V P －A ′B ′C ′V P －ABC ＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC .5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33 ＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________________________________________________________________________． 答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)解析 观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152. 6．观察下列等式1＝12＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为________________________________________________________________________． 答案 n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)27．在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P －ABC 中，三个侧面P AB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”． 证明 设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ， 由PC ⊥P A ，PC ⊥PB 得PC ⊥面P AB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α， cos α＝sin ∠PCO ＝h PC ，cos β＝h P A ，cos γ＝h PB ，∵V P －ABC ＝16P A ·PB ·PC ＝13⎝⎛12P A ·PB cos α＋ 12PB ·⎭⎫PC cos β＋12PC ·P A cos γ·h ，∴⎝⎛⎭⎫cos αPC ＋cos βP A ＋cos γPB h ＝1， 即cos 2 α＋cos 2 β＋cos 2 γ＝1. 二、能力提升8．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝________. 答案3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体A －BCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 9．观察分析下表中的数据：答案 F ＋V －E ＝2解析 观察F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2. 10．观察下列等式：12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …照此规律， 第n 个等式可为________________________________________________________________________． 答案12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1) 解析 分n 为奇数、偶数两种情况． 当n为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n (n ＋1)2. 当n 为奇数时，第n 个等式＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n个等式：12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)． 11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30° ＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 12．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．(1)证明 设点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )，依题意，得A (－a,0)，B (a,0)，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a )． 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a， 同理得y N ＝－ay 0x 0－a， 所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20.又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1， 因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)， 所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2.(2)解 定值为－(a 2＋b 2)．三、探究与创新13．在平面几何中，对于Rt △ABC ，设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，C ＝90°.则(1)a 2＋b 2＝c 2；(2)cos 2A ＋cos 2B ＝1；(3)Rt △ABC 的外接圆的半径r ＝12a 2＋b 2；(4)S △ABC ＝12ab .把上面的结论类比到空间，写出相类似的结论．解 (1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2. (检验：设P A ，PB ，PC 两两互相垂直，P A ＝m ，PB ＝n ，PC ＝t ，PE ⊥AB 于点E ，则 S 2＝14(m 2＋n 2)·(t 2＋m 2n 2m 2＋n 2)＝S 21＋S 22＋S 23) (2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. (检验：因为S 1＝S cos α，S 2＝S cos β，S 3＝S cos γ)(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为m 、n 、t ，则这个直四面体的外接球的半径R ＝m 2＋n 2＋t 22.(检验：补形为长、宽、高分别为m 、n 、t 的长方体) (4)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为m 、n 、t ，则这个直四面体的体积为V ＝16mnt .。

第二章推理与证明2.1.2演绎推理学习目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。

学习过程：一、预习：1、引言：小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中。

由于每月的零花钱不够用，便向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财。

但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？？？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？分析上面的问题：大前提：刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的，使用暴力、胁迫或其他方法，强行劫取公私财物的行为。

其刑事责任年龄起点为14周岁，对财物的数额没有要求。

小前提：小明超过14周岁，强行向路人抢取钱财50元。

结论：小明犯了抢劫罪。

2、我们知道合情推理所得结论不一定正确,那么怎样推理所得的结论就一定正确呢?又怎样证明一个结论呢?3、三段论的基本格式：4、归纳：三段论是指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理。

三段论中三个简单判断只包含三个不同的概念，每个概念都重复出现一次。

这三个概念都有专门名称：结论中的宾词叫“大词”，结论中的主词叫“小词”，结论不出现的那个概念叫“中词”，在两个前提中，包含大词的叫“大前提”，包含小词的叫“小前提”。

演绎推理的特点:1．演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中，因此演绎推理是由一般到特殊的推理；2、在演绎推理中，前提于结论之间存在着必然的联系，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确。

因此演绎推理是数学中严格的证明工具。

3、在演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学论证和系统化。

二、课堂训练：例1、把“函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论例2. 如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD= ∠A,DE∥BA,求证：ED=AF.例3、已知a,b,m均为正实数，b<a，求证：b b m a a m++＜三、练习：1、把下列推理恢复成完全的三段论:1345225.ABC ABC y x ∆∆=+（）因为三边长依次为，，，所以是直角三角形；（）函数的图象是一条直线2、下面说法正确的有（ ）（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。

2.1.2演绎推理[学习目标] 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．[知识链接]1．演绎推理的结论一定正确吗？答演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．2．如何分清大前提、小前提和结论？答在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义．3．演绎推理一般是怎样的模式？答“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．[预习导引]1．演绎推理由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法，通常称为演绎推理．演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．三段论是演绎推理的主要形式．2．三段论(1)三段论的组成①大前提——提供了一个一般性的原理．②小前提——指出了一个特殊对象．③结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系．(2)三段论的常用格式为M－P(M是P)S－M(S是M)S－P(S是P)要点一用三段论的形式表示演绎推理例1把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．解(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提水会沸腾．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提2100＋1是奇数，小前提2100＋1不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提y＝tan α是三角函数，小前提y＝tan α是周期函数．结论规律方法用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．一般可省略大前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪演练1试将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；(3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；(4)等差数列的通项公式具有形式a n＝pn＋q(p，q是常数)，数列1,2,3，…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有a n＝pn＋q的形式．解(1)大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行；小前提：海王星是太阳系里的大行星；结论：海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(2)大前提：所有导体通电时发热；小前提：铁是导体；结论：铁通电时发热．(3)大前提：一次函数都是单调函数；小前提：函数y＝2x－1是一次函数；结论：y＝2x－1是单调函数．(4)大前提：等差数列的通项公式具有形式a n＝pn＋q；小前提：数列1,2,3，…，n是等差数列；结论：数列1,2,3，…，n的通项具有a n＝pn＋q的形式．要点二演绎推理的应用例2正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长均为a，D、E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G.(1)求证：A1B⊥AD；(2)求证：EC∥平面AB1D.证明(1)连结BD.∵三棱柱ABC－A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，∴A1ABB1为正方形，∴A1B⊥AB1.∵D是C1C的中点，∴△A1C1D≌△BCD，∴A1D＝BD，∵G为A1B的中点，∴A 1B ⊥DG ，又∵DG ∩AB 1＝G ，∴A 1B ⊥平面AB 1D .又∵AD ⊂平面AB 1D ，∴A 1B ⊥AD .(2)连结GE ，∵EG ∥A 1A ，∴GE ⊥平面ABC .∵DC ⊥平面ABC ，∴GE ∥DC ，∵GE ＝DC ＝12a ，∴四边形GECD 为平行四边形， ∴EC ∥GD .又∵EC ⊄平面AB 1D ，DG ⊂平面AB 1D ，∴EC ∥平面AB 1D .规律方法 (1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提．跟踪演练2 求证：函数y ＝2x －12x ＋1是奇函数，且在定义域上是增函数． 证明 y ＝(2x ＋1)－22x ＋1＝1－22x ＋1， 所以f (x )的定义域为R .f (－x )＋f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1 ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋2·2x 2x ＋1 ＝2－2(2x ＋1)2x ＋1＝2－2＝0. 即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝12222121x x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭1-1-＝221222121x x ⎛⎫- ⎪++⎝⎭＝2·122122(21)(21)x x x x -++ 由于x 1<x 2，从而121222,220x x x x <-<所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )为增函数．要点三 合情推理、演绎推理的综合应用例3如图所示，三棱锥A －BCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，O 为点A 在底面BCD 上的射影．(1)求证：O 为△BCD 的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明． 解 (1)证明 ∵AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，AB ∩AC ＝A ，∴AD ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC .∴AD ⊥BC ，又∵AO ⊥平面BCD ，AO ⊥BC ，∵AD ∩AO ＝A ，∴BC ⊥平面AOD ，∴BC ⊥DO ，同理可证CD ⊥BO ，∴O 为△BCD 的垂心．(2)解 猜想：S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S 2△BCD .证明：连结DO 并延长交BC 于E ，连结AE ，由(1)知AD ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AE ，又AO ⊥ED ，∴AE 2＝EO ·ED ，∴⎝⎛⎭⎫12BC ·AE 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·EO ·⎝⎛⎭⎫12BC ·ED ， 即S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD .同理可证：S 2△ACD ＝S △COD ·S △BCD ，S 2△ABD ＝S △BOD ·S △BCD .∴S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S △BCD ·(S △BOC ＋S △COD ＋S △BOD )＝S △BCD ·S △BCD ＝S 2△BCD .规律方法 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．跟踪演练3 已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则数列b n ＝n a 1a 2…a n (n ∈N *)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论． 解 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n也是等差数列． 证明如下：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝na 1＋n (n －1)d 2n ＝a 1＋d 2(n －1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d 2为公差的等差数列.1．“因对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．”上面推理的错误是________．答案 大前提错导致结论错2．下面几种推理过程是演绎推理的是______(只填序号)．①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质③某校高三共有10个班，1班有51个，2班有53个，3班有52人，由此推测各班都超过50人④在数列{a n}中，a1＝1，a n＝12(a n－1＋1a n－1)(n≥2)，由此归纳出{a n}的通项公式答案①3．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：________________；小前提：________________；结论：____________________.答案二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线4．指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)因为中国的大学分布在中国各地，大前提北京大学是中国的大学，小前提所以北京大学分布在中国各地．结论(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提所以菱形是正多边形．结论解(1)推理形式错误．大前提中的M是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．(2)结论是错误的，原因是大前提错误．因为所有边长都相等，内角也都相等的凸多边形才是正多边形．1.演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提．一、基础达标1．下列表述正确的是________．①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．答案①③⑤解析根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．2．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是________．答案演绎推理解析这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次复式三段论，属演绎推理形式．3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理________．答案小前提不正确解析由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是________________________________________________________________________．答案矩形都是对角线相等的四边形解析利用三段论分析：大前提：矩形都是对角线相等的四边形；小前提：四边形ABCD是矩形；结论：四边形ABCD的对角线相等．5．三段论：“①小宏在2014年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2014年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2014年的高考中正常发挥”中，“小前提”是________(填序号)．答案③解析在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．6．在求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当a有意义时，a≥0；小前提是log2x－2有意义；结论是________________________________________________________________________．答案y＝log2x－2的定义域是[4，＋∞)解析由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.7．①因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)． ②因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A 、B 、C 为空间三点(小前提)，所以过A 、B 、C 三点只能确定一个平面(结论)．③因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提)，而金是金属(小前提)，所以金能导电(结论)． 上述三个推理形式中，推理的结论正确吗？为什么？解 三个结论都不正确．①推理形式是正确的，但大前提是错误的．因为对数函数y ＝log a x 的单调性与底数a 的取值范围有关，若0<a <1，则y ＝log a x 为减函数；若a >1，则y ＝log a x 为增函数．②推理形式是正确的，但小前提是错误的．因为若三点共线可确定无数个平面，只有不共线的三点可满足结论．③推理形式是错误的，因为演绎推理是从一般到特殊的推理、铜、铁、铝仅是金属的代表，这是特殊事例，这是由特殊到特殊的推理．二、能力提升8．在推理“因为y ＝sin x 是[0，π2]上的增函数，所以sin 3π7＞sin 2π3”中，大前提为________________________________________________________________________； 小前提为________________________________________________________________________； 结论为____________________________________．答案 y ＝sin x 是[0，π2]上的增函数 37π，2π5∈[0，π2]且3π7＞2π5 sin 3π7＞sin 2π59．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α；②若l ⊥α，m ⊥β且l ∥m ，则α∥β；③若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂β，n ⊥m ，则n ⊥α.其中正确的命题是________．答案 ②④解析 ①中，m 还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m 与n 相交时才成立，③错误；④正确．10．关于函数f(x)＝lg x2＋1|x|(x≠0)，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)为减函数；③f(x)的最小值是lg 2；④当－1<x<0或x>1时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是______．答案①③④解析显然f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．当x>0时，f(x)＝lg x2＋1x＝lg(x＋1x)．设g(x)＝x＋1x，可知其在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．f(x)min＝f(1)＝lg 2.∵f(x)为偶函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数．11．已知函数f(x)，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明因为x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)解设任意的x1，x2∈R且x1<x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，因为x>0时，f(x)<0，所以f(x2－x1)<0，即f(x2)－f(x1)<0，所以f(x)为减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．因为f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6，所以函数f (x )在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.12．S 为△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC .求证：AB ⊥BC . 证明如图，作AE ⊥SB 于E .∵平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝SB ，AE ⊂平面SAB .∴AE ⊥平面SBC ，又BC ⊂平面SBC .∴AE ⊥BC .又∵SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC .∵SA ∩AE ＝A ，SA ⊂平面SAB ，AE ⊂平面SAB ，∴BC ⊥平面SAB .∵AB ⊂平面SAB .∴AB ⊥BC .三、探究与创新13．设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x 2(其中a ＞0且a ≠1) (1)5＝2＋3请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．解 (1)由f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32·a 2－a －22＋a 3－a －32·a 2＋a －22＝a 5－a －52， 又g (5)＝a 5－a －52.因此，g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)． (2)由g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)，即g (2＋3)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)，于是推测g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )．证明如下：因为f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x 2(大前提)，所以g (x ＋y )＝a x ＋y －a －(x ＋y )2，g (y )＝a y －a －y 2，f (y )＝a y ＋a －y 2(小前提及结论)， 所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＋a x －a －x 2·a y ＋a －y 2＝a x ＋y －a －(x ＋y )2＝g (x ＋y ).。

2.1.3 推理案例赏析双基达标 限时15分钟1．下面几种推理是合情推理的是__________．①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)×180°.解析 ①是类比推理，②④是归纳推理．答案 ①②④2．观察以下不等式：1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， 由以上各式归纳可得出的一般结论为________．答案 1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n(n≥2，n ∈N *) 3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，则圆的面积为 πa 2.类比上述结论，可得椭圆的类似结论为________________．答案 椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，则椭圆的面积为πab 4．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，且b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为________．解析 b 25＝b 1b 9＝b 2b 8＝b 3b 7＝b 4b 6，在等差数列中2a 5＝a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6，所以有a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9.答案 a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×95．f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)．计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>72，推测当n≥2时，有__________．解析 f(21)＝32，f(22)>2＝42，f(23)>52，f(24)>62即f(2n )≥n ＋22. 答案 f(2n )>n ＋226．如图所示，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SA ⊥SC ，且SA 、SB 、SC 和底面ABC 所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面△SBC ，△SAC ，△SAB 面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．解 在△DEF 中，由正弦定理，得d sin D ＝e sin E ＝f sin F.于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S －ABC 中，我们猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立． 综合提高 限时30分钟7．如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e ＝________.解析 由题意，得b 2＋c 2＋c 2＝(c ＋a)2，即c 2－ac －a 2＝0，所以e 2－e －1＝0，又e>1，解得e ＝5＋12. 答案5＋12 8．下列图形中的线段有规则地排列，猜出第6个图形中线段的条数为__________．解析 第1个图只有一条线段，则第2个图比第1个图增加4条线段，即线段上的端点上各增加2条，第3个图比第2个图增加8条线段，第4个图比第3个图增加2×8＝24条线段，则第6个图中线段数为1＋22＋23＋24＋25＋26＝125.答案 1259．设题中字母均为正数，由下列恒等式：①a·1a＝1； ②(a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4；③(a ＋b ＋c)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.可以归纳出的一般结论是______________．答案 (a 1＋a 2＋…＋a n )⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥n 2(a i ∈R ＋，i ＝1,2，…n) 10．半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2，周长C(r)＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________________________②，②式可以用语言叙述为：_____________.解析 半径为R 的球，体积V(R)＝43πR 3，表面积S ＝4πR 2，则⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2. 答案 ⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数11．观察①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1.②tan 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1.由以上两式成立得到一个由特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．解 观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°.猜想此推广为α＋β＋γ＝π2且α，β，γ都不为kπ＋π2(k ∈Z )， 则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.证明：①γ＝0时，等式显然成立．②当γ≠0时，由α＋β＋γ＝π2，得α＋β＝π2－γ， 所以tan(α＋β)＝1tan γ. 又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，所以tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝1tan γ(1－tan αtan β)， 所以tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝tan αtan β＋tan γ(tan α＋tan β)＝tan αtan β＋tan γ·1tan γ·(1－tan αtan β)＝1. 综上所述，等式成立．12．观察下列算式，猜测此表提供的一般法则，用适当的数学式子表示，并加以证明． 1＝1，3＋5＝8，7＋9＋11＝27，13＋15＋17＋19＝64，21＋23＋25＋27＋29＝125，……解 数表中每行的每一项构成的数列为{a n },1,3,7,13,21，…，其构成规律是a 1＝1，a n －a n －1＝2(n －1)(n≥2，n ∈N )∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＝1＋n(n －1)＝n 2－n ＋1.因此，此表反应的一般规律可表示为：(n 2－n ＋1)＋＋＋…＋＝n 3.13．(创新拓展)设N ＝ ，通过对n ＝1,2,3等的研究，你能得到什么结果？归纳出一般结论，并加以证明．证明 n ＝2时，N ＝ 1 111－22＝11×102＋11－22＝11×102－11＝11×102－1＝ 33×102－13＝33×33＝33n ＝3时，N ＝111 111－222＝111×103＋111－222＝111×103－1＝ 333×103－13＝333×333＝333.。

2.1.3推理案例赏析●三维目标1．知识与技能进一步理解合情推理与演绎推理，能正确运用合情推理和演绎推理进行简单的推理，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．2．过程与方法正确认识合情推理与演绎推理的作用，养成良好的思维习惯，合作交流，让学生经历知识的形成过程．3．情感、态度与价值观经过实例教学，让学生养成认真观察、分析问题，善于发现的良好个性品质，形成正确运用数学的思想意识．●重点、难点重点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别，进一步认识它们的作用．难点：了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的，利用合情推理和演绎推理进行简单的推理．●教学建议创设问题情境，让学生结合已学过的数学实例和生活中的实例，进一步理解合情推理与演绎推理是人类不可少的思维过程．分组学习，合作交流，让学生进行讨论，分别汇报；让学生经历学习的过程，体会认识合情推理和演绎推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．●教学流程创设问题情景，让学生进一步理解合情推理、演绎推理，并分析对比．⇒完成例1及变式训练，掌握归纳推理与演绎推理．⇒完成例2及其变式训练，理解类比推理及其应用．⇒完成例3及变式训练，掌握合情推理与演绎推理在研究数学中的应用．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行学后反馈、矫正．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识与思想方法．1.合情推理和演绎推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．2．合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．3．演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据.在数列{a n }中，已知a 1＝2，且对任意的正整数n ，m ，都有a n ＋m ＝a n＋a m .(1)求出a 2，a 3，a 4，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .【思路探究】 (1)先求出前几项的值，根据数据特点猜想通项公式a n ； (2)根据数列特点，利用错位相减法求前n 项和．【自主解答】 (1)由已知得：a 2＝a 1＋a 1＝4，a 3＝a 1＋a 2＝6，a 4＝a 2＋a 2＝8，… 由此猜想a n ＝2n .当n ＝1时，a 1＝2，符合题意．对任意的正整数n ，m ，a n ＋m ＝2(n ＋m )＝a n ＋a m ，也符合题意． 故a n ＝2n .(2)b n ＝a n 2n 1＝12n ·n ，所以S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ①，12S n ＝122＋223＋324＋…＋n2n ＋1②. ①－②得：12S n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1＝12(1－12n )1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，故S n ＝2－12n －1－n2n .1．求解的关键在于赋值，求出a 2、a 3、a 4，研究每一项与序号n 之间的关系，猜想a n . 2．第(2)题运用错位相减法，转化为特殊数列求和，运用了演绎推理，求解时注意“错位”，以防弄错“项数”．已知{a n }满足a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2)．(1)求a 2，a 3；(2)猜a n 表达式并给出证明．【解】 (1)a 2＝3＋1＝4，a 3＝32＋4＝13. (2)a n ＝3n －12，证明如下：a n ＝a 1＋31＋32＋…＋3n －1＝1＋31＋32＋…＋3n －1＝1×(1－3n )1－3＝3n －12.通过计算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1； 33－23＝3×22＋3×2＋1； 43－33＝3×32＋3×3＋1； …(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1.将以上各等式两边分别相加，得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n ) ＋n ，即12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n 3的值．【思路探究】 解答本题要抓住各等式两边数的指数相类比． 【自主解答】 ∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1， 34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1， 44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1， …(n ＋1)4－n 4＝4n 3＋6n 2＋4n ＋1 将以上各式两边分别相加，得 (n ＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n 3)＋6×(12＋22＋…＋n 2)＋4×(1＋2＋…＋n )＋n ，∴13＋23＋…＋n 3＝14[(n ＋1)4－14－6×16n (n ＋1)·(2n ＋1)－4×n (n ＋1)2－n ]＝14n 2(n ＋1)2.1．解答本题关键在于弄清原题解题的方法，将所要求值的式子与原题的条件相类比，从而产生解题方法上的迁移．2．解答此类问题要先弄清两类对象之间的类比关系及其差别，然后进行推测或证明．半径为r 的圆的面积S (r )＝π·r 2，周长C (r )＝2π·r ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(π·r 2)′＝2π·r ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子②：________；②式可用语言叙述为__________.【解析】 因为半径为R 的球的体积V (R )＝43πR 3，表面积S (R )＝4πR 2，类比(πr 2)′＝2πr ，得(43πR 3)′＝4πR 2.因此②式应为：(43πR 3)′＝4πR 2.且②式用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数． 【答案】 (43πR 3)′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)写出类似的性质，并加以证明．【思路探究】 (1) 利用类比推理，猜得性质．(2)利用演绎推理进行证明．【自主解答】 类似性质：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则点N 的坐标为(－m ，－n )． 因为点M (m ，n )在已知双曲线上， 所以n 2＝b 2a2m 2－b 2，同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．故k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．1．(1)设出各点坐标，求出斜率，是本题难点，且计算易出错．(2)双曲线与椭圆有许多相似的特征，可类比椭圆得到双曲线的结论，但可靠性必须验证．2．合情推理是提出猜想、提供解题的思路，而演绎推理则是证明猜想、判断猜想的正确性，通过合情推理得到的猜想缺少证明过程是不完整的，平时解题都是二者的结合．读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知m 1，m 2∈R ，m 1＋m 2＝1，求证：m 21＋m 22≥12. 证明：构造函数f (x )＝(x －m 1)2＋(x －m 2)2，则f (x )＝2x 2－2(m 1＋m 2)x ＋m 21＋m 22＝2x 2－2x ＋(m 21＋m 22)．因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(m 21＋m 22)≤0，从而得m 21＋m 22≥12. (1)若m 1，m 2，…，m n ∈R ，m 1＋m 2＋…＋m n ＝1，请写出上述结论的推广式；(2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明．【解】 (1)已知m 1，m 2，…，m n ∈R ，且m 1＋m 2＋…＋m n ＝1. 求证：m 21＋m 22＋…＋m 2n ≥1n. (2)构造函数f (x )＝(x －m 1)2＋(x －m 2)2＋…＋(x －m n )2，则f (x )＝nx 2－2(m 1＋m 2＋…＋m n )x ＋(m 21＋m 22＋…＋m 2n )＝nx 2－2x ＋(m 21＋m 22＋…＋m 2n )．因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－4n (m 21＋m 22＋…＋m 2n )≤0，从而得m 21＋m 22＋…＋m 2n ≥1n.虚假依据致使推理致错定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程f (x )＝0在闭区间[－T ，T ]上的根的个数记为n ，则n 的可能值是________．【错解】 因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 又因为T 是函数f (x )的一个正周期， 所以f (T )＝f (－T )＝f (0)＝0.故方程f (x )＝0在闭区间[－T ，T ]上的根的个数n 可能值为3. 【答案】 3【错因分析】 以上解法是直接根据f (T )＝f (－T )＝f (0)＝0，就想当然的认为方程的根的个数就只有3个，这是个虚假的依据．很多同学往往没有经过严密的逻辑思考，就根据简单的几个步骤就虚假推断，从而造成差错，因此，解题时一定要有严密的逻辑性才行．【防范措施】 研究抽象函数的性质，一定要充分利用奇偶性、周期性、单调性的定义，严格推理，并注意不同语言信息的相互转化，推理有据，养成严谨的数学思维意识，一般地，定义在R 上，周期为T 的奇函数f (x )在区间[－T 2，T 2]上有3个零点－T 2，0，T 2.【正解】 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0. 又因为T 是函数f (x )的一个正周期， 所以f (T )＝f (－T )＝f (0)＝0. 又因为f (－T 2)＝f (T －T 2)＝f (T2)，且f (－T 2)＝－f (T 2)，所以f (T2)＝0，于是可得f (－T 2)＝f (T2)＝0，所以方程f (x )＝0在闭区间[－T ，T ]上有5个实根． 【答案】 51．归纳推理和类比推理是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理形式和所得结论的正确性讲，演绎推理与合情推理存在差异．从数学发现与认识事物的过程发挥的作用看，合情推理与演绎推理是相辅相成的、相互为用的，合情推理提出猜想、发现结论，为演绎推理确定了目标和方向．演绎推理不仅为合情推理提供了前提，而且对合情推理的结果进行“判决”和证明．两者的综合运用才能推动人们对事物的认识不断向前发展.1．如图2－1－15所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是________．图2－1－15【解析】由图形中数字，不难得出每行两头数字均为1，其它数字均为其肩上两数字之和，∴a＝3＋3＝6.【答案】 62．若“f′(x0)＝0，则x0是函数y＝f(x)的极值点，因为f(x)＝x3中，f′(x)＝3x2且f′(0)＝0，所以0是f(x)＝x3的极值点”．在此“三段论”中，其中________错误．【解析】f′(x0)＝0，x0不一定是f(x)的极值点，还需看x0附近左右导数符号异号．∴大前提不正确．【答案】大前提3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是________．【解析】根据空间线、面平行与垂直的判定与性质定理知，②③正确，①④错误．【答案】②③4．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，在立体几何中，给出四面体性质的猜想．【解】 如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝(a c )2＋(b c )2＝a 2＋b2c2＝1.把结论类比到四面体P －ABC 中，我们猜想，在三棱锥P －ABC 中，若三个侧面P AB ，PBC ，PCA 两两互相垂直，且与底面所成的二面角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.一、填空题 1．给出下列推理：①由A ，B 为两个不同的定点，动点P 满足||P A |－|PB ||＝2a ＜|AB |，得点P 的轨迹为双曲线；②由a 1＝1，a n ＝3n －1(n ≥2)，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列{a n }的前n 项和S n 的表达式；③科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 其中是归纳推理的是________．【解析】 ①是演绎推理；②归纳推理；③类比推理． 【答案】 ②2．(2013·扬州高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图2－1－16所示，图2－1－16按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________． 【解析】 由图形知，每增加一个“金鱼”增加6个火柴，∴第n 个“金鱼”图需6n ＋2根火柴． 【答案】 6n ＋2 3．补充下列推论的三段论(1)因为互为相反数的两个数的和为0.又因为a 与b 互为相反数且________，所以b ＝8.(2)因为________，又因为e ＝2.718 28…是无限不循环小数．所以e 是无理数． 【解析】 (1)由大前提得a ＋b ＝0，由结论b ＝8， ∴a ＝－8，(2)由小前提和结论，逆推大前提．【答案】 (1)a ＝－8 (2)无限不循环小数是无理数4．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：________.【解析】 平面几何中的线与立体几何中的面相类比，可得：夹在两个平行平面间的平行线段相等．【答案】 夹在两个平行平面间的平行线段相等 5．观察下列等式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________．【解析】 本题考查数列中的不完全归纳法，由前四个等式得，第n 个等式的左边为：以n 为首项，公差为1的等差数列的前2n －1项的和，右边为(2n －1)2，则推算第5个等式为：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.【答案】 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝816．(2013·杭州高二检测)对于命题：若O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0，将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0，将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则________．【解析】 长度类比面积，面积类比体积，∴V O —BCD ·OA →＋V O —ACD ·OB →＋V O —ABD ·OC →＋V O —ABC ·OD →＝0. 【答案】 V O —BCD ·OA →＋V O —ACD ·OB →＋V O —ABD ·OC →＋V O —ABC ·OD →＝0。

2.1.3 推理案例赏析1.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系.利用合情推理和演绎推理进行简单的推理.(重点、难点)2.两种推理形式的具体格式.(易混点)[小组合作型]图2-1-14记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式.【精彩点拨】(1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果.(2)由数阵可直接写出答案.(3)写出a3-a2，a4-a3，a5-a4，从而归纳出(3)的结论.【自主解答】(1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数.【答案】6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，∴由此归纳：a n＋1＝a n＋n.归纳推理的一般步骤归纳推理的思想过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).[再练一题]1.观察下列各式：1 3＋23＝1，73＋83＋103＋113＝12，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，….则当n<m且m，n∈N时，3n＋13＋3n＋23＋…＋3m-23＋3m-13＝________.(最后结果用m，n表示)【解析】当n＝0，m＝1时，对应第1个式子13＋23＝1，此时1＝12-0＝m2-n2；当n＝2，m＝4时，对应第2个式子73＋83＋103＋113＝12，此时12＝42-22＝m2-n2；当n＝5，m＝8时，对应第3个式子163＋173＋…＋233＝39，此时39＝82-52＝m2-n2.由归纳推理可知3n＋13＋3n＋23＋…＋3m-23＋3m-13＝m2-n2.。